1.3.1二项式定理(教案)

1． 3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

第一课时

一、复习引入：

⑴22202122

222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；

⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++

⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4

a ，3

a b ，22

a b ，3

ab ，4

b ，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4

a 的系数是0

4C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3

a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有2

4C 种，22

a b 的系

数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4

b 的系数是4

4C ，

∴4

4

13

2

22

33

44

44444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课：

二项式定理：01()()n n n

r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++

+++∈

⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：

n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，

⑵展开式各项的系数：

每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n

a 的系数是0

n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n

a b 的系数是1n C ，……，

恰有r 个取b 的情况有r

n C 种，n r

r a

b -的系数是r

n C ，……，

有n 都取b 的情况有n n C 种，n

b 的系数是n

n C ， ∴01()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++

++

+∈，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1

n +项，各项的系数(0,1,

)r

n C r n =叫二项式系数，

⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r

n n x C x C x x +=++

++

+

三、讲解范例：

例1．展开4

1(1)x

+．

解一： 4112334

44411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x

=+

+++． 解二：4444413123

444111

(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x

⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 2344641

1x x x x

=+

+++．

例2．展开6

．

解：66

31

(21)x x =-

6152433221

6666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x

=

-+-+-+ 322360121

64192240160x x x x x x

=-+-+-+．

例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项

解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339

39911212220T C x a C x a x a -+===．

例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．

解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．

点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同

例5．（1）求9

(

3x

+

的展开式常数项； （2）求9

(

3x +

的展开式的中间两项 解：∵39929

2

19

9()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，

∴（1）当390,62

r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9

(

3x +

的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

489

912

59

3423

T C x

x

--=⋅=，1595109

2693T C x --=⋅=