频率波数谱

三、频率波数域中的面波

面波的各个模态，在时间和距离上往往是相互穿插叠合的。在频率波数域中，可以清楚地区分开面波不同模态的波动能量，从而能够单一地提取出基阶模态的频散数据。

频率波数谱、相速度、谱振幅

面波沿地表传播的波场，在时间和空间上都可以分解为正弦和余弦形式的波动组份，转换成二维的频谱。单个波动组份在时间上的频度，以每秒中的波动次数来计量，就是一般称的频率(F)，单位为赫芝(Hz)，而在空间(距离)上的频度，以每米中的波动次数来计量，称为波数(K)，单位为 1/米(1/m)。由频率波数谱中某个波动组份的频率和波数，可以确定它的周期(T = 1/F)和波长(L = 1/K)。这个波动组份的波形在波场中传播时，每个周期的时间前进一个波长，计算出的速度就是它的传播速度(Vc = L/T, 或 Vc = F/K)，也称为该组份的相速度。由波动组份正弦和余弦分量的振幅，可以合成该组份的谱振幅，反映了该组份传播的弹性能量的大小。

运用二维富里叶变换，可以将时间距离域的弹性波场数据，转换为频率波数谱数据，表现为二维座标中的图形。一般其左上角为座标原点，纵座标为频率轴，沿纵座标向下波动频率增高，也就是在时间上波动越快。横座标为波数轴，沿横座标向右波数增多，也就是在空间上波长越短。各个波动组份谱振幅的大小，用不同颜色的色标来表示,一般色度越亮，表示谱振幅越大。波动组份座标点(F,K) 和原点联线的斜率(F/K)，体现了它的相速度。这条联线越陡该波动组份的相速度越大，越缓相速度越小。

离散数据的二维富里叶变换，对于转换的频率和波数区间，都有相应的限定。转换的频率限(Fmax)是采样时间间隔(dT)的倒数的的一半(Fmax = 0.5/dT)。转换的波数限(Kmax)是采样道间距离(dX)的倒数的一半(Kmax=0.5/dX)，对于单向传播的波场，最大波数可以扩大一倍(Kmax=1/dX)。在频率和波数限定区间以外，会出现变换折叠造成的干扰。

面波的频率波数谱、谱能量轴

层状地层上激发的面波波场数据，经过频率波数转换，其波动组份的谱振幅会形成连续的线状“山脉”，其峰值点的连线称为能量轴。面波的弹性能量是在这些能量“山脉”所包含的频率和波数范围内传播的。各个能量轴的波动组份合成面波波场的各个模态。由能量轴的频率和波数值，可以计算出面波各个模态的频散特征。



左图是一个多道面波数据的频率波数谱图形。白线长框圈出的就是基阶模态的能量轴，它的右上方没有出现显著的其他能量轴，而左下方显出的不很连续的能量轴，大都是面波高阶模态的表现。基阶模态能量轴延

续性较好，贯穿的频率和波数区间，包含了面波其他能量轴的展布范围，一般能说明地层在采集排列的区间内是层状或似层状的，而且最底层的地层刚度最强。



左图是上面谱图左上部放大的图形。红色和白色的圆点分别标示出基阶模态和高阶模态能量轴上的两个波动组份。它们都位于同一频率的横线上，但具有的波数值不同。不同的波数代表不同的波长，从而相速度也有差别。相速度的差别，可以从它们和座标原点连线的斜率看出，基阶模态红点连线的斜率缓，相速度小，白点连线的斜率陡，相速度也大。

同一频率的面波波动，会出现两种以上不同相速度(不同波长)的波动组份，是层状地层中面波具有多种传播方式(模态)造成的。特别当地层中具有明显的软弱夹层时，构成的波导会导致出现强的高阶模态能量轴。


时间距离域窗口对频率波数谱的作用

为了排除其他干扰波的影响，在作频率波数转换时，对时间距离域数据加时距窗口，也就是把窗口外的波形数据置以零值。时距窗口的位置和边沿数据的梯度，对形成的频率波数谱都有影响。



左图显示的是以上谱图的面波采集数据记录，黄色线条圈出所用的时距窗口。窗口包含了完整的面波波场范围。在时间轴方向上，窗口边沿通过的数据都比较小，从而时间梯度也不会很大。但是在空间(距离)轴方向上，由于不可能将采集道延伸到面波消失的距离，所以在采集排列的两端，不可避免地会出现空间梯度很大的数据台阶。

图中的红色箭头指向面波基阶模态出现的部位，以上谱图中白色线框圈出的谱能量轴，就是时间距离域中这个部位数据的频率波数谱。由于它在时间及空间(特别在右部)都和上部的高阶模态数据交错叠合，很难单纯用时距窗口把它提取出来。





左图显示的是设置的另一个时距窗口，它圈出的主要是高阶模态(红色箭头)出现的部位。窗口下边沿通过起伏很大的波形数据，预期在谱图上将出现截断台阶的效应。下图就是用这个时距窗口作出的谱图。





左图显示的就是用以上时距窗口作出同一采集记录的谱图。其中基本显出了以上完整谱图中高阶模态的强能量轴(红色箭头)。同时在两旁出现了多条平行的弱能量轴(白色箭头)，应属于时距窗口边沿截断不当的结果，当然也会包含记录道两端的空间截断效应。


采集道间距离对频率波数谱的影响

面波的波场一般都是单向传播的。采集数据转换成频率波数谱图，其最大波数限是道间距离的倒数。例如：以上谱图波数轴右端的最大波数值 Kmax = 0.5(1/m)，就是采集道间距 2(m) 的倒数。谱图波

数轴右端的最大波数，限定了谱图能够正确确定的最小面波波长，也就是采集记录的道间距。



如果把以上 24 道的采集记录(道距为 2m)，抽取单数道，组成一个 12 道的记录(道距为 4m)，显示如左图。新记录转换成频率波数谱图，显示如下图。预期谱图波数轴右端的最大波数，将是原来 24 道记录谱图的一半，可以确定的最小面波波长，将扩大成原来谱图的一倍。





左图为 12 道新记录的频率波数谱图。它可以确定的最大波数为 0.25(1/m) ，显示在波数轴的右端(最小面波波长为 4m)。比这个波数限更大波数(更小波长) 的面波波动组份的谱能量，会在波谱转换中折叠到波数轴的左端。图中显示由左上延伸向右下的基态面波能量轴，在波数轴上的跨度比波数限更宽。它在波数轴右端被截断(红色箭头所指处)，而它的延伸部分，被折叠到谱图同一频率座标(白色横线)的波数轴的左端(黄色箭头所指处)，并向右延伸成为虚假的低波数能量轴。这种由于采集道间距过大造成的波数谱折叠，在区分面波的各个模态时会产生误会，应予识别和排除。


采集道排列长度对频率波数谱的影响

频率波数谱能够确定的面波最大波长(Lmax)，不能大于采集通道排列跨距(排列道数乘以道间距)的两倍。这个最大波长的倒数，决定了波数谱能够确定的最小波数值，也是谱图波数分辨能力的限度。采集排列越长，谱图能正确反映的面波波长越长，区分不同面波波长的能力越强，与此同时，排列两端的空间数据截断对谱图的影响也越弱。





左图是 24 道采集记录的谱图。道间距为 2m，排列跨距为 48m，对应的最小波数值为 0.0104(1/m)，以白色的垂直线表示在谱图的左方。白色箭头指出的是两端道数据空间截断产生的能量轴。由于排列长度比较大，面波的各个能量轴都比较窄，空间截断效应也比较弱，从而各个模态能量轴的区分比较明显。





左图是 24 道记录取中间 12 道所作的谱图。道间距仍为 2m，排列跨距缩短为 24m，对应的最小波数值为 0.0208(1/m)，也以白色的垂直线表示在谱图的左方。白色箭头指出的仍是两端道数据空间截断产生的能量轴。由于排列长度缩短，面波的能量轴都变宽，空间截断效应变强，各个模态能量轴的区分也变差。





左图是 24 道记录取中间 6 道所作的谱图。道间距仍为 2m，排列跨距缩短为 12m，对应的最小波数值为 0.0417(1/m)，仍以白色的垂直线表示在谱图的左方。白色箭头指出的仍是两端道数据空间截断产生的能量轴。由于排列长度更加缩短，面波的能量轴变得更宽，空间截断效应更强，各个模态能量轴的区分也相应变

得更加模糊。


以上三个不同采集排列长度的谱图左方的三条波数限度线，同时也是相应采集排列的谱图能够可靠确定的面波波长的上限。在它们左方的谱图中，能量轴表现出的波数和频率数值，只能是转换中的外推结果，已经不会有充分的时间距离域原始数据作为依据。


面波的频率波数谱向低频小波数(长波长)区延伸的表现

在频率波数谱的左上角，频率降低、波数减小，反映大深度的长波长面波应该在这个区域内分布。但正就是在这个区域，波谱对不同类型波的相对分辨能力降低，如果基阶面波不具备较强的能量峰脊，就很难提取到正确的频散数据。下图显示了在频率波数谱左上角经常遇到的图景：





左图是一个实测的面波记录的频率波数谱上，阴影圈定了明显的基阶面波的能量峰，其中白色点标记出峰脊的位置。在反映低频长波长的左上方(红框内)，分布着一些弱的能量轴，难以作出明确的选择，可靠的频散数据低频端只能到此为止。


了解基阶面波能量峰向频率波数谱左上角延伸的一般规律，将有利于识别和提取频散数据。为此，我们在这个面波记录的频率波数谱上，标上由它得到的地层模型正演的基阶和高阶频散数据点，并且正演了原来未拾取到的左上角低频频散数据点，一并显示如下图：





左图是标上了正演得到的频散数据点的实测记录频率波数谱图形。其中白色点组成的线是正演的基阶频散数据，淡灰色点组成的两条线属正演的高阶频散数据。它们的中下部均能和谱图中相应的能量峰脊相吻合，说明正演采用的地层模型正确地反映了这部分谱图的面波能量。正演基阶频散数据线向左上方的延伸部分逐渐逼近频率波数座标的原点，这就是基阶面波能量峰脊向低频小波数(长波长)区延伸的方向。
图中还以红色直线标出地层最大剪切波速(底层)在频率波数谱中反映的位置，在此红线左方出现的能量峰，其相速度都大于地层底层的波速，不属于面波能量的表现。