广东专插本考试《高等数学》真题
2002-2015广东专插本高数真题(无答案)
2002年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、填空题（每小题3分，共24分）1、函数xxy ++=11的定义域是 。
2、若)sin(ln x e y=，则=dxdy。
3、=-→)1ln(142lim e Dx x。
4、已知函数2x y =，在某点处的自变量的增量2.0=∆x ，对应函数的微分8.0-=dy ，则自变量的始值是 。
5、函数xe x xf 2)(=的n 阶麦克劳林展开式是=)(x f 。
6、如果点（1，3）是曲线23bx ax y +=的拐点，则要求a = 。
b = 。
7、若dt t y x x)cos(2cos sin ⎰=π则=dxdy。
8、设→→→→→→→-+=--=k j i b k f t a 2,23，则=⋅-→→b a 3)( 。
二、单项选择题（每小题3分，共24分）9、若11)(+-⋅=x xa a x x f ，则下面说法正确的是（ ）A 、)(x f 是奇函数B 、)(x f 是偶函数C 、)(x f 是非奇偶函数D 、)(x f 无法判断10、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=11)(2x bax x xx f ，为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a和b 的取值应该是( )A 、a=2，b=1B 、a=1，b=2C 、a=2，b=-1D 、a=-1，b=211、若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内一阶和二阶导数存在且均小于零，则)(x f 在[]b a ,内（ ）A 、单调增加，图形是凸的B 、单调增加，图形是凹的C 、单调减少，图形是凸的D 、单调减少，图形是凹的12、由方程0=-+e xy ey所确定的隐函数，y 在0=x 处的导数0=x dxdy是（ ）A 、eB 、e 1 C 、e - D 、e1-13、广义积分⎰+∞∞-++x x x dx22的值是（ ）A 、0B 、2πC 、πD 、π214、定积分⎰dx e x 10的值是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、315、幂级数∑=⋅+nn nn x n 1212的收敛区间是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 B 、[]1,1- C 、[]2,2- D 、[]+∞∞-,16、微分方程)0(,022≠=+k y k dx dy 满足初始条件0,====x x dxdy A y的特解是（ ）A 、kx A sin B 、kx A cos C 、Ax k sin D 、Axk cos三、计算题（每小题7分，共28分）17、求极限xt dte xtx cos 21cos 0lim--→⎰18、将函数12)(34+-=x x x f 展开为（x-1）的多项式。
广东专插本高等数学-试卷45_真题无答案
广东专插本（高等数学）-试卷45(总分44, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.当χ→0时，下列无穷小量中与等价的是 ( )SSS_SINGLE_SELA χB 2χCχ 2D2χ 22.函数y＝sinχ－χ在区间[0，π]上的最大值是 ( )SSS_SINGLE_SELAB 0C －πD π3.若∫f(χ)dχ＝F(χ)＋C，则∫e -χ f(e －χ)dχ ( )SSS_SINGLE_SELAe -χ )＋F(e －χ )＋CBe －χ－F(e －χ )＋CCF(e -χ )＋CD－F(e -χ )＋C4.曲线y＝在χ＝1处的切线方程是 ( )SSS_SINGLE_SELA 3y－2χ＝5B －3y＋2χ＝5C 3y＋2χ＝－5D 3y＋2χ＝55.下列无穷级数中，发散的是 ( )SSS_SINGLE_SELABCD2. 填空题1.f(χ)＝χe χ，则f (n)(χ)的极小值点为_______．SSS_FILL2.函数f(χ)＝在χ＝0处是_______间断点．SSS_FILL3.＝_______．SSS_FILL4.交换二次积分I＝∫-11 dy f(χ，y)dχ的积分次序，则I＝_______．SSS_FILL5.方程y〞－4y′＋3y＝0满足初始条件y｜χ＝0＝6，y′｜χ＝0＝10的特解是_______．SSS_FILL4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。
1.求极限SSS_TEXT_QUSTI2.已知函数y＝arcsinχ.SSS_TEXT_QUSTI3.求不定积分SSS_TEXT_QUSTI4.1f(χ)dχ，求f(χ)．设函数f(χ)＝χ(1－χ) 5＋∫SSS_TEXT_QUSTI5.设函数z＝(χ 2＋y 2 ) ，求SSS_TEXT_QUSTI6.计算χ 2dχdy，其中D为圆环区域：1≤χ 2＋y 2≤4．SSS_TEXT_QUSTI7.求微分方程y〞－2y′＋y＝0满足初始条件y(0)＝3和y′(0)＝－2的特解．SSS_TEXT_QUSTI8.判定级数的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI5. 综合题1.设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，令F(χ)＝f(t)dt(a＞0)，G(χ)＝∫0χ f(t)dt． (1)试用G(χ)表示F(χ)； (2)求F(χ)．SSS_TEXT_QUSTI2.求函数f(χ)＝在χ＞0时的最大值，并从数列1，，…中选出最大的一项(已知)．SSS_TEXT_QUSTI1。
广东专插本(高等数学)模拟试卷30(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷30(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(χ)=χ3sinχ是( )A．奇函数B．偶函数C．有界函数D．周期函数正确答案：B2．设函数在χ=0处连续，则a= ( ) A．0B．1C．2D．3正确答案：B3．有( )A．一条垂直渐近线，一条水平渐近线B．两务垂直渐近线，一条水平渐近线C．一条垂直渐近线，两条水平渐近线D．两条垂直渐近线，两条水平渐近线正确答案：A4．设函数f?(2χ-1)=eχ，则f(χ)= ( )A．B．C．D．正确答案：D5．下列微分方程中，其通解为y=C1cosχ+C2sinχ的是( ) A．y?-y?=0B．y?+y?=0C．y?+y=0D．y?-y=0正确答案：C填空题6．设函数f(χ)=2χ+5，则f[f(χ)-1]=______。
正确答案：4χ+137．如果函数y=2χ2十aχ+3在χ=1处取得极小值，则a=______。
正确答案：-48．设f(χ)=e2χ，则不定积分=_____。
正确答案：eχ+C9．设方程χ-1+χey确定了y是的隐函数，则dy=______。
正确答案：10．微分方程y?-y?=0的通解为______。
正确答案：y=C1+C2eχ(C1，C2为任意常数)解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限。
正确答案：由于当χ→0时，χ4是无穷小量，且，故可知，当χ→0时，1-e-32-3χ2，故所以12．已知参数方程。
正确答案：所以则13．求不定积分∫χ.arctanxdx。
正确答案：14．已知函数f(χ)处处连续，且满足方程求。
正确答案：方程两边关于χ求导，得f(χ)=2χ+sin2χ+χ.cos2χ.2+(-sin2χ).2 =2χ+2χcos2χ，f?(χ)=2+2cos2χ+2χ.(-2sin2χ)=2(1+cos2χ)-4χsin2χ，所以，。
广东专插本高等数学-试卷50_真题-无答案
广东专插本（高等数学）-试卷50(总分44,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. y＝＋lg(χ＋2)的定义域为( )A. (－2，＋∞)B. (1，＋∞)C. (－2，－1]∪[1，＋∞)D. (－2，－1)2. 若f′(χ0)＝－3，则＝( )A. －3B. －6C. －9D. －123. 设∫f(χ)dχ＝χ2＋C，则∫χf(1－χ2)dχ＝( )A. －2(1－χ2)2＋CB. 2(1－χ2)2＋CC. －(1－χ2)2＋CD. (1－χ2)2＋C4. 设f(χ，y)在点(χ0，y0)处偏导数存在，＝( )A. f′χ(χ0，y0)B. f′y(2χ0，y0)C. 2f′χ(χ0，y0)D. f′χ(χ0，y0)5. 如果＝ρ(un＞0，n＝1，2，…)，则级数un的收敛条件是( )A. ρ＞1B. ρ≥1C. ρ＜1D. ρ≤12. 填空题1. 函数f(χ)＝的极值为_______．2. 已知f(χ)＝χ2lnχ，χ＝h(t)满足条件h(0)＝3，h′(0)＝7，则f[h(t)]｜t＝0＝_______．3. 设f(χ)在[a，b]上满足f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(b)＋f(a)](b－a)，则S1，S2，S3的大小顺序为_______．4. 通解为y＝C1cos2χ＋C2sin2χ(C1，C2为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为_______．5. 设f(χ，y)＝2χ＋arcsin，则fχ(2，1)＝_______．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。
1. 设f(χ)＝试确定常数a，b的值，使f(χ)在点χ＝处可导．2. 求极限3. 设z＝uv＋sint，而u＝et，v＝cost，求．4. 计算不定积分∫χe2χdχ．5. 平面图形D是由曲线y＝eχ及直线y＝e，χ＝0所围成的，求平面图形D绕χ轴旋转一周所生成旋转体的体积．6. 计算dχdy，其中D是由y＝1，y＝χ，y＝2，χ＝0所围成的闭区域．7. 求微分方程y〞－2y′－3y＝0的通解．8. 判定级数的敛散性．5. 综合题1. 过点P(1，0)作抛物线y＝的切线，该切线与上述抛物线及χ轴围成一平面图形，求此图形绕χ轴旋转一周所成的旋转体的体积．2. 设函数y＝f(χ)在区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，F(χ)＝∫aχf(t)dt＋∫aχ，χ∈[a，b]，证明：(1)F′(χ)≥2；(2)方程F(χ)＝0在区间(a，b)内有且仅有一个实根．。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C=+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．下列级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则2zy x∂=∂∂ 9．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．求20sin 1lim x x e x x→-- 12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyz x z e -=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de -=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（1）求()x ϕ；（2）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+（1）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；（2）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；2019年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++Q13.解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰14.,t =则211,22x t dx tdt =-=20121214215311,,2211()221()2111()253115t x t dx tdtt t tdt t t dtt t-==-==-=-=-=-⎰⎰⎰g15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyzxxyzyxyzzxyz xyzxyz xyzf x y z yzef x y z xzef x y z xyez yze z xzex xye y xye∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+16.解：由题意得12,0rθπ≤≤≤≤2222ln()3(4ln2)23(4ln2)|2(8ln23)Dx y ddππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰17.解：由题意得414(1),321nnb nb n n++=+-414(1)1lim lim1,3213nx xnb nb n n+→∞→∞+∴==<+-由比值判别法可知1nnb∞=∑收敛0,n n a b ≤≤Q 由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()()()()(1)xx x x df x x dedf x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-Q()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.（1）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+Q(2)由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰20.证明（1）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++Q 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =Q 在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+Q 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x ∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（2）设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比较,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x Q 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
广东专插本(高等数学)-试卷44
广东专插本（高等数学）-试卷44(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知函数f(2χ－1)的定义域为[0，1]，则函数f(χ)的定义域为 ( )（分数：2.00）1]B.[－1，1] √C.[0，1]D.[－1，2]解析：解析：由f(2χ－1)的定义域为[0，1]，可知－1≤2χ－1≤1，所以f(χ)的定义域为[－1，1]，故选B．3.若函数f(χ)χ＝0处连续，则a＝ ( )．（分数：2.00）A.0B.1C.－1√解析：解析：由f(χ)在χ＝0处连续可知f(χ)＝f(0)，于是有a＝f(0)D．4.f(χ)＝(χ－χ0 ).φ(χ)，其中φ(χ)可导，则f′(χ0 )＝ ( )（分数：2.00）A.0B.φ(χ0 ) √C.φ′(χ0 )D.∞解析：解析：f′(χ)＝φ(χ)＋(χ－χ0 )φ′(χ)，则f′(χ0 )＝φ(χ0 )，故选B．5.已知d[e -χ f(χ)]＝e χ dχ，且f(0)＝0，则f(χ)＝ ( )（分数：2.00）A.e 2χ＋e χB.e 2χ－e χ√C.e 2χ＋e －χD.e 2χ－e －χ解析：解析：由d[e －χf(χ)]＝e χdχ可得[e -χf(χ)]′＝e χ，两边同时积分刮∫[e －χf(χ)]′dχ＝∫e χ dχ，即有e -χ f(χ)＝e χ＋C，两边同时乘以e χ，即得f(χ)＝e 2χ＋Ce χ，又f(0)＝1＋C＝0．即得C＝－1．于是f(χ)＝e 2χ－e χ．故诜B．6. ( )（分数：2.00）√解析：解析：根据级数的性质有收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，故选D．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线y＝χarctanχ)的水平渐近线是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝－1）解析：解析：又y＝－1．8.设f(χ)在χ＝02，则f′(0)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）f′(0)＝4．1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）＝3．10.微分方程y〞－4y′－5y＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 e －χ C 2 e 5χ）解析：解析：微分方程的特征方程为λ2－4λ－5＝0，则λ1＝－1，λ2＝5，则微分方程通解为y ＝C 1 e －χ＋C 2 e 5χ (C 1，C 2为任意常数)．11.设函数f(χ)在点χ0处可导，且f′(χ0)≠0， 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。
广东省2010~2020年专插本考试《高等数学》真题及答案
广东省2010年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．周期函数D ．有界函数2．0x =是函数1,0()0,0x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（）A ．连续点B ．第一类可去间断点C ．第一类跳跃间断点D ．第二类间断点3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）A ．1cos x-B ．211x +-C ．2ln(1)x x ++D ．21x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则(,)f x y y∂∂=（）A ．2y x-B ．-1C ．2x y-D ．-3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设a ，b 为常数，若2lim()21x ax bx x →∞+=+，则a b +=.7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.8．由曲线1y x=是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =.9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.10．设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分222()Dx y d σ+=⎰⎰.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12．设函数22sin sin 2,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.14．计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15．计算不定积分ln 51x e dx -⎰.16．求微分方程sin dy yx dx x+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.18．计算二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围成的区域.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0Φ()(1)xx t t dt =-⎰的单调增减区间和极值。
高数广东专插本历年真题汇编2005-2019年_unlocked
∑∞ 3 n
B． n=1 2
∑ C．
∞2 n=1 3n
−
1 n3
∑ D．
∞ n=1
2 3
n
+
1 n
5. 已知函数 f (x=) ax + b 在点 x = −1 处取得极大值，则常数 a ， b 应满足条件 x
A． a − b= 0,b < 0
B． a − b= 0,b >0
C． a + b= 0,b < 0
（1）证明： f (x) 在区间 (0, +∞) 内单调减少；
（2）比较数值 20182019 与 20192018 的大小，并说明理由.
2
广东省 2018 年普通高等学校本科插班生招生考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.每小题只有一个选项符合题目要
求）
1. lim (3x sin 1 + sin x ) =
∫ A． [ f (x)g= (x)]dx 2x tan x + C
∫ B． = f (x) dx 2−x tan x + C
g(x)
∫ C． f [g= (x)]dx tan(2x ) + C
∫ D． [ f (x) + g(x)]dx= tan x + 2x + C
4. 下列级数收敛的是
∞1
∑ A． en n=1
6.
已知
x
y
= =
log2 3t
t
，则
dy dx
t =1
=
.
2
∫ 7. ( x + sin x)dx = . −2
专插本《高等数学》2008-2012 年试题
10、微分方程 的通解是。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、计算 。
12、求函数 在区间[-1，2]上的最大值及最小值。
13、设参数方程 确定函数y=y(x)，计算 。
14、求不定积分 。
15、计算定积分 。
16、设方程 确定隐函数 ，求 。
17、计算二重积分 ，其中D是由y轴、直线y=1，y=2及曲线xy=2所围成的平面区域。
20、设函数 .
（1）判断 在区间（0，2）上的图形的的凹凸性，并说明理由；
（2）证明：当0＜x＜2时，有 ＜0。
2009年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、A 2、C 3、A 4、D 5、C
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
1、设 则
A. -1 B.1 C. 3 D.
2、极限
A. 0 B.1 C. 2 D.
3、下列函数中，在点 处连续但不可导的是
A. B.
C. D.
4、积分
A. B.
C. D.
5、改变二次积分 的积分次序，则I=
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、若当 时， ，则常数a=。
6、-4 7、 8、4 9、2y 10、
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、解：原式=
=
= .
12、解： ，
=
= .
13、解： ，
.
14、解：设
原式=
=
= .
15、解： 为奇函数， ，
广东专插本高等数学-试卷47_真题-无答案
广东专插本（高等数学）-试卷47(总分44,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设函数f(χ)＝，则f(χ)在( )A. χ＝0，χ＝1处都间断B. χ＝0，χ＝1处都连续C. χ＝0处间断，χ＝1处连续D. χ＝0处连续，χ＝1处间断2. 曲线f(χ)＝的水平渐近线为( )A. y＝B. y＝－C. y＝D. y＝－3. ＝( )A. 0B. ∞C.D.4. 设y＝4χ－(χ＞0)，其反函数χ＝φ(y)在y＝0处导数是( )A.B.C.D.5. 下列级数中，收敛的级数是( )A.B.C.D.2. 填空题1. 设f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．2. y＝χlnχ在点χ＝1处的切线方程是_______．3. ｜sinx｜dχ＝_______．4. 已知y1＝eχ，y1＝χeχ为微分方程y〞＋Py′＋qy＝0的解，则P＝_______，q＝_______．5. 若函数f(χ)＝aχ＋bχ在χ＝1处取得极值2，则a＝_______，b＝_______．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。
1. 问a为何值时，函数f(χ)＝在点χ＝0处连续．2. 求极限3. 已知函数y＝，求y(n)．4. 计算5. 设函数f(χ)＝求∫13f(χ－2)dχ．6. 计算二重积分I＝(χ2＋y2＋3y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤a2，χ≥0}．7. 求微分方程y″′＝χ＋1满足y(0)＝2，y′(0)＝0，y〞(0)＝1的特解．8. 判断级数(a＞0)的敛散性．5. 综合题1. 已知曲线y＝a(a＞0)与曲线y＝ln在点(χ0，y0)处有公切线，试求：(1)常数a和切点(χ0，y0)；(2)两曲线与χ轴围成的平面图形的面积S．2. 已知f(χ)＝χ5－3χ－1，求：(1)函数f(χ)的凹凸区间；(2)证明方程f(χ)＝0在(1，2)内至少有一个实根．。
高数2005-2016年专插本试题(卷)与答案解析
高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立．．．的是 A 、1)sin(lim x =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x x C 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e - B 、c e x +2 C 、C e x +-221 D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x | B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -= D 、3)(x x f =5、已知xxy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx ex = 。
7、定积分211sin x exdx --⎰= 。
8、设函数xxx f +-=22ln )(，则(1)f ''= 。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a= 。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是 。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
(word完整版)广东专插本2001-2011年高等数学历年题集(2011年10月更新)
高等数学历年试题集(含标准答案)5、计算二重积分(),Dx y dxdy +⎰⎰其中D 为2,2x y x y ==及2xy =所围成(0)x >。
6、求一阶线性微分方程423(cos )2x xy yx e x x -=+-的通解。
四、应用题（本题8分） 设有椭圆22221x y a b+= （1）用定积分计算要椭圆绕x 轴旋转所产生的旋转体体积。
（2）求内接于该随圆而平行于坐标轴的最大矩形面积。
20、试求函数xy ze =在点（2，3）处的全微分。
四、应用题（每小题8分，共24分）21、三个点A 、B 、C 不在同一直线上，60ABC∠=o 。
汽车以80千米/小时的速度由A 向B 行驶，同时火车以50千米/小时的速度由B 向C 行驶。
如果AB=200千米，试求运动开始几小时后汽车与火车间的距离为最小？ 22、试计算由抛物线2y x =与直线23y x =-所围成的图形的面积。
23、设有边长为2a 的在方形薄板。
如果薄板材料的度和到对解线线交点的距离平方成正比，且在它的角上的密度为l ，试求这个正方形薄板的质量。
2004年专升本插班考试《高等数学》试题一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数211x xy --=的定义域是 。
2、=+→x x xx 52tan 30lim 。
3、若=-=dxdyx x e y x 则),cos (sin 。
4、若函数⎰+--=x dt t t t x f 02112)(,=)21(f 则 。
5、设23,32a i j k b i j k c i j =-+=-+=-r r r r r r r r r r r和,()()a b b c +⨯+=r r r r则 。
二、单项选择题（每小题4分，共20分） 6、若⎰=+=I dx x I 则,231（ ）（A ）C x ++23ln 21 （B ）()C x ++23ln 21（C ）C x ++23ln （D ）()C x ++23ln 7、设)2ln(),(xyx y x f +=,=），f y 01('则( ) （A ）0, （B ）1, (C)2, (D)21 8、曲线2,,1===x x y x y 所围成的图形面积为S ，则S=（ ） （A ）dx x x )1(21-⎰ （B ）dx xx )1(21-⎰（C ）dx y dx y )2()12(2121-+-⎰⎰（D ）dx x dx x)2()12(2121-+-⎰⎰9、函数项级数∑∞=-1)2(n nx n的收敛区间是（ ）（A ）1x > （B ）1x < （C ）13x x <>及 （D ）13x << 10、⎰⎰=12),(xx dy y x f dx I 变换积分分次序后有I=（ ）（A ）210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）⎰⎰10),(yydx y x f dx（C ）⎰⎰102),(yy dx y x f dx （D ）⎰⎰yydx y x f dx 1),(三、简单计算题（每题9分，共36分）11、求极限x x x e x x 30sin )2()2(lim ++-→12、求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d 。
广东专插本考试《高等数学》真题
普通高校本科插班生招生（一）考试高等数学一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一项符合题目要求）1．=+→∆)sin 1sin 3(lim 0x xx x xA ．0B ．1C ．3D ．42．设函数)(x f 具有二阶导数，且1)0(-='f ，0)1(='f ，1)0(-=''f ，3)1(-=''f ，则下列说法正确的是A ．点0=x 是函数)(x f 的极小值点B ．点0=x 是函数)(x f 的极大值点C ．点1=x 是函数)(x f 的极小值点D ．点1=x 是函数)(x f 的极大值点3．已知Cx dx x f +=⎰2)(，其中C 为任意常数，则⎰=dx xf )(2A ．C x +5B ．C x +4C ．C x +421D ．C x +3324．级数∑∞==-+13)1(2n nnA ．2B ．1C ．43D ．215．已知{}94) , (22≤+≤=y x y x D ，则=+⎰⎰Dd yx σ221A ．π2B ．π10C ．23ln2πD ．23ln 4π二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．已知⎩⎨⎧== 3log t 2y tx ，则==1t dx dy 。
7．=+⎰-dx x x )sin (22。
8．=⎰+∞-dx e x 021。
9．二元函数1+=y xz，当e x =，0=y 时的全微分===ex y dz 0。
10．微分方程ydx dy x =2满足初始条件1=x y 的特解为=y 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．确定常数a ，b 的值，使函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<++= 0 )21(00 1)(2x x x b x x ax x f x ，，，在0=x 处连续。
12．求极限))1ln(1(lim 20x x x x +-→．13．求由方程xxe y y =+arctan )1(2所确定的隐函数的导数dx dy．14．已知)1ln(2x +是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f )(．15．求曲线x xy ++=11和直线0=y ，0=x 及1=x 围成的平面图形的面积A ．16．已知二元函数21y xyz +=，求y z ∂∂和x y z ∂∂∂2．17．计算二重积分⎰⎰-Dd y x σ1，其中D 是由直线x y =和1=y ，2=y 及0=x 围成的闭区域．18．判定级数∑∞=+12sin n nx n的收敛性．四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19．已知函数0)(4)(=-''x f x f ，0=+'+''y y y 且曲线)(x f y =在点)0 0(，处的切线与直线12+=x y 平行（1）求)(x f ；（2）求曲线)(x f y =的凹凸区间及拐点．20．已知dtt x f x⎰=02cos )(（1）求)0(f '（2）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（3）0>x ，证明)0(31)(3>+->λλλx x x f ．。
广东专插本高等数学-试卷41_真题-无答案
广东专插本（高等数学）-试卷41(总分44,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 极限的值是( )A. eB.C. e2D. 02. 函数y＝χ3在闭间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝( )A.B.C.D.3. 函数f(χ)＝在点χ＝1处( )A. 不可导B. 连续C. 可导且f′(1)＝2D. 无法判断是否可导4. 设∫f(χ)dχ＝F(χ)＋C，则∫χf(aχ2＋b)dχ＝( )A. F(aχ2＋b)＋CB. F(aχ2＋b)C. F(aχ2＋b)＋CD. F(aχ2＋b)＋C5. 微分方程y〞－5y′＋4y＝0的通解是( )A. y＝C1e-χ＋C2e-4χB. y＝eχ＋e4χC. y＝C1eχ＋C2e4χD. y＝(C1＋C2χ)eχ2. 填空题1. 设________．2. f(χ)＝＋χ3∫01f(χ)dχ，则∫01(χ)dχ＝_______．3. 设z＝χy＋χF()，其中F为可微函数，则＝_______．4. 微分方程y〞＋y′＝0的通解为_______．5. 设dσ＝4π，这里a＞0，则a＝_______．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。
1. 求极限2. 设y＝y(χ)由自方程所确定，求3. 求不定积分4. 设曲线求t＝0至t＝之间的_段弧长．5. 设z＝ylnχ，求6. 求二次积分7. 求微分方程eyy′－χ＝0满足y｜χ＝0＝0的特解．8. 判断级数参的敛散性．5. 综合题1. 设平面图形D是由曲线y＝eχ，直线y＝e及y轴所围成的，求：(1)平面图形D的面积；(2)平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积．2. 设f(χ)在区间[a，b]上可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＋3ξf(ξ)＝0．。
2024广东专插本考试高等数学试题
2024广东专插本考试高等数学试题2024广东专插本考试高等数学试题一、选择题1、下列函数中，在区间(0,1)内为增函数的是： A. y = ln(x + 1) B. y = e^(-x) C. y = sinx D. y = cosx2、设{an}为等比数列，a1 = 2，公比为q，则a2 等于： A. 2q B. qC. 1/qD. q^23、下列图形中，面积为S的平行四边形的个数是： A. 1 B. 2 C. 3D. 4二、填空题 4. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, -4)，则向量a 与向量b 的夹角为__________。
5. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3，则f(-2) = __________。
6. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| = __________。
三、解答题 7. 求函数y = sinx + cosx + sinxcosx + 1的最大值与最小值。
8. 求下列微分方程的通解：dy/dx = y/(x + 1)，其中y(0) = 1。
9. 在等差数列{an}中，已知a1 = 1，S100 = 100a10，求{an}的前n项和Sn的公式。
四、应用题 10. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本40万元，此外每生产100件产品还需增加投资2万元。
设总收入为R(x)万元，x为年产量，产品以每百件为单位出售，售价为47万元/百件。
若当年产量不足300件时，可全部售出；若当年产量超过300件，则只能销售75%。
试求该公司的年度总收入R(x)的表达式。
五、选做题 11. 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3, π/6)、(4, π/3)，求△AOB的面积S。
12. 已知函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。
试求证：存在一点ξ∈[0,1]，使得f(ξ) = -ξ。
六、附加题 13. 求证：在正整数中，n^3 - n一定是6的倍数。
广东专插本高等数学-试卷58_真题-无答案
广东专插本（高等数学）-试卷58(总分44,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. χ→0+时，与等价的无穷小量是( )A. 1－B.C. －1D. 1－cos2. 在[－1，3]上，函数f(χ)＝1－χ2满足拉格朗日中值定理的ζ＝( )A. 0B. 一1C. 1D. 23. 若f(χ)的导函数为sinχ，则f(χ)的一个原函数是( )A. 1＋sinχB. 1－sinχC. 1＋cosχD. 1－cosχ4. 曲线y＝2－(χ＋1)5的拐点为( )A. (－1，2)B. (0，1)C. (－2，3)D. 不存在5. 级数是( )A. 发散的B. 绝对收敛的C. 条件收敛的D. 敛散性不能确定的2. 填空题1. 函数f(χ)＝ln(1＋χ2)的极值为_______．2. 设函数y＝y(χ)由参数方程确定，则＝_______．3. 定积分(χ2.arctanχ＋cosχ)dχ＝_______．4. 设u＝χ3＋2y2＋χy，χ＝sint，y＝et，则＝_______．5. 若nun＝k(k＞0)，则正项级数un的敛散性为_______．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。
1. 设f(χ)＝试问当α取何值时，函数f(χ)在点χ＝0处：(1)连续；(2)可导．2. 求极限3. 求函数f(χ)＝χ＋的单调区间、极值、凸凹区间及拐点．4. 求不定积分5. 设函数z＝χ2yf(χ2－y2，χy)，求6. 求(χ2＋y2)dσ，其中D为y＝χ，y＝χ＋a，y＝a，和y＝3a(a＞0)为边的平行四边形．7. 求微分方程χlnχdy＋(y－lnχ)dχ＝0满足y｜χ＝e＝1的特解．8. 判定级数的敛散性．5. 综合题1. 求F(χ)＝在[0，1]上的最值．2. 设f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足＝1，又g(χ，y)＝f[χy，(χ2－y2)]求。
广东专插本2001-2011年高等数学历年题集(2011年10月更新)
高等数学历年试题集(含标准答案)5、计算二重积分(),Dx y dxdy +⎰⎰其中D 为2,2xy x y ==及2xy =所围成(0)x >。
6、求一阶线性微分方程423(cos )2x xy y x e x x -=+-的通解。
四、应用题（本题8分）设有椭圆22221x y a b+=（1）用定积分计算要椭圆绕x 轴旋转所产生的旋转体体积。
（2）求内接于该随圆而平行于坐标轴的最大矩形面积。
20、试求函数xy ze =在点（2，3）处的全微分。
四、应用题（每小题8分，共24分）21、三个点A 、B 、C 不在同一直线上，60ABC∠=。
汽车以80千米/小时的速度由A 向B 行驶，同时火车以50千米/小时的速度由B 向C 行驶。
如果AB=200千米，试求运动开始几小时后汽车与火车间的距离为最小？ 22、试计算由抛物线2y x =与直线23y x =-所围成的图形的面积。
23、设有边长为2a 的在方形薄板。
如果薄板材料的度和到对解线线交点的距离平方成正比，且在它的角上的密度为l ，试求这个正方形薄板的质量。
2004年专升本插班考试《高等数学》试题一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数211x xy --=的定义域是 。
2、=+→xx xx 52tan 30lim。
3、若=-=dxdyx x e y x则),cos (sin 。
4、若函数⎰+--=x dt t t t x f 02112)(,=)21(f 则 。
5、设23,32a i j k b i j k c i j =-+=-+=-和,()()a b b c +⨯+=则 。
二、单项选择题（每小题4分，共20分） 6、若⎰=+=I dx x I 则,231（ ）（A ）C x ++23ln 21 （B ）()C x ++23ln 21（C ）C x ++23ln （D ）()C x ++23ln 7、设)2ln(),(xyx y x f +=,=），f y 01('则( ) （A ）0, （B ）1, (C)2, (D)21 8、曲线2,,1===x x y x y 所围成的图形面积为S ，则S=（ ） （A ）dx x x )1(21-⎰ （B ）dx xx )1(21-⎰（C ）dx y dx y)2()12(2121-+-⎰⎰（D ）dx x dx x )2()12(2121-+-⎰⎰ 9、函数项级数∑∞=-1)2(n nx n的收敛区间是（ ）（A ）1x > （B ）1x < （C ）13x x <>及 （D ）13x << 10、⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I 变换积分分次序后有I=（ ）（A ）210(,)x xdx f x y dy ⎰⎰ （B ）⎰⎰10),(yydx y x f dx（C ）⎰⎰102),(yy dx y x f dx （D ）⎰⎰yydx y x f dx 1),(三、简单计算题（每题9分，共36分） 11、求极限xx x e x x 3sin )2()2(lim++-→ 12、求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd 。
广东专插本高等数学真题
2008年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1、下列函数为奇函数的是A. x x -2B. xxe e -+ C. xxe e -- D. x x sin 2、极限()xx x 101lim -→+=A. eB. 1-e C. 1 D.-1 3、函数在点0x 处连续是在该点处可导的A.必要非充分条件B. 充分非必要条件C.充分必要条件D. 既非充分也非必要条件 4、下列函数中，不是x xe e 22--的原函数的是A.()221x xe e -+ B.()221x xe e -- C.()x xe e 2221-+ D. ()x xe e 2221-- 5、已知函数xy e z =，则dz =A. ()dy dx e xy +B. ydx +xdyC. ()ydy xdx e xy +D. ()xdy ydx e xy + 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、极限xx x e e x-→-0lim= 。
7、曲线y=xlnx 在点（1，0）处的切线方程是= 。
8、积分()⎰-+22cos sin ππdx x x = 。
9、设y e v y e u xx sin ,cos ==，则xvy u ∂∂+∂∂= 。
10、微分方程012=+-x x dx dy 的通解是 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、计算xx xx x sin tan lim 0--→。
x e e x f x x 2)(--='-，（4分）222)(2)(x x xx e e ee xf ---=-+=''＞0，于是)(x f '在),0(+∞内单调增加，从而)(x f '＞)0(f '=0，所以)(x f 在),0(+∞内单调增加，故)(x f ＞)0(f =0，即2x x e e -+＞212x +.20、解：设⎰--=xdt t f x x F 01)(2)(，则)(x F 在[0，1]上连续，1)0(-=F ，因为0＜f(x)＜1，可证⎰1)(dx x f ＜1，于是⎰-=1)(1)1(dtt f F ＞0，所以)(x F 在（0，1）内至少有一个零点.又)(2)(x f x F -='＞2﹣1＞0，)(x F 在[0，1]上单调递增，所以)(x F 在（0，1）内有唯一零点，即⎰=-xdt t f x 01)(2在（0，1）内有唯一实根（6分） （8分）（10分）（3分）（6分） （9分）（12分）2009年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
每小题只有一个选项符合题目要求）．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是．2x =- 和0x = ．2x =- 和1x = ．1x =- 和2x = ．0x = 和1x =．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → ．等于1 ．等于2 ．等于1 或2 ．不存在 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰ ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰．下列级数收敛的是．11nn e ∞=∑ ．13()2nn ∞=∑．3121()3n n n ∞=-∑ ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件．0,0a b b -=< ．0,0a b b -=>．0,0a b b +=< ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y = ．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,xxdz e ydx e ydy =+ 则2zy x∂=∂∂ ．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．求20sin 1lim x x e x x →--．设(0)21x x y x x =>+，求dydx．求不定积分221xdx x ++⎰．计算定积分012-⎰．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ ．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ ．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1nn a ∞=∑的收敛性．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间四、综合题（大题共 小题，第 小题 分，第 小题 分，共 分） ．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（ ）求()x ϕ；（ ）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ （ ）证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； （ ）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 二、填空题（本大题共 小题，每个空 分，共 分）13x2x cos xe y 13π 三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰,t =则211,22x t dx tdt =-=20121021420153011,,2211()221()2111()253115t x t dx tdt t t tdtt t dtt t -==-==-=-=-=-⎰⎰⎰解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyz x xyz y xyzz xyz xyz xyz xyzf x y z yze f x y z xze f x y z xye z yze z xze x xye y xye ∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤222020ln()3(4ln 2)23(4ln 2)|2(8ln 23)Dx y d d ππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰ 解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-414(1)1lim lim 1,3213n x x nb n b n n +→∞→∞+∴==<+- 由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛．解()()()()(1)xx x x df x x de df x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞（ ）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰证明（ ）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++ 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（ ）设2019,2018a b ==则201820192019,2018b a a b ==比较,a b b a 即可，假设a bb a>即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
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20XX 年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
）
1．若函数⎩⎨⎧<+≥+= 1 11 3)(x x x a x x f ，
，在点1=x 出连续，则常数=a
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
2．已知函数)(x f 满足6)
()3(lim
000
=∆-∆+→∆x
x f x x f x ，则=')(0x f
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
3．若点)2 1(，为曲线23bx ax y +=的拐点，则常数a 与b 的值应分别为 A ．-1和3 B ．3和-1 C ．-2和6 D ．6和-2
4．设函数)(x f 在区间[]1 1，
-上可导，c 为任意实数，则⎰
='dx x f x )(cos sin A ． c x xf +)(cos cos B ．c x xf +-)(cos cos C ．c x f +)(cos D ．c x f +-)(cos
5．已知常数项级数∑∞
=1
n n
u
的部分和)(1
*N n n n
s n ∈+=
，则下列常数项级数中，发散的是
A ．
∑∞
=12n n
u
B ．
∑∞
=++1
1)(n n n
u u
C ．∑∞
=+1)1(n n n u D ．∑∞
=-1
])53([n n
n u
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。
） 6．极限=∞
→x
x x 3
sin
lim 。
7．设
2
1x x y +=
，则==0
x dy 。
8．设二元函数y x z ln =，则
=∂∂∂x
y z
2 。
9．设平面区域{}
1) , (22
≤+=
y x
y x D ，则=+⎰⎰D
d y x σ)(22 。
10．椭圆曲线14
22
=+y x 围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积=v 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分。
） 11．求极限)sin 1(
lim 320
x
x
x x -→． 12．求曲线232
=++xy e y x
在点)1 0(，处的切线方程．
13．求不定积分⎰-dx x x )
1(1
．
14．计算定积分
dx x x 21
⎰
．
15．15．设v
u z =，而y x u +=2，x v =，求
1==∂∂y x x
z 和
1==∂∂y x y
z ．
16．设平面区域D 由曲线1=xy 和直线x y =及2=x 围成，计算二重积分
⎰⎰
D
d y x
σ2
17．已知函数x
e y 2=是微分方程02=+'-''ay y y 的一个特解，求常数a 的值，并求该微分函数的通解
18．已知函数∑∞
=1
n n u 满足)()11(31*
1N n u n u n n n ∈+=+，且11=u 判定级数∑∞
=1n n u 的收
敛性．
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，满分22分。
）
19．设函数2
2
1)1ln()(x x x x f +-+=，证明： （1）当0→x 时，)(x f 是比x 高阶的无穷小； （2）当0>x 时，0)(>x f ．
20．已知定义在区间) 0[∞+，
上的非负可导函数)(x f 满足
0)( 1)(1)(0222
≥++=⎰x dt t
t f x f x
（1）判断函数)(x f 是否存在极值，并说明理由； （2）求)(x f ．。