初一绝对值问题较难问题详解

初一绝对值问题较难问题

详解

Prepared on 24 November 2020

初一绝对值问题较难问题详解

例1211x x x -+-=

分析：倒推不是很方便我们采用0点法去掉绝对值。先从最里面去。

大情形2个1x ≥的时候有211x x x -+-= 有311x x --= 其实显然有 3x-1-x=1 x=1

大情形2 x<1的时有211x x x --+=

11x x -+=这里没上个大情形好办绝对值有商量的余地当1x ≥-的时候有左边为x-x-1=-1的绝对值是1恒等式

小 情况2x<-1 得到11x x ++=得到x=0或-1都不在大前提下矛盾。

综上11x -≤≤为所求

例2 224321x x --=-求所有解的和

分析; 12

x ≥左边显然非负利用非负性得到 接下来我们再用0点法去绝对值大情况1 2x ≥时候

4x-11=2x-1 x=5

大情形2 x<2的时候843x -- =2x-1

8-4x-3=2x-1 x=1解的和为6

例3 a,b,c,d 为整数2a b b c c d d a +++++++=求d a +

分析：4个非负整数和为2，可能为3个0一个2或2个0，2个1

第一个情况是不存在的由对称性不妨设前3个加数为0 a+b=0,b+c=0,c+d=0,得到a=c,b=d

得到b==-a 结果a+d=0与绝对值为2矛盾。那么只能是2个1，2个0

所以结果为1或0

例4 (2)21a x a b +-+<解集是13x -<<求a+b

分析;采用端点代入法我们可以得到221a a b ---+=，31a b +=

再把-3代入当方程解3621a a b +-+=得到7a b += 于是代入731a a +=+ 所以a+7=3a+1或a+7+3a+1=0

3a =,10b =或2,5a b =-=只第一组代入验算确实-1

例5设d c b a ,,,都是实数，若,2,4=+=+d c b a 且

b d a

c

d b c a -+-=-+-，

则d c b a +++的最大值为_____________

分析：注意a+b 为一个整体，c+d 为一个整体分别设为x,y 我们得到了

4,2x y == 且x y y x -=-马上就有y>x 所以x=-4,y=2或-2题目问的相当于x+y 的最大值那就是-2

例6

求2222232{25[4(2)]}x y xy x y xy x y ----的值

分析：此题要求值先要求出x,y 。此题结构如此复杂肯定考了配对思路。注意积累经典的模型()x a x b a b -+-<最小值b-a a x b ≤≤取最小()x a x b a b ---<最小为a-b

X 不大于a 取最小值这2条通过结合数轴都很容易证明

14x x -+-≥3，23x x ---≥-1第一个取等号的条件是1≤x ≤4第二个条件是x ≤2

综上1≤x ≤2的时候第一个括号取得最小2，我们看第二组51x x ++-≥6，31y y -++≥4第二组结果至少4所以最小为10(-5≤x ≤1,-1≤y ≤3) 第三组在用配对思路23y y -++不小于5，1y +不小于0和不小于5

所以三个括号的积不小于100所以第一个为2，第二个为10，第三个为5 有分析的取等号的条件可以得到x=1,y=-1

然后化简得到2222232{25[4(2)]}x y xy x y xy x y ----=229344x y xy -

代入得到 -93-44=-137

例7 0

分析:我们把x=1-9分别代入可以确定a 的范围 -2≤a ≤6

所以0≤a ≤6整数有7个和为21

例8已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值

分析：分析我们先把明显的绝对值符号去掉 2y-x-4=2(y-1)-(x+1)-1<0所以第三个和第二个加数的绝对值没有商量马上去掉得到

1425M x y y x y x y x y =+++++-=+++-

X=-1,y=1的时候M 取得最小值3 分两种情况当x+y 不小于0的时候得到M=2x+5

M 最大值为7当x+y 不大于0的时候M=-x-y+5+x-y=5-2y y=-1的时候最大为7 综上M 的最大值为7，最小值3

小结：解决绝对值问题注意方法就是定义，非负性，结合数轴，0点分区间。当然还要注意可以积累一些经典模型，做题就变得很容易。我们如果遇到多重绝对值的问题可以倒推或从内到外去掉绝对值符号。注意特别是指定了范围的可以没有讨论余地的绝对值先处理能商量的后处理，这样计算可以变得简洁。0点分区间是用定义来得最直白的方法但是在应用之前可以先想下有无更好的方法。特别可以注意配对思路和例5两个基本模型的应用。看到重复结构的换元那些意识是基本功。深刻体会分类讨论和数形结合的思想。