三线摆和扭摆

转动惯量和切变模量的测量DH4601A 三线摆和扭摆实验仪

实

验

讲

义

杭州大华科教仪器研究所杭州大华仪器制造有限公司

转动惯量和切变模量的测量

转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于形状简单的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，就可以计算其转动惯量。对于形状复杂、质量分布不均匀的刚体，通常利用转动实验来测定其转动惯量。三线摆法和扭转摆法是其中的两种办法。为了便于与理论计算值比较，实验中的被测刚体均采用形状规则的刚体。 ［实验目的］

1． 加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解； 2． 了解用三线摆和扭摆测转动惯量的原理和方法； 3． 掌握周期等量的测量方法 ［实验装置和原理简介］ 一、三线摆

图1是三线摆示意图。上、下圆盘 均处于水平，悬挂在横梁上。横梁由立 柱和底座（图中未画出）支承着。三根 对称分布的等长悬线将两圆盘相连。拨 动转动杆就可以使上圆盘小幅度转动， 从而带动下圆盘绕中心轴OO ＇作扭摆 运动。当下圆盘的摆角θ很小，并且忽 略空气摩擦阻力和悬线扭力的影响时， 根据能量守恒定律或者刚体转动定律都 可以推出下圆盘绕中心轴OO ＇的转动

惯量0J 为

（1） 式中，m 0为下圆盘的质量；r 和R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H 0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T 0为下圆盘的摆动周期，g 为重力加速度。北京地区的重力加速度为9.80ms -2。

将质量为m 的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴OO ＇上。测出此时的摆动周期T 和上下圆盘间的垂直距离H ，则待测刚体和下圆盘对中心轴的总转动惯量J 1为

图1 三线摆示意图 2

00

200T H 4gRr m J π=

2

201T H

4gRr )m m (J π+=

（2）

待测刚体对中心轴的转动惯量J 与J 0和J 1的关系为

J= J 1－J 0 （3）

利用三线摆可以验证平行轴定理。平行轴定理指出：如果一刚体对通过质心的某一转轴的转动惯量为J c ，则这刚体对平行于该轴、且相距为d 的另一转轴的转动惯量J x 为

J x =J c +md 2 （4） 式中，m 为刚体的质量。

实验时，将二个同样大小的圆柱体放置在对称 分布于半径为R 1的圆周上的二个孔上，如图2所 示。测出二个圆柱体对中心轴OO ＇的转动惯量J x 。 如果测得的J x 值与由（4）式右边计算得的结果比 较时的相对误差在测量误差允许的范围内（≤5%）， 则平行轴定理得到验证。 二、扭摆

将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。图3表示扭摆的悬挂物为圆盘。在圆盘上施加一外力矩，使之扭转一角度θ。由于悬线上端是固定的，悬线因扭转而产生弹性恢复力矩。外力矩撤去后，在弹性恢复力矩M 作用下圆盘作往复扭动。忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有

（5） 式中，0J 为刚体对悬线轴的转动惯量，θ

为角加速度。弹性恢复力矩M 转角θ的关系为

θ-=K M （6）

式中，K 称为扭转模量。它与悬线长度L ，悬线直径d 及悬线材料的切变模量G 有如下关系

（7） 扭摆的运动微分方程为

（8） 可见，圆盘作简谐振动。其周期0T 为

（9） 若悬线的扭摆模量K 已知，则测出圆盘的摆动周期T 0后，由（9）式就可

图1 二孔对称分布

θ

= 0

J M L

32G d K 4

π=

θ-=θ

J K K

J 2T 00π=

计算

出圆盘的转动惯量。若K 未知，可利用一个对其质心轴的转动惯量J 1已知的物体将它附加到圆盘上，并使其质心位于扭摆悬线上，组成复合体。此复合体对以悬线为轴的转动惯量为J 0+J 1复合体的摆动周期T 为

（10） 由（9）式和（10）式可得

（11）

（12） 测出0T 和T 后就可以计算圆盘的转动惯量0J 和悬线的切变模型G 。

图 3 扭摆 圆环对悬线轴的转动惯量J 1有以下计算

（13） 式中，m 1为圆环的质量；D 1和D 2分别为圆环的内直径和外直径。

［实验任务］

1、用三线摆测定下圆盘对中心轴OO ＇的转动惯量和圆柱体对其质心轴的

转动惯量。要求测得的圆柱体的转动惯量值与理论计算值（21mr 2

1

J = ，r 1为圆

柱体半径）之间的相对误差不大于5%。

2、用三线摆验证平行轴定理。

3、用扭摆测定圆盘的转动惯量和切变模量。 ［实验仪器］

三线摆及扭摆实验仪、水准仪、米尺、游标卡尺、物理天平及待测物体等。

()

22

2

111D D 8

m J +=K

J J 2T 1

0+π=12022

00J T T T J -=1

20

22

J T T 4K -π=

［仪器使用］

1、打开电源，程序预置周期为T=30（数显），即：挡光杆来回经过光电门的次数为T=2n+1次。

2、据具体要求，若要设置10次，先按“置数”开锁，再按下调（或上调）改变周期T ，再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态，这时显示的是计数的次数；当物体经过光电门的周期次数达到设定值，数显将显示具体时间，单位“秒”。须再执行“10”周期时，无须重设置，只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“10”，再按“执行”键，便可以第二次计时。

（当断电再开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步骤） ［实验注意事项］

1、测量前，根据水准泡的指示，先调整三线摆底座台面的水平，再调整三线摆下圆盘的水平。测量时，摆角θ尽可能小些，以满足小角度近似。防止三线摆和扭摆在摆动时发生晃动，以免影响测量结果。

2、测量周期时应合理选取摆动次数。对三线摆，测得R 、r 、m 0和H 0后，由（1）式推出J 0的相对误差公式，使误差公式中的2∆T 0/ T 0项对∆J 0/J 0的影响比其它误差项的影响小作为依据来确定摆动次数。估算时，∆m 0取0.02g ，时间测量误差∆t 取0.03s ，∆R 、∆r 和∆H 0可根据实际情况确定。对于扭摆，先由（13）式估算J 1的相对误差，然后由（11）式推出J 0的相对误差公式。根据使T 0或（T ）的相对误差项对∆J 0/J 0的贡献比J 1的相对误差贡献小的原则，确定摆动次数。估算时，∆m 1取0.02g ，∆D 1和∆D 2均取0.04mm ，J 0取400g ·cm 2，∆t 取0.03s ，T 0和T 1可先大概测出。 ［思考题］

1、三线摆在摆动过程中要受到空气的阻尼，振幅会越来越小，它的周期是否会随时间而变？

2、在三线摆下圆盘上加上待测物体后的摆动周期是否一定比不加时的周期大？试根据（1）式和（2）式分析说明之。

3、如果三线摆的三根悬线与悬点不在上、下圆盘的边缘上，而是在各圆盘内的某一同心圆周上，则（1）式和（2）式中的r 和R 各应为何值？

4、证明三线摆的机械能为2

020H

gRr m 21J 21θ+θ，并求出运动微分方程，从

而导出（1）式。

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