初三中考第一轮复习全等三角形(一对一 教案)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T全等三角形判定 C 全等三角形的判定特点T 中考题型分析授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理1．判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等．2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS二、同步题型分析题型1：边边边（SSS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图1，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.图1提示：证明△ABD≌△BAC，得到∠BAD＝∠ABC,∠DBA＝∠CAB,通过∠BAD—∠CAB＝∠ABC—∠DBA，证明∠CAD＝∠DBC。

题型2：边角边（SAS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图2，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图2提示：由．．．．AB＝AC，BE＝CD，得到AD=AE,证明△ABD≌△ACE，得到∠B＝∠C（．★．）例．．2．：．已知：如图3，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3提示：由．．．．∠1＝∠2，得到∠BAC＝∠DAE,证明△BAC≌△DAE，得到BC＝DE（．★★．．3．：．如图4，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，．．）例∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．图4提示：延长．．AB＝CB，EB＝DB，∠ABE＝∠CBD＝90°，证明△ABE≌△CBD，得到．．F．，由．．．．．AE．．交．CD．．于点AE=CD,∠EAB＝∠DCB，再由∠CDB+∠DCB=90º,得到∠CEF+∠ECF＝90°，证明AE⊥CD 题型3：角边角（ASA）、角角边（AAS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图5，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ． 求证：AD ＝AC ．图5提示：由．．．．AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，得到∠CAB ＝∠DAE ，根据∠E ＝∠B ，DE ＝CB ，证明△C AB≌△DAE ，得到AD ＝AC（．★★．．）例．．2．：．已知：如图6，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM .图6提示：由．．．．MQ 和NR 是△MPN 的高，得到∠MQP ＝∠NRP ＝90°，继而得到∠PMQ ＝∠PNR ，结合MQ ＝NQ ，证明△PMQ ≌△HNQ ，得到HN ＝PM（．★★．．）例．．3．：．阅读下题及一位同学的解答过程：如图7，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）． 图7问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？提示：一定要找准对应边和对应角题型4、斜边和一条直角边对应相等（HL ）（．★★．．）．已知：如图7，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ． 求证：AD ＝BC ；图7提．示：连接．．．．DC ．．，即可证明．．．．．△ADC ≌△BCD三、课堂达标检测（★）检测题1：如图（1），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ）A ．BC BD =B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠D ．CAB DAB ∠=∠答案：B（★）检测题2：如图2，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是（写出一个即可）．答案：AE=AC（★★）检测题3：如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .图（3）CADP B图（1）A CEBD（2）OCEBDA一、专题精讲（★★）题型一：全等三角形证明等量例1：2010四川宜宾，13(3)，5分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．提示：证明△CED≌△BFD题型二：全等三角形证明位置关系（★★）例2：如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.求证：BE⊥AC提示：证明△BDF≌△ADC题型三、构造全等证明结论（★★）例3：如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CFABDCEF提示：证明△DBA ≌△ECA（★★★）检测题2：△DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC提示：（1）证明△ACE ≌△DCB （2）△ACM ≌△DCN 或△EMC ≌△BNC（★★★）检测题3：如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？D ACBNMEAFFEAFA（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）提示：证明△ABD≌△ACF即可三、学法提炼1、专题特点：主要是了解全等三角形的运用特点，全等三角形的构造方法2、解题方法：主要是从全等三角形的四大条件入手（公共边、公共角、重合边、重合角），运用已知条件，达到全等证明3、注意事项：在条件运用中，一定要清楚条件所适用的判定，不能张冠李戴。

一、能力培养（★★★★★）综合题1 (2007年广州中考25题12分）已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。

（1）证明：在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴12BM EC=．在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴12DM EC=．∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．（2）证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．∵DM=MF，EM=MC，∴四边形CDEF为平行四边形.∴DE∥CF，ED =CF.∵ED= AD,∴AD=CF.∵DE∥CF，∴∠AHE=∠ACF．∵4545(90)45BAD DAH AHE AHE∠=-∠=--∠=∠-,45BCF ACF∠=∠-，∴∠BAD=∠BCF.又∵AB= BC,MDBA CEHF∴△ABD≌△CBF.∴BD=BF，∠ABD=∠CBF.∵∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，∴∠DBF=∠ABC =90°.=，得BM=DM且BM⊥DM．在Rt△DBF中，由BD BF=,DM MF（★★★★★）综合题2（2009年广州中考24题14分）如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。

（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。

解：(1)易证ΔABF≌ΔADH,所以AF=AH(2)如图，将ΔADH绕点A顺时针旋转90度，如图，易证ΔAFH≌ΔAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE(3)设PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得（1-x）2+（1-y）2=( x+y-1)2,化简得xy=0.5,所以矩形EPHD的面积为0.5.（★★★★★）综合题3 （2011年广州中考25题 14分）如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。

（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（00<α<900）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。

（1）证明：∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ ∠DCE=90°∴∠ACB ＋∠DCE=180° ∴ B 、C 、E 三点共线。

(2)证明：连接ON 、AE 、BD ，延长BD 交AE 于点F ∵ ∠ABC=45°，∠ACB=90°∴ BC=AC ，又∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC ∴ △BCD ≌△ACE∴ BD=AE ，∠DBC=∠CAE∴∠DBC ＋∠AEC=∠CAE ＋∠AEC=90° ∴ BF ⊥AE∵ AO=OB ，AN=ND ∴ ON=12BD ，ON ∥BD ∵ AO=OB ，EM=MB∴ OM=12AE ，OM ∥AE ∴ OM=ON ，OM ⊥ON∴ ∠OMN=45°，又 cos ∠OMN=OMMN∴ 2MN OM =(3) 1112M N OM =成立，证明同（2）。