《信号与系统导论》课件02(2.4-2.5)

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r 0 r 0 9 即 r 0 r 0 9
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数学描述
d 由方程 r t 3r t 3 t 可知 dt d 它一定属于 r t 方程右端含 t 项， dt d r t a t b t cut 设
§2.4 起始点的跳变---从0—到0+ 状态的转换
青岛大学电子学系 2006.2
系统的初始状态
对于n阶系统而言，它在t=t0时刻的状态由n个 独立条件给定。这N 个独立条件由响应r（t） 及其各阶导数在t=t0时的值给定。
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1.我们往往把微分方程的初始条件作为一组已知 的数据，来确定方程完全解中的系数Ak。 2.对于实际的系统，初始条件在信号接入的瞬间 可能发生跳变，即（0-）状态与（0+）状态不同。 其原因是激励信号及其导数在t=0 时存在不连续 现象。
X
在t=t0时刻的跳变，使方程最终解的确定变得 复杂。
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0 状态 起始状态 即信号接入前瞬间系统的状态
OR
0 状态 初始条件 即信号接入后瞬间的起始状态
由于一般情况下，时域解法的区间是0+<t<∞，因此我们 不能以状态0-作为初始条件，而必须将信号接入瞬间0+状 态作为初始条件。
Bt
零输入响应 ＋ (Zero-input +
零状态响应 Zero-state)
响应= 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)
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各种系统响应定义
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(1)自由响应： 也称固有响应，由系统本身特性决定，与 外加激励形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 (2)暂态响应： 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中 暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态 响应分量。 (3)零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状 态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状 态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
方程右端含3 t 方程右端不含 t
d r t r t 中包含3 t 中必含3 t dt d r t 必含 9 t 以平衡3r t 中的9 t dt
d 在 r t 中t 0 时刻有 9ut r t 中的 9 t dt ut 表示 0 到 0 的相对跳变函数，所以，
解：根据KVL和元件的约束特性，写出微分方程
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VR R d e(t ) VR (t ) C de(t ) dVR ( t ) 1 即， VR (t ) dt dt RC
t
X
已知VR（0-）=0， VC（0-）=0，当输入端激励信号 发生跳变时，电容器两端的电压应保持连续值，即 VC（0+）=0。 电阻两端的电压将发生跳变VR（0+）=1。
X
电感的等效电路
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故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 的并联。
X
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一般情况，设系统是线性时不变的 e(t) H[·]
r(t)= H[e(t)]+ H[{x(0-)}]
{x(0-)} 零输入响应rzi(t)： 没有外加激励信号的作用，只由起始 状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。H[{x(0-)}] 零状态响应rzs(t)： 不考虑起始时刻系统储能的作用 （起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响 应。H[e(t)]
求出对应0+状态
已定系数A的完全解——系统的完全响应
X
第
§2.5 零输入响应和零状态响应
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在§2.3我们将微分方程的解分解为两部分---齐次解和 特解，体现了信号分解的思想 。 （1）齐次解的函数特性仅依赖于系统本身，与激励信 号的形式无关，因此成为系统的自由响应。但是应注 意，在确定系数Ak时，齐次解仍与0+状态初始条件有 关（即与激励信号有关）。所以齐次解还是与激励信 号有关。 （2）特解的形式完全由激励信号确定，因此成为系统 的强迫响应（或受迫响应）。 将完全解分解为齐次解和特解仅是响应的一种分解方 法之一。另一种更有效的分解方法是分解为“零输入 响应”和“零状态响应”。 X
X
第
求并联电路电感支路电流 ，已知激励 之前系统无储能，各支路电流均为0。
，激励接入9
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电阻 电感
电容
根据KCL 代入上面元件伏安关系，并化简有
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
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第
首先判断
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根据方程式左、右两端奇异函数平衡原理可知：左端二阶导数中 将含有冲激项以保持与右端的平衡；而一阶导数中将含有跳变值， 一阶导数中不含冲激项；而且iL（t）在零点不应跳变。
第
起始状态可等效为激励源
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。
外加激励源 系统的完全响应 可以看作 起始状态等效激励源 + “零状态响应”
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共同作用的结果
系统的完全响应 = 零输入响应
(线性系统具有叠加性)
X
第
电容器的等效电路
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电路等效为起始状态为零的电容器与电压源 的串联 等效电路中的 电容器的起始 状态为零
dn
Baidu Nhomakorabea
响应 rzi t
k 1
Azik e k t
n
其中：Azik 可以由 r k 0 确定
因为
r k 0 r k 0

零输入响应rzi（t）只有初始条件0-决定，与激励源无关。
X
第
零状态响应rzs（t）满足：
d C0 r t C1 r t C n 1 rzs t C n rzs t n zs n 1 zs dt dt dt d E0 e t E1 e t E m 1 e t E m e t m m 1 dt dt dt 及起始状态 r k 0 0 k 0 ,1 ,2 , , n 1 n rzs t Azsk e k t Bt k 1 dm d m 1 dn d n 1
即
所以得 r 0 r 0 b 9 即 r 0 r 0 9
X
解微分方程的流程图
将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统 列写微分方程 将联立微分方程化为一元高阶微分方程
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齐次解Aea t(系数A待定）
特解查表2-2
给定系统0-状态
完全解=齐次解+特解(A待定）
线性系统具有叠加性
X
二．系统响应划分
r t Ak e
k 1 n
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kt
Bt
零状态响应包括强迫响 自由响应 ＋ 强迫响应 应和自由响应的一部分 (Natural + forced)
r t Azik e
k 1
n
kt
Azsk e
k 1
n
kt

•当系统用微分方程表示时，系统从 0 到 0 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 t 及 其各阶导数项。
X
如图所示RC一阶回路，电路中 无储能现象，起始电压和电流 都为零，激励信号e(t)=u(t)，求 t>0时系统的响应---电阻两端的 电压vR（t）。P54
以上解法利用了电容器两端电压连续性这一物理特 点。也可从 de(t ) du(t ) (t ) ，直接利用奇异函数的平衡 dt dt 特性求解之。
de(t ) du (t ) dVR (t ) 1 (t ) VR (t ) dt dt dt RC
如何理解
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为了保持上方程两端的平衡，等式右端必须含有冲激 函数项。或者说在t=0时，VR（t）必须发生跳变。
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第
先看一个实例 R 例2-4-1 已知电容两端 起始电压vc(0-) 激励源为e(t),求t>0时系 统响应vc(t) + +
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+ vc(t)
vc(0-) -
-
X
微分方程为
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d 1 1 vc t vc t et dt RC RC
将上列方程两端乘以e d 1 1 e vc t e vc t e et dt RC RC t t d RC 1 RC 或写作 e vc t e et dt RC t d t 1 RC 两边求积分： e RC vc d e e d 0 d 0 RC t 1 t RC e RC vc t vc 0 0 e et d RC
X
第
零输入响应rzi（t）满足：
d n 1
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d C0 r t C1 r t C n 1 rzi t C n rzi t 0 n zi n 1 zi dt dt dt 及起始状态 r k 0 k 0 ,1, , n 1
dt
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则
r t a t but
a 3 b 3a 0 c 3b 0
a 3 b 9 c 27
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t 得出
相应的物理意义如下：在激励作用的瞬间，电感支路电流 iL（t） 没有跳变，但是其电压LdiL（t）/dt发生1/C 跳变，也即时电容两 端的电压跳变。 下面根据初始条件求解微分方程的完全解。
X
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关于解的进一步讨论，请同学们自己进行。
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深入：冲激函数匹配法确定初始条件
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配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其他项） d 例： r t 3r t 3 t 已知r 0 , 求r 0 dt
t RC t RC t RC
t RC




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v c t
t RC e v
1 t c 0 0 e RC
1 t RC
e d
系统的完全响应可以看作由外加激励源和起始状态 共同作用的结果。
系统的完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
对于上一阶微分方程，齐次解为 Ae ，A为待定系 数。由于t>0时方程右端自由项为0，故特解为0。
t RC
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写出完全解 利用初始条件
VR ( t ) Ae

t RC
VR (0) 1
t RC
最终得出完全解 VR ( t ) e
(t 0)
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更一般的确定初始条件的方法，见下页的奇异函数匹配方法。
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说明
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•对于一个具体的电网络，系统的 0 状态就是系统中 储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
vC 0 vC 0 , i L 0 i L 0 .
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感， 0 到0 状态就会发生跳变。
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一．起始点的跳变
响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间 一般在t=0时刻加入，响应区间为 0 t
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起始状态0 状态
0
O
0
t 0
t
初始条件0 状态、 导出的起始状态
d r 0 d 2 r 0 d n1 r 0 r k 0 r 0 , , , 2 n 1 dt dt dt d r 0 d 2 r 0 d n1 r 0 r k 0 r 0 , , , 2 n 1 dt dt dt