(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法
相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论
⑴，变形即为
sin
1
x
x
<
，其几何意义为
sin,(0,)
y x xπ
=∈
上的的点sin,(0,)
x x xπ
<∈
与原点连线斜率小于1.
⑵1
x
e x
>+⑶ln(1)
x x
>+
⑷
ln,0
x
x x e x
<<>.
将这些不等式简单变形如下：
那么很多问题将迎刃而解。
ex
x
ex
e
x
e
x
x
x
x
x
1
ln
,
,1
,1
ln
1
1-
≥
≥
+
≥
-
≤
≤
-
例析：（2018年广州一模）恒成立，
x
e
x
x
f
x
x
ax
x
f2
)
(
,0
,1
ln
)
(⋅
≤
>
+
+
=若对任意的
设
求a的取值范围。
放缩法：由可得：
1
+
≥x
e x
2
)1
(ln
1
ln
2
)1
(ln
)1
(ln
1
ln ln
2
2=
+
-
+
+
≥
+
-
=
+
-
=
+
-
+
x
x
x
x
x
x
e
x
x
xe
x
x
e
x
x
x
x
高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩
（放缩成一次函数），，
ln1
x x
≤-ln x x
<()
ln1x x
+≤
（放缩成双撇函数），，
()
11
ln1
2
x x x
x
⎛⎫
<->
⎪
⎝⎭
()
11
ln01
2
x x x
x
⎛⎫
>-<<
⎪
⎝⎭
，，
)
ln1
x x
<>)
ln01
x x
><<
（放缩成二次函数），，
2
ln x x x
≤-()()
2
1
ln110
2
x x x x
+≤--<<
()()
2
1
ln10
2
x x x x
+≥->
（放缩成类反比例函数），，
1
ln1
x
x
≥-
()
()
21
ln1
1
x
x x
x
-
>>
+
，
()
()
21
ln01
1
x
x x
x
-
<<<
+
，，()ln 11x x x +≥+()()2ln 101x x x x +>>+()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩
（放缩成一次函数），，，1x e x ≥+x e x >x e ex ≥（放缩成类反比例函数），，()101x e x x ≤≤-()10x e x x <-<（放缩成二次函数），，()21102x e x x x ≥++>2311126x e x x x ≥+++第三组：指对放缩
()()ln 112
x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩
，，. ()sin tan 0x x x x <<>21sin 2x x x ≥-
22111cos 1sin 22x x x -≤≤-第五组：以直线为切线的函数
1y x =-，，，，.ln y x =11x y e -=-2y x x =-11y x =-
ln y x x =拓展阅读：为何高考中总是考因为高考命题专家是大学老师，这些超越函数呢？和x e x
ln 他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。作为学生没有多大必要去去了解大学的知识，但是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式。即从某个点处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻0x 域中的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有：