2.1~可导性与连续性的关系(精)

lim y lim [ f ( x 0 )x x ] 0
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立. 如 例4
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3 例6 讨论f (x)= x 在点x=0处的连续性与可导性.
f ( x ) lim3 x 0 f (0). 解 lim x 0 x 0
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练习题答案
一、1、 f ( x 0 ) ； 2、 f ( x 0 ) ； 1 5 2 2 1 3、 x 3 , 3 , x 6 ； 3、 4 x 2 , 2 x 2 ； 3 6 x 5、 x y 1 0 . 四、(1)当 k 0 时, f ( x ) 在 x 0 处连续； (2)当 k 1时, f ( x ) 在 x 0 处可导,且 f ( 0) 0 ； (3)当 k 2 及 x 0 时, f ( x )在 x 0 处连续. 五、 a 2, b 1. cos x , x 0 六、 f ( x ) . x 0 1,
因此 f ( x) 3 x
在点x=0处连续， 又
3 1 f ( x ) f ( 0) x lim lim lim x 0 x 0 3 x 0 x x x2
.
因此 f ( x) 3 x 在点x=0处不可导. 综上所述, 若y=f (x)在点x0处可导, 则y=f (x)在点x0 处连续, 反之不然. f (x)在x=x0 处不连续， f (x)在x=x0处是否可导?
'
即函数f x 在x 1处连续 . (2)讨论函数在 x 1 处的可导性
又 f 1 1
x 1 0
x 1 0
lim f x lim x 2 1
x 1 0
3.
2.
所以函数在此点不可导.
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1 k x sin , x 0 四、 设函数 f ( x ) 问 k 满足什么条 x 0 , x 0 件， f ( x ) 在 x 0 处 (1)连续； （2）可导； （3）导数连续 . x2 , x 1 五、 设函数 f ( x ) ,为了使函数 ax b , x 1 f ( x ) 在 x 1 处连续且可导， a , b 应取什么值. sin x , x 0 六、 已知 f ( x ) ,求 f ( x ) . x, x 0
不可导!
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3 x 2 例7 讨论函数f x 2 x
lim f x lim 3x 2 1
x1 x1
在点 x 1
处的连续性和可导性 解 (1)讨论函数在 x 1 处的连续性
x 1 0
f 1 x f 1 lim 31 x 2 1 f 1 lim x 0 0 x x 0 0 x 2 f 1 x f 1 1 x 1 f ' 1 lim lim x 0 0 x 0 0 x x
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五、可导与连续的关系
定理
证
凡可导函数都是连ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
y lim f ( x 0 ) x 0 x y f ( x 0 ) x
0 ( x 0 )
x 0 x 0
y f ( x0 )x x