实验一 离散信源及其信息测度

实验一 离散信源及其信息测度

一、[实验目的]

离散无记忆信源是一种最简单且最重要的信源，可以用完备的离散型概率空间来描述。本实验通过计算给定的信源的熵，加深对信源及其扩展信源的熵的概念的理解。

二、[实验环境]

windows XP,MATLAB

三、[实验原理]

信源输出的各消息的自信息量的数学期望为信源的信息熵，表达式如下 1()[()]()log ()q

i i i H X E I xi p x p x ===-∑

信源熵是信源的统计平均不确定性的描述，是概率函数()p x 的函数。

四、[实验内容]

1、有条100字符英文信息，假定其中每字符从26个英文字母和1个空格中等概选取，那么每条信息提供的信息量为多少？若将27个字符分为三类，9个出现概率占2/7,13个出现概率占4/7，5个出现占1/7，而每类中符号出现等概，求该字符信源的信息熵。

2、二进制通信系统使用0、1,由于存在失真，传输会产生误码，用符号表示下列事件：u0:一个0发出；u1:一个1发出；v0:一个0收到；v1:一个1收到；给定下列概率：p(u0)=1/2,p(v0|u0)=3/4,p(v0|u1)=1/2。求：(a)已知发出一个0，求收到符号后得到的信息量；(b)已知发出的符号，求收到符号后得到的信息量；

3、给定离散无记忆信源X ，其概率空间为

010.70.3X P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

求该信源的熵和其二次、三次扩展信源的熵。(编写一M 函数文件： function [H_X1,H_X2,H_X3]=t03(X1,P1)

%t03 求信源和其二次、三次扩展信源的熵

%输入为X1,P1,分别为信源符号和概率阵

%输出为原离散信源的熵H_X1和二次、三次扩展信源的熵H_X2、H_X3

4、某离散二维平稳信源的概率空间：

设发出的符号只与前一个符号有关。求：(a)认为信源符号之间无依赖性时，

信源

X 的信息熵H(X)；(b)认为有依赖性时的条件熵H （X2｜X1）;(c)联合熵H(X1X2);(d)根据以上三者之间的关系，验证结果的正确性。

5、有两个二元随机变量X 和Y ，它们的联合概率分布函数如下表：

同时定义另一随机变量Z=X*Y ，试求：

a 、熵H(X),H(Z),H(X,Z)和H(X,Y,Z);

b 、条件熵H(X|Y),H(X|Z),H(Y|X,Z);

c 、互信息I(X;Y),I(X;Z),I(X;Y|Z);

五、[实验过程]

每个实验项目包括：1)设计思路2)实验中出现的问题及解决方法；

1)设计思路

1、每字符从26 个英文字母和1 个空格中等概选取，一共100 个字符，那么可以 组成27^100 条消息，每条消息出现的概率是1/（27^100），由自信息量公式可 得每条消息的自信息量。

2、求出各种条件概率，将其代入信息量公式计算信息量。

3、离散无记忆信源X 熵，可将其概率代入信息熵的计算公式得到，二次，三次 扩展信源，可先求出其概率空间。

4.由离散二维平稳信源的概率空间，及信息熵，条件熵，联合熵的公式，可得到 我们要的结果。

5、计算各种情况的概率，X 的概率，Y 的概率，Z=XY 联合概率等，然后代入公 式求解。

6、程序代码：

clear all,clc;

%test1.1

%有条100 字符英文信息，假定其中每字符从26 个英文字母和1 个空格中等概选取 %求每条信息提供的信息量

X 1X 2 P 00 01 02 10 11 12 20 21 22 1/4 1/18 0 1/18 1/3 1/18 0 1/18 7/36

=

H1=log2(27^100)

%test1.2

%事件：u0:一个0 发出；u1:一个1 发出； v0:一个0 收到；v1:一个1 收到；

%给定下列概率：p(u0)=1/2,p(v0|u0)=3/4,p(v0|u1)=1/2

p_u0=1/2;

p_v0_u0=3/4;

p_v0_u1=1/2;

p_v1_u0=1-p_v0_u0;

%(a)已知发出一个0，求收到符号后得到的信息量；

H_V_u0=p_v0_u0*log2(p_v0_u0)-p_v1_u0*log2(p_v1_u0);

%(b)已知发出的符号，求收到符号后得到的信息量

p_u1=1-p_u0;

p_v1_u1=1-p_v0_u1;

p_u0v0=p_v0_u0*p_u0;

p_u0v1=p_v1_u0*p_u0;

p_u1v0=p_v0_u1*p_u1;

p_u1v1=p_v1_u1*p_u1;

H_V_U=-p_u0v0*log2(p_v0_u0)-p_u0v1*log2(p_v1_u0)-p_u1v0*log2(p_v0_u1)-p_u1v1*l og2(p_v1_u1)

%test1.3

c=[0.3,0.7];

[y1,y2,y3]=t05(c)

%信源的熵和其二次、三次扩展信源的熵

%test1.4

P_X1X2=[1/4 1/18 0;1/18 1/3 1/18;0 1/18 7/36];%联合分布

%(a)认为信源符号之间无依赖性时，信源X 的信息熵H(X)；

P_X=sum(P_X1X2);

H_X=sum(-P_X.*log2(P_X));

fprintf('X 的信源熵： H_X=%6.3f\n',H_X);

%(b)认为有依赖性时的条件熵H（X2｜X1）;

P_X1_X2=[P_X1X2(:,1)/P_X(1),P_X1X2(:,2)/P_X(2),P_X1X2(:,3)/P_X(3)];%条件矩阵

P_X1_X2(find(P_X1_X2==0))=1;%将0 换为1

H_X1_X2=sum(-P_X1X2.*log2(P_X1_X2));

fprintf('X 的条件熵： \n H_X1_X2=%6.3f\n',H_X1_X2);

%(c)联合熵H(X1X2)

P_X1X2(find(P_X1X2==0))=1;%将0 换为1

H_X1X2=sum(-P_X1X2.*log2(P_X1X2));

fprintf('X 的联合熵： \n H_X1X2=%6.3f\n',H_X1X2);

%test1.5

%有两个二元随机变量X 和Y,同时定义另一随机变量Z=X*Y，试求：

% a、熵H(X),H(Z),H(X,Z)和H(X,Y,Z);

% b、条件熵H(X|Y),H(Y|X,Z);

% c、互信息I(X;Y),I(X;Y|Z);

功能函数t03：