位错的弹性理论、计算方法和主要内容

uy ) x
1 2 xy
xz
1 (ux 2 z
uz ) x
1 2 xz
yz
1 ( uy 2 z
uz ) y
1 2 yz
( 3 )由 胡 克 定 律 求 出
➢螺位错应力应变场分布
ε xx = ε yy = ε zz = ε yx = 0
ε xz
=
-
b 4π
gx 2
y +
y2
ε yz
=
b
x
位错的弹性理论、计算 方法和主要内容
➢位错具有应力场
➢弹性应力场可由弹性理论计算
➢包含弹性应力场、能量、线张力、相互 作用力等内容
➢2.1 弹性力学基本知识
➢1.弹性连续介质 基本假设：
变形服从胡克定律 是各向同性的 介质完全连续，无结构间隙
已证实：适用于大部分弹性变形的点阵区域
2.记号 （1）应力 用应力均匀分布的六面体单元表示应力
正面正方向为正 负面负方向为正
其余应力为负
单元体上的应力分量
与单元体有关的坐标变换
（2）应变
正应变
ii
l l
伸长为正，缩短为负
切应变 ij 两方向间直角变小为正，变大为负
（3）位移 u x , u y , u z
沿坐标轴正向为正，负向为负
3.平衡微分方程
➢单元体平衡时
Mx0 My0 Mz0 Fx 0 Fy 0 Fz 0
加
W G b 2 ln R
L 4 k r0
k 1 v 1 v cos2
(W L)mGb2
0.5: 1.0
位错分解或合成可降低应变能
➢应变能概括：
单元体受力情况
力矩平衡微分方程
➢由 Mx0 可得：
yz zy
➢同理： xy yx zx xz
➢即切应力互等
力平衡微分方程
➢单元体静止时(存在体积力)：
xx yx zx X 0 x y z xy yy zy Y 0 x y z xz yz zz Z 0 x y z
螺型位错的模型——连续介质模型
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中
优点：模型简单
缺点：中心区不适用
应力应变场求解的一般思路
(1) 确 定 位 移
u x,u y,uz
(2) 由 位 移 确 定
xx
ux x
, yy
uy y
, zz
uz z
xy
1 ( ux 2 y
刃型位错的应力应变场及模型
xx
D
y(3x2+y2) ( x 2 + y 2 )2
yy
D y(x2-y2) ( x 2 + y 2 )2
zz ( xx yy )
xz zx yz zy 0
xy
yx
D x(x2-y2) ( x 2 + y 2 )2
rr
D
sin r
yz
ε zx
1 2G
σ
zx
ε yy
1σ 2G
xy
➢或者
σ xx = (λ + 2 G )ε xx + λ ε yy + λ ε zz
σ yy = λ ε xx + (λ + 2 G )ε yy + λ ε zz
σ zz = λ ε xx + λ ε yy + (λ + 2 G )ε zz
σ xy = 2 G ε xy
1）找出区域内应变能的体积密度函数并 积分
2）通过形成一个位错所做的功确定
➢直螺型位错的应变能 应变能密度函数积分法
W Gb2 ln R
L 4 r0
➢直刃型位错的应变能
外力做功形成位错法
W = Gb2 ln R
L 4(1v) r0
刃型位错的应变能大于螺型位错的应变能
➢ 混合位错的应变能
➢将b分解后分别求螺型、刃型分量的应变能后叠
4π
g x
2
+
y2
σ xx = σ yy = σ zz = σ yx = 0
σ xz
=
-
Gb 2π
gx 2
y +
y2
σ yz
=
Gb x
2
π
g x
2
+
y2
没有正应力和正应变，只有切应力和切应变
➢柱坐标下：
σrr =σθθ=σzz=σrθ=σzr =0 σθz = 2Gπbr εθz=4πb r
特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与θ无关） 应力应变与r反比
uz ) x
1 2 xz
yz
1 (uy 2 z
uz ) y
1 2 yz
变形后的形状变化
5. 应力与应变关系
εபைடு நூலகம்xx
1 E
[σ
xx
(σ
yy σ
zz )]
ε yy
1 E
[σ
y y (σ x x σ z z ) ]
ε zz
1 E
[σ
z z (σ
xx σ
yy )]
ε yz
1σ 2G
xz yz zz 0 x y z
➢ 用位移分量表示的平衡方程
2u x
1 1 2v
x
0
2u y
1 1 2v
y
0
2u z
1 1 2v
z
0
其中：
2
2 x2
2 y2
2 z2
,
xx
yy
zz
2.2 位错的应力应变场
1.螺位错的应力应变场 （1）模型建立
错排模型：
不方便数学处理， 不采用
σ xz = 2 G ε xz σ yz = 2 G ε yz
其中G= E 2(1 +ν )
=
νE
2Gν
(1 ν ) (1 2ν ) ( 1 - 2 ν )
6.以位移分量表示平衡方程
➢ 静力平衡，无体积力
xx yx zx 0 x y z
考虑应力-应变-位移关系
xy yy zy 0 x y z
➢单元体运动时：
xx yx zx X 2u x
x y z
t2
xy
x
yy
y
zy
z
Y
2u y t2
xz
x
yz
y
zz
z
Z
2uz t2
4. 应变与位移的关系
xx
ux x
, yy
uy y
, zz
uz z
xy
1 ( ux 2 y
uy x
)
1 2 xy
xz
1 (ux 2 z
5.y=x与y=-x处，纯拉压 状态
刃位错的等应力曲线
单位G/400（1-ν）
混合位错的应力场
➢由其中的螺位错与刃位错的应力应变场 叠加得到
1 r
3.位错的应变能
➢因何而生： 畸变。 又称自能 E=Ec+Ee
忽略较小的错排能Ec，E=Ee
表示为：W/L——单位长度位错线 的能量
➢如何求解：
zz ( rr )
r
D cos r
rz z 0
其 中 ： D= Gb 2 (1 - )
进一步可由胡克定律求出 应变
刃型位错的应力场分布
1.同时存在正应力分量与 切应力分量；
2.应力分布与z无关；
3. y>0处为压应力
y<0处为拉应力
4.滑移面（y=0）只有切 应力；
多余半原子面处（x=0） 只有正应力