初三中考第一轮复习全等三角形(一对一 教案)
学科教师辅导讲义
学员编号：年级：课时数：
学员姓名：辅导科目：学科教师：
授课类型T全等三角形判定 C 全等三角形的判定特点T 中考题型分析授课日期及时段
教学内容
一、同步知识梳理
1．判定和性质
一般三角形直角三角形
判
定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性
质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
②全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
）
找任意一边（
）
找两角的夹边（
已知两角
）
找夹已知边的另一角（
）
找已知边的对角（
）
找已知角的另一边（
边为角的邻边
）
任意角（
若边为角的对边，则找
已知一边一角
）
找第三边（
）
找直角（
）
找夹角（
已知两边
AAS
ASA
ASA
AAS
SAS
AAS
SSS
HL
SAS
二、同步题型分析
题型1：边边边（SSS）的证明
（．★．）例
．．1．：．已知：如图1，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.
图1
提示：证明△ABD≌△BAC，得到∠BAD＝∠ABC,∠DBA＝∠CAB,通过∠BAD—∠CAB＝∠ABC—∠DBA，证明∠CAD＝∠DBC。
题型2：边角边（SAS）的证明
（．★．）例
．．1．：．已知：如图2，AB＝AC，BE＝CD．
求证：∠B＝∠C．
图2
提示：由
．．．．AB＝AC，BE＝CD，得到AD=AE,证明△ABD≌△ACE，得到∠B＝∠C
（．★．）例
．．2．：．已知：如图3，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
求证：BC＝DE．
图3
提示：由
．．．．∠1＝∠2，得到∠BAC＝∠DAE,证明△BAC≌△DAE，得到BC＝DE
（．★★
．．3．：．如图4，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，．．）例
∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
图4
提示：延长
．．AB＝CB，EB＝DB，∠ABE＝∠CBD＝90°，证明△ABE≌△CBD，得到．．F．，由
．．．．．AE．．交．CD．．于点
AE=CD,∠EAB＝∠DCB，再由∠CDB+∠DCB=90o,得到∠CEF+∠ECF＝90°，证明AE⊥CD 题型3：角边角（ASA）、角角边（AAS）的证明
（．★．）例．．1．：．
已知：如图5，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ． 求证：AD ＝AC ．
图5
提示：由．．．．
AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，得到∠CAB ＝∠DAE ，根据∠E ＝∠B ，DE ＝CB ，证明△C AB
≌△DAE ，得到AD ＝AC
（．★★．．）例．．2．：．
已知：如图6，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM .
图6
提示：由．．．．MQ 和NR 是△MPN 的高，得到∠MQP ＝∠NRP ＝90°，继而得到∠PMQ ＝∠PNR ，结合MQ ＝NQ ，证明△PMQ ≌△HNQ ，得到HN ＝PM
（．★★．．）例．．3．：．
阅读下题及一位同学的解答过程：如图7，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：△AOD ≌△COB ．
证明：在△AOD 和△COB 中，
??
?
??∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A
∴ △AOD ≌△COB （ASA ）． 图7
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
提示：一定要找准对应边和对应角
题型4、斜边和一条直角边对应相等（HL ）
（．★★．．）．已知：如图7，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ． 求证：AD ＝BC ；
图7
提．
示：连接．．．．DC ．．，即可证明．．．．．
△ADC ≌△BCD
三、课堂达标检测
（★）检测题1：如图（1），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一
个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．
推出APC APD △≌△的是（ ）
A ．BC BD =
B ．A
C A
D = C ．ACB ADB ∠=∠
D ．CAB DAB ∠=∠
答案：B
（★）检测题2：如图2，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是
（写出一个即可）．
答案：AE=AC
（★★）检测题3：如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.
求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .
图（3）
C
A
D
P B
图（1）
A C
E
B
D
（2）
O
C
E
B
D
A
一、专题精讲
（★★）题型一：全等三角形证明等量
例1：2010四川宜宾，13(3)，5分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
提示：证明△CED≌△BFD
题型二：全等三角形证明位置关系
（★★）例2：如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.
求证：BE⊥AC
提示：证明△BDF≌△ADC
题型三、构造全等证明结论
（★★）例3：如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.
求证：AF=AD+CF
A
B
D
C
E
F
提示：证明△DBA ≌△ECA
（★★★）检测题2：△DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N,
求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC
提示：（1）证明△ACE ≌△DCB （2）△ACM ≌△DCN 或△EMC ≌△BNC
（★★★）检测题3：如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为
一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：
（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
D A
C
B
N
M
E
A
F
F
E
A
F
A
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
提示：证明△ABD≌△ACF即可
三、学法提炼
1、专题特点：主要是了解全等三角形的运用特点，全等三角形的构造方法
2、解题方法：主要是从全等三角形的四大条件入手（公共边、公共角、重合边、重合角），运用已知条件，达到
全等证明
3、注意事项：在条件运用中，一定要清楚条件所适用的判定，不能张冠李戴。
一、能力培养
（★★★★★）综合题1 (2007年广州中考25题12分）已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，
连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。
（1）证明：
在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，
∴
1
2
BM EC
=．
在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，
∴
1
2
DM EC
=．
∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．
∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．
（2）证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．
∵DM=MF，EM=MC，
∴四边形CDEF为平行四边形.
∴DE∥CF，ED =CF.
∵ED= AD,
∴AD=CF.
∵DE∥CF，
∴∠AHE=∠ACF．
∵4545(90)45
BAD DAH AHE AHE
∠=-∠=--∠=∠-,45
BCF ACF
∠=∠-，∴∠BAD=∠BCF.
又∵AB= BC,
M
D
B
A C
E
H
F
∴△ABD≌△CBF.
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF.
∵∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC =90°.
=，得BM=DM且BM⊥DM．
在Rt△DBF中，由BD BF
=,DM MF
（★★★★★）综合题2（2009年广州中考24题14分）
如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四
个小矩形，EF与GH交于点P。
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。
解：(1)易证ΔABF≌ΔADH,所以AF=AH
(2)如图，将ΔADH绕点A顺时针旋转90度，如图，易证ΔAFH≌ΔAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE
(3)设PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得
（1-x）2+（1-y）2=( x+y-1)2,
化简得xy=0.5,
所以矩形EPHD的面积为0.5.
（★★★★★）综合题3 （2011年广州中考25题 14分）如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（00<α<900）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。
（1）证明：∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ ∠DCE=90°
∴∠ACB ＋∠DCE=180° ∴ B 、C 、E 三点共线。
(2)证明：连接ON 、AE 、BD ，延长BD 交AE 于点F ∵ ∠ABC=45°，∠ACB=90°
∴ BC=AC ，又∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC ∴ △BCD ≌△ACE
∴ BD=AE ，∠DBC=∠CAE
∴∠DBC ＋∠AEC=∠CAE ＋∠AEC=90° ∴ BF ⊥AE
∵ AO=OB ，AN=ND ∴ ON=
1
2
BD ，ON ∥BD ∵ AO=OB ，EM=MB
∴ OM=
1
2
AE ，OM ∥AE ∴ OM=ON ，OM ⊥ON
∴ ∠OMN=45°，又 cos ∠OMN=OM
MN
∴ 2MN OM =
(3) 1112M N OM =成立，证明同（2）。
（★★★★★）综合题4 （2012年广州中考25题 14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10，
F 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE 的长； （2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k ，使得∠EFD=k ∠AEF ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
F
N 1M 1
D
O B
C
A E
F
N M
D O
B
C
A E
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
解：（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα=，
即sin60°==，
解得CE=5；
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF=AD=BC=5，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x，
∵CF=GF（①中已证），
∴CF2=（CG）2=CF2=（200﹣20x）=50﹣5x，
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+，
∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值，
此时，EG=10﹣x=10﹣=，
CE===，
所以，tan∠DCF=tan∠G===．
二、能力点评
主要是考察学生的观察能力、作图能力以及图形分析能力，尤其是辅助线的作图特点，将已知条件进行转换，达到化繁为简的目的。
学法升华
一、知识收获
了解全等的证明方法，掌握全等的辅助线特点，快速准确解题。在全等构造方面，主要是条件的转移。
二、方法总结
全等的证明主要是从四大条件（公共边、公共角、重合边、重合角）入手，观察图形特点，适当添加辅助线，得到等量。
三、技巧提炼
在线段证明方面，注意截长补短，在中点方面注意倍长中线的作图特点。
课后作业
一、选择题
（★）1．（2010四川凉山）如图所示，90
E F
∠=∠=，B C
∠=∠，AE AF
=，结论：①EM FN
=；②CD DN
=；
③FAN EAM
∠=∠；④ACN ABM
△≌△．其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
（★）2．（2010四川巴中）如图2 所示，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件
不能
．．是（)
A．∠B ＝∠C B. AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB D. DC = BE
【答案】D
（★★）3.（2010广西南宁）如图2所示，在ABC
Rt?中，?
=
∠90
A,BD平分ABC
∠，
A
B C
E
D
图2
F
交AC 于点D ,且5,4==BD AB ,则点D 到BC 的距离是：
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
【答案】A
（★）4．（2010广西柳州）如图3，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D
到AB 的距离DE 是
A ．5cm
B ．4cm
C ．3cm
D ．2cm
【答案】C
（★）5．（2010贵州铜仁）如图，△ABC ≌△DEF ，BE=4，AE=1，则DE 的长是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】A 二、填空题
（★）1．（2010 天津）如图，已知AC FE =，BC DE =，点A 、D 、B 、F 在一
条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个．．
条件，
这个条件可以是．
【答案】C E
∠=∠（答案不惟一，也可以是AB FD
=或AD FB
=）
（★）2．（2010 广西钦州市）如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_ ▲ _（只填一个）．
【答案】AC =BD或∠CBA＝∠DAB
三、解答题
（★★★）（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N 重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. 【答案】解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. ……………………………2分（2）方案（Ⅱ）可行. ……………………………3分
第（13）题
A C
D
B
E F
D
A B
C
第8题
证明：在△OPM和△OPN中
?
?
?
?
?
=
=
=
OP
OP
PN
PM
OP
OM
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ……………………………5分
（3）当∠AOB是直角时，此方案可行. ……………………………6分
∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA,PN⊥OB,
且PM=PN
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)
当∠AOB不为直角时，此方案不可行. …………8分
（★★★）（2010广西南宁）如图10，已知ADE
Rt
ABC
Rt?
?
?，?
=
∠
=
∠90
ADE
ABC, BC与DE相交于点F，连接EB
CD,．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：EF
CF=．
【答案】（1）ABE
ADC?
?
?,EBF
CDF?
?
? 2分
（2）证法一：连接CE 3分
∵ADE
Rt
ABC
Rt?
?
?
∴AE
AC= 4分
∴AEC ACE ∠=∠ 5分 又∵ADE Rt ABC Rt ???
∴AED ACB ∠=∠ 6分 ∴AED AEC ACB ACE ∠-∠=∠-∠
即DEC BCE ∠=∠ 7分 ∴EF CF = 8分 证法二：∵ADE Rt ABC Rt ???
∴EAD CAB AB AD AE AC ∠=∠==,,, ∴DAB EAD DAB CAB ∠-∠=∠-∠ 即EAB CAD ∠=∠ 3分 ∴)(SAS AEB ACD ??? 4分
∴ABE ADC EB CD ∠=∠=, 5分 又∵ABC ADE ∠=∠
∴EBF CDF ∠=∠ 6分 又∵BFE DFC ∠=∠
∴)(AAD EBF CDF ∠?∠ 7分 ∴EF CF = 8分 证法三：连接AF 3分
∵ADE Rt ABC Rt ???
∴?=∠=∠==90,,ADE ABC DE BC AD AB 又∵AF AF =
∴)(HL ADF Rt ABF Rt ??? 5分
∴DF BF = 6分 又∵DE BC =
∴DF DE BF BC -=- 7分
即EF CF = 8分
（★★★）（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，
延长AE 交BC 的延长线于点F .
求证：（1）FC =AD ； （2）AB =BC +AD
【答案】解：（1）因为E 是CD 的中点，所以DE=CE.因为AB//CD ，所以∠ADE=∠FCE ，∠DAE=∠CFE.所以△ADE ≌△FCE.所以FC=AD.（2）因为△ADE ≌△FCE ，所以AE=FE.又因为BE ⊥AE ，所以BE 是线段AF 的垂直平分线，所以AB=FB.因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB==BC+AD.