数值分析Runge-Kutta方法综述
龙格-库塔方法（Runge-Kutta）
龙格-库塔⽅法（Runge-Kutta）龙格-库塔⽅法（Runge-Kutta）3.2 Runge-Kutta法3.2.1 显式Runge-Kutta法的⼀般形式上节已给出与初值问题(1.2.1)等价的积分形式(3.2.1)只要对右端积分⽤不同的数值求积公式近似就可得到不同的求解初值问题(1.2.1)的数值⽅法，若⽤显式单步法(3.2.2)当，即数值求积⽤左矩形公式，它就是Euler法(3.1.2)，⽅法只有⼀阶精度，若取(3.2.3)就是改进Euler法，这时数值求积公式是梯形公式的⼀种近似，计算时要⽤⼆个右端函数f的值，但⽅法是⼆阶精度的.若要得到更⾼阶的公式，则求积分时必须⽤更多的f值，根据数值积分公式，可将(3.2.1)右端积分表⽰为注意，右端f中还不能直接得到，需要像改进Euler法(3.1.11)⼀样，⽤前⾯已算得的f值表⽰为(3.2.3)，⼀般情况可将(3.2.2)的表⽰为(3.2.4)其中这⾥均为待定常数，公式(3.2.2)，(3.2.4)称为r级的显式Runge-Kutta法，简称R-K⽅法.它每步计算r个f值(即)，⽽k由前⾯(i-1)个已算出的表⽰，故公式是显式的.例i如当r=2时，公式可表⽰为(3.2.5) 其中.改进Euler 法(3.1.11)就是⼀个⼆级显式R-K ⽅法.参数取不同的值，可得到不同公式.3.2.2 ⼆、三级显式R-K ⽅法对r=2的显式R-K ⽅法(3.2.5)，要求选择参数，使公式的精度阶p 尽量⾼，由局部截断误差定义11122211()()[(,())(,)]n n n n n n n T y x y x h c f x y x c f x a h y b hk ++=--+++ (3.2.6) 令，对(3.2.6)式在处按Taylor 公式展开，由于将上述结果代⼊(3.2.6)得要使公式(3.2.5)具有的阶p=2,即，必须(3.2.7)即由此三式求的解不唯⼀.因r=2，由（3.2.5）式可知，于是有解(3.2.8)它表明使(3.2.5)具有⼆阶的⽅法很多，只要都可得到⼆阶精度R-K⽅法.若取，则，则得改进Euler法(3.1.11)，若取，则得，此时(3.2.5)为(3.2.9)其中称为中点公式.改进的Euler法(3.1.11)及中点公式(3.2.9)是两个常⽤的⼆级R-K⽅法，注意⼆级R-K⽅法只能达到⼆阶，⽽不可能达到三阶.因为r=2只有4个参数，要达到p=3则在(3.2.6)的展开式中要增加3项，即增加三个⽅程,加上(3.2.7)的三个⽅程，共计六个⽅程求4个待定参数，验证得出是⽆解的.当然r=2,p=2的R-K⽅法(3.2.5)当取其他数时，也可得到其他公式，但系数较复杂，⼀般不再给出.对r=3的情形，要计算三个k值，即其中将按⼆元函数在处按Taylor公式展开，然后代⼊局部截断误差表达式，可得可得三阶⽅法，其系数共有8个，所应满⾜的⽅程为这是8个未知数6个⽅程的⽅程组，解也是不唯⼀的，通常.⼀种常见的三级三阶R-K⽅法是下⾯的三级Kutta⽅法：(3.2.11)附：R-K 的三级Kutta ⽅法程序如下function y = DELGKT3_kuta(f, h,a,b,y0,varvec) format long; N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1); y(1) = y0; x = a:h:b;var = findsym(f); for i=2:N+1K1 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);K2 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-1)+K1*h/2]); K3 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h y(i-1)-h*K1+K2*2*h]);y(i) = y(i-1)+h*(K1+4*K2+K3)/6; %满⾜c1+c2+c3=1,(1/6 4/6 1/6)endformat short; 3.2.3 四阶R-K ⽅法及步长的⾃动选择利⽤⼆元函数Taylor 展开式可以确定(3.2.4)中r=4,p=4的R-K ⽅法，其迭代公式为111223344()n n y y h c k c k c k c k +=++++其中1(,)n n k f x y =，2221(,(,))n n n n k f x a h y b hf x y =++，⽽33311322(,)n n k f x a h y b hk b hk =+++ 44411422433(,)n n k f x a h y b hk b hk b hk =++++共计13个参数待定，Taylor 展开分析局部截断误差，使得精度达到四阶，即误差为5()O h 。
龙格库塔法解轨道参数
龙格库塔法解轨道参数引言龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用的数值计算方法，用于求解常微分方程的数值解。
在天体力学中，我们经常需要通过数值方法来计算天体的轨道参数，如轨道椭圆的长短轴、离心率、倾角等。
本文将介绍龙格库塔法在解轨道参数中的应用，并详细探讨该方法的原理和实现过程。
基本原理龙格库塔法是一种迭代求解的方法，在每个时间步长内利用当前的状态来估计下一个状态。
具体而言，龙格库塔法将微分方程的求解问题转化为一个迭代的求解问题，通过逐步迭代来逼近精确解。
在解轨道参数的问题中，我们通常需要根据已知的初始条件以及天体的质量和力学模型来求解天体的轨道参数。
常用的力学模型有开普勒模型和牛顿模型。
龙格库塔法可以根据力学模型的不同进行相应的求解。
开普勒模型下的轨道参数求解步骤一：确定初始条件在使用龙格库塔法求解轨道参数之前，我们需要确定一些初始条件。
这些初始条件包括天体的质量、位置和速度。
步骤二：选择时间步长在求解过程中，我们需要选择一个合适的时间步长。
时间步长越小，计算的精度会越高，但计算的时间会增加。
步骤三：迭代求解利用龙格库塔法进行迭代求解的具体步骤如下：1.根据当前时刻的位置和速度，计算天体在该时刻的加速度。
2.根据当前时刻的位置、速度和加速度，计算下一个时刻的位置和速度。
3.更新当前时刻的位置和速度为新的位置和速度。
4.重复上述步骤，直到达到指定的终止条件。
步骤四：计算轨道参数通过迭代求解，我们可以得到天体在不同时刻的位置和速度。
根据这些位置和速度，我们可以计算出轨道参数，如离心率、倾角、长短轴等。
常用的轨道参数计算公式如下：1.离心率：e=√1+2El2μ(GM⊕)2)2.倾角：i=arccos(ℎzℎ3.长轴：a=−μT22E4.短轴：b=a√1−e2其中，E表示能量，l表示轨道角动量，μ表示标准引力参数，G表示引力常数，M⊕表示地球的质量，ℎ和ℎz分别表示轨道角动量和轨道角动量在z轴上的分量。
2Runge-Kutta方法
( x, y, h) f ( x, y( x))
即为Euler方法
2、Runge-Kutta方法 基本思想：利用 f ( x, y ) 在某些特殊点上的函数值的线性 组合来构造高阶单步法的增量函数 N级（阶）Runge-Kutta方法的一般形式：
yn1 yn h ( xn , yn , h)
j 1
N
(1)一级二阶的隐式中点方法：
yn1 yn hk1
hk1 h k1 f ( xn , yn ) 2 2
(2)二级四阶的隐式R-K方法：
h( k1 k2 ) yn1 yn 2 hk1 1 1 3 3 k1 f [ xn ( )h, yn ( )hk2 ] 2 6 4 4 6 hk2 1 3 1 3 k2 f [ xn ( )h, yn ( )hk1 ] 2 6 4 6 4
1 3 2 c1 , c2 , a2 4 4 3
h 2 2h yn1 yn [ f ( xn , yn ) 3 f ( xn h, yn f ( xn , yn ))] 4 3 3
三级方法：N =3
类似于N =2的推导方法，可得到
1 c1 c2 c3 1; c2 a2 c3a3 ; 2 1 1 2 2 c2 a2 c3a3 ; c3a2b32 6 3
1 [(a2 h)2 f xx 2a2b21h2 k1 f xy (b21h)2 k12 f yy ] O(h3 ) 2 f ( x, y) a2h[ f x ff y ]
(a2 h)2 [( f xx 2 ff xy f 2 f yy ] O( h3 ) 2 2 2 c2 a 2 h 3 ( x , y, h) (c1 c2 ) f c2a2 hF G O( h ) 2
Runge—Kutta法求解布拉修斯解摘要薄剪切层方程主要有三种解法
Runge —Kutta 法求解布拉修斯解摘要薄剪切层方程主要有三种解法，即相似解，非相似条件下对偏微分方程组的数值解和近似解。
布拉修斯解是布拉修斯于1908年求出的，它是零攻角沿平板流动的相似解。
本文用四阶Runge —Kutta 法求解高阶微分方程的方法，并用matlab 编程实现，求得了与实际层流边界层相符合的数值解。
关键词：布拉修斯解，相似解，Runge —Kutta 法，数值解。
1 布拉修斯近似解方程二维定常不可压缩层流边界层的方程为：0=∂∂+∂∂yvx u （1）22yuv dx d y u v x u u u u e e ∂∂+=∂∂+∂∂ （2）边界条件为:0=y )(,0x v u vw==:δ=y )(x u u e =将式（1）和式（2）进行法沃克纳—斯坎变换（简称F —S 变换），将边界层方程无量纲化，即设y x v u e 5.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛=η （3）x x = （4）得出F —S 变换后的动量方程()[]()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-∂'∂'='-+''++'''+x f f xf f x f m f f m f t k221211 （5）其中k 为流动类型指标，横曲率项t 为212120cos 211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ηφe u vx L r L t （6） m 是量纲一的压力梯度参数，定义为xd du u x m ee =（7）其边界条件变为:0=η 0='f:∞=η 1='f对于二维平面实壁流动（:0=η0=w f ）可以忽略横曲率项t 的轴对称流动，式（5）成为()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-∂'∂'='-+''++'''x f f xf f x f m f f m f 2121 （8） 根据相似解的定义，方程（8）中的函数f 若式相似的，则它应只与η有关而与x 无关，即对x 的偏导数应为零。
matlab经典的4级4阶runge kutta法 -回复
matlab经典的4级4阶runge kutta法-回复使用MATLAB 实现经典的4 阶4 级Runge-Kutta 法引言：数值计算是现代科学和工程中的一个重要领域，它涉及到通过计算机模拟来解决数学问题。
在数值计算中，求解微分方程是一个常见的任务。
Runge-Kutta 法是求解微分方程的一种常见方法，它可以用于数值求解常微分方程和偏微分方程。
本文将介绍经典的4 级4 阶Runge-Kutta 法的原理，并使用MATLAB 来实现该方法。
一、原理介绍：Runge-Kutta 法是数值计算领域中最常用的方法之一。
它通过将微分方程的解逐步逼近来求解微分方程。
经典的4 级4 阶Runge-Kutta 法基于以下公式：\begin{align*}k_1 &= h f(t_n, y_n) \\k_2 &= h f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2}) \\k_3 &= h f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2}) \\k_4 &= h f(t_n + h, y_n + k_3) \\y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\end{align*}其中，h 是步长，t_n 是当前时间点，y_n 是当前的解，f(t, y) 是微分方程的右手函数。
二、算法实现：现在我们将使用MATLAB 实现经典的4 级4 阶Runge-Kutta 法，并解决一个简单的一阶常微分方程。
首先，我们定义一个MATLAB 函数，用于实现4 级4 阶Runge-Kutta 法。
函数接受输入参数为微分方程的右手函数f(t, y)，初始时间t_0，初始解y_0，以及步长h。
函数输出为一个数组，包含了每个时间点的解。
以下是MATLAB 代码实现：matlabfunction y = runge_kutta(f, t0, y0, h, num_steps)初始化解数组y = zeros(num_steps+1, 1);y(1) = y0;循环计算每个时间点的解for i = 1:num_stepst = t0 + (i-1)*h;计算k1, k2, k3, 和k4k1 = h * f(t, y(i));k2 = h * f(t + h/2, y(i) + k1/2);k3 = h * f(t + h/2, y(i) + k2/2);k4 = h * f(t + h, y(i) + k3);计算下一个时间点的解y(i+1) = y(i) + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6;endend接下来，我们使用这个函数来解决一个简单的一阶常微分方程。
数值分析Runge-Kutta-Fields方法
孙琪
【自适应龙格—库塔—费尔贝格方法】 在龙格—库塔方法中设计一个自动调节步长的方法，Fehlberg 在四阶方法和五阶方法 中选择参数从而得到具有相同函数赋值点的不同阶数的两个公式，因此只需要六个函 数赋值，便得到一个基于步长控制的局部截断误差的估计，所得到的龙格—库塔—费 尔贝格方法是五阶的。这些公式给出解的不同的近似值：
数值分析第七次程序作业
PB09001057
【问题】
应用 RKF45 或 RKF54 方法，设计实现自适应方法，求解如下常微分方程初值问题： y‘ = eyx + cos （y − x） y 1 =3 初值步长取为 h=0.01.在自适应方法中步长的选取采用第二种策略。 在解溢出前终止。 程序的输出：解的范围[1,?] 提示输入一个介于上述范围的值，应x 的值，横轴代表 t 的值，我们可以看到这与我们计算得到的结果是相同的， 所以我们得到了正确的结果。
【Mathematica 程序】
6
x t+h =x t +
i=1 6
ai Fi
x t+h =x t +
i=1 i −1
bi Fi
Fi = hf(t + ci h, x +
j=1
dij Fj )
误差项为：
6
e = x t+h −x t+h =
i=1
(ai − bi )Fi
其中公式中要求的多项式系数都已给出。 同时，另一个通用的每步控制误差的公式是： h = 0.9h[ δ 1/(1+p) ] e
取 M=100，δ = 10−5 ，b=2 得到：
二、
取 h=0.01，采取第二种策略 即有采用公式： h = 0.9h[ δ 1/(1+p) ] e
2Runge-Kutta方法
显式单步法的一般形式： yn1 yn h ( xn , yn , h) 构造高阶方法，即如何确定增量函数 ( x, y, h) 使得该方法的局部截断误差的阶数尽量高。
y( xn1 ) yn1 O(h
1、Taylor级数方法
p 1
) p 为尽可能大的整数
yn1 yn hf ( xn
1 Runge-Kutta二级方法 取 c1 c2 , a2 1 2
2
, yn
2
f ( xn , yn ))
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn h, yn hf ( xn , yn ))] 2
此时将步长折半一次计算，得到的为最终结果。
§3 单步法的收敛性、相容性和绝对稳定性
一、收敛性 /*Convergence*/
dy f ( x, y ) Def 1 对于初值问题 dx () 的一种 y( x0 ) y0 ; x x0
单步法 yn1 yn h ( xn , yn , h) 产生的近似解，如果
dy f ( x, y ) 设 y( x )满足初值问题： dx ( ) y( x0 ) y0 ; x x0
h y( xn1 ) yn1 y( xn ) hy( xn ) y( xn ) 2 ! h p ( p) p 1 y ( xn ) O( h ) yn h ( xn , yn , h) p!
前式中参数的求解方法
利用二元函数的Taylor展开公式：
1 i f ( x h, y k ) (h k ) f ( x , y ) x y i 0 i !
4阶runge-kutta原理
4阶Runge-Kutta方法是一种数值求解常微分方程的方法，它通过迭代的方式逐步逼近微分方程的解。
本文将从原理、推导以及应用等方面对4阶Runge-Kutta方法进行详细解读。
1. 原理4阶Runge-Kutta方法是数值分析中常用的数值解常微分方程的方法之一。
它的核心思想是利用哈密顿显式中点法求解微分方程。
该方法通过将微分方程的解离散化，然后通过计算每一步的斜率来逐步逼近方程的解，最终得到数值解。
2. 推导假设我们要求解如下的一阶常微分方程初值问题：$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$y(x_0) = y_0$其中$f(x, y)$是关于$x$和$y$的函数，$y_0$是初值，$x_0$是初始点。
现在我们希望通过4阶Runge-Kutta方法来求解上述方程。
我们将自变量$x$进行离散化，即将其分成$n$个小区间，每个小区间长度为$h$，即$x_i = x_0 + ih$，$i=0,1,2,...,n$。
然后我们利用下面的迭代公式来计算每一步的$y$的近似值：$k_1 = h f(x_i, y_i)$$k_2 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2})$$k_3 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2})$$k_4 = h f(x_i + h, y_i + k_3)$$y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$式中，$k_1$、$k_2$、$k_3$、$k_4$分别表示斜率的四个近似值，$y_{i+1}$表示下一个点的近似值。
3. 应用4阶Runge-Kutta方法在实际工程问题中有着广泛的应用。
它不仅可以用来解决一阶常微分方程，还可以推广到高阶微分方程、常微分方程组以及偏微分方程等更复杂的问题。
由于该方法的高精度和稳定性，它也被广泛应用于科学计算领域，例如物理学、工程学、生物学和经济学等各个领域。
数学实验“微分方程组数值算法四阶Runge-Kutta数值算法”实验报告(内含matlab程序)
N=(b-a)/h;
y=zeros(N+1,1);
y(1)=y0;
x=a:h:b;
var=findsym(f);
fori=2:N+1
K1=Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);
K2=Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-1)+K1*h/2]);
四、实验原理：
四阶Runge-Kutta数值算法：
对于求解一阶微分方程组问题
由初值问题的经典Runge-kutta公式可得一阶常微分
%四阶Runge-Kutta数值算法
functiony=DELGKT4_lungkuta(f, h,a,b,y0,varvec)
实验内容
微分方程组数值算法——四阶Runge-Kutta数值算法
成绩
教师
实验二十六实验报告
一、实验名称：微分方程组数值算法——四阶Runge-Kutta数值算法。
二、实验目的：进一步熟悉微分方程组数值算法——四阶Runge-Kutta数值算法。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
K3=Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-2)+K2*h/2]);
K4=Funval(f,varvec,[x(i-1)+h y(i-1)+h*K3]);
y(i)=y(i-1)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
formatshort;
西京学院数学软件实验任务书
Runge-Kutta法
3½×RK· ¨
1.422
¸ ĽøEuler· ¨
1.42
1.418 0.2965 0.297 0.2975 0.298 0.2985 0.299 0.2995 0.3 0.3005 17
§ 7.2 Runge-Kutta法
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法简称R-K法，是一种应用较广的 高精度的单步法。
所谓单步法就是在计算yi时只用到前一步信息yi-1的方法。
本节介绍R-K法的构造原理、常用公式。
1
一、Runge-Kutta方法的构造原理 对于常微分方程的初值问题
y f ( x , y ) y( a ) y0 a xb
另一方面
h2 y( xi 1 ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) o(h3 ) 2
9
式（6）的局部截断误差:
en (h) y ( xi 1 ) yi 1 1 h 1 (1 2 ) y( xi ) h2 22 y( xi ) o(h3 ) 2
1 2 1 1 2 2 2
有无穷多组解，从而可以得到许多具体的二阶R -K公式 如：
1 2 1，2 1
1 1 0， 2 1， 2 2
10
用类似的方法也可以构造三阶R-K公式
h yi yi 1 ( K1 4 K2 K3 ) 6 K1 f ( xi 1, yi 1 ) h h K 2 f ( xi 1 , yi 1 K1 ) 2 2 K3 f ( xi 1 h, yi 1 h(2 K2 K1 ))
因而方法(8)有4阶精度
12
例1. 使用高阶R-K方法计算初值问题
Runge-Kutta方法
Runge-Kutta方法
由二元函数Taylor展开式:
k2 hf (xn , yn ) h2 fx(xn , yn ) hk1 f y(xn , yn ) O(h3) hy(xn ) h2 (fx(xn , yn ) f (xn , yn ) f y(xn , yn )) O(h3)
k1 hf (xn , yn )
k2
hf
( xnΒιβλιοθήκη 1 2h,yn
1 2
k1 )
这是二阶R - K方法.
(3)
取1
1 4
,
可得2
3 ,
4
2 ,又有算式 3
yn1 yn 14（k1 3k2 ) k1 hf (xn , yn )
k2
hf
( xn
2 3
h,
yn
2 3
k1 )
这也是二阶R - K方法。
k2
hf
( xn
(1 2
3 6
)h,
yn
(1 4
3 6
)k1
1 4
k2
)
数值计算方法
数值计算方法
Runge-Kutta方法
受改进的Euler方法启发，更一般算式可设为
yn1 yn 1k1 2k2
k1 hf (xn , yn )
(n 0,1,2,...)
k2 hf (xn h, yn k1)
适当选择参数1，2，，，使局部截断误差
Tn1 y(xn1) yn1 O(h3 ),这里仍假定yn y(xn )。
(h (h 1
2
1 2
(h
)
2
)
yn
(h)2 1 (h
4
)3
)
滤波算法 龙格库塔算法-概述说明以及解释
滤波算法龙格库塔算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：滤波算法和龙格库塔算法是计算机科学领域中常用的算法之一，它们在数据处理和数值计算中有着重要的应用价值。
滤波算法被广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域，用于消除信号中的噪声和提高数据的质量。
而龙格库塔算法则是一种常用的数值求解微分方程的方法，能够有效地对复杂的数学模型进行数值求解，具有较高的准确性和稳定性。
本文将分别介绍滤波算法和龙格库塔算法的原理、优缺点以及应用领域，希望读者通过本文能够对这两种算法有更深入的了解，并在实际应用中能够灵活运用。
1.2 文章结构本文将分为四个部分来探讨滤波算法和龙格库塔算法。
首先在引言部分，对滤波算法和龙格库塔算法进行简要介绍，并说明本文的结构和目的。
接着在第二部分，详细介绍滤波算法的概念、常见算法和应用场景，以便读者对滤波算法有个全面的了解。
然后在第三部分，深入探讨龙格库塔算法的简介、原理和优缺点，帮助读者更好地理解这一种数值计算方法。
最后，在结论部分对两种算法进行总结，并展望未来可能的发展方向，以及得出结论。
通过以上四个部分的内容，读者能够全面了解和掌握滤波算法和龙格库塔算法的相关知识。
1.3 目的本文的主要目的是介绍和探讨滤波算法和龙格库塔算法这两种在计算机科学和工程领域中广泛应用的算法。
通过对这两种算法的概述、原理和应用进行详细分析，能够帮助读者全面了解它们的工作原理和特点。
同时，通过对这两种算法的比较和讨论，可以帮助读者更好地理解它们在不同应用场景下的适用性和优缺点。
此外，本文还旨在为读者提供一个深入学习和掌握这两种算法的基础知识和入门指南。
通过本文的学习，读者可以加深对滤波算法和龙格库塔算法的理解，为进一步的研究和实践打下坚实的基础。
同时，希望本文能够激发读者对算法领域的兴趣，促使他们深入研究和探索更多先进的算法及其应用。
2.滤波算法2.1 滤波算法概述滤波算法是一种用于处理信号或数据的技术，其主要目的是通过去除噪声或不需要的信息，从而提取出所需的信号或数据。
runge kutta法总结
四阶误差 0.0000 1.60E-7 3.40E-7 5.48E-7 7.69E-7 9.95E-7 1.20E-6 1.42E-6 1.68E-6 1.96E-6 2.32E-6
二阶误差 0.000000 2.38E-3 7.09E-3 1.44E-2 2.45E-2 3.78E-2 5.45E-2 7.51E-2 9.99E-2 1.29E-1 1.64E-1
此处即通过计算已知点的函数值(K1,K2)的线性组合代替高阶导数， 得到了较高的精度。
Runge-Kutta方法的推导
Runge-Kutta方法的一般形式：
r Yn 1 Yn h ci K i i 2,3,, r i 1 i 1 , K1 F (t n , Yn ) i ij i 1 j 1 K F (t h, Y h K ) n i n ij j i j 1
Runge-Kutta积分方法
dY F (t , Y )，一般的解法可以表示为：Yn 1 Yn h D(t n , Yn ). dt 其中D(t n , Yn )是动点在(t n , t n 1 )中的平均速度。设Yn是精确的， 对 h2 h3 Y (t n 1 ) Y (t n h) Y (t n ) hY (t n ) Y (t n ) Y (t n ) 2 3! 所以得到：
结果及比较
结果及比较
四阶显式Runge-Kutta方法
f2
f4
f3
f1
f
f 1 f1 2 f 2 2 f 3 f 4 6
xn
xn + h/2
xn + h
例 求解初值问题ODE : dy y x 2 ,
数值分析72龙格—库塔方法剖析
半计算,直至Δ<ε为止,这时取最终得到的 作为结yn果h21；
2.如果Δ<ε，我们将反复将步长作加倍计算，直 至Δ>ε为止，这时再将步长折半计算一次，就得到所
要的结果. 这种通过加倍或折半处理步长的方法称为变步长
方法.表面上看，为了选择步长，每一步的计算量增 加了，但总体考虑往往是合算的.
其中
y( xn1)
yn
hyn
h2 2
yn
h3 3!
ynO(h4 ),来自ynf ( xn, yn )
fn,
yn
d dx
f ( xn , y( xn ))
f x( xn , yn )
fn f y( xn , yn ),
yn
f xx 2 fn f xy
f
2 n
f
yy
f y[ f x
fn f y].
在选择步长时，需要考虑两个问题：
1. 怎样衡量和检验计算结果的精度？
2. 如何依据所获得的精度处理步长？
我们考察四阶R-K公式(3.13) ，从节点xn出发，
先以h为步长求出一个近似值，记为 yn(h)1，由于公式
的局部截断误差为O(h5)，故
y( xn1 )
y(h) n1
ch5 ,
(3.14)
然后将步长折半，即取为步长
yn1
yn
h 2 (K1
K2 ),
K1 f ( xn , yn ),
K
2
f ( xn1 , yn hK1 ).
如取a=1，则c1=0, c2=1, λ2=μ21=1/2. 得计算公式
yn1
yn
runge-kutta方法
runge-kutta方法Runge-Kutta方法是求解常微分方程组的一种常用数值方法，它是由德国数学家卡尔·龙格和马丁·库塔（Martin Kutta）发明的。
该方法是一种高阶精度的方法，可以求解一阶或高阶的常微分方程组。
$$ y_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^s b_i k_i $$$y_n$表示第$n$个步骤中的输出，$y_{n+1}$是下一个步骤的输出。
$k_i$表示第$i$个中间变量，$b_i$是权值，它们是根据所采用的方法计算得出的。
我们将在下文中详细介绍这些变量和权值的计算方法。
在数值计算中，我们通常采用自适应步长的方法，这需要我们给出一个误差容限值$\epsilon$，根据误差限定步长大小。
如果当前步长不满足误差要求，我们会将步长缩小再进行计算，或者选择更高阶的方法进行计算，以提高精度。
接下来我们将详细介绍如何使用Runge-Kutta方法求解常微分方程组。
1. Runge-Kutta方法的中间变量$k_i$的计算我们需要计算中间变量$k_i$的值。
它们的计算公式如下：$$ k_1 = hf(t_n, y_n) $$$$ k_2 = hf(t_n + c_2 h, y_n + a_{21}k_1) $$$$ ... $$$$ k_s = hf(t_n + c_s h, y_n + \sum_{j=1}^{s-1}a_{sj}k_j) $$$h$表示步长大小，$t_n$和$y_n$分别表示当前时间和状态，$c_i$和$a_{ij}$是与所采用的方法相关的常数。
$$ c_2 = \frac{1}{2} , a_{21} = \frac{1}{2}$$- 改进的Runge-Kutta方法（RK4）：根据具体选择的方法，我们可以计算出$k_i$的值。
$b_{ij}$也是与所采用的方法相关的常数，对于不同的方法而言，它们的计算公式不同。
根据计算出的中间变量$k_i$和权值$b_i$，我们可以进行Runge-Kutta方法的迭代，求解常微分方程组。
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法
( )
dy dy y′ = = f, y′′ = f x + f y = f x + ffy = F dx dx F F dy F F y′′′ = + = +f x y dx x y F = f xx + f x f y + ffyx = f xx + f x f y + ffxy x F 2 2 f = f(fxy + f y f y + ffyy ) = ffxy + ffy + f f yy y
y ( x) = e
但
x2
∫
x
0
e dt
t2
∫
x
0
e dt 难以求积
t2
ODE数值解的基本思想和方法特点 数值解的基本思想和方法特点
1. 离散化 级数、 用Taylor级数、数值积分和差商逼近导数， 级数 数值积分和差商逼近导数， 将 ODE转化为离散的代数方程 称差分方程 。 转化为离散的代数方程(称差分方程 转化为离散的代数方程 称差分方程)。
(ha2 ) + (ha3 ) +
f 2 2! x
2 2 2
(ha f ) +
2
2
K3 f + ha3 f x + h (a3 b32 ) f + b32 K2 f y 2! 2! + h2a3 (a3 b32 ) f + b32 K2 f xy f xx + h (a3 b32 ) f + b32 K2
2
Euler法 后退 法 ym+1 = ym + hK2 + O(h2 ) K2 = f ( xm + h, ym+1 )
Matlab中龙格-库塔（Runge-Kutta）方法原理及实现
函数功能ode是专门用于解微分方程的功能函数，他有ode23,ode45,ode23s等等，采用的是Runge-Kutta算法。
ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(Δx)³。
解决的是Nonstiff(非刚性)的常微分方程.是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解.使用方法[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名tspan 是区间[t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]y0 是初始值向量T 返回列向量的时间点Y 返回对应T的求解列向量[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等[T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options)在设置了事件参数后的对应输出TE 事件发生时间YE 事件解决时间IE 事件消失时间sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)sol 结构体输出结果应用举例1 求解一阶常微分方程程序:一阶常微分方程odefun=@(t,y) (y+3*t)/t^2; %定义函数tspan=[1 4]; %求解区间y0=-2; %初值[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0);plot(t,y) %作图title('t^2y''=y+3t,y(1)=-2,1<t<4')legend('t^2y''=y+3t')xlabel('t')ylabel('y')% 精确解% dsolve('t^2*Dy=y+3*t','y(1)=-2')% ans =一阶求解结果图% (3*Ei(1) - 2*exp(1))/exp(1/t) - (3*Ei(1/t))/exp(1/t)2 求解高阶常微分方程关键是将高阶转为一阶,odefun的书写.F(y,y',y''...y(n-1),t)=0用变量替换,y1=y,y2=y'...注意odefun方程定义为列向量dxdy=[y(1),y(2)....]程序:function Testode45tspan=[3.9 4.0]; %求解区间y0=[2 8]; %初值[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')legend('y1','y2')title('y'' ''=-t*y + e^t*y'' +3sin2t')xlabel('t')ylabel('y')function y=odefun(t,x)y=zeros(2,1); % 列向量y(1)=x(2);y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);endend高阶求解结果图相关函数ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tbMatlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
Runge-Kutta积分方法
微分方程
Runge-Kutta方法基于微分方程，用 于求解未知函数的导数或偏导数。
数值近似
通过在离散点上取值来近似连续函数 的积分，Runge-Kutta方法提供了一
种数值求解微分方程的方法。
线性插值
Runge-Kutta方法在离散点之间进行 线性插值，以估计函数在未知点的值。
方法的实现步骤
初始条件
为求解微分方程，需要提供初始条件，即函数在某一点的取值。
离散化
将微分方程的求解区间离散化，将连续的时间或空间划分为若干个离散点。
参数选择
根据微分方程的性质和精度要求，选择合适的Runge-Kutta方法参数。
迭代计算
根据离散点和参数，进行迭代计算，逐步逼近微分方程的解。
方法的收敛性与稳定性
收敛性
Runge-Kutta方法的收敛性是指 随着离散点数增加，数值解逐渐 接近真实解。
自适应步长Runge-Kutta方法
总结词
自适应步长Runge-Kutta方法是一种结合了 变步长策略的数值积分方法，通过自动调整 步长以适应解的性质，提高数值积分的精度 和稳定性。
详细描述
自适应步长Runge-Kutta方法在每一步计算 后，根据解的局部误差估计自动调整步长。 这种方法能够更好地处理解的局部变化，避 免因固定步长而产生的数值振荡或误差累积
改进方向
优化算法
通过改进Runge-Kutta方法的算法，减少计算量，提 高计算效率。
引入并行计算
利用并行计算技术，加快Runge-Kutta方法的计算速 度。
改进步长选择策略
通过改进步长选择策略，提高数值解的精度和稳定性。
05
Runge-Kutta方法的实例分 析
微分方程数值解法实验报告-Runge-Kutta格式、三阶Admas
《微分方程数值解法》课程实验报告1 实验内容要求：用经典三级三阶R-K 格式求解微分方程初值问题，并给出误差分析。
2算法描述先用C 的方法写出一个算法动态库,里面封装龙格库塔算法函数采用迭代原理，用递归实现,生成并模块化导出dll,lib 文件,两个文件中均包含了该函数偏移地址,在在源文件中隐式链接该库里的龙格库塔函数,从而得出结果.3 实验数据与实验结果 ⎩⎨⎧=-+-==1|1'0x y x y y1.0)1,0(=∈h x4 程序代码清单：Win32动态库Algorithm.dll 代码: #include <stdio.h> #include <math.h>#define e 2.718281828459045double x[11]={0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}; double y[12]={1.0,0}; int x1=0,x2=1; int count=1;void RungeKutta(double h){ double K1,K2,K3; double ExactSolution; double Error; if(count==12){ return; } K1=-y[count-1]+x[count-1]+1; K2=-(y[count-1]+h*K1/3)+(x[count-1]+h*K1/3)+1; K3=-(y[count-1]+2*h*K2/3)+(x[count-1]+2*h/3)+1; y[count]=y[count-1]+h*(K1+3*K3)/4; ExactSolution=x[count-1]+pow(e,-x[count-1]); Error=y[count-1]-ExactSolution; printf("%lf %lf %lf %lf\n",x[count-1],ExactSolution,y[count-1],Error);count++; RungeKutta(h); }模块化导出文件Algorithm.def代码:LIBRARY AlgorithmEXPORTSRungeKutta @1入口函数实现功能代码:#include <stdio.h>#pragma comment(lib,"../lib/Algorithm.lib")int main(){double h;printf("用三级三阶龙贝格库塔方法解微分方程y'=x-y+1,x属于区间(0,1)\n");printf("请输入系数h的值:\n");scanf("%lf",&h);printf("-----------------------------------------------------\nx 精确解 R-k解yn 误差:\n");RungeKutta(h);return 0;}5:运行结果:1 实验内容要求：用三阶Admas 预报修正格式求解差分方程初边值问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Runge-Kutta方法
4 4
第五章 常微分方程数值解法 yi1 yi h[ 1 K1 2 K2 ... m Km] 其中i ( i = 1, …, m )，i ( i K1 f ( xi , yi ) = 2, …, m ) 和 ij ( i = 2, …, m; j = 1, …, i1 ) 均为待定 K2 f ( xi 2 h, yi 21 hK1 ) 系数，确定这些系数的 K3 f ( xi 3 h, yi 31 hK1 32 hK2 ) 步骤与前面相似。 ... ... Km f ( xi m h, y m1 hK1 m2 hK2 ... m m1 hKm1 ) 最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
3 要求 Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h ) ，则必须有：
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 2 1 就是改进的欧拉法。
2 2
将改进欧拉法推广为：
yi 1 K1 K2 yi h [1 K 1 2 K 2 ] f ( x i , yi ) f ( xi ph, yi phK1 )
第五章 常微分方程数值解法
d f ( x, y) dx 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有 2阶 dy 精度，即在 yi y( xi ) 的前提假设下，使得 f x ( x, y) f y ( x, y) dx Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h3 ) f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
第五章 常微分方程数值解法
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较
yi 1 yi (1 2 )h y( xi ) 2 ph2 y( xi ) O(h3 )
h2 y( xi 1 ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) O( h3 ) 2
Step 2: 将 K2 代入第1式，得到
yi 1 yi h 1 y( xi ) 2[ y( xi ) phy( xi ) O( h2 )]
3 3
§3 Runge-Kutta方法
2 3 y ( ) h y ( x ) ph y ( x ) O ( h ) i 1 2 i 2 i © 2009, Henan Polytechnic University
பைடு நூலகம்
O(h6 )
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受
解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好 采用低阶算法而将步长h 取小。
深入研究龙格库塔法请看此处！
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Runge-Kutta方法
6 6
第五章 常微分方程数值解法
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xi ph, yi phK1 ) f ( xi , yi ) phf x ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O( h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
5 5
第五章 常微分方程数值解法
注：
龙格-库塔法的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算 f 的
值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精 度阶数的关系：
每步须算Ki 的个数 可达到的最高精度
2
3
4
5
6
7
n8
O(hn2 )
4 3 4 5 O(h2 ) O(h ) O(h ) O(h ) O(h )
• 7.2 RungeKutta方法
• 由Taylor公式：
– 7.2.1 构造高阶单步法的直接方法
y ( xi 1 ) y ( xi h )
h2 h p ( p) y ( xi ) hy ' ( xi ) y" ( xi ) ... y ( xi ) 2! p! h p 1 y ( p 1) ( ) ( p 1)!
第三节
Runge-Kutta方法
1
第五章 常微分方程数值解法
§3 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method */
建立高精度的单步递推格式。
单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜 率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所 能达到的最高精度为2阶。
y i 1 K1 K2 K3 K4
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Runge-Kutta方法
yi h ( K1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 f ( xi , yi ) h f ( xi h , y K1 ) i 2 2 f ( xi h , yi h K2 ) 2 2 f ( x i h, yi hK 3 )
考察改进的欧拉法，可以将其改写为： 斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？
y i 1 K1 K2
1 1 y i h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi h, yi hK 1 )
步长一定是一个h 吗？
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Runge-Kutta方法