空间中线面及面面的位置关系

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空间线、面位置关系梳理

，
须证
F D
垂直于平
，
是每年必考的知识点
．
平移法
是求异面
内的两条相交直线
，
F C
与
E 0
的等地位的
，
直线所成的角的主要方法
。
”
不易证明 E 0 上 F C
故考虑证明
C D 上 () M
，
上 CD
E O
J_F M
．
ji么
。
∥
为证
一
E o 上 CD
，
须证
．
，D F
所
c
以 A E
1
∥平面
B
D F
同理
2
B
。
E
，
∥平面
E
= = =
D F
．
本例是用平行四边形的性质
A B
．
，
在图形
又 A E n B
E
，
所以平面 A
：
，
E
∥平面
， B
c
。
D F

．
中向几何体外平移
解法
(
横向转化 )
因为
A E 上 E F
。E
l _E F
，
．
要特
— 平面 A L
．
所以么
3 0
。
D A B
一
么 D A C
一
别注意判定定理与性质定理成立的条件
一
么
D A M
一
9 0
又么 A B D

空间点、线、面的位置关系

【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
2．异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
思考题2 (1)【多选题】如图所示，是正方体的平面展开图，
间直角坐标系，则A(a，0，0)，C1(0，a， 3 a)，C(0，a，0)，
D1(0，0， 3a)， A→C1＝(－a，a， 3a)，C→D1＝(0，－a， 3a)，设异面直线AC1与CD1所成角为θ，则cosθ＝|AA→→CC11|··C|C→→DD11|＝ 52a·a2 2a＝ 55.
∴异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为
思考题1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1. ∴E，C，D1，F四点共面．
在这个正方体中，有以下四个命题，正确的结论是( CD ) A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直

高中数学空间中的线面关系

空间中的线面关系知识框架空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（一）知识内容线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．例题精讲板块三：线线垂直与线面垂直n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略．3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明，如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．（三）典例分析：【例1】直线和平面所成的角为α，则（）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例3】室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】（2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【例5】（2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（） A ．不存在 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【例6】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例7】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例8】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【解析】OH DCBAD'C'B'A'【例9】已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【解析】 FEBDCAP【例10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【解析】 P OA 1D 1C 1B 1D CB A【例11】（2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠． ⑴ 证明1C C BD ⊥； ⑵ 当1CDCD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例12】已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BDOABCD A 1B 1C 1D 1【例13】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD BCAMN【例14】如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．【例15】下列说法正确的有__________．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例16】（2009安徽，理15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_____ （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 做四面体的高，其垂足是BCD ∆三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高线所在的直线异面；④分别做三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q ，，的截面（） A ．邻边不等的平行四边形 B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【例18】如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件时，有11AC B D ⊥（写出你认为正确的一种条件即可．）ABCD 是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形D 1C 1B 1A 1A DCB【例19】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例20】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥?【例21】如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心；⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例22】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有_________个．【例23】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论．ABC DO【例24】如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例25】如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，D 为AC 中点，连结SD ，BD ．⑴求证：SD ⊥面ABC ；⑵若直角边BA BC =，求证：BD ⊥面SAC ．SABD【例26】如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例27】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．FE ABCDA 1B 1C 1D 1【例28】已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+ ②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例29】设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例30】已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CDABCDE【例31】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CA【例32】（07全国2文7）已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（） ABC．2D【例33】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（） ABCD ABCDE【例34】（2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是．【例35】（2008福建卷6）如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D所成角的正弦值为（） A．3B ．5C ．5D ．5DCBAA 1D 1B 1C 1【例36】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点．求证：平面EBD ⊥平面SACE DCBAS【例37】正方体1111ABCD A B C D -中，作截面1BDC ，求二面角1B DC C --的正切值的大小．O A 1D 1C 1B 1D CBA【例38】如图，正方体1111ABCD A B C D -中．求平面1A BD 和平面1C BD 相交所组成的二面角11A BD C --的余弦值．OA 1D 1C 1B 1DCBA【例39】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例40】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【例41】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是AB 的中点．⑴求二面角1A BC A --的大小； ⑵求二面角1B AC P --的大小． PF E A 1D 1C 1B 1DCBA【例42】已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．【解析】 GFEBA【例43】（2006年湖南高考题·理3）过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（）． A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【例44】下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例45】已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．ABCDA 1B 1C 1D 1【例46】判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． ⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例47】如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP 于F ，求证：四边形BCEF 是梯形．PFE DCBA【例48】设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，⑴证明：//PQ 平面11AA B B ；⑵求线段PQ 的长．AB CDA 1B 1C 1D 1PQ【例49】如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例50】已知：四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=，且AB CD ∥，12AB CD =，点F 为线段PC 的中点．EFDCBAP⑴求证：BF ∥平面PAD ； ⑵求证：BF CD ⊥．（一）知识内容线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线． 3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ．其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵；⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒．图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相板块二：空间中的平行关系交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB 与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向．求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''．所以DD E E ''是平行四边形．因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆≅∆．所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画．如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面． 3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．（二）主要方法：由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．（三）典例分析：【例1】（2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（） A ．K B ．H C ．G D ．B 'A'B【例2】如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．求证：1A C //平面1AB D ．EABCA 1B 1C 1D【例3】如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点．求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例4】如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ．CBADEFP【例5】已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面， ,E F 分别是PB 和AC 的中点，求证：①EF ∥平面PAD ；②EF AB ⊥I H G FE DCBA P【例6】如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例7】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ．求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例8】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【例9】如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例10】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ．求证：FO ∥平面CDE【解析】FEDCBAO【例11】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．N MF EAB 1C 1D 1DCBA 1⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．【例12】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．N MFEAB 1C 1D 1DC B A 1【例13】已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．H GFE D CBA【例14】已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，G FEDCB AMN求证：//AM 面EFG ．【例15】平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：AM BNMC ND=． ABCDαabMN【例16】如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：//MN 平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【例17】已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平面ACD ．【例18】下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例19】如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心，⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆GFDC BAMNPH【例20】已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：//EF α，//EF β．【解析】βBGDFEαCA【例21】如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．βD QB EαPC AF【例22】已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面//BDF 平面''B D E ．AA'BB'CC'DD'E F【例23】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例24】正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．求证：//EG 平面11BB D D ．D 1C 1B 1A 1GEDCBA【例25】（2008新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； ⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；⑶在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．侧视图正视图D'C'B'GFE DCBA【解析】⑴如图俯视图正视图侧视图。

空间中点线面的位置关系

空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。

（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

这时我们就说或。

作用：判断直线在平面内。

2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。

也可以简单地说成：的三点确定一个平面。

过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。

3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。

这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。

2经过两条直线，有且只有个平面。

3经过两条直线，有且只有个平面。

（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。

共面的两条直线的位置关系有和两种。

异面直线：既又的直线叫异面直线。

判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。

（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。

直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。

平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。

基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。

例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。

例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）：平行于同一直线的两条直线。

教案(空间中点、线、面的位置关系)

空间中点、线、面的位置关系教案3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A在平面α内α∈A点A不是平面α内的点α∉A4.直线与平面（1）直线l在平面α内（或平面α过直线l）：直线l上的所有点都在平面α内，记作α⊂l.（2）直线l在平面α外：直线l上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l . ①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .①直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示平面βα与相交 l =βα平面βα与平行 βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α相交于点A ，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.例 2 在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）与直线1AA 异面的棱有条；（2）与直线B A 1相交的棱有条；（3）直线B A 1与直线C B 1的位置关系是；（4）直线B A 1与直线C D 1的位置关系是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条； (2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条；(3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例 3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离；（2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.。

空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算

空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算空间几何与向量运算是数学中的重要分支，研究点、线、面在空间中的位置关系以及进行相应的运算操作。

在实际应用中，空间几何与向量运算广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将详细讨论点、线、面在空间中的位置关系和对应的运算方式。

一、点在空间中的位置关系在空间几何中，点是空间的最基本元素，它没有长度、宽度和高度。

点与点之间的位置关系可以通过坐标系来描述。

常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。

1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，用三个坐标轴x、y、z相互垂直组成，固定在空间中的三个直线上。

点在直角坐标系中的位置可以用三个坐标(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置，z表示点在z轴上的投影位置。

2. 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系是常用的极坐标系。

在柱坐标系中，点的位置由径向距离、极角和高度来确定，记作(r, θ, z)，其中r表示点到极坐标原点的距离，θ表示点到正极轴的角度，z表示点在z轴上的投影位置。

在球坐标系中，点的位置由球半径、极角和方位角来确定，记作(r, θ, φ)，其中r表示点到球心的距离，θ表示点到正半轴的角度，φ表示点到正极面的角度。

二、线在空间中的位置关系与运算线是由无数个点连接而成的集合，线在空间中的位置关系有直线、平行线、相交线等。

对于线的运算操作，主要包括长度、夹角、平移、旋转等。

1. 长度线的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过计算两个点的坐标来求得。

对于直线则无法直接求得长度。

2. 夹角两条线之间的夹角是指这两条线在空间中交汇处的夹角。

可以通过计算两条线的方向向量来求得夹角。

3. 平移平移是指将一条线段按照指定的平移向量进行移动，其位置和形状保持不变。

平移操作可以通过向直线的每个点添加平移向量得到。

4. 旋转旋转是指将一条线段按照指定的旋转角度和旋转轴进行旋转，其位置和形状保持不变。

空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件

①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD．所以
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4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点，所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线，连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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③因为 EF∥BD 且 EF<BD，所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M，则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1，得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.

高三数学空间点线面之间的位置关系

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【名师点评】题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．
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考点四异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确定3进一步反映了平面的延展性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角即为异面直线FC与ED所成的角. 10分

高考数学第七章立体几何第三节空间点线面之间的位置关系教案高三全册数学教案

第三节空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．[小题体验]1．(2019·湖州模拟)已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α解析：选A 由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选A.2．(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．[小题纠偏]1．(2018·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．2．(2019·杭州诊断)设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题有( )A．①②B．①②③C．②③④ D．①③④解析：选A ①可以根据直线与平面垂直的性质定理得出；②可以根据三垂线定理的逆定理得出；对于③，n可以在平面α内，故③不正确；对于④，反例：正方体共顶点的三个平面两两垂直，故④错误．故选A.3．(教材习题改编)下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D ①中若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；④中这三个公共点可以在这两个平面的交线上．故错误的是①③④，正确的是②.所以正确命题的个数为1.考点一平面的基本性质及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，A1B，CD1.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．[由题悟法]1．点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．[即时应用]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[由题悟法][即时应用]1．上面例题中正方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB 是异面直线的有________条．解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．答案：②④考点三异面直线所成的角重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C 法一：如图，将长方体ABCD A 1B 1C 1D 1补成长方体ABCD A 2B 2C 2D 2，使AA 1＝A 1A 2，易知AD 1∥B 1C 2，所以∠DB 1C 2或其补角为异面直线AD 1与DB 1所成的角．易知B 1C 2＝AD 1＝2，DB 1＝12＋12＋32＝5，DC 2＝DC 2＋CC 22＝12＋232＝13.在△DB 1C 2中，由余弦定理，得cos ∠DB 1C 2＝DB 21＋B 1C 22－DC 222DB 1·B 1C 2＝5＋4－132×5×2＝－55，所以异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 法二：以A 1为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，则A (0,0，3)，D 1(0,1,0)，D (0,1，3)，B 1(1,0,0)，所以AD 1＝(0,1，－3)，DB 1＝(1，－1，－3)，所以cos 〈AD 1，DB 1〉＝AD 1·DB 1|AD 1|·|DB 1|＝0×1＋1×－1＋－3×－32×5＝55.[由题悟法]1．用平移法求异面直线所成的角的3步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2．有关平移的3种技巧求异面直线所成的角的方法为平移法，平移的方法一般有3种类型：(1)利用图形中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．[即时应用]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·台州一诊)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A．6 2 B．12C．12 2 D．242解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝ 2.在Rt△CKN中，CK＝22＋12＝ 3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝22＋222－322×2×22＝78.答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n ⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行解析：选D 如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．3．(2018·义乌二模)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α解析：选D 由m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选D.4．(2019·湖州模拟)如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知多边形EFMN Q G是一个平面图形，且直线BD1与平面EFMN Q G垂直，结合各选项知，选项A、B、C中的平面与这个平面重合，只有选项D中的平面既不与平面EFMN Q G重合，又不与之平行．故选D.5．(2018·宁波九中一模)正三棱柱ABCA1B1C1中，若AC＝2 AA1，则AB1与CA1所成角的大小为( )A．60°B．105°C．75° D．90°解析：选D 取A1C1的中点D，连接AD，B1D(图略)，易证B1D⊥A1C，因为tan∠CA1C1·tan∠ADA1＝22×2＝1，所以A1C⊥AD，又B1D∩AD＝D，所以A1C⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，所以A1C ⊥AB1，故AB1与CA1所成角的大小为90°.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.答案：29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32.又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A 1ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值．解：(1)∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，连接AC ，∴AC ＝22＋22＝22，又易知AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，即∠A 1CA ＝60°，∴AA 1＝AC ·tan 60°＝22×3＝26，∵S 正方形ABCD ＝AB ·BC ＝2×2＝4，∴VA 1ABCD ＝13·AA 1·S 正方形ABCD ＝13×26×4＝863. (2)连接BD ，易知BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角(或所成角的补角)．∵BD ＝22＋22＝22，A 1D ＝A 1B ＝22＋262＝27，∴cos ∠A 1BD ＝A 1B 2＋BD 2－A 1D 22·A 1B ·BD ＝28＋8－282×27×22＝1414，即异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值是1414. 2．(2018·台州一模)如图所示的圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，点C 是AB 的中点，点D 是母线PA 的中点．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小．解：(1)∵圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，圆锥的高为PO ，∴13π×12×PO ＝33π，解得PO ＝3，∴PA ＝ 32＋12＝2，∴该圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×1×2＝2π.(2)法一：如图，连接DO ，OC .由(1)知，PA ＝2，OC ＝r ＝1.∵点D 是PA 的中点，点O 是AB 的中点，∴DO ∥PB ，且DO ＝12PB ＝12PA ＝1，∴∠CDO 是异面直线PB 与CD 所成的角或其补角．∵PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC ，又点C 是 AB 的中点，∴OC ⊥AB . ∵PO ∩AB ＝O ，PO ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴OC ⊥平面PAB ，又DO ⊂平面PAB ，∴OC ⊥DO ，即∠DOC ＝90°.在Rt △DOC 中，∵OC ＝DO ＝1，∴∠CDO ＝45°.故异面直线PB 与CD 所成角为45°.法二：连接OC ，易知OC ⊥AB ，又∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ，OC ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，OC所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．其中A (0，－1,0)，P (0,0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，32，B (0,1,0)，C (1,0,0)，∴PB ＝(0,1，－3)，CD ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12，32，设异面直线PB 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝|PB ·CD ||PB |·|CD |＝222＝22， ∴θ＝45°，∴异面直线PB 与CD 所成角为45°.3．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接P Q ，PB ，B Q.因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以P Q ∥AE ，PB ∥EF ，所以P Q ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩P Q ＝P ，PB ，P Q ⊂平面PB Q ，所以平面PB Q ∥平面AEF .又因为B Q ⊂平面PB Q ，所以B Q ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。

22.第二十二讲：空间线线、线面、面面之间的位置关系

第二十二讲空间线线、线面、面面之间的位置关系一、引言（一）本节的地位：空间线线、线面、面面之间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系，是立体几何中的重要内容，也是我们继续研究空间角和空间距离的基础，是高考的重点考查方向（二）考纲要求：了解平面公理及推论；掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（三）考情分析：本讲内容在高考中，主要考查线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定及其性质，题型以选择题为主，解答题极有可能在第一个小问题中出现，主要考查空间想象能力、逻辑推理与计算能力以及文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力．二、考点梳理1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：（1）相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．2．直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理可用符号表示为：,,a b αα⊄⊂且////a b a α⇒．定理揭示出直线与平面的平行关系的证明可以转化为直线与直线的平行关系的证明．正确理解和应用定理，应注意是“平面外”的一条直线和“平面内”一条直线平行．3．平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．该定理可用符号表示为：,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒ ．定理揭示出平面与平面平行关系的证明可以转化为直线与平面平行关系的证明．利用此判定定理证明两个平面平行，必须同时具备以下两个条件：（1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面；（2）这两条直线必须相交．4．直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．该定理可用符号表示为：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．此性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法．利用此定理证明两条直线平行时，必须同时满足以下三个条件：（1）直线a 和平面α平行；（2）平面α和平面β相交于直线b ；（3）直线a 在平面β内．5．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．该定理可用符号表示为：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒ ．此定理揭示出由平面与平面平行可以得到直线与直线平行．我们可以看到，通过直线与直线平行可以判定直线与平面平行；通过直线与平面平行可以判定平面与平面平行；而由直线与平面平行的性质定理，可以得出直线与直线平行；由平面与平面平行的定义与性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行．这揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．6．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．该定理可用符号表示为：,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥ ．定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此判定定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下两个条件：（1）平面内有两条直线垂直于已知直线；（2）这两条直线必须相交．7．两个平面的垂直及判定两个平面相交，如果它们所成的二面角为直二面角，就说这两个平面互相垂直．两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．8．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．这个定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，同时也揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系．9．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下三个条件：（1）两个平面互相垂直；（2）直线在其中一个平面内；（3）直线与交线垂直．三、典型例题选讲例1 （2007辽宁）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ= ，n βγ= ，//m n ，则//αβC ．若m β⊥，//m α，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥解析：选项A ，直线m 与平面α的位置关系各种可能都有；选项B ，平面α与平面β也可能相交；选项C ，∵//m α，过m 作平面γ交平面α于m '，则//m m '．又因为m β⊥，所以m β'⊥．由面面垂直的判定定理可知，a β⊥；选项D ，平面β与γ也可能相交或平行．故正确选项为C ．归纳小结：本题重点考查了直线与平面以及平面与平面的位置关系．提高空间想象能力和逻辑推理能力是问题解决的关键，同时，要注意培养思维的完备性和严谨性，既要考虑特殊情况，也要考虑一般结论，切不可以偏概全．例2 （2007湖南）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是( )A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面解析：连结1B C ，则1B C 与1BC 相交于点F ．∵E 、F 分别是1AB 、1CB 的中点，∴EF ∥AC ．又1BB AC ⊥，∴1BB EF ⊥．∴A 成立．又BD AC ⊥，EF ∥AC ，∴BD EF ⊥．∴B 成立．观察图形易知C 成立．∵//EF AC ，11//A C AC ，∴11//EF A C ．故D 不成立．正确选项为D ．归纳小结：为了分析和解决问题，常常要添加辅助线．在立体几何中，出现中点时，我们经常要利用特殊四边形的性质，构造对角线交点，进而得到三角形中位线，来证明直线与直线的平行关系．在本题中，对于正四棱柱概念的理解是基础，矩形对角线互相平分的性质是关键，合理构造，适当转化，问题便很容易得到解决．例3 在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（）A ． //BC 平面PDFB ． DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC答案：C ．分析：因为D 、F 分别是AB 、CA 的中点，所以//BC DF ，又因为BC ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，由直线与平面平行的判定定理知选项A 正确．因为P ABC -是正四面体，E 是BC 的中点，所以,PE BC AE BC ⊥⊥，又因为PE AE E = ，由直线与平面垂直的判定定理得BC ⊥平面PAE ．因为//BC DF ，所以DF ⊥平面PAE ．选项B 正确．因为BC ⊥平面PAE ，BC ⊂平面ABC ，由平面与平面垂直的判定定理得平面PAE ⊥平面ABC ，故选项D 正确．根据已知条件，不能得到平面PDF ⊥平面ABC ，故符合要求的选项为C ．归纳小结：本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定．准确理解相关概念和判定定理是问题解决的关键，另外要注意培养和不断提高空间想象能力，认真体会由线线平行证明线面平行，由线线垂直证明线面垂直，由线面垂直证明面面垂直的过程，体会普遍联系和相互转化的观点．例4 （2008北京）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥．分析：线线垂直的证明，我们往往可以转化为线面垂直的证明．证法一：取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP = ，PD AB ∴⊥．AC BC = ，CD AB ∴⊥．PD CD D = ，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂ 平面PCD ，PC AB ∴⊥．证法二：AC BC = ,AP BP =,∴APCBPC △≌△．又∵PC AC ⊥，∴PC BC ⊥．AC BC C = ，∴PC ⊥平面ABC ．∵AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥．归纳小结：本题主要考查线线垂直、线面垂直，以及相互转化．充分利用已知条件和平面几何知识，适当构造辅助线，是问题得以解决的关键．在等腰三角形中，构造底边中点证明垂直是常用的方法．值得指出的是，在平时的学习中，一题多解，既能灵活应用所学知识解决问题，又能增强对知识的理解，也有助于能力提高和创新思维意识的培养,我们要有意识的加强这方面的练习．例5 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC ．分析：要证//PB 平面AEC ，需要证明PB 和平面AEC 内的一条直线平行．证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 是平行四边形，所以OB OD =．又因为点E 是PD 的中点，所以EO 是△PBD 的中位线，则//EO PB ．因为PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，由直线与平面平行的判定定理得//PB 平面AEC ．归纳小结：本题考查直线与平面平行的证明．解决这类问题的关键是充分利用已知条件，在平面内确定（或构造）一条与已知直线平行的直线，把空间中直线与平面平行关系的证明转化为平面中直线与直线平行关系的证明．其中，构造三角形中位线（特别是出现中点或特殊四边形，如平行四边形，菱形，长方形，正方形等时）是证明直线与直线平行的常用方法．例6 如图，,a b 是异面直线，,//,,//a a b b αββα⊂⊂，求证：//αβ．分析：要证明//αβ，需要证明平面β（或α）内有两条相交的直线与平面α（或β）平行．其中一条平行线是已知条件，另一条平行线的构造则需要直线与平面平行的性质．证明：如图，设P 为b 上任意一点，则a 与P 确定一个平面，记为γ，设β与γ相交于c ．因为//,,a a c βγβγ⊂= ，所以//a c ．又因为,c c βα⊂⊄，所以//c α．因为//b α，又因为c 与b 有公共点P ，且c 与b 不重合（否则//a b ，与已知矛盾），即c 与b 相交，由平面与平面平行的判定定理得//αβ．归纳小结：本题考查平面与平面平行的证明，需要证明其中一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，问题的关键是由已知直线与平面平行，利用直线与平面平行的性质定理构造一条平行线．直线与平面平行的判定定理是由直线与直线平行得到直线与平面平行，直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到直线与直线平行．直线与平面的位置关系与直线与直线的位置关系的相互转化是立体几何的一种重要的数学思想方法．例7（2009江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，1A D ⊥1B C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．分析：线面平行的证明可以转化为线线平行的证明，面面垂直的证明可以转化为线面垂直的证明．证明：（1）因为E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，所以EF ∥BC ．因为 EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．（2）由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱知1CC ⊥平面111A B C ．因为1A D ⊂平面111A B C ，故1CC ⊥1A D ．又因为1A D ⊥1B C ，11CC B C C = ，1CC 、1B C 平面11BB C C ，所以1A D ⊥平⊂面11BB C C ，又1A D ⊂平面1A FD ，所以平面1A FD ⊥平面11BB C C ．归纳小结：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．在证明的过程中，要注意规范书写，注意细节，养成严谨思维和表达的习惯．例如，证明线面平行，一定要注意是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行；而面面垂直需要满足一个平面经过另一个平面的一条垂线，垂线在面内．四、本专题总结本专题研究的主要问题是直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．本部分内容的学习，要注意以下的数学思想与方法：转化的思想方法（位置关系的转化；空间问题向平面问题的转化等）；分类讨论的思想方法；运动变化的思想方法；函数与方程的思想方法．本专题学习中需要注意的问题：1．本专题内容，概念、判定定理与性质定理较多，要深刻理解，才能灵活应用．2．应充分认识面面关系、线面关系、线线关系之间的相互转化过程，熟练掌握转化条件．3．作辅助线或辅助面时，要注意以下两点：第一，辅助线，辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线，辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，绝不能凭主观臆断，否则谬误难免．4．在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用这些定理时，一定要注意逻辑推理能力的规范性．5．立体几何的学习，对计算和推理能力，特别是空间想象能力有较高的要求，我们要在平时的学习中加强这方面的练习．。

空间中的线面、面面位置关系

空间中的线面和面面位置关系
教学目标：了解空间中的线面、面面的位置关系；
教学过程：
➢ 直线与平面的位置关系：
直线与平面位置关系：（1）在平面内；（2）直线与平面相交；（3）直线与平面平行。

线面角概念：
例：在正方体1111D C B A ABCD -中，求BD 与平面D C A 11所成的角；
例：直角三角形ABC 的斜边在平面α内，AC 和BC 分别与α所成的角是︒30和︒45，CD 是斜边AB 上的高。

求CD 与平面α所成的角的大小。

➢ 面面位置关系：
两个平面的位置关系：（1）两个平面相交；（2）两个平面平行；
定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

棱为l ，两个面分别是βα,的二面角记为βα--l .
一个平面垂直于二面角βα--l .的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OB OA ,，O 为垂足，则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角，二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度。

约定：二面角的大小范围是]180.0[︒︒。

例：正方体1111D C B A ABCD -中，求二面角D AC D --1的大小。

作业本讲解 B 51页9 10 11。

高二数学--用空间向量研究直线,平面的位置关系

(2)设出平面的一个法向量为n (x, y, z)
(3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的
方程组
n
a
0
n b 0
(讲课 4)解方程组，取其中一个坐标的值，即得法向量。
人
：
邢
启强
21
复习引入平行关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
已知：直线m，n是平面内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 求证：l .
解：设直线l, m, n的方向向量分别为a,b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
m, n ,且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式：
p xb yc, x, y R.
讲
课
人
：
邢
启强
16
巩固练习
如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD 上是否存在点F,使得AE//CF?
讲
课
人
：
邢
启强
17
巩固练习如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是棱CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平面PAO?
讲
课
人
：
也就是说用直线的方向向量和平面的法向量来证明位置关系.
1.用向量方法证明两直线平行
讲
课
人
：
邢
启强
5
例题讲评
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别是面ABB1A1,面A1B1C1D1的中心，求证： EF//平面ACD1.
讲

3.2.1空间点、线、面及其位置关系的向量表示

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
二、线线、线面、面面间的位置关系与向
量运算的关系
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ，
a (3，2,1),u (1,2,-1)；
（3）平面与的法向量分别为
u (2, 2,5), v (6, 4, 4).
四、课堂小结
1、点、直线、平面的位置的向量表示 2、线线、线面、面面间的位置关系的向量表示
清代学者袁枚说：“学如弓弩，才如箭簇，识以领之，方能中鹄。”
五、作业
1.课本P104练习 2.用向量的方法证明 “平面与平面平行的判定定理”。 3.已知点A(3, 0, 0), B(0, 4, 0),C(0, 0,5), 求平面ABC的一个单位法向量。
平面向量
推广到空间向量
向量渐渐成为重要工具
立体几何问题
给我一个支点，我可以撬动地球
--------阿基米德
3.2.1空间点、线、面及其位置关系的向量表示
请阅读课本第102页--第103页的内容，思考下面的问题
• （1）在空间内，一个点及一条直线的位置又如何用向量确定？
• （2）在空间内，一个平面的位置该如何用向量确定？
A.（1,2,3） B.（1,3,2）
C. (2,1,3)
D. (3,2,1)
问题 3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
O a
●P
b
OP xa yb ( x、y R)

《空间中线面-面面的位置关系》参考课件

（2）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面两两之间的位置关系有几种？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
两个平面的位置关系只有两种：
两个平面平行 ——两个平面没有公共点记作：α∥β
两个平面相交 ——两个平面有一条公共直线记作：α∩β= a
例1、下列命题中正确的个数是（ B ）
①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l // α ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意
a∩b=l，则l（ C ）
（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交
2.1 空间中线面，面面之间的位置关系
教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。 2.掌握平面与平面的两种位置关系，会判断平民与平面的位置关系。 3. 学会用图形语言、符号语言表示它们之间的位置关系.
1.空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
例2：已知平面α,β，直线a，b，且α∥β， aα，bβ，则直线a与直线b 有什么样的位置关系？
a
a
b
b
这两条直线不可能相交，你知道为什么吗？
例3 已知直线a在平面α外，则（ D ）
（A）a∥α （B）直线a与平面α至少有一个公共点（C）aα=A （D）直线a与平面α至多有一个公共点。
（2）如图，线段A1B所在直线与长方体ABCD-
A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
直线与平面的位置关系有且只有三种： a
a

第七章立体几何与空间向量第二节空间点、直线、平面之间的位置关系讲

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系一.课标要求，准确定位1．借助正方体模型，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解三个基本事实和三个推论，并能应用它们解决问题．二.考情汇总，名师解读平面的基本性质，空间点、线、面之间的位置关系是高考主要考查的知识点，题型多为选择题或填空题，也可能在大题中间接考查.要求学生能够准确把握概念.【二级结论】1.常用唯一性结论（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. （2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. （3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.平面划分空间区域情况（1）两个平面有两种情形：①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图a；②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图b．（2）三个平面有五种情形：①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图c ；②当其中两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图d ；③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图e ；④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图f ；⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图g ．3.提示：注意符号语言的意义，如点与线的位置关系只能用“∈”或“∉”，线与面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．核心考点1 平面的基本事实与推论1．下列结论正确的是（）A ．两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.B ．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.C ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.D ．若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.2．下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面核心考点2 直线与直线的位置关系3．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列四个结论正确的是（）A．直线AM与1CC是相交直线MB是异面直线C．直线BN与14．已知空间三条直线,l m A．m与n异面C．m与n平行于α．10．如图，在空间四边形ABCD 中， ,,,E F G H 分别在,,,AB AD BC CD 上，EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.11．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点．【类题通法】共点、共线、共面问题12．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交13．将图(1)中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC的中线AD 折起得到空间四面体ABCD ，如图(2)，则在空间四面体ABCD 中, AD 与BC 的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考）14．已知直线l 和平面α，若l α∥，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（）．A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，且在平面α内C ．有无数条，一定在平面α内D ．有无数条，不一定在平面α内15．如图中,,,,G N M H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④【类题通法】判定空间两条直线是异面直线的方法（1）辅助平面法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线.（2）反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.【类题通法】判定空间两平面位置关系的方法（1）定义法：从有无公共点出发来判定；（2）反证法：先假设结论不成立，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定结论.【微点解读】作交线的两种方法 1.利用基本事实3作交线；2.利用线面平行及面面平行的判定定理去寻找线面及面面平行，然后根据性质作出交线.22．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．画出平面11ACC A 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．23．如图所示，1111ABCD A B C D -是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．【微点解读】作截面的三种常用方法1.直接法，关键是截面上的点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，可以直接作出截面；2.作平行线法，关键是截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可借助线面平行的性质和面面平行的性质作出截面；3.延长交线得交点，关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上．作截面遵循的三个原则：①过同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.24．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P ，Q 分别为11A B ，1DD 的中点，则过点P ，Q 的平面α截正方体所得截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形25．如图所示是一个三棱锥，欲过点P 作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？26．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．D A E三点的平面截正方体(1)试画出过1,,(2)证明：平面1D AE与平面ABCDA．与直线AD平行C．与直线BD平行29．如果两条异面直线称为A．12对C．36对(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：EH，FG必相交且交点在直线BD上．参考答案：1．B【分析】利用推论可判断B 正确；对A 项，由基本事实3可知；对C 项，两个相交的平面有无数个公共点；对D 项，平面内可找到无数条直线与a 相交.【详解】对选项A ，由基本事实3，两个平面有一个公共点A ，那么它们有且只有一条过A 点的公共直线，而不是任意一条过点A 的直线都是两平面的交线，故A 项错误；对于B ，若两两相交的三条直线交于一点，则三条直线最多可以确定三个平面，故B 正确；对选项C ，若这三个公共点共线，两平面可能相交，不一定重合，故C 项错误；对选项D ，若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则直线a 与平面α相交，设交点为O ，则平面内所有过点O 的直线都与a 相交于点O ，而不是异面，故D 项错误.故选：B.2．ABC【分析】由基本事实3可判断选项A ，B 和选项C ；由两条直线平行或相交，可以确定一个平面，判断出选项D ．【详解】由基本事实3可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A 正确；选项B 正确；选项C 符合基本事实3，因此选项C 正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误．故选：ABC3．CD【分析】根据异面直线的定义逐项判断可得答案.【详解】对于A ，因为点A 在平面11C D DC 外，点M 在平面11C D DC 内，直线1CC 在平面11C D DC 内，1CC 不过点M ，所以AM 与1CC 是异面直线，故A 错误；对于B ，因为M 与1DD 都在平面11C D DC 内，A 在平面11C D DC 外，1DD 不过点M ，所以AM 与1DD 是异面直线，故B 错误；对于C ，因为B 与AM 都在平面11ABC D 内，N 在平面11ABC D 外，AM 不过点B ，所以BN与1MB 是异面直线，故C 正确；对于D ，因为M 与1DD 都在平面11C D DC 内，A 在平面11C D DC 外，1DD 不过点M ，所以AM 与1DD 是异面直线，故D 正确.故选：CD.4．D【分析】根据题意作出图形，进行判断即可.【详解】解：空间三条直线l 、m 、n ．若l 与m 异面，且l 与n 异面，则可能平行（图1），也可能相交（图2），也m 与n 可能异面（如图3），故选D ．【点睛】本题考查空间直线的位置关系，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题．5．A【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可得出选项.【详解】若直线l 与平面α有两个公共点，则直线在平面内，即l ⊂α.故选：A6．//a α或a α⊂【分析】分直线在平面外与直线在平面内分别讨论，即可得到结果.【详解】若直线a 在平面外，则//a α；若直线a 在平面内，符合条件.∴//a α或a α⊂故答案为: //a α或a α⊂7．B【分析】由面面平行的定义可得充分性，举反例说明必要性.【详解】由于m ⊂α，若“α∥β”，由面面平行的定义知α与β无公共点，即m 与β无公共点，故可以推出“m ∥β”成立，所以是充分条件．反之，若“m ∥β”，平面α与平面β也可能相交．所以不是必要条件．则“α∥β”是“m ∥β”的充分不必要条件．故选B ．【点睛】本题主要考查了空间直线与平面平行、面面平行的定义的应用，考查了必要条件充分条件的判断．属于基础题．8．相交【分析】根据两平面位置关系的定义判断可出结论.【详解】在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交.故答案为：相交.9．证明见解析【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论.【详解】,,,A l l A D AD a ααα∈⊂∴∈∈⊂ ,同理,BD CD αα⊂⊂，所以直线,,AD BD CD 共面于α.10．证明见解析【分析】由基本事实3，证明点P 在两平面的交线上即可.【详解】,EG FH P = ,P EG EG ∈⊂平面ABC ，P ∴∈平面ABC ，同理，P ∈平面ADC .P ∴是平面ABC 与平面ADC 的公共点.又平面ABC ⋂平面ADC AC =，P AC ∴∈,,,P A C ∴三点共线.11．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用三角形的中位线证明1//EF CD ，从而得到四点共面；（2）根据平面的性质，证明点P ∈平面ABCD ，点P ∈平面ADD 1A 1平面，从而证明CE ，D 1F ，DA 三线共点.【详解】（1）证明：如图所示，连接EF ，CD 1，A 1B .E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1，∴E ，C ，D 1，F 四点共面．（2）证明： EF ∥CD 1，EF <CD 1，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，如图所示．则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面ABCD .同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．【点睛】本题主要考查点共面，线共点的证明，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.12．C【详解】l 与l 1，l 2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图所以l 至少与1l ，2l 中的一条相交.故选:C ．13．C【分析】根据线面垂直的判断定理，证出AD ⊥平面BCD ；再由线面垂直的定义即可证出AD BC ⊥，由于,AD BC 不相交即可得出答案.【详解】折起前AD BC ⊥，折起后有AD BD ⊥，AD CD ⊥，且BD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ，所以AD BC ⊥又AD 与BC 不相交，故AD 与BC 异面且垂直.故选C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理以及线面垂直的定义，需掌握线面垂直的判定定理内容，证明异面直线垂直一般先证线面垂直，此题属于基础题.14．B【分析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，即可得到答案.【详解】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P 在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内.故选：B.15．C【分析】对于①③可证出GH MN ∥，两条直线平行一定共面，即可判断直线GH 与MN 共面；对于②④可证,,G H N 三点共面，但M ∉平面GHN ；,,G H N 三点共面，但N ∉平面GMN ，即可判断直线GH 与MN 异面.【详解】由题意，可知题图①中，GH MN ∥，因此直线GH 与MN 共面；题图②中，,,G H N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；题图③中，连接MG ，则GH MN ∥，因此直线GH 与MN 共面；题图④中，连接GN ，,,G H N 三点共面，但N ∉平面GMN ，所以直线GH 与MN 异面.故选C.【点睛】本题主要考查异面直线的定义，属于基础题.16．D【分析】根据直线与平面平行的定义来进行判断.【详解】对于选项A ，l 与平面α内的一条直线不相交，则直线l ⊂α、l 与α相交以及//l α都有可能，A 选项不正确；对于B 选项，l 与α内的两条直线不相交，则直线l ⊂α、l 与α相交以及//l α都有可能，B 选项不正确；对于C 选项，若l 与α内的无数条平行直线平行时，则l ⊂α或//l α，C 选项不正确；对于D 选项，//l α，根据直线与平面平行的定义，可知直线l 与平面α内的任意一条直线都不相交，D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查线面平行条件的判断，考查线面平行的定义，考查逻辑推理能力，属于中等题.17．B【分析】利用长方体模型举反例判断命题①④，分情况证明命题②，利用反证法证明命题③正确.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，取平面ABCD 为平面α，直线1AA 为直线l ，则直线l 与平面α相交，满足条件，对于命题①，因为直线AB ⊂平面ABCD ，直线AB 与直线1AA 相交，所以命题①错误，对于命题④，因为直线BC ⊂平面ABCD ，直线BC 与直线1AA 不相交，所以命题④错误，对于命题②，若直线l 与平面α垂直，则任取直线c α⊂，都有l c ⊥，即平面α内存在与直线l 垂直的直线；若直线l 与平面α不垂直，如图，l N α⋂=，在直线l 上任取异于点N 的点E ，过点E 作EH ⊥平面α，垂足为H ，连接HN ，在平面α过点H 作直线d NH ⊥，因为EH ⊥平面α，d α⊂，所以EH d ⊥，又d NH ⊥，EH NH H = ，,EH NH ⊂平面ENH ，所以d ⊥平面ENH ，直线l ⊂平面ENH ，所以直线d l ⊥，故平面α内存在与直线l 垂直的直线；命题②正确，对于命题③，如图l M α⋂=，假设平面α内存在直线b 与直线l 平行；因为l α⊄，b α⊂，//l b ，所以//l α，与l M α⋂=矛盾，所以平面α内不存在直线与直线l 平行；命题③正确，故选：B.18．充要【分析】根据线面平行的定义，即可得出充分条件.当l α∥时，假设直线l 与平面α有公共点，根据推论2以及线面平行的性质定理得出矛盾，即可说明假设错误，得出必要条件.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，根据线面平行的定义，有l α∥；若l α∥：假设直线l 与平面α有公共点.如图，设A 为公共点，则∈A l ，A α∈.显然1l α∃⊂，使得1A l ∈，所以1l l A = .根据推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.可得，β∃，使得l β∈，1l β∈.所以1l αβ⋂=.因为l α∥，根据线面平行的性质定理可得，1//l l ，这与1l l A = 相矛盾，所以假设不成立，所以直线l 与平面α没有公共点.综上所述，“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故答案为：充要.19．B【分析】根据空间直线、平面间的位置关系特别是面面平行的判定定理判断．【详解】一个平面内三条直线都平行于另一平面，当这三条直线平行时，那么这两个平面不一定平行，A 错；如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，这两个平面无公共点，由面面平行的定义知这两个平面平行，B 正确；平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，C 错；如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，D 错．故选：B ．20．D【分析】根据面面关系结合图形来分析判断.【详解】如图1，若α β，则平面α上任一点到平面β距离相等，故平面α上一定存在三个不共线点到平面β距离相等；如图2，若α与β相交，则平面α上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面β距离相等；故平面α与平面β的位置关系是相交或平行.故选：D.21．证明见解析【分析】利用反证法，首先假设平面α与平面β平行，结合已知条件及线面垂直的性质可得PA ∥PB ，即可得矛盾结论，结论得证.【详解】假设平面α与平面β平行．因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥平面β，又PB ⊥平面β，由线面垂直的性质定理，可得：PA ∥PB ，与PA ∩PB ＝P 矛盾，所以平面β必与平面α相交．22．答案见解析【分析】要找出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，只需找到两个平面的公共点O 、1C ；要找出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，只需找到两个平面的公共点O 、E .【详解】如图，∵AC BD O = ，∴O ∈平面11ACC A ，O ∈平面1BC D ．又1C ∈平面11ACC A ，1C ∈平面1BC D ．∴平面 11ACC A 平面11BC D OC =．同理平面1ACD ⋂平面1BDC OE =．23．见解析【分析】过点E 作EN CD ⊥于点N ，连接NB 并延长，交EF 的延长线于点M ，连接AM ，则直线AM 为所求．证明时可证明点A ，M 同时在平面AEF 和平面ABCD 上即可．【详解】如图，过点E 作EN CD ⊥于点N ，连接NB 并延长，交EF 的延长线于点M ，连接AM ．则直线AM 即为图中阴影部分的平面与平面ABCD 的交线．证明如下：因为直线EN //BF ，所以B ，N ，E ，F 四点共面，因此EF 与BN 相交，交点为M ，因为M EF ∈，且M NB ∈，因为EF ⊂平面AEF ,NB ⊂平面ABCD ，所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点，又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点，所以AM 为这两平面的交线．24．BCD【分析】根据正方体六个面即三对互相平行的平面的性质，结合空间直观想象作出截面图形即可.【详解】对选项A ，假设过点P ，Q 的平面α截正方体所得截面的形状为三角形，则PQ 必为三角形的一条边，但线段PQ 不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边.故A 项错误；对选项B ，如图，取AB 的中点为M ，连接PM ，过点P ，Q ，M 的平面作截面α，则平面11B A AB PM α= ，设平面11C CDD l α= ，且点Q l ∈，由平面11B A AB //平面11C CDD ，则PM l //，又1Q D D ∈，且1PM BB //，又11BB DD //，则1PM DD //，故1DD 所在直线与l 重合，又11PM BB DD ==，连接MD ，1PD ，则四边形1PMDD 为平行四边形，且1MD PD //，故此时过点P ，Q ，M 的平面α截正方体所得的截面为四边形1PMDD ，故选项B 正确；对选项C ，如图，连接PB ，过点,,P B Q 的平面作截面α，则平面11B A AB PB α= ，设平面11C CDD l α= ，且点Q l ∈，由平面11B A AB //平面11C CDD ，则PB l //，取DC 上靠近D 的四等分点为N ，连接QN ，再分别取11,DC D C 的中点,R T ，连接1,,,D R CT TP BR ，由11PT B C BC ////，11PT B C BC ==，可得四边形PBCT 为平行四边形，则PB CT //，同理可证1CT D R //，又由,Q N 分别为1,D D DR 的中点，则1D R QN //，则由平行的传递性可得，PB QN //，即QN 所在直线与l 重合，即平面11C CDD QN α= ；同理，取11A D 上靠近1D 的三等分点为M ，连接,PM BN ，由平面ABCD //平面1111D C B A ，可得PM BN //，平面1111A B C D PM α= ；连接MQ ，此时过点,,P B Q 的平面α截正方体所得的截面为五边形PBNQM ，故C 项正确；对选项D ，如图，取M ，N ，E ，F 分别为对应棱的中点，连接PF ，FQ ，QE ，EN ，MN ，PM ，与BC 项同理可由平面11B A AB //平面11C CDD ，平面ABCD //平面1111D C B A ，平面11B BCC //平面11A ADD ，得PM QE //，MN FQ //，PF NE //，即此时过点,,P M Q 的平面α截正方体所得的截面为六边形PMNEQF ，故D 项正确.故选：BCD ．25．见解析【解析】过点P 点在侧面作两条相交直线与底面平行，作出这两条直线确定的平面与侧面的交线，即可求解.【点睛】本题考查平行截面的作法以及面面平行的判定，属于基础题26．(1)作图见解析(2)证明见解析；AG为面1D AE与面（2）A ∈ 平面1D AE ，A ∈平面ABCD ，∴平面1D AE 平面ABCD ≠∅，即平面1D AE 与平面ABCD 相交．延长1,DC D E ，设它们交于点G ，G ∈ 直线1D E ，直线1D E ⊂平面1D AE ，G ∴∈平面1D AE ．G ∈ 直线DC ，直线DC ⊂平面ABCD ，G ∴∈平面ABCD ．AG ∴为面1D AE 与面ABCD 的交线．27．B【分析】平面是向四周无限延展的. 可分两步进行空间直观想象，先由三个侧面分空间，再由棱柱的两平行底面分空间，即可解决问题.【详解】三棱柱的三个侧面将空间分成7部分，三棱柱的两个底面将空间分成3部分．故三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为3721⨯=．故选：B ．28．D【分析】根据异面直线的定义即可求解.【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC 与直线AD 、直线BD 是异面直线.故选：D.29．B【分析】根据空间几何体异面直线的位置要求,可判断出一条棱的异面直线数量.求得所有棱的异面直线数量,除掉重复的即为所有异面直线的对数.【详解】画出正方体,如下图所示:如图所示,与AB异面的直线有因为各棱具有相同的位置且正方体共有则共有异面直线124 2⨯=故选:B（2）证明：易知13HG AC=，又EF=结合（1）的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH，FG不平行．设它们交点为P，P∈平面ABD，同理P又平面ABD⋂平面BCD BD=，。

高中数学总复习：空间向量与线、面位置关系

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高中总复习·数学（提升版）
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1
O 为空间中任意一点， A ， B ， C 三点不共线，且＝＋
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＋ t ，若 P ， A ， B ， C 四点共面，则实数 t ＝ 8 .
⁠
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解析：由结论可知＋＋ t ＝1，所以 t ＝ .
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课堂演练
考点分类突破
精选考点典例研析技法重悟通
＝ b ，＝ c ，试采用向量法解决下列问题：
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高中总复习·数学（提升版）
（1）求的模长；
解：因为正四面体 ABCD 的棱长为1， E ， F ， G ， H 分别
是正四面体 ABCD 中各棱的中点，＝ a ，＝ b ，＝ c ，
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所以＝＝（
−2 = ，
= 4.
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高中总复习·数学（提升版）
2. 已知 A ， B ， C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外任意一点，若点 M
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满足＝＋＋，则点 M
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∈ （填“∈”或
“∉”）平面 ABC .
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解析：＝＋＋＝＋＋（
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b －2 a ·c ＋2 a ·b －2 b ·c ）＝（1＋1＋1－2×1×1×
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2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos
cos 60°＋
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60°）＝，故｜｜＝ .
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高考数学复习考点知识与题型专题讲解48---空间点、直线、平面之间的位置关系

高考数学复习考点知识与题型专题讲解空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面答案D解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ， ∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．证明(1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD .∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．教师备选如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明(1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B . 又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ，即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是()答案D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.题型二空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．教师备选1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案D2．如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．图1图2题型三空间几何体的切割(截面)问题例3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______．答案π2解析以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以C1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC1B1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2.延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案9 2解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为h ＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92.思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()答案A解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图．则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3 2解析在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 2.课时精练1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 两两相交不一定成立；而若a ，b ，l 两两相交，则a ，b ，l 在同一平面成立．故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件．4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M ，N ，F 分别是B 1C 1，CC 1，AB 的中点，则下列说法正确的是()A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行 B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行 C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面 D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案D解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋(2a )2 ＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心，所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ，且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6．(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC 与BD 确定一个平面α，则AC ⊂α，BD ⊂α，所以A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，所以AB ⊂α，CD ⊂α，这与假设矛盾，故C 正确；如图1，AB ∥CD ，而直线AA 1与AB 相交，但与直线CD 不相交，故D 错误．图1图27．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⎭⎬⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β；②⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；③ ⎭⎬⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b ；④⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 中，正确的命题是________(只填序号)．答案②④解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a ⊥α，a ⊥β可得出α∥β，所以②是真命题； ③根据直线与平面的位置关系，可得a 与b 可以是平行或相交或异面，所以③是假命题； ④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题．8．(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明∵G，H分别是F A，FD的中点，∴GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解∵BE綉12AF，G是F A的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点．(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1＝4，∴CF＝2，∴BF＝DF＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3， ∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×(22)2－1＝7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ，则d ＝2sin π3＝3，又∵11D FBD B DD F V V --=，∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3，解得h ＝4217.即点D 1到平面FBD 的距离为4217.11.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．12．(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MC∥平面BB1D1D答案B解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确；令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 不正确．13．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有a m 3水，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面高为h m(如图1)；当转动容器至截面A 1BC 水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A －A 1BC (如图2)，则a ＝________，h ＝________.图1图2答案31232－22解析由题意得S △ABC ＝12×1×1×sin60° ＝12×1×1×32＝34， AA 1＝1.∴1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×1＝312＝a . 由1111ABED A B E D V -＝1A A BC V -得S 四边形ABED ·AA 1 ＝13S △ABC ·AA 1， ∴S 四边形ABED ＝13S △ABC ， ∴S △CDE ＝23S △ABC ，∴34DE2＝23×34AB2，∴DEAB＝23＝63.∵DCAC＝DEAB＝63，∴DC＝63，∴AD＝1－63，在等边△ABC中，AB边上的高为32.∵h32＝ADAC＝1－631，∴h＝32－22.14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案25＋95＋2133解析如图所示，过Q作QM∥AP交BC于M，由A 1P ＝CQ ＝2，tan ∠AP A 1＝2，则tan ∠CMQ ＝2，CM ＝CQ tan ∠CMQ＝1，延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1，C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12，则C 1N ＝43，D 1N ＝83，因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103，又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5， MQ ＝12＋22＝5，所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋P A ＝5＋5＋2133＋103＋2 5＝25＋95＋2133.15.(2022·山西康杰中学模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中错误的是()A．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2B．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为73 2C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形答案D解析对于A，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍．故选项A正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N .连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝ 2.连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN .等腰梯形MEFN 的高h ＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62，则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332.又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ M PAE N CFQ V V V ----- ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256，所以V 1＝1111ABCD A B C D V -－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．(2)解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AE＝DE＝1，CD＝23，EF＝3，BD＝2，所以V＝V A－CDEF＋V A－BCD＝13S梯形CDEF ·AE＋13S△BCD·DE＝736.。

线面、面面位置关系的基本知识点(经典)

a b c

a
b
a
b

三、两个平面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行→面面平行）推论：垂直于同一条直线的两个平面平行.（线面垂直→ 面面平行）

a O b
l
四、两个平面平行的性质定理1：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那 a 么它们的交线平行。 b （面面平行→线线平行）性质2：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。（面面平行→线面平行）

a⊥ b (2)若 aα ， bα ，则 _____.
⊥ (3)若 a//b, a α , 则 b___α .
(4)命题1：空间中过一点有且只有一条直线和已知平面垂直. 命题2：空间中过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.
五、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
a
性质3：经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。性质4:平行于同一个平面的两个平面平行(面面平行→面面平行)
P

直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么就称这条直线和这个平面垂直. 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线 a 的垂面,交点叫做垂足.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。结论：经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。
一、直线和平面平行的判定定理：
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（即线线平行，则线面平行）

高中数学：空间点、直线、平面之间的位置关系 (17)

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③a.若直线 a⊂平面 α，a，b 异面，则 b 与 α 的关系为________． b．若直线 a⊂平面 α，a，b 相交，则 b 与 α 的关系为________．【答案】 a．平行或相交 b．相交或 b⊂α
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题型二平面与平面之间的位置关系例 2 (1)已知平面 α，β ，且 α∥β ，直线 a⊂α，直线 b ⊂β，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？画出图形． (2)已知平面 α，β，直线 a，b，且 a⊂α，b⊂β，α∩β＝ l，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？画出图形．
B．m∥α D．m 在平面 α 外
【答案】 A
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②若直线 l∩平面 α＝A，直线 b⊂α，则 l 与 b 的位置关系为________．
【答案】相交或异面
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③若直线 l∩平面 α＝A，l 与直线 b 相交或异面，则 b 与 α 的位置关系为________．
【答案】相交、平行或 b⊂α
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(3)若三个平面两两相交，则它们将空间分六、七或八个部分，如图③，④，⑤.
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探究 3 本题考查了空间想象能力，分类讨论思想，相交平面的画法．
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解立体几何题时，比如直线与几个平面之间的位置关系，你可以把手中的笔当成直线，把课桌或者课本当作平面，把教室当作长方体，这样就将抽象的东西变得具体了．平时，动手做一些立体模型，如长方体、立方体、圆柱、圆锥、正四面体等几何体模型，这些都是建立空间想象力的途径．
例 1 下列说法：
①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；