(高一用)指数函数经典例题

(3)f(x)＝＝1-.
1°当a>1时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0.
∴为减函数，从而f(x)＝1-＝为增函数.2°当0<a<1时，类似地可得
f(x)＝为减函数.
15、已知函数f（x）=a－（a∈R），
（1） 求证：对任何a∈R，f（x）为增函数．
（2） 若f（x）为奇函数时，求a的值。
（1）证明：设x1＜x2
当，，即x=1时取最大值，略 解得 a=3 (a= －5舍去)
7．已知函数 （ 且 ） （1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围． ．解：（1）
， 当
即
时， 有最小值为
（2） ，解得 当 时， ； 当 时， ． 8（10分）（1）已知是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１ ｜＝k无
∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)
u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)
解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，
当x∈(-∞，)时，u为减函数，
∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函
数.
14 已知函数f(x)＝ (a>0且a≠1).
∴，经检验原方程的解是． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验 根． 6．图象变换及应用问题 例6 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）． A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位
解法1：(分类讨论)： 去绝对值，可得y＝ 又a>1，由指数函数图像易知，应选B. 解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是 增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数. ∴应选B.
，此时函数
为减函数．由 ，故
． （2）由
，故 ．又 ，故
．从而 ． （3）由
，因 ，故 ．又 ，故
．从而 ． （4）应有 ．因若 ，则
．又 ，故
，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． （5）应有 ．因若 ，则
．又 ，故
，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)
的单调性.
解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.
设y＝,解得ax＝-①∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.解->0
得-1<y<1.
∴f(x)的值域为｛y｜-1＜y＜1.
(2)∵f(-x)＝＝＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数.
4．最值问题
例4 函数在区间上有最大值14，则a的值是_______． 分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取 值范围． 解：令，则，函数可化为，其对称轴为． ∴当时，∵， ∴，即． ∴当时，． 解得或（舍去）； 当时，∵， ∴，即， ∴ 时，， 解得或（舍去），∴a的值是3或． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比 如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程． 解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，
(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1. 解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又 ∵≠0，∴2≠1， ∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝. (2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝ (2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1. ∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝. 4 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3 即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。 5、设 ，求函数
长度，可得到函数 的图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现
数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化 规律，比如：平移、伸缩、对称等．
习题 1、比较下列各组数的大小： （1）若 ，比较
与
； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与 ； （4）若 ，且 ，比较a与b； （5）若 ，且 ，比较a与b． 解：（1）由 ，故
解？有一解？有两解？ 解： （1）常数m=1 （2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一 解;
当0<k<1时, 直线y=k与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两 解。 9．若函数
是奇函数，求 的值． ．解： 为奇函数，
设x∈（－1，0），则－x∈（0，1），
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∴
（2）设0<x1<x2<1
=
∴在（0，1）上为减函数。
（3）∵在（0，1）上为减函数。
∴即
同理在（－1，0）时， 又 ∴当或时 在[－1，1]内有实数解。
函数y＝a｜x｜(a>1)的图像是( )
分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图 像，以及数形结合思想和分类讨论思想.
2曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ).
( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定
,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为
,故应选
. 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数 到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识 图,用图的意识. 求最值 3 求下列函数的定义域与值域.
，求函数
的值域． 解：由
得 ，即 ，解之得 ，于是
，即
，故所求函数的值域为
12. (9分)求函数的定义域，值域和单调区间
定义域为R 值域（0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函数
在〔1，+∞）上是减函数。
13 求函数y＝的单调区间.
分析 这是复合函数求单调区间的问题
可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数
， 即
， 则
，
10. 已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值 解：由已知得（3x）2-10·3x+9≤0 得（3x-9）（3x-1）≤0 ∴1≤3x≤9 故0≤x≤2 而y=()x-1-4·()x+2= 4·（）2x-4·（）x+2 令t=（）x（） 则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1 当t=即x=1时，ymin=1 当t=1即x=0时，ymax=2 11．已知
的最大值和最小值． 分析：注意到
，设
，则原来的函数成为
，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解：设
，由 知，
，函数成为
， ，对称轴 ，故函数最小值为
，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为
． 6（9分）已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值. ．解： ， 换元为，对称轴为.
f（x2）－f（x1）=＞0
故对任何a∈R，f（x）为增函数．
（2），又f（x）为奇函数
得到。即
16、定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，
（1）求在[－1，1]上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；
（3）当为何值时，方程=在上有实数解.
解（1）∵x∈R上的奇函数 ∴
又∵2为最小正周期 ∴
指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象 与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查 的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数满足，且，则与的大小关系是_____． 分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间 内． 解：∵， ∴函数的对称轴是． 故，又，∴． ∴函数在上递减，在上递增． 若，则，∴； 若，则，∴． 综上可得，即． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单 调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进 行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵， ∴函数在上是增函数， ∴，解得．∴x的取值范围是． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底 数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参 数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数的定义域和值域． 解：由题意可得，即， ∴，故． ∴函数的定义域是． 令，则， 又∵，∴． ∴，即． ∴，即． ∴函数的值域是． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影 响．