二元函数泰勒展开-
二元泰勒公式
o
x
若 A＝C ＝0 , 则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时
Q(h, k ) Ah 2 2 B hk C k 2 2 B hk 对点 ( x0 h, y0 k )
当 h , k 同号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , 当 h , k 异号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , y 可见 △z 在 (x , y ) 邻近有正有负,
2
h f x x (0, 0) 2hk f x y (0, 0) k f y y (0, 0) (h k )
3
2
3 f p p 3 p k ) 3 f (0, 0) (h x C3 h k x p y 3 p (0,0) y p 0 2(h k )3 又 f (0, 0) 0 ,将 h x , k y 代入三阶泰勒公式得 1 2 1 ln(1 x y) x y ( x y ) ( x y )3 R3 2 3 其中 1 ( x y) 4 R3 (h x k y ) 4 f ( h, k ) h x 4 (1 x y ) 4 ky (0 1)
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y
p 3 p
1 (1 x y ) 2
2! (1 x y ) 3! (1 x y )
y
• 根据问题的实际背景
o
x
2. 确定近似函数的标准 •实验数据有误差,不能要求 yi f ( xi )
二元泰勒展开
同号,因此f 与 A同号,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极 小值,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极大值.
(2) 设 AC B2 0,即
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 ) 2 0. (9)
h
x
k
y
f
(
x0
ht
,
y0
kt
),
(t ) h2 f xx ( x0 ht , y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht , y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht , y0 kt )
(t ) C h k xy p (n1)
h x
k
y
2
f
( x0 ,
y0 )
表示 h2 fx x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
一般地,记号
h x
k
y
m
f
(
x0 ,
y0
)表示
C m
p0
p p p m p h k x y . m
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， 令 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ，
f yy ( x0 , y0 ) C ，
二元函数极限求解中的级数展开技巧
二元函数极限求解中的级数展开技巧在二元函数极限求解中，级数展开技巧是一种重要的方法。
级数展开通过将函数表示为无穷级数的形式，进而求得函数的极限值。
本文将介绍一些常用的级数展开技巧，并给出相应的例子。
1. 泰勒展开泰勒展开是一种将函数表示为多项式级数的方法。
基于泰勒展开，我们可以通过计算级数中有限项的和来逼近函数的值。
泰勒展开在二元函数极限求解中也有广泛的应用。
例如，考虑二元函数f(x,y)，我们可以将其泰勒展开为多项式：f(x,y) = f(a,b) + (x-a)∂f/∂x + (y-b)∂f/∂y + 1/2![(x-a)^2∂^2f/∂x^2 + 2(x-a)(y-b)∂^2f/∂x∂y + (y-b)^2∂^2f/∂y^2] + ...其中，a和b是待求解点的坐标，∂f/∂x和∂f/∂y是一阶偏导数，∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2是二阶偏导数。
2. 傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期性函数表示为三角函数级数的方法。
在二元函数极限求解中，也可以使用傅里叶级数展开来进行计算。
例如，考虑二元周期函数f(x,y)，我们可以将其展开为傅里叶级数：f(x,y) = ∑(n=-∞)^(∞)∑(m=-∞)^(∞)C(n,m)e^(i(nkx+mky))其中，C(n,m)为系数，k为周期，e为自然对数的底数，i为虚数单位，x和y是坐标。
3. 幂级数展开幂级数展开是一种将函数表示为幂次递增的多项式级数的方法。
在二元函数极限求解中，幂级数展开可通过级数求和来逼近函数的值。
例如，考虑二元函数f(x,y)，我们可以将其展开为幂级数：f(x,y) = ∑(n=0)^(∞)∑(m=0)^(∞)a(n,m)(x-a)^n(y-b)^m其中，a(n,m)为系数，a和b是待求解点的坐标，x和y是坐标。
通过以上三种级数展开技巧，我们可以在二元函数极限求解中得到更加准确的结果。
当然，具体应用时要结合具体问题来选择合适的展开方法，并注意计算的精度和收敛性。
数学分析10.4--二元函数的泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数xz ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。
若他们存在关于x 和y 的偏导数，即x∂∂（xz ∂∂），y∂∂（xz ∂∂），x∂∂（yz ∂∂），y∂∂（yz ∂∂）.称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。
通常将x∂∂（xz ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x .y∂∂（x z ∂∂）记为y x z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数)x ∂∂（y z ∂∂）记为x y x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数)y∂∂（yz ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x .一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号kk n nyxz ∂∂∂-或 )(n yxkkn f -),(y x表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xyy x y x z 的二阶偏导数.解 xz ∂∂=23263y xy y x +-，yz ∂∂=xy x y x 233223+-.22xz ∂∂=y xy663-.y x z ∂∂∂2=y x y x 26922+-.x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2)22yz ∂∂=x y x 263+.例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=0.证明 由§10.3例2，有xu ∂∂=3ra x --，yu ∂∂=3rb y --，zu ∂∂=3rc z --.22xu ∂∂=6233)(rxr ra x r∂∂---(xr ∂∂=ra x -)=6233)(rra x ra x r----=31r-+53r2)(a x -.同样，可得22yu ∂∂=31r-+53r2)(b y -,22zu ∂∂=31r-+53r2)(c z -于是，22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=31r-53r+])()()[(222c z b y a x -+-+-=33r-+33r=0.由例1看到，yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。
9.二元函数泰勒公式
二元函数的泰勒公式
型余项. 根据定理的条件假设知道, Rn 的绝对值
f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) y x n 1 h k f ( x 0 , y0 ) n! x y
1 h k ( n 1)! x y
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ).
二元函数的泰勒公式 显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ). 利用一元函数的麦克劳林公式, 得
二元函数的泰勒公式
§10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数),(y x f z =的两个（一阶）偏导数yzx z ∂∂∂∂,仍是x 与y 的二元函数.若它们存在关于x 和y 的偏导数，即.,;,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x z 表为 22xz∂∂ 或 ).,(y x f xx'' ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂x z y z 表为y x z ∂∂∂2 或 ).,(y x f xy '' （混合偏导数） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y z x z 表为 x y z ∂∂∂2 或 ).,(y x f yx'' （混合偏导数） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y z y z 表为 22yz ∂∂ 或 ).,(y x f yy'' 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有n 2个.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号k k n n yx z∂∂∂- 或),()(y x f n y x k k n -表示二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数，其次接着对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1. 求函数 332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.解：.233.63223232xy x y x yzy xy y x x z+-=∂∂+-=∂∂ .66322y xy xz-=∂∂.269222y x y x x y z +-=∂∂∂ .269222y x y x y x z +-=∂∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂=∂∂∂x y z y x z 22 .26322x y x yz+=∂∂例2. 证明：若,)()()(,1222c z b y a x r ru -+-+-==则.0222222=∂∂+∂∂+∂∂z uy u x u证明： 由§10.3.例2，有.,,333rcz z u rby y u ra x x u --=∂∂--=∂∂--=∂∂623223)(r x rr a x r x u∂∂---=∂∂ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂r a x x r 6233)(r r ax r a x r ----=.)(31253a x r r -+-=同样，可得.)(31,)(312532225322c z rr z u b y r r y u -+-=∂∂-+-=∂∂ 于是，])()()[(3322253222222c z b y a x r r z u y u x u -+-+-+-=∂∂+∂∂+∂∂.03333=+-=rr定理1. 若函数),(y x f 在点),(00y x P 的邻域G 存在二阶混合偏导数),(y x f xy''与),(y x f yx''，并且它们在点),(00y x P 连续，则),(),(0000y x f y x f yx xy''='' )1(ΛΛ证明 令),(y x F ∆∆[]),(),(0000y x x f y y x x f ∆+-∆+∆+= []),(),(0000y x f y y x f -∆+-，①令),(),()(00y x f y y x f x -∆+=φ.对)(x φ在],[00x x x ∆+上应用拉格朗日中值定理,得 x x x y x F ∆∆+'=∆∆)(),(10θφ[]x y x x f y y x x f x x ∆∆+'-∆+∆+'=),(),(010010θθ y x y y x x f xy∆∆∆+∆+''=),(2010θθ； ②令),(),()(00y x f y x x f y -∆+=ψ.同样方法可以得到y x x y x x f y x F yx∆∆∆+∆+''=∆∆),(),(4030θθ.于是有 =∆+∆+''),(2010y y x x f xyθθ),(4030x y x x f yx ∆+∆+''θθ. 令0,0→∆→∆y x ,取极限得(1)式.例3. 证明：若,sin ,cos ),,(ϕρϕρ===y x y x f z 则.11222222222ρρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ff f y f x f 证明：ρρρ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .sin cos ϕϕy fxf ∂∂+∂∂=ϕϕϕ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .cos sin ϕρϕρyfx f ∂∂+∂∂-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕϕρρρρsin cos 22y fx f f f f f .sin cos sin cos sin cos 22222222ϕϕϕϕϕϕy f x y f y x f x f ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕρϕρϕϕϕϕcos sin 22y f x f f f f f ϕρϕϕρϕρcos cos sin sin 222222x f y x f xf ∂∂-∂∂∂-∂∂=.sin cos cos sin 222222ϕρϕρϕϕρy fyf x y f ∂∂-∂∂+∂∂∂-于是，)cos (sin )sin (cos 112222222222222ϕϕϕϕρρϕρρ+∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂y f x f f f f ρϕρϕρϕρϕsin cos sin cos y f x f y f x f ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-.2222yf x f ∂∂+∂∂= 即 .11222222222ρρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ff f y f x f★说明：定理1的结果可推广到n 元函数的高阶混合偏导数上去.例如，三元函数),,(z y x f 关于z y x ,,的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个：.,,,,,333333xy z fyx z fyz x fxz y fzx y fzy x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 若它们在点),,(z y x 都连续，则它们相等.若二元函数),(y x f 所有的混合高阶偏导数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有二个，二阶偏导数只有三个)(yx xyf f ''=''，三阶偏导数只有四个.一般情况，n 阶偏导数只有1+n 个.二、二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.为了将二元函数),(y x f 在点),(k b h a Q ++的函数值),(k b h a f ++在点),(b a P 展成泰勒公式，作辅助函数,10),,()(≤≤++=t kt b ht a f t ϕ即 .10,,),,()(≤≤+=+==t kt b y ht a x y x f t ϕ显然，).,()1(,1);,()0(,0k b h a f t b a f t ++====ϕϕ于是，函数),(k b h a f ++在点),(b a P 展成的泰勒公式就是一元函数)(t ϕ在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在1=t 的值.定理2. 若函数),(y x f 在点),(b a P 的邻域G 存在n+1阶连续的偏导数，则G k b h a Q ∈++∀),(，有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=++),(!21),(!11),(),(2b a f y k x h b a f y k x h b a f k b h a f ,10),,()!1(1),(!11<<++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++θθθk b h a f y k x h n b a f y k x h n n nΛ（4）其中符号),(b a f y x l i⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂表示偏导数l i l i y x f ∂∂∂+在),(b a P 的值， ),(),(0b a f y x k h C b a f y k x h i m i m im i mi i m m--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑.（4）式称为二元函数),(y x f 在),(b a P 的泰勒公式.在泰勒公式（4）中，令0,0==b a ，就得到二元函数),(y x f 的麦克劳林公式（将h 与k 分别用x 与y 表示）：Λ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)0,0(!21)0,0(!11)0,0(),(2f y y x x f y y x x f y x f 10),,()!1(1)0,0(!11<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++θθθy x f y x x n f y y x x n n n（5）在泰勒公式（4）中，当0=n 时，有k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),(θθθθ++'+++'+=++，或10,),(),(),(),(<<++'+++'=-++θθθθθk k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x .（6）（6）式二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个θ.在泰勒公式（4）中，当1=n 时，有k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),(θθθθ++'+++'=-++)7(.10},),(),(2),({2122<<++''+++''+++''+θθθθθθθk k b h a f hk k b h a f h k b h a f yyxy xx例4. 将函数y x e y x f +=),(展成麦克劳林公式.解： 函数y x e y x f +=),(在2R 存在任意阶连续偏导数，且1)0,0(,=∂∂∂=∂∂∂+++f yx e y x flm lm y x l m l m ， m 与l 是任意非负整数.由公式（5），有.10,)()!1(1)(!1)(!21)(1)(12<<++++++++++=+++θθy x n n y x e y x n y x n y x y x e Λ三、二元函数的极值1. 极值点的定义定义 设函数(,)f x y 在点(,)P a b 的邻域G 有定义.若(,)a h b k G ∀++∈，有(,)(,)((,)(,))f a h b k f a b f a h b k f a b ++≤++≥，则称(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）.极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.例如，点(1,2)是函数22(,)(1)(2)1f x y x y =-+--的极小点，极小值是(1,2)1f =-.事实上，(,)x y ∀，有22(1)(2)0x y -+-≥， 于是 (,)(1,2).f x y f ≥2. 极值点的必要条件定理3. 若函数(,)f x y 在点(,)P a b 存在两个偏导数，且(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，则(,)0x f a b '= 与 (,)0y f a b '=.证明：已知(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，即x a =是一元函数(,)f x b 的极值.根据一元函数极值的必要条件，a 是一元函数(,)f x b 的稳定点，即(,)0x f a b '=. 同法可证， (,)0y f a b '=.方程组 (,)0,(,)0,x yf x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 的解（坐标平面上某些点）称为函数(,)f x y 的稳定点.★定理3指出，可微函数(,)f x y 的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极值点.例如，函数（双面抛物面） 22(,)f x y x y =-. 2,2.x y f x f y ''==-显然，点(0,0)是函数22(,)f x y x y =-的稳定点.但点(0,0)并不是函数22(,)f x y x y =-的极值点.3. 极值点的充分条件定理4. 设函数(,)f x y 有稳定点(,)P a b ，且在点(,)P a b 的邻域G 存在二阶连续偏导数.令 (,),(,),(,).xxxyyyA f a bB f a bC f a b ''''''=== 2.B AC ∆=-1）若0∆<，则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点：（ⅰ）0(A >或C>0)，(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点. （ⅱ）0(A <或C<0)，(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点. 2）若0∆>，则(,)P a b 不是函数(,)f x y 的极值点.注：当判别式0∆=时，稳定点(,)P a b 可能是函数(,)f x y 的极值点，也可能不是函数(,)f x y 的极值点.例如，函数2222222123(,)(),(,)(),(,).f x y x y f x y x y f x y x y =+=-+=不难验证，(0,0)P 是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点(0,0)P 每个函数的判别式20B AC ∆=-=.显然，稳定点(0,0)P 是函数2221(,)()f x y x y =+的极小点；是函数2222(,)()f x y x y =-+的极大点；却不是函数23(,)f x y x y =的极值点.求可微函数f(x,y)的极值点的步骤：1）求偏导数，解方程组(,)0,(,)0,x yf x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩求稳定点.设其中一个稳定点是(,)P a b .2）求二阶偏导数，写出2(,)(,)(,).xy xxyy f x y f x y f x y ''''''⎡⎤-⎣⎦ 3）将稳定点(,)P a b 的坐标代入上式，得判别式2(,)(,)(,).xy xxyy f a b f a b f a b ''''''⎡⎤∆=-⎣⎦ 再由∆的符号，根据下表判定(,)P a b 是否是极值点：例6. 求函数333z x y xy =+-的极值. 解： 解方程组22(,)320,(,)330.x yf x y x y f x y y x '⎧=-=⎪⎨'=-=⎪⎩ 解得两个稳定点（0，0）与（1，1）.求二阶偏导数(,)6,(,)3,(,)6.xxxyyyf x y x f x y f x y y ''''''==-= 2[(,)](,)(,)936.xyxx yy f x y f x y f x y xy ''''''-=- 在点(0,0),90,(0,0)∆=>不是函数的极值点.在点(1,1),270,∆=-<且60,(1,1)A =>是函数的极小点，极小值是 33(1,1)(3)1x y xy +-=-.4. 二元函数f （x ，y ）在实际问题中的最大、最小值一般来说，求函数(,)f x y 在D 的边界上的最大（小）值是很困难的.但是，在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数(,)f x y 的最大（小）值必在区域D （D 可以是无界区域）内某点P 取得，又函数(,)f x y 在D 内只有一个稳定点P ，那么函数(,)f x y 必在这个稳定点P 取得最大（小）值.例7. 用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板.解： 设水箱长、宽、高分别是,,x y z .已知xyz V =，从而高Vz xy=.水箱表面的面积11(22)2VS xy x y xy V xy x y ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， S 的定义域{}(,)0,0D x y x y =<<+∞<<+∞.这个问题就是求函数S 在区域D 内的最小值.解方程组22221220,1220.S V y V y x x x S V x V x y y y ⎧∂⎛⎫=+-=-= ⎪⎪∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂⎪=+-=-= ⎪⎪∂⎝⎭⎩在区域D内解得唯一稳定点.求二阶偏导数2234,S Vx x∂=∂ 21S x y ∂=∂∂， 2234S V y y ∂=∂. 222222233161S S S V x y x yx y ⎛⎫∂∂∂-⋅=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭.在稳定点，30∆=-<，且20A =>，从而，稳定点是S 的极小点.因此，函数S在点取最小值.当x y ==z ==即无盖长方形水箱2x y z ===，所需钢板最省. 例8. 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三角形的三个边长分别是,,x y z .面积是ϕ.由海伦公式，有ϕ= （8）已知22x y z p z p x y ++==--或，将它代入（8）式之中，有ϕ=因为三角形的每边是正数而且小于半周长p ，所以ϕ的定义域 {}(,)0,0,D x y x p y p x y p =<<<<+>.已知ϕ的稳定点与2p ϕ的稳定点相同.为计算方便，求2()()()p x p y x y p pϕψ==--+-的稳定点.解方程组(,)()()()()()(22)0.(,)()(_()()()(22)0.x y x y p y x y p p x p y p y p x y x y p x x y p p x p y p x p y x ψψ'=--+-+--⎧⎪=---=⎪⎨'=--+-+--⎪⎪=---=⎩在区域D 内有唯一稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭.求二阶偏导数 (,)2(),(,)2()3,xxxy x y p y x y x y p ψψ''''=--=+- (,)2().yy x y p x ψ''=--2222[(,)](,)(,)444885.xy xx yy x y x y x y x xy y px py p ψψψ''''''-=++--+在稳定点22,33p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，220,033p A p ∆=-<=-<.从而，稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭是函数ψ，即ϕ的极大点.由题意，ϕ在稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭必取到最大值.当23p x =，23p y =时，223pz p x y =--=，即三角形三边长的和为定数时，等边三角形的面积最大.。
二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广 多元函数泰勒公式
记号 (设下面涉及的偏导数连续): •
•
表示
• 一般地,
表示
定理1.
到 n + 1 阶连续偏导数 , 一点, 则有
的某一邻域内有直 为此邻域内任
其中
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, 朗日型余项 .
① ② ②称为其拉格
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零, 由中值公式可知在该区域上
例1. 求函数
勒公式. 解:
因此,
的三阶泰
其中
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件)
若函数
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当 2) 当 3) 当
时, 具有极值 时, 没有极值.
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
证: 令
则 利用多元复合函数求导法则可得:
一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
邻域其绝对值必有上界 M ,
在某闭 则有
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
定理1
(3) 若函数
因此
作业
P123 1 , 3 , 4 , 5
第十节
时, 有
同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
异号;
若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 ,
不妨设 B＞0 ,
此时
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
二元函数的泰勒公式.doc
§10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数z f ( x, y) 的两个（一阶）偏导数zxz, 仍是x 与y 的二元函数.y若它们存在关于x 和y 的偏导数，即z x zx,zyzx;zxzy,zyzy.称它们是二元函数z f (x, y) 的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有 2 2 个. 通常将它们表为：z x zx表为2z2x或 f (x, y).xxz y zx表为2xzy或 f ( x, y).xy （混合偏导数）z x zy表为2zy x或 f yx (x, y). （混合偏导数）z y zy表为2yz2或 f (x, y).yy一般地，二元函数z f (x, y) 的n 1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数. 二元函数的n阶偏导数至多有n 2 个. 二元函数z f (x, y) 的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似. 例如，符号n x nkzky( n) x y或 f ( , )n k kx y表示二元函数z f (x, y) 的n 阶偏导数，首先对x求n k 阶偏导数，其次接着对y求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.3 y3 x2 y xy2例1. 求函数z x 3 3 的二阶偏导数.z z2 x y2 x xy3 2 3 2 解： 3 6 . 3 3 2 .x y xy yx y2z 2 x 6 3xy6 .y2 y2z 9 6 2 .2 2 2 2z9 6 2 .x y x y x y x yx x y2xzy2yzx2z36x y 2x. 2y1 2 2 2 例2. 证明：若u ,r (x a) ( y b) (z c) ,则r2 u 2 x 2u2y2u2z0.证明：由§10.3. 例2，有u x xra u yb u z, ,3 r3y r z3c. 32 r (x a)3ru2x r 62 rxr x ax rr 3 ( )3x a r6r 2x ar1 3 23 x a5( ) . rr同样，可得2 u 2 y21 3 u 1 3 22( y b) , (z c)3 5 2 3 5r r z r r.2 2 2u u u 3 3 2 2 2于是，[( x a) (y b) ( z c) ]2 2 23 5x y z r r30.33r 3r定理1. 若函数 f (x, y) 在点P(x0 , y0 ) 的邻域G存在二阶混合偏导数 f xy (x, y) 与f (x, y)yx ，并且它们在点P(x0, y0 ) 连续，则f xy yx (1)(x0 , y0 ) f (x0 , y0 )2证明 令 F ( x, y)( , ) ( , ) f x 0 x yy f xx y( , ) ( , ) f x 0 yy f x y ，①令 (x)( , ) ( , ) . 对 (x) 在[ x 0 , x 0 x] 上应用拉格朗日中f x y 0y f x y值定理, 得 F ( x, y)(x 01x) xf x (x 01x, y 0 y) f x (x 01x, y 0 ) xf x y (x 01, 0 2) ； x yy x y②令 (y)f (x 0 x, y) f (x 0 , y) . 同样方法可以得到F ( x, y) fyx (x 0,) . 于是有 x y x x y30 4f x yx y yf yx (x 0 3x, y 04x) .(x,)12令 x 0, y 0, 取极限得(1) 式.例 3. 证明：若 z f (x, y), xcos , y sin , 则22ff f 22f f 11x2 222y2.证明：f f xxf yyf xf cos sin . yf f xx f yyf xf sincos .y2f2f f ff x cos f y sin2 f 2 x 2 cos 2 x f y sin cos2 y f x sin cos 2 f 2y2sin.2f2f f ff xsinf ycos 2f 2 x 22fsin 2 2x ysin cosfxcos3。
高等数学同济大学课件下第89二元泰勒公式
目录
二元泰勒公式的基本概念 二元泰勒公式的推导过程 二元泰勒公式的应用实例 二元泰勒公式的扩展与推广
二元函数的泰勒展开式
二元泰勒公式：将二元函数展开为幂级数的形式
展开式：f(x,y)=f(a,b)+(x-a)f'(a,b)+(y-b)f''(a,b)+(x-a)^2f'''(a,b)+(yb)^2f''''(a,b)+...
二元泰勒公式的扩展形式
二元泰勒公式的 定义：将二元函 数在某点附近的 局部近似为多项 式
二元泰勒公式的 扩展形式：将多 元函数在某点附 近的局部近似为 多项式
二元泰勒公式的 推广：将多元函 数在某点附近的 局部近似为多项 式，并可以推广 到更高维的情况
二元泰勒公式的 应用：在数学、 物理、工程等领 域都有广泛的应 用
收敛速度：泰勒公式的收敛速度与函数的光滑性有关
收敛性分析：通过分析泰勒公式的收敛性，可以判断泰勒公式的准确性和适用范 围
利用二元泰勒公式近似计算函数值
泰勒公式：将函数展开为多项式形式，便于计算 应用实例：计算sin(x)的近似值 计算方法：将sin(x)展开为泰勒级数，取前几项求和 误差分析：分析误差来源，提高计算精度
添加标题
二元泰勒公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的 应用
二元泰勒公式的应用场景
数值分析：用于近似计算函数值，提高计算精度 优化问题：用于求解非线性优化问题，如最小二乘法 控制理论：用于控制系统的设计和分析，如PID控制 信号处理：用于信号的滤波、变换和压缩等处理
二元函数的泰勒级数展开式
二元函数的泰勒公式
泰勒公式可用于建模和优化电路、机械和材料的行为与性能。
泰勒公式的误差估计
误差估计是用来判断泰勒级数逼近与原函数之间的精确度和准确度。
一阶和二阶导数的应用
一阶导数
一阶导数可以表示函数的斜率和变化率，它在 泰勒公式中的系数决定函数的线性行为。
二阶导数
二阶导数可以表示函数的曲率和凸凹性，它在 泰勒公式中的系数决定函数的二次行为。
二元函数的泰勒公式
泰勒公式是一种近似表示函数的方法，通过展开函数成无穷级数来近似描述 函数在某点附近的行为。
泰勒公式的定义和作用
泰勒公式是一种用多项式来逼近一元或多元函数的方法，它能够在函数值和导数值已知的点上给出函数 的逼近值。
泰勒级数的推导和表达
1
推导
泰勒级数是通过对函数进行多次求导和代入点的函数值来构造一个无穷级数的方 法。
泰勒公式的局限性和改进方法
1
局限性
泰勒公式仅在附近的小范围内有效，且对于某些函数可能需要更高阶的级数展开。
2
改进方法
改进方法包括使用拉格朗日余项和泰勒公式的剩余项来提高逼近的准确性。
3
数值方法
数值方法可以通过数值逼近来解决泰勒公式在全局范围内的局限性。
总结和要点
泰勒公式是一种重要的数学工具，能够帮助我们理解函数的行为和进行函数 逼近。它在许多领域有广泛的应用。
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表达
泰勒级数以多项式的形式表示函数，并包含函数在某个点及其导数上的信息。
3
级数展开
级数展开可以理解为将函数用无穷多个多项式相加的形式来逼近函数。
泰勒公式的应用场景
物理学
泰勒公式可用于近似描述物体在不同速度和加速度条件下的运动。
二元泰勒的前提条件
二元泰勒的前提条件《二元泰勒的前提条件》我给你讲个事儿啊。
前几天我一朋友，在学习二元函数相关知识的时候，遇到了二元泰勒展开式。
他当时就蒙圈了，拿着书就来问我：“这二元泰勒展开好像不是随便就能用的吧？咋感觉这么复杂呢？”我当时就笑着跟他说：“那可不，这二元泰勒展开是有前提条件的，就像你做游戏得遵守游戏规则一样。
”这事儿啊，就引出了咱们今天要详细说说的二元泰勒的前提条件这个主题。
首先呢，这个二元函数得在一定的范围内具有足够的可微性。
啥叫足够的可微性呢？就是函数要是连续可微的。
比如说啊，你不能那种突然间断开的函数，就好比一条路走着走着突然没了那就不行。
就像有一次我和朋友在地图上找路线，有条小路在地图上看起来是断的，根本不能顺利通过，函数也一样，如果不连续，那就不能用二元泰勒展开。
二元函数至少得一阶偏导数连续，这样才能对它进行泰勒展开的相关操作。
然后呢，这个函数展开的那个点很重要。
我们得有个展开中心，比如说点$(a,b)$。
这个点要有意义，如果这个点本身函数都没定义或者是个很奇怪的点，那展开就无从谈起了。
这就像你想在一片空地上搭帐篷，要是那儿本身就是个大坑或者沼泽地，帐篷肯定搭不起来啊。
我朋友听我说到这儿就插了一句：“哦，就像我想在墙上贴个海报结果那墙上全是洞，海报肯定贴不平整呗？”我笑着说：“嘿，你这比喻还挺形象的。
”第三点，函数的泰勒级数得收敛。
要是不收敛的话，那这个展开式可能就没有意义了。
这就像你数钱，数着数着越数越多好像永远没个尽头，那这钱数就没法准确表示了。
收敛性这事儿也不简单，得用各种方法去判断，像是比值判别法之类的，就想确定你做这件事儿是不是能达到一个稳定的结果。
对于二元泰勒展开的这些前提条件，我的想法是这样的。
在学习的时候一定要先把这些搞清楚，不然就像没打地基就盖房子，迟早得出问题。
做练习题的时候，也别急着就开始展开，先看看函数是否满足这些条件。
拿我那朋友来说，他在知道这些前提条件后，再看二元泰勒展开式的时候就没那么纠结了，做题也更顺利了。
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当 x, y 不为零时，由 (5), (6) 两式又得
fx y (x 0 1 x ,y 0 2 y ) fy x (x 0 3 x ,y 0 4 y )
( 0 1 ,2 ,3 ,4 1 ) .
( 7 )
由定理假设 fxy(x ,y)与 fyx(x ,y)都在点 (x0, y0) 连 续, 故当 x 0 , y 0 在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式． 注 1 若二元函数 f ( x, y) 在某一点存在直到 n 阶的 连续混合偏导数，则在这一点的所有 m(m n) 阶混 合偏导数都与求导顺序无关． 注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立. 例 如三元函数 f(x,y,z)的如下六个三阶混合偏导数
fxx(x,y)x2z2xx z, fxy(x,y)x2zyy x z,
fyx(x,y)y2zxx zy, fyy(x,y)y2z2yzy. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 zf(x,y) 的三阶偏导数共有八种情形:
z 3z xx2x3fx3(x,y),
z 2z yx2x2yfx2y(x,y),
自变量的复合函数．所以 2z f 1 f x2xuy v
2 u f 2 u x u 2 fv v x 1 y v 2 fu u x 2 v f 2 v x
2uf22yu2fvy122vf2, x2zyyu f 1yvf
2 uf2 u yu 2 fv v yy12 vf
的一元连续函数, 且在 (0, 1) 内可微. 根据一元函数
中值定理，(01)，使得
(1) (0) ( ),
(9)
其中
()fx(ah,bk)h
(10)
fy(ah,bk)k.
由于 D 为凸区域，因此 (a h, b k) D，故由
(9), (10) 两式即得所要证明的 (8) 式．
注 若 D 为严格凸区域，即 P 1 ( x 1 ,y 1 ) ,P 2 ( x 2 ,y 2 )
f x y x ( x ,y ) , f x y 2 ( x ,y ) , f y 3 ( x ,y ) ,
f y 2 x ( x ,y ) , f y x y ( x ,y ) , f y x 2 ( x ,y ) . 例1 求 函 数 z ex 2 y的 所 有 二 阶 偏 导 数 和 y 3 z x 2. 解 由于
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) ; ( 1 )
类似地有
fy x (x 0 ,y 0 ) l x im 0 l y im 0 x 1 y f(x 0 x ,y 0 y ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) .( 2 )
为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2) 这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件．
定理 7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续，则
fx y (x 0 ,y 0 ) fy x (x 0 ,y 0 ).
.
同理可得
2z t2
2z x2
x t
2
2 2z xy
x t
y t
2z y2
y t
2
z x
2x t2
z y
2y t2
;
2z 2z x x 2z x y x y
st
x2
s
t
xys
t
t
s
2yz2ysyt xzs2xt
z 2y y st
;
2z 2z . t s s t
例3
设 zf(x,x y),
由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么
在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 f x y ( x0, y0 ) 与 f y x ( x0, y0 ) 表示成极限形 式. 由于
f(x x ,y)f(x ,y)
fx (x ,y) lx im 0
x
,
因此有
fx y (x 0 ,y 0 ) ly im 0fx (x 0 ,y 0 y y ) fx (x 0 ,y 0 )
的混合偏导数:
f x y ( 0 ,0 ) l y im 0 f x ( 0 , y ) y f x ( 0 ,0 ) l y im 0 y y 1 ,
fy x ( 0 ,0 ) l x im 0fy ( x ,0 )x fy ( 0 ,0 ) lx im 0 x x 1 .
中值定理，2 (0, 1), 使上式化为 ( x 0 x ) ( x 0 ) f x y ( x 0 1 x , y 0 2 y ) x y .
由 (4) 则有
F ( x , y ) fx y (x 01 x ,y 02 y ) x y
(0 1 ,2 1 ).
(5)
x2y2 f(x,y)xyx2y2,
x2y2 0,
0,
x2y2 0.
它的一阶偏导数为
fx(x,y) y(x4( x24 x2yy22)2y4),
0,
x2y20, x2y20;
x(x44x2y2y4) fy(x,y) (x2y2)2 ,
x2y20,
0,
x2y20.
进一步求 f 在点 (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序
一切 (01),恒有 P ( x 1 ( x 2 x 1 ) ,y 1 ( y 2 y 1 ) ) D .
D
•
P 1•
•P PD
2
凸
图 10.3 - 6
• P 2 PD
•
D P 1•
非凸
定理 8 ( 中值定理 ) 设 f (x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两
(3)
证令Biblioteka F ( x , y ) f(x 0 x ,y 0 y ) f(x 0 x ,y 0 )
f(x 0 ,y 0 y ) f(x 0 ,y 0 ), ( x ) f ( x , y 0 y ) f ( x , y 0 ) . 于是有
F ( x , y ) ( x 0 x ) ( x 0 ) . (4)
z z xz y; t xt yt
显 然 z 与 z 仍 是 s ,t的 复 合 函 数 ,其 中 z , z 是
s t
x y
x ,y 的 函 数 , x , x , y , y 是 s ,t 的 函 数 .继 续 求 z s t s t
关于 s, t 的二阶偏导数:
2z z x z x
复合函数的高阶偏导数 设
z f ( x , y ) ,x ( s , t ) ,y ( s , t ) .
若函数 f , , 都具有连续的二阶偏导数，则复合函
数 z f (( s , t ) ,( s , t ) ) 对 于 s ,t同样存在二阶连续
偏导数. 具体计算如下: z z xz y, s xs ys
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
( x 0 x ) ( x 0 ) ( x 0 1 x ) x
[ f x ( x 0 1 x , y 0 y ) f x ( x 0 1 x , y 0 ) ] x .
又 f x ( x 0 1 x , y ) 作 为 y 的 可 导 函 数 , 再 使 用 微 分
求 x 2z2,
2z .
xy
解 这里 z 是以 x, y 为自变量的复合函数, 它也可以
改写成如下形式:
zf(u,v), ux,vx. y
由复合函数求导公式，有 x z u f u x v f v x u f1 y v f.
注 意 ,这 里 f, f仍 是 以 u ,v 为 中 间 变 量 , x ,y 为 u v
s2
s
x
s
x
s
s
s
z y
y
s
z y
s
y s
x2z2
x s
2z xy
yx
s
s
z x
2x s2
2z x 2z yy z 2y
yx
s
y2
s
s
y
s2
2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
z y
2 y s2
zex2y, z2ex2y,
x
y
因此有
2z x2
(ex2y)ex2y; x
2z (ex2y)2ex2y; xy y
2z (2ex2y)2ex2y; yx x
2 yz2y(2ex2y)4ex2y;
y 3 z x 2 x y 2 z x x (2 ex 2 y) 2 ex 2 y.
例2 求 函 数 z a r c ta n y的 所 有 二 阶 偏 导 数 . x
解
因为
z x
y x2 y2 ,
z y
x2
x
y2
,
所以二阶偏导
数为
x 2z2xx2 yy2(x22 xy y2)2,
2z y x2y2 xyy x2y2 (x2y2)2, y2 zx x x2 xy2 (x x 2 2 y y2 2 )2,
ly im 0 1 y lx im 0f(x 0 x ,y 0 y x ) f(x 0 ,y 0 y ) lx im 0f(x 0 x , y 0 x ) f(x 0 ,y 0 )
1 ly im 0 lx im 0 x y f(x 0 x ,y 0 y )