二元函数泰勒展开-

z z xz y; t xt yt
显 然 z 与 z 仍 是 s ,t的 复 合 函 数 ,其 中 z , z 是
s t
x y
x ,y 的 函 数 , x , x , y , y 是 s ,t 的 函 数 .继 续 求 z s t s t
关于 s, t 的二阶偏导数:
2z z x z x
(3)
证令
F ( x , y ) f(x 0 x ,y 0 y ) f(x 0 x ,y 0 )
f(x 0 ,y 0 y ) f(x 0 ,y 0 ), ( x ) f ( x , y 0 y ) f ( x , y 0 ) . 于是有
F ( x , y ) ( x 0 x ) ( x 0 ) . (4)
如果令
( x ) f ( x 0 x , y ) f ( x 0 , y ) ,
则有
F ( x , y ) ( y 0 y ) ( y 0 ) .
用前面相同的方法, 又可得到
F ( x , y )fy x (x 03 x ,y 04 y ) x y (0 3 ,4 1 ).
fxx(x,y)x2z2xx z, fxy(x,y)x2zyy x z,
fyx(x,y)y2zxx zy, fyy(x,y)y2z2yzy. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 zf(x,y) 的三阶偏导数共有八种情形:
z 3z xx2x3fx3(x,y),
z 2z yx2x2yfx2y(x,y),
当 x, y 不为零时，由 (5), (6) 两式又得
fx y (x 0 1 x ,y 0 2 y ) fy x (x 0 3 x ,y 0 4 y )
( 0 1 ,2 ,3 ,4 1 ) .
( 7 )
由定理假设 fxy(x ,y)与 fyx(x ,y)都在点 (x0, y0) 连 续, 故当 x 0 , y 0 在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式． 注 1 若二元函数 f ( x, y) 在某一点存在直到 n 阶的 连续混合偏导数，则在这一点的所有 m(m n) 阶混 合偏导数都与求导顺序无关． 注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立. 例 如三元函数 f(x,y,z)的如下六个三阶混合偏导数
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
( x 0 x ) ( x 0 ) ( x 0 1 x ) x
[ f x ( x 0 1 x , y 0 y ) f x ( x 0 1 x , y 0 ) ] x .
又 f x ( x 0 1 x , y ) 作 为 y 的 可 导 函 数 , 再 使 用 微 分
求 x 2z2,
2z .
xy
解 这里 z 是以 x, y 为自变量的复合函数, 它也可以
改写成如下形式:
zf(u,v), ux,vx. y
由复合函数求导公式，有 x z u f u x v f v x u f1 y v f.
注 意 ,这 里 f, f仍 是 以 u ,v 为 中 间 变 量 , x ,y 为 u v
的混合偏导数:
f x y ( 0 ,0 ) l y im 0 f x ( 0 , y ) y f x ( 0 ,0 ) l y im 0 y y 1 ,
fy x ( 0 ,0 ) l x im 0fy ( x ,0 )x fy ( 0 ,0 ) lx im 0 x x 1 .
例2 求 函 数 z a r c ta n y的 所 有 二 阶 偏 导 数 . x
解
因为
z x
y x2 y2 ,
z y
x2
x
y2
,
所以二阶偏导
数为
x 2z2xx2 yy2(x22 xy y2)2,
2z y x2y2 xyy x2y2 (x2y2)2, y2 zx x x2 xy2 (x x 2 2 y y2 2 )2,
复合函数的高阶偏导数 设
z f ( x , y ) ,x ( s , t ) ,y ( s , t ) .
若函数 f , , 都具有连续的二阶偏导数，则复合函
数 z f (( s , t ) ,( s , t ) ) 对 于 s ,t同样存在二阶连续
偏导数. 具体计算如下: z z xz y, s xs ys
点 P(a,b), Q(a h,b k) int D, (0 1),使得
f (a h, b k) f (a,b)
fx (a h, b k)h f y (a h, b k)k. (8) 证 令 (t) f (a t h, b t k) , 它是定义在 [0,1] 上
一切 (01),恒有 P ( x 1 ( x 2 x 1 ) ,y 1 ( y 2 y 1 ) ) D .
D
•
P 1•
•P PD
2
凸
图 10.3 - 6
• P 2 PD
•
D P 1•
非凸
定理 8 ( 中值定理 ) 设 f (x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两
自变量的复合函数．所以 2z f 1 f x2xuy v
2 u f 2 u x u 2 fv v x 1 y v 2 fu u x 2 v f 2 v x
2uf22yu2fvy122vf2, x2zyyu f 1yvf
2 uf2 u yu 2 fv v yy12 vf
zex2y, z2ex2y,
x
y
因此有
2z x2
(ex2y)ex2y; x
2z (ex2y)2ex2y; xy y
2z (2ex2y)2ex2y; yx x
2 yz2y(2ex2y)4ex2y;
y 3 z x 2 x y 2 z x x (2 ex 2 y) 2 ex 2 y.
为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2) 这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件．
定理 7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续，则
fx y (x 0 ,y 0 ) fy x (x 0 ,y 0 ).
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) ; ( 1 )
类似地有
fy x (x 0 ,y 0 ) l x im 0 l y im 0 x 1 y f(x 0 x ,y 0 y ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) .( 2 )
中值定理，2 (0, 1), 使上式化为 ( x 0 x ) ( x 0 ) f x y ( x 0 1 x , y 0 2 y ) x y .
由 (4) 则有
F ( x , y ) fx y (x 01 x ,y 02 y ) x y
(0 1 ,2 1 ).
(5)
y 2z2yx2 xy2(x 22 xyy2)2.
注意 在上面两个例子中都有
2z
2z
,
xy yx
即 先 对 x 、 后 对 y 与 先 对 y 、 后 对 x 的 两 个 二 阶 偏 导 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数
ly im 0 1 y lx im 0f(x 0 x ,y 0 y x ) f(x 0 ,y 0 y ) lx im 0f(x 0 x , y 0 x ) f(x 0 ,y 0 )
1 ly im 0 lx im 0 x y f(x 0 x ,y 0 y )
s2
s
x
s
x
s
s
s
z y
y
s
z y
s
y s
x2z2
x s
2z xy
yx
s
s
z x
2x s2
2z x 2z yy z 2y
yx
s
y2
s
s
y
s2
2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
z y
2 y s2
1yv2fuu y2vf2vy yx2 u 2 fvyx3 2 vf2y 12 v f .
二、中值定理和泰勒公式
二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉 格朗日公式和泰勒公式相仿, 对于 n (n 2) 元函数 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些． 先介绍凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于 D, 则称 D 为凸区域 (图10.3- 6). 这就是说, 若 D 为 凸区域，则对任意两点 P1( x1, y1), P2( x2 , y2 ) D, 和
§10.4 二元函数的泰勒公式
就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准 备.
一、高阶偏导数
二、中值定理和泰勒公式
三、极值问题
一、高阶偏导数
由 于 z f ( x , y ) 的 偏 导 数 f x ( x , y ) , f y ( x , y ) 一 般 仍 然 是 x,y的 函 数 ,如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏 导数有如下四种形式:
的一元连续函数, 且在 (0, 1) 内可微. 根据一元函数
中值定理，(Leabharlann Baidu1)，使得
(1) (0) ( ),
(9)
其中
()fx(ah,bk)h
(10)
fy(ah,bk)k.
由于 D 为凸区域，因此 (a h, b k) D，故由
(9), (10) 两式即得所要证明的 (8) 式．
注 若 D 为严格凸区域，即 P 1 ( x 1 ,y 1 ) ,P 2 ( x 2 ,y 2 )
.
同理可得
2z t2
2z x2
x t
2
2 2z xy
x t
y t
2z y2
y t
2
z x
2x t2
z y
2y t2
;
2z 2z x x 2z x y x y
st
x2
s
t
xys
t
t
s
2yz2ysyt xzs2xt
z 2y y st
;
2z 2z . t s s t
例3
设 zf(x,x y),
f x y z ( x ,y , z ) ,f x z y ( x ,y , z ) ,f y z x ( x ,y , z ) ,
f y x z ( x ,y ,z ) ,f z x y ( x ,y ,z ) ,f z y x ( x ,y ,z ) 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．
今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续．
f x y x ( x ,y ) , f x y 2 ( x ,y ) , f y 3 ( x ,y ) ,
f y 2 x ( x ,y ) , f y x y ( x ,y ) , f y x 2 ( x ,y ) . 例1 求 函 数 z ex 2 y的 所 有 二 阶 偏 导 数 和 y 3 z x 2. 解 由于
x2y2 f(x,y)xyx2y2,
x2y2 0,
0,
x2y2 0.
它的一阶偏导数为
fx(x,y) y(x4( x24 x2yy22)2y4),
0,
x2y20, x2y20;
x(x44x2y2y4) fy(x,y) (x2y2)2 ,
x2y20,
0,
x2y20.
进一步求 f 在点 (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序
由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么
在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 f x y ( x0, y0 ) 与 f y x ( x0, y0 ) 表示成极限形 式. 由于
f(x x ,y)f(x ,y)
fx (x ,y) lx im 0
x
,
因此有
fx y (x 0 ,y 0 ) ly im 0fx (x 0 ,y 0 y y ) fx (x 0 ,y 0 )