空间位置关系
空间中的位置关系
空间中的位置关系空间中的位置关系是指事物在三维空间中的相对位置和相互关系。
在我们日常生活中，我们经常需要描述和了解物体或者人在空间中的位置关系，比如左右、前后、上下等等。
本文将从不同角度探讨空间中的位置关系。
一、方位和方向方位是指一个点所处的位置相对于参照物的位置关系，主要有东、西、南、北四个基本方位。
而方向则是指物体或者人的移动的指向，包括前进、后退、向左、向右等等。
方位和方向是空间中的重要位置关系，可以通过地图、指南针等工具进行标示和表示。
举个例子，想象一下你在一个完全陌生的城市里，你可能会问路人某地如何走，他们往往会告诉你“往东走三个街区然后向北转”，这就是通过方位和方向来描述空间中的位置关系。
二、上下左右上下左右是我们最常见的位置描述词语，用于描述物体或者人在空间中的位置关系。
上下是垂直方向的位置关系，而左右是水平方向的位置关系。
比如，我们说树在房子的左边，鸟儿在树上，这就是通过上下左右来描述它们在空间中的位置关系。
三、前后前后是物体或者人在运动中的相对位置关系。
当我们说有人在我前面排队，或者汽车在我后面行驶时，这就是在通过前后来描述它们在空间中的位置关系。
四、内外内外是指物体或者人相对于一个空间的内部或外部的位置关系。
比如，我们说书在书包里，人在房间内，就是通过内外来描述它们在空间中的位置关系。
五、距离距离是指两个点或者物体之间的空间距离，可以通过长度、时间等单位来表示。
距离也是空间中的一种位置关系，比如我们说两个城市之间的距离是200公里，或者书架离床的距离很近等等。
六、空间关系的应用空间的位置关系在我们的日常生活和实际应用中有着重要的作用。
比如，在建筑设计中，需要考虑各个房间或者设施的位置关系，以便提供合理的使用体验；在交通规划中，需要合理安排道路和交通设施的位置关系，以便提高交通效率；在地图制作中，需要准确标示地理位置关系，以便人们能够快速准确地找到目的地。
七、总结空间中的位置关系是我们在日常生活中经常接触到的内容，通过方位和方向、上下左右、前后、内外以及距离等方式来描述物体或者人在空间中的位置关系。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个 平面内(2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点一平面的基本性质及应用B1C1D1中，E，F分[典例]如图所示，在正方体ABCD-A别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[变透练清]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．2.(变结论)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．证明：连接BD1(图略)，因为BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．考点二空间两直线的位置关系[典例](1)(优质试题·郑州模拟)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a ⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)[解析](1)如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c 相交，排除C.综上所述选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案](1)D(2)②④[题组训练]1．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[课时跟踪检测]1．(优质试题·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交解析：选A当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，故A1B与EF相交．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外解析：选A如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH 相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P 必在直线AC上．6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：57．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面P AD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD 的交线是________．解析：由题易知EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，故EF ∥平面P AD ，因为EF ∥AD ，所以E ，F ，A ，D 四点共面，所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线． 答案：平行 AD8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．解析：如图所示．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上， 故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④9.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；。
空间几何体的位置关系
空间几何体的位置关系在三维空间中，几何体的位置关系是几何学研究的重要内容之一。
了解和掌握几何体的位置关系，对于解决实际问题以及进行几何证明都有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的空间几何体的位置关系。
一、点和直线的位置关系1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们称该点在线上。
2. 点在线上方或线下方：当一条直线将空间分成上下两部分时，点在直线上方或线下方。
3. 点在线上的延长线上：当一条直线延长后，点位于该直线的延长线上。
二、点和平面的位置关系1. 点在平面上：当一个点与一个平面重合时，我们称该点在平面上。
2. 点在平面之上或之下：当一个平面将空间分成上下两部分时，点在平面之上或之下。
3. 点在平面上的延长线上：当一个点的延长线与平面相交时，我们称该点在平面上的延长线上。
三、直线和直线的位置关系1. 平行线：若两条直线在同一平面上且不相交，则这两条直线称为平行线。
2. 相交线：若两条直线在同一平面上相交，则这两条直线称为相交线。
3. 垂直线：若两条直线在同一平面上相交，且交角为直角，则这两条直线称为垂直线。
四、直线和平面的位置关系1. 平行关系：若一条直线与一个平面平行，则它位于该平面之上、之下或在该平面的内部。
2. 相交关系：若一条直线与一个平面相交，则它有且只有一个交点。
3. 垂直关系：若一条直线与一个平面相交，且交角为直角，则它垂直于该平面。
五、平面和平面的位置关系1. 平行关系：若两个平面无公共交线，并且相互平行，则这两个平面平行。
2. 相交关系：若两个平面有且只有一条公共交线，则这两个平面相交。
3. 垂直关系：若两个平面相交，并且交线与其中一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。
综上所述，空间几何体的位置关系包括点和直线的位置关系、点和平面的位置关系、直线和直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系。
了解和掌握这些位置关系对于学习和应用空间几何学具有重要的意义。
在实际应用中，我们可以根据这些位置关系来解决不同的几何问题，并进行相关的几何证明。
空间平面的位置关系
空间平面的位置关系空间平面的位置关系是指在三维空间中，不同平面之间的相对位置和相互关系。
了解和理解空间平面的位置关系对于几何学和工程等领域的研究具有重要意义。
本文将从水平位置关系、垂直位置关系和倾斜位置关系三个方面探讨空间平面的位置关系。
一、水平位置关系所谓水平位置关系，是指在水平方向上不同平面之间的相对位置。
在三维空间中，我们可以将水平视为地平面方向。
在这种情况下，如果两个平面的法线向量的水平分量相等（即两个平面的倾斜角度相等），则可以说它们在水平位置上是平行的。
相反，如果两个平面的法线向量的水平分量不等，则可以说它们在水平位置上是交叉的。
二、垂直位置关系垂直位置关系是指不同平面之间的垂直关系。
在三维空间中，我们可以将垂直视为垂直于地平面的方向。
如果两个平面的法线向量互相垂直，则可以说它们在垂直位置上是正交的。
正交的平面之间的夹角为90度。
相反，如果两个平面的法线向量不垂直，则可以说它们在垂直位置上是斜交的。
斜交的平面之间的夹角不为90度。
三、倾斜位置关系倾斜位置关系是指在水平和垂直方向上不同平面之间的相对位置。
在三维空间中，我们可以将倾斜视为不平行也不垂直的方向。
如果两个平面既不平行也不垂直，则可以说它们在倾斜位置上是倾斜的。
倾斜的平面之间的夹角可以是任意角度。
在实际应用中，空间平面的位置关系常常与几何图形的相交关系和相切关系有着密切联系。
例如，在建筑设计中，如果两个平面相交，则会产生交线，可以用于确定建筑构件的位置和尺寸。
而如果两个平面相切，则可以用于确定曲面的接触点和接触角度。
在计算机图形学和三维建模等领域，对于空间平面的位置关系的准确描述和计算也是非常重要的。
通过合理的算法和数学模型，可以准确地判断平面之间的位置关系，从而实现各种复杂的图形操作和几何计算。
总结起来，空间平面的位置关系涉及到水平位置关系、垂直位置关系和倾斜位置关系。
这些关系在几何学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
空间关系知识点总结
空间关系知识点总结一、空间概念空间是指周围的环境由物质实体所构成的三维空间。
在这个空间中，物体可以相对移动，相对位置也会发生变化。
在空间中，我们可以观察到物体的位置、形状和大小等属性。
空间关系是指事物在空间中的相对位置关系。
空间关系有三种形式，即相对位置、方位和距离。
1.相对位置：相对位置是指两个物体在空间中的相对位置关系。
当我们描述一个事物所处的位置时，一定要以另一事物为基准来描述，这就是相对位置。
例如，A在B的左边，B在A的右边，这是相对位置的描述。
2.方位：方位是指事物在空间中的朝向关系。
方位由四个基本方向组成，即东、西、南、北。
在地理空间中还有东北、东南、西北、西南等方位。
方位是空间中非常重要的关系，能够帮助我们更准确地描述事物在空间中的位置。
3.距离：距离是指两个事物在空间中的间隔距离。
在空间中，物体可以通过距离来描述物体的相对远近。
距离是空间关系中很重要的一个方面，它可以通过度量直线距离、曲线距离来描述物体之间的相对远近。
二、空间语言描述空间关系可以通过语言来进行描述。
语言描述可以帮助我们更加准确地了解物体在空间中的位置、方位以及距离。
在语言描述中，要注意以下几点：1.使用准确的定位词语：在描述空间关系时，要使用准确的定位词语，如“上、下、左、右、前、后”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的位置。
2.使用准确的方向词语：在描述方位时，要使用准确的方向词语，如“东、西、南、北”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的朝向关系。
3.使用准确的距离词语：在描述距离时，要使用准确的距离词语，如“远、近、远离、靠近”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的相对远近关系。
三、空间关系的认知发展儿童对空间关系的认知发展是一个渐进的过程。
在儿童的认知过程中，从最初的“具体视觉参照”到“图形概念”再到“抽象概念”，儿童对空间关系的认知逐渐升级。
1.具体视觉参照：儿童最开始的认知是基于具体的物体进行的。
高一年级数学知识重点：空间两直线的位置关系
2019年高一年级数学学问重点：空间两直线的位置关系学习是一个边学新学问边巩固的过程，对学学问肯定要多加安排，这样才能进步。
因此，为大家整理了2019年高一年级数学学问重点，供大家参考。
空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面重视复习和总结：1、刚好做好复习. 听完课的当天，必需做好当天的复习。
复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是实行回忆式的复习：先把书、笔记合起来，回忆上课时老师讲的内容，分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)，尽量想得完整些。
然后打开笔记与书本，比照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就能使当天上课内容巩固下来，同时也检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
2、做好单元复习。
学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法同刚好复习一样，实行回忆式复习，而后与书、笔记相比照，使其内容完善，而后应做好单元小节。
3、做好单元小结。
单元小结内容应包括以下部分：(1)本单元(章)的学问网络;(2)本章的基本思想与方法(应以典型例题形式将其表达出来);(3)自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其缘由及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
做适量的有不少同学把提高数学成果的希望寄予在大量做题上，这是不妥当的。
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。
空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断
空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断空间位置关系是描述不同物体或事物在空间中相对位置的概念。
学习空间位置关系的表达和判断对于我们理解和应用空间概念具有重要的意义。
本文将介绍空间位置关系的基本概念及其表达方式，并探讨如何准确地判断空间位置关系。
一、空间位置关系的基本概念在学习空间位置关系之前，我们需要了解一些基本概念。
首先是“方向”，指的是物体朝向的某个确定的位置，常用的方向词有上、下、左、右、前、后等。
其次是“位置”，是指物体在空间中相对于其他物体或参考点的位置。
再次是“距离”，表示两个物体之间的间隔或接近程度。
二、空间位置关系的表达方式1. 方位词法：方位词法是一种常用的表达空间位置关系的方式。
通过使用方位词，我们可以清晰地描述物体在空间中的位置。
例如，“在左边”、“在右上方”、“在正中间”等。
2. 坐标法：坐标法是一种数学上常用的表达空间位置关系的方式。
通过设定一个固定的坐标系，我们可以用坐标来表示每个物体在该坐标系中的位置。
例如，在二维平面坐标系中，可以用(x, y)来表示一个物体的位置。
3. 图形法：图形法是一种直观的表达空间位置关系的方式。
通过绘制图形或示意图，我们可以更清楚地展示物体在空间中的相对位置。
例如，利用平面地图或建筑图纸等来描述物体的位置关系。
三、准确判断空间位置关系的方法1. 视觉判断法：视觉判断是一种通过观察物体位置和方向来判断空间位置关系的方法。
我们可以通过眼睛观察物体的位置、方向、距离等特征，来判断物体之间的相对位置关系。
2. 使用工具辅助判断法：有时候，我们可以借助一些工具来辅助判断空间位置关系，例如使用直尺、量角器等。
这些工具可以帮助我们更准确地测量和判断物体的空间位置关系。
3. 利用数学计算法：当遇到一些复杂的空间位置关系问题时，我们可以利用数学方法或计算机模拟来进行计算和判断。
通过建立几何模型或编写程序，我们能够准确地判断物体的位置关系。
四、应用案例1. 导航系统：现代导航系统利用卫星定位技术和地图信息，可以帮助我们准确地确定自己的位置和目的地的位置，实现导航功能。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
课堂互动讲练
【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
空间中的位置关系
空间中的位置关系空间中的位置关系是指物体、事物在三维空间中的相对位置和排列方式。
它涉及到方向、位置和相对距离等概念，是我们理解和描述物体之间相互关系的基础。
在日常生活中，我们常常需要使用位置关系来描述和理解周围环境。
下面将介绍空间中的位置关系的几个常见概念。
一、平行关系平行关系是指两个或多个线、面或物体在空间中保持着相同的方向，永远不会相交或相交于无穷远处。
平行关系可以在二维平面或三维空间中存在。
在几何学中，平行关系是一个基本概念，可以应用于多个领域。
例如，在平面几何中，两条直线如果在平面上不相交，且永远保持着同一方向，则它们是平行线。
在建筑学中，我们常常使用平行线的概念来设计和建造平行的墙壁、道路等。
二、垂直关系垂直关系是指两个或多个线、面或物体在空间中相互交叉或相交于90度的角。
垂直关系也可以存在于二维平面或三维空间中。
垂直关系在几何学、物理学和工程学等领域中都有重要应用。
举个例子，我们在日常生活中常常使用直角器来确认两个线段是否垂直。
在建筑学中，墙壁和地板、墙壁和屋顶之间的垂直关系对于确保建筑结构的稳定性和安全性至关重要。
三、重叠和包含关系重叠和包含关系是指两个或多个物体在空间中相互重叠或一个物体完全包含另一个物体的情况。
重叠和包含关系在日常生活和数学中都有广泛应用。
例如，当我们把一张纸叠在另一张纸上时，它们就呈现出重叠的关系。
在几何学中，我们可以通过对多边形的运算来确定它们之间的重叠或包含关系。
这些概念在计算机图形学和地理信息系统中也有重要的应用。
四、相对距离和方位关系相对距离和方位关系是指物体在空间中的相对位置和方位。
我们通常使用左右、前后、上下等词汇来描述物体之间的相对位置和方位关系。
例如，在我们的身边，家具的摆放位置通常与墙壁的关系有关。
我们会将沙发放在电视的前面，餐桌放在厨房的旁边等。
这些方位关系指导着我们的生活和日常活动。
总结：空间中的位置关系是我们理解和描述物体之间关系的重要工具。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、选择题:1.以下四个命题中,正确命题的个数是( )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A 、B 、C 、D 共面,点A 、B 、C 、E 共面,则A 、B 、C 、D 、E 共面;③若直线a 、b 共面,直线a 、c 共面,则直线b 、c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.32.已知a,b 是异面直线,直线c∥直线a,则c 与b( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线3.如图,α∩β=l,A 、B∈α,C∈β,且C ∉l,直线AB∩l=M,过A 、B 、C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C 但不过点MD.点C 和点M4.已知直线l,若直线m 同时满足以下三个条件:m 与l 是异面直线;m 与l 的夹角为3(定值);m 与l 的距离为π.那么,这样的直线m 的条数为( )A.0B.2C.4D.无穷5.如图,E 、F 是AD 上互异的两点,G 、H 是BC 上互异的两点,由图可知,①AB 与CD 互为异面直线;②FH 分别与DC 、DB 互为异面直线;③EG 与FH 互为异面直线;④EG 与AB 互为异面直线.其中叙述正确的是( )A.①③B.②④C.①④D.①②6.以下命题中：①点A ，B ，C ∈直线a ，A ，B ∈平面α，则C ∈α；②点A ∈直线a ，a ⊄平面α，则A ∈α；③α，β是不同的平面，a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是A 1B 1、CC 1的中点,则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( ) 1342 (5555)A B C D 8.正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，则A 1B 与D 1E 所成角的余弦值为( ) A.510 B.1010 C.55 D.10510．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23二、填空题:1.在空间四边形ABCD 中,各边边长均为1,若BD=1,则AC 的取值范围是________.2.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DD 1的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成角的大小等于________.3.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,给出下列五个命题:①直线AC 1在平面CC 1B 1B 内;②设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1,则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1;③由点A 、O 、C 可以确定一个平面;④由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1;⑤若直线l 是平面AC 内的直线,直线m 是平面D 1C 内的直线;若l 与m 相交,则交点一定在直线CD 上.其中真命题的序号是________.4.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点,有以下四个结论:①直线AM 与CC 1是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线;③直线BN 与MB 1是异面直线;④直线AM 与DD 1是异面直线.其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．三、解答题:1、如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥ 12AD,BE ∥ 12FA,G 、H 分别为FA 、FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形.(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面?为什么?2. 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．3.如图所示,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M、N 分别是AB 和SC 的中点,求异面直线SM 和BN 所成角的余弦值.4、空间四边形ABCD 中,AB=CD 且AB 与CD 所成的角为30°,E、F 分别是BC 、AD 的中点,求EF 与AB 所成角的大小.。
空间位置关系的理解与运用
空间位置关系的理解与运用空间位置关系是指事物之间在空间中的相互位置关系。
在日常生活中，我们经常需要通过空间位置关系进行判断和描述。
比如，当我们给别人路程时，会使用诸如“往东走500米，然后向南转弯”之类的指示。
在艺术和设计中，空间位置关系也是构图和布局的重要因素。
在科学研究中，空间位置关系的理解和运用为我们探索宇宙奥秘提供了重要的工具。
一、空间位置关系的基本概念空间位置关系主要包括方位、相对位置和绝对位置。
方位是指事物所处的方向，常用的方位词有东、南、西、北等。
相对位置是指事物之间的相对距离和方向关系。
绝对位置是指事物所处的具体地点，通常使用坐标系统进行表示。
二、方位的理解与运用方位是我们在日常交流中经常用到的概念。
它对于描述和指示位置非常重要。
比如，当我们在城市中找路时，常会问别人“这里的东西南北是什么方向”，以便能够找到正确的方向前行。
在户外活动中，方位的掌握也是必不可少的。
比如，野外探险者需要使用指南针确定自己的方向，以便找到正确的路线。
方位还在艺术、设计和建筑等领域中起到重要作用。
在绘画、摄影和影视制作中，方位的选择和运用直接影响作品的效果和观感。
艺术家和设计师常常通过利用不同的方位关系来创造出丰富多样的空间效果。
在建筑设计中，方位的选择和运用也对建筑物的光照、通风和景观等产生重要影响。
三、相对位置的理解与运用相对位置是指事物之间的距离和方向关系。
在空间布局和构图中，相对位置的运用能够产生不同的视觉效果。
比如，当我们在拍摄照片时，利用不同的相对位置可以营造出有层次感和动态感的作品。
在地理学中，相对位置也是重要的概念。
通过相对位置的比较，我们可以了解不同地区的地理特点和区位优势。
相对位置还在国际关系中起到了重要作用。
国家之间的相对位置会影响到它们之间的政治、经济和战略关系。
比如，两个国家如果地理上相邻，就更容易进行贸易和合作。
四、绝对位置的理解与运用绝对位置是指事物所处的具体地点。
在地理学中，绝对位置通常使用经纬度坐标来进行表示。
空间几何中的位置关系
空间几何中的位置关系空间几何是研究物体在三维空间中的形状、大小和位置的数学分支。
在空间几何中，位置关系是研究不同物体之间的相对位置和排列方式的重要内容。
本文将详细介绍一些常见的位置关系，包括相交、包含、相离和共面等。
一、相交关系相交是指两个或多个物体在空间中有共同部分的关系。
在空间几何中，我们经常需要判断两个物体是否相交，这对于设计、工程和计算机图形学等领域都具有重要意义。
1. 点和线的相交在空间几何中，一条线可以与一个点相交，也可以与另一条线相交。
当一条线与一个点相交时，它们在该点处重合；当两条线相交时，它们共享一个公共点。
2. 线和面的相交一条线可以和一个平面相交，也可以和一个曲面相交。
当一条线与一个平面相交时，它们在交点处共享一个公共点；当一条线和一个曲面相交时，它们在交点处重合。
3. 面和面的相交两个面可以相交，也可以平行或重合。
当两个面相交时，它们在一条或多条线上有公共点；当两个面平行时，它们没有交点；当两个面重合时，它们完全相同。
二、包含关系包含是指一个物体完全包含另一个物体的关系。
在空间几何中，包含关系常用于描述物体的形状和大小。
下面介绍一些常见的包含关系。
1. 点在线上当一个点位于一条线上时，我们可以说这个点被线所包含。
这表示点在线的一侧，并且在线上没有其他点。
2. 点在面内当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点被平面所包含。
这表示点在平面内，并且在平面内没有其他点。
3. 线在面内当一条线位于一个平面内部时，我们可以说这条线被平面所包含。
这表示线在平面内，并且在平面内没有其他点或线。
4. 面包含面一个面可以完全包含另一个面，这意味着内部的面在外部的面内，并且没有交点。
三、相离关系相离是指两个物体之间没有任何交点或重合部分的关系。
在空间几何中，相离关系常用于判断物体之间是否有交集。
1. 点与线的相离如果一条线上没有任何点与给定点重合，我们就可以说这个点与该线相离。
2. 线与面的相离如果一个平面上没有任何点或线与给定线重合，我们就可以说这个线与该平面相离。
空间平面的位置关系
空间平面的位置关系在三维空间中，存在着各种各样的几何图形，它们之间的位置关系也是十分复杂的。
为了描述几何图形之间的相对位置，我们需要利用空间平面的位置关系。
本文将介绍一些常见的空间平面的位置关系，包括平行、垂直、相交和重合。
一、平行关系平行是指两个平面在空间中永远不会相交。
如果两个平面的法向量平行且不重合，那么它们是平行的。
换句话说，如果两个平面的法向量的夹角为零或者180度，则这两个平面是平行的。
平行的例子包括地面和桌面、两块墙面等。
二、垂直关系垂直是指两个平面之间的交角为90度。
如果两个平面的法向量垂直，则它们是垂直的。
换句话说，如果两个平面的法向量的点积为零，则这两个平面是垂直的。
垂直的例子包括地面和墙面、桌面和屋顶等。
三、相交关系相交是指两个平面在空间中有公共的交线。
如果两个平面既不平行也不垂直，则它们是相交的。
相交的例子包括两片交叉的纸张、两片交叉的墙面等。
四、重合关系重合是指两个平面完全相同，它们的所有点都是重合的。
换句话说，如果两个平面的方程式完全相同，则它们是重合的。
重合的例子包括完全一样的两块墙面、两张完全一样的纸张等。
实际应用中，空间平面的位置关系是广泛运用在建筑、几何学、计算机图形学等领域。
例如，在建筑设计中，将地面和墙面视为两个平面，我们需要考虑它们的垂直关系，以确保结构的稳定性。
而在计算机图形学中，我们需要利用空间平面的位置关系来进行三维模型的渲染和显示。
总结起来，空间平面的位置关系包括平行、垂直、相交和重合。
通过深入研究和应用这些位置关系的特性，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形之间的相互关系。
空间位置关系的认知与应用
空间位置关系的认知与应用一、介绍空间位置关系是人们认知世界的重要方式之一。
准确理解和应用空间位置关系不仅能够提高我们的生活效率，还能够帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将探讨空间位置关系的认知与应用，旨在帮助读者更好地掌握和运用这一认知方式。
二、基本概念1. 方向：方向指物体或地点相对于参考点的相对位置。
包括前后、左右、上下等方向关系。
人们通常会以自身为参考点来认知和描述方向。
2. 相对位置：相对位置是指物体或地点之间的相对关系。
常见的相对位置关系包括靠近、远离、外部、内部等。
相对位置的认知有助于我们理解事物之间的关联性。
3. 绝对位置：绝对位置是指物体或地点在空间中的具体坐标位置。
使用地理坐标等工具可以准确确定物体或地点的绝对位置。
绝对位置的认知有助于我们进行地图导航等活动。
三、认知与应用1. 生活中的应用空间位置关系的认知在日常生活中有很多应用。
比如，当我们在陌生的城市中旅行时，我们可以通过准确理解方向来避免迷路；在购物时，了解物品的相对位置可以帮助我们更快地找到所需商品；在家居摆设或者装修中，了解房间中物体的相对位置可以使我们更好地进行布局设计。
2. 学习中的应用在学习过程中，空间位置关系的应用也非常广泛。
在数学学科中，几何和立体几何等内容都离不开空间位置关系的应用；在地理学科中，通过地图等工具的应用，我们可以更好地了解地球上各个地区之间的相对位置和绝对位置；在物理学等自然科学学科中，空间位置关系的应用可以帮助我们更好地理解物体之间的相互作用。
3. 技术领域的应用随着科技的不断进步，空间位置关系的应用也越来越广泛。
比如，全球定位系统（GPS）的应用使得人们可以更准确地确定自身的位置，进行导航等活动；在虚拟现实和增强现实技术中，空间位置关系的应用可以使得虚拟世界与现实世界更好地结合，提供更丰富的用户体验。
四、空间位置关系的认知发展1. 儿童期：儿童期是空间位置关系认知发展的重要阶段。
在此期间，孩子们逐渐学会使用前后、左右等基本方向词汇，并能够在日常生活中准确理解和应用相对位置关系。
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
直线CD与平面ABCD ——有无数个公共点； 直线AA1与平面ABCD ——有只且有一个公共点A； 直线D1C1与平面ABCD ——没有公共点．
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面的位置关系有且只有三种
直线在 平面外
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
XXX
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空 间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如 点在平面内，直线在平面内，两个平面相交， 等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位 置关系吗？
点线关系 线线关系 面面关系 点面关系 线面关系
在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与 直线之间有哪些不同的位置关系？
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
1.空间中直线与直线的位置关系
直线DC与AB在同一个平面ABCD内，它们 D1
没有公共点，它们是平行直线；
A1
直线DC与BC也是在同一个平面ABCD内， 它们只有一个公共点B，它们是相交直线；
CA
G DB
HE F
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
哪些线段所在直线是异面直线？
CA
C G
A
E G
DB HE
F
H D
BF
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
空间中的位置与方向关系
空间中的位置与方向关系空间中的位置与方向关系是我们在日常生活和学习中经常接触到的概念。
无论是在地理学、数学、物理学还是生活中，我们都需要准确地描述和理解不同对象之间的位置和方向关系。
在本文中，我们将探讨空间中的位置与方向关系，并介绍一些与之相关的概念和方法。
一、左右、前后和上下的位置关系在空间中，我们通常使用左右、前后和上下来描述物体之间的位置关系。
比如，在一个房间里，我们可以说桌子的左边有一把椅子，书架的前面有一张沙发，电视机在墙上。
这些描述都是通过使用左右、前后和上下这些词来表达。
左右是指相对于一个参照物来说的，我们可以选择自己的身体作为参照物来描述左右的位置关系。
比如，我们可以说门在我左边，窗户在我右边。
前后也是相对的概念，我们可以选择自己的身体前后来描述其他物体的位置关系。
上下则是相对于地面或者天花板来说的，比如我们可以说书在桌子上，灯在房间的顶部。
二、坐标系和方向为了更准确地描述和定位物体的位置，我们引入了坐标系和方向的概念。
坐标系是一个数学上的概念，通过坐标系我们可以用数值来表示和计算空间中的位置。
常见的坐标系有笛卡尔坐标系和极坐标系等。
在笛卡尔坐标系中，我们可以通过X轴、Y轴和Z轴来表示三维空间中的位置。
而方向则是指物体所指向的某个方位。
我们常用的方向有东西南北，也可以用前后左右来表达。
比如，在地理学中，我们可以说北京在中国的北部，南京在上海的西南方。
三、方位角和众多方向方位角是一种用来度量方向的方法，它是一个角度值，通常是以度数或弧度来表示。
在数学和物理学中，我们常用方位角来描述和计算物体的方向。
由于空间中的方向是多种多样的，我们通常使用一个参照系来规定方位角的零点。
比如，在罗盘中，北方被规定为0度或360度，东方为90度，南方为180度，西方为270度。
除了基本的左右、前后和上下之外，空间中还存在许多其他的方向关系。
比如，在飞机上，我们还有上下、前后、左右以及前上、前下、后上、后下等复杂的方向关系。
空间位置关系的判定依据
空间位置关系的判定方法与判定依据（高一 标有记号◆的才可以直接使用）一、立体几何基本结论．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．a AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭直线 ◆公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P l P l P ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且 ◆公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．//////a b a c b c ⎫⇒⎬⎭◆等角定理：如果一个角的两条边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．◆过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．（课本上P32重要结论）◆简单几何体的定义与性质：⑴ 棱柱的两底面平行且全等，棱柱的两底面对应边互相平行且相等，棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．直棱柱的侧棱垂直于底面．⑵ 正棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面．正棱锥的侧棱长都相等． ⑷ 体积、侧面积公式：S ch =直棱柱侧，12S ch '=正棱锥侧，1()2S c c h ''=+正棱台侧（c 、c '为底面周长，h 为高、h '为斜高）．2S cl rl π==圆柱侧，12S cl rl π==圆锥侧，1()()2S c c l r r l π''=+=+圆台侧（r 、r '为底面半径，l 为母线长）．24S R π=球面（R为球半径）．V Sh =柱体，13V Sh =锥体，1()3V h S S '=+台体（S 、S '是柱体的底面积、h 是高）．343V R π=球体（R 为球半径）．二、空间的位置关系1．空间两直线的位置关系：平行、相交、异面．直线和平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交． 平面与平面的位置关系：平行、相交． 2．判定异面直线用定义、判定定理或反证法．◆⑴ 两直线异面的定义：不同在任何一个平面内的两直线异面．◆⑵ 两直线异面的判定：过平面内一点和平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．l A B B l ααα⊂⎫⎪∉⎪⇒⎬∈⎪⎪∉⎭A B 与l 异面（课本上P27结论）3．两直线平行思考途径：⑴ 转化为判定共面二直线无交点；⑵ 转化为二直线同与第三条直线平行；⑶ 转化为线面平行；⑷ 转化为线面垂直；⑸ 转化为面面平行．◆⑴ 两直线平行的定义：两条直线共面且无公共点． ◆⑵ 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．//////a b a c b c ⎫⇒⎬⎭◆⑶ 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．////l l l m m αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭◆⑷ 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭◆⑸ 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭4．直线与平面平行思考途径：⑴ 转化为直线与平面无公共点；⑵ 转化为线线平行；⑶ 转化为面面平行． ◆⑴ 直线与平面平行的定义：直线和平面没有公共点．◆⑵ 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．////b a a b αααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭◆⑶ 如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．////a a αβαβ⎫⇒⎬⊂⎭（课本上P40结论）5．两平面平行思考途径：⑴ 转化为判定二平面无公共点；⑵ 转化为线面平行；⑶ 转化为线面垂直． ◆⑴ 两个平面平行的定义：两个平面没有公共点．◆⑵ 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．//////a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭，，⑶ 垂直于同一直线的两个平面相互平行．//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭⑷ 平行于同一平面的两个平面相互平行．//////αγαββγ⎫⇒⎬⎭6．两直线垂直思考途径：⑴ 异面垂直可利用平移转化为相交垂直，再利用平面几何的知识解决；⑵ 异面垂直可转化为证明线面垂直；⑶ 转化为线与另一线的射影垂直或转化为线与形成射影的斜线垂直（三垂线定理及其逆定理）．⑴ 平面几何知识：等腰三角形底边张的中线垂直于底边；菱形或正方形的对角线相互垂直；直径所对的圆周角为直角；弦（非直径）中点和圆心的连线垂直于弦；过切点的半径垂直于切线．等等．⑵ 计算两直线所成的角为90，或利用勾股定理及正、余弦定理计算得证．◆⑶ 根据直线和平面垂直的定义有：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭◆⑷等角定理的应用（利用第三条线“搭桥”）：//a c a b b c ⎫⇒⊥⎬⊥⎭．7．直线与平面垂直思考途径：⑴转化为该直线与平面内任一直线垂直；⑵转化为该直线与平面内相交二直线垂直；⑶转化为该直线与这个平面的两个垂直平面的交线垂直；⑷转化为该直线与平面的一条垂线平行；⑸转化为该直线垂直于另一个平行平面．◆⑴直线与平面垂直的定义：一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直．◆⑵直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．a m a nm n A am mααα⊥⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊂⎭，，◆⑶平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．laaa lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭⑷如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．//a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（课本上例题P33例1）⑸如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一平面．//llαββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（课本上例题P40例2）8．两个平面相互垂直思考途径：⑴转化为判断二面角是直二面角；⑵转化为线面垂直．◆⑴平面与平面垂直的定义：两个平面所成的二面角是直二面角．◆⑵平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．llααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭。
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.三维目标1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？ 生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a′∥a ，b′∥b ，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.图6求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD.求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH.所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.变式训练如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB 1FD 是平行四边形. ∴ED ∥B 1F. 变式训练如图10，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB 与CC 1； （2）A 1B 1与DC ； （3）A 1C 与D 1B ； （4）DC 与BD 1； （5）D 1E 与CF.解：（1）∵C ∈平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，又C ∉AB ，C 1∉平面ABCD,∴AB 与CC 1异面.（2）∵A 1B 1∥AB ，AB ∥DC ，∴A 1B 1∥DC.（3）∵A 1D 1∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，∴A 1D 1∥BC ，则A 1、B 、C 、D 1在同一平面内. ∴A 1C 与D 1B 相交.（4）∵B ∈平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，又B ∉DC ，D 1∉平面ABCD,∴DC 与BD 1异面.（5）如图10，CF 与DA 的延长线交于G ，连接D 1G ， ∵AF ∥DC ，F 为AB 中点，∴A 为DG 的中点. 又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG.因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°. 点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系. 变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角. 解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG. ∴612sin ∠EHG=312. ∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. 知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.作业课本习题2.1 A组3、4.设计感想空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系.另外,本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例.。