南昌大学概率论期末试卷2011-2013答案.

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概率论期末考试和答案

概率论期末考试和答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从二项分布B(3,0.5)，则P(X=2)为（）。

A. 0.375B. 0.5C. 0.25D. 0.125答案：A2. 已知随机变量X服从标准正态分布，P(X<0)=0.5，则P(X>1)为（）。

A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：A3. 若随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则E(X)为（）。

A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，则P(X=1且Y=1)为（）。

A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.75答案：A5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，则P(X<0)为（）。

A. 0.0228B. 0.9772C. 0.5D. 0.1587答案：A6. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X>1)=0.7，P(Y<2)=0.4，则P(X>1且Y<2)为（）。

A. 0.28B. 0.56C. 0.7D. 0.4答案：A7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,4)，则E(X)为（）。

A. 2C. 0D. 1答案：A8. 若随机变量X服从指数分布，其参数λ=0.5，则P(X>3)为（）。

A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.75答案：A9. 已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(-1<X<1)为（）。

A. 0.6827B. 0.8413C. 0.9772答案：A10. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X=0)=0.4，P(Y=1)=0.6，则P(X=0且Y=1)为（）。

A. 0.24B. 0.4C. 0.6D. 0.16答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.4)，则P(X=3)=_________。

36学时B卷2012-2013-1南昌大学考试试卷

2 ，且该两数之和不大于 1 9
四、得分评阅人
设随机变量 X 在（0，1）内服从均匀分布，求 Y 2 ln X 的概率密度.
第 3 人
设二维随机变量 X 与 Y 的联合概率密度函数为
x y, f x, y 0
求E X2 .
0 x 1, 0 y 1, 其他,

第 4 页共 4 页
—南昌大学考试试卷—
【适用时间：2012～2013 学年第一学期课程编号：课程名称：概率论与数理统计试卷类型：[B]卷】教 49
试卷编号：
教师填写栏
试卷说明：
1、本试卷共 4 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
开课学院：适用班级：
理学院理工类 36 学时
考生填写栏
所属学院：所属专业：考生须知考生承诺
得分一、设连续型随机变量的概率密度为
评阅人
A , f ( x) 1 x 2 0,
试求：(1)系数 A；
1 1 (2) 落在 ( , ) 内的概率. 2 2
| x | 1 | x | 1
二、
得分
评阅人
有三个形状相同的罐，在第一个罐中有 2 个白球和 1 个黑球，在第二个罐中有 3 个白球和 1 个黑球，在第三个罐中有 2 个白球和 2 个黑球.现任取一罐，从中任取一球，试求取得白球的概率.
第 2 页共 4 页
得分三、
评阅人
在区间（0，1）中随机地取两个数，试求取得的两数之积不大于的概率.
考试形式：考试时间：
闭卷 120 分钟
题号题分得分

南昌大学期末考试试卷(所有答案).doc

南昌大学期末考试试卷(所有答案)XXXX第二学期结束时，南昌大学，试卷一，卷一，选择题。

“A”的ASCII码是65，n是整数，n=“A”，“6”-“3”；之后，n的值是b。

a)“d”b)68c)不确定值d)编译错误2。

在下列变量名中，a是合法的。

在A)中国B)字节之后，n的值是Ba)“d”b)68c)不确定值d)编译错误2。

在下列变量名中，a是合法的。

中国字节:字符通道.a)包含1个字符和2个字符c)包含3个字符是非法的9。

在下面对c和c之间关系的描述中，d是错误的。

a)语言c是c的子集；c语言与c语言兼容；C)c对c语言做了一些改进；c和c语言都是面向对象的。

10.下面对类概念的描述是错误的。

类是C语言中的结构类型；b)类是具有共同行为的几个对象的统一描述；类是创建对象的模板；d)类是抽象数据类型的实现。

11.在下列选项中，符合C语法的赋值表达式是C。

A)d=' 2e A)d=' 2e，' b) c) d 5='1' 1212.；表达式3)可以被理解为b. a)用于(；0 )b)对于(；1 )c)对于(；表达式1) d)表示(；表达式-省略部分-)1.一个错误a1='10a2=20a3=31a4=41 '扣1分2.三角形，得3分* * * * * * * * * * * *3.如果格式不正确，扣1分1220分4.如果顺序不正确，每点:4圆半径:5圆析构函数扣1分！点析构函数！五、程序设计问题(每项10分，共20分)1、# include # define size 10 void main(){ int数据[大小]；m .请输入“[m”数据；int j=0，k=0；对于(int I=1；[[j])j=I；否则，如果(数据[I]0){ int d=数据[0]；数据[0]=数据[k]；数据[k]=d；} if(k2，# include lass date { public : CD ate()函数重载year=' y；月=m；day=d；'(int y，int m='1，int '成员函数设置默认参数void print date()；打印日期无效设置日期(int sy，int sm，int sd)非静态函数设置日期{ year=' sy月=sm。

09-10第一学期南昌大学概率论期末试卷

一、填空题(每题4分, 共20分)1.设事件A , B 是互不相容的, P (A )=0.5, P (B )=0.3,则)(B A P =_____2.已知P (A )=P (B )=P (C )=2/5, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=1/6,则事件A , B , C 至少有一个发生的概率为_____3.已知随机变量X 的分布函数为F (x )=π121+arctan x ,则P {0≤X ≤3}=_____ 4.设随机变量ξ服从(-1/2, 1/2)上的均匀分布,则η=tan2ξ的数学期望为_____5.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且E [(X -1)(X -2)]=1, 则D (X )=_____二、选择题(每题3分, 共15分)1.设A , B , C 为三事件,则A , B , C 恰有一个发生的是_____(A)A ∪B ∪C (B)ABC (C)C B A C B A C B A (D) C B A C B A C B A2.P {X =k }=kc )32( (k =1,2,3,⋅⋅⋅)是某随机变量的分布律,则C =_____(A)2 (B)1/2 (C)1 (D)3/23.设随机变量X 服从正态分布N (μ, σ2),则随着σ 的增大,概率P {|X -μ|<σ}_____(A)单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定 2.设随机变量ξ1,ξ2,...,ξ 10独立,且E (ξi )=a ,D (ξi )=b ,i =1,2,...,10,记η=∑=101101i i ξ,则_____ (A) E (η)=a , D (η)=b (B) E (η)=a , D (η)=0.1b (C) E (η)=0.1a , D (η)=b (D) E (η)=0.1a , D (η)=0.1b5.设随机变量X 1,X 2独立同分布,均服从正态分布X ~N (1,2),下列随机变量中方差最小的是_____ (A))(2121X X + (B)214341X X + (C) X 2 (D) 213132X X + 三、求下列概率密度1.设连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧>-其他,00 ,x e x ,试求Y =X 2的概率密度. (12分) 2. 设随机变量X ,Y 独立同分布,且X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤>-0,00 ,x x e x ,试求Z =2Y X +的概率密度. (11分)四、计算题1.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧<<+其他 ,020 ,1x kx ,求(1)k 值; (2)P {1<X <2}. (10分) 2.设随机变量X 和Y 相互独立同分布, X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤其他 ,010 ,32x x ,求P {X +Y ≤1}. (10分)五、解答题及应用题1.设X 的概率密度为f (x ,θ)=⎩⎨⎧<≥--θθθx x e x ,0 ,)(,求X 的数学期望. (11分)2.随机地向半圆0≤y ≤24x -内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,求该点和原点的连线与y 轴的夹角小于π/3的概率. (11分)一、1.0.3 2.13/15 3.1/3 4.0 5.1 二、1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 三、1.当y ≤0时, F Y (y )=0当y >0时, F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y }=P {0<X ≤y }=dx e yx ⎰-0⇒f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0 ,00 ,2y y y e y2.F Z (z )=2(Y X P +≤z )=P {X +Y ≤2z }=dxdy y x f z y x ⎰⎰≤+2),(当z <0⇒F Z (z )=0当z ≥0⇒F Z (z )=dy e dx e dxdy e e x z y z x D y x ⎰⎰⎰⎰-----=⋅2020=dx e e zx x z ⎰-+--202)1( =1-e -2z -2ze -2z则 f Z (z )=⎩⎨⎧<≥-0,00 ,42z z ze z 四、1.(1)dx kx ⎰+20)1( =2k +2=1⇒k =21- (2)P {1<X <2}=dx x ⎰+-21)121( =41 2.P {X +Y ≤1}=dxdy y x f y x ⎰⎰≤+1),(=dy y x dx x ⎰⎰-1022109=1/20五、1. E (X )=dx xe x ⎰+∞--θθ)( =1+θ2.令Ω={(x ,y ): 0≤y ≤24x -}A ={点和原点的连线与y 轴的夹角小于π/3}∩ΩP (A )=ΩS S A =ππ234=32。

概率2005-2011学年第1学期期末考试试卷p

概率2005-2011学年第1学期期末考试试卷p南昌大学200 5~2 006学年第1学期期末考试试卷3.如果X 和Y 不相关,则 .A(A) D(X+Y)=D(X)+D(Y) ; (B) D(X-Y)=D(X)-D(Y); (C) D(XY)=D(X)D(Y); (D) D(YX )=)()(Y D X D . 4.随机变量X 的概率密度为)1(12x +π,则2X 的概率密度为 .B (A))1(12x +π; (B) )4(22x +π; (C) )41(12x +π; (D))41(12x +π. 5. .设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧+=0)(B Ax x f则且其它,127)(,10=≤≤X E x （）。

D（A ）、A=1，B=-0.5 （B ）、A=-0.5,B=1 （C ）、A=0.5,B=1 （D ）、A=1,B=0.5三（10分）某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%。

现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。

9%，4/9/得分评阅人南昌大学200 5~2 006学年第1学期期末考试试卷3.假设事件A 和B 满足P （B/A ）=1，则（A ）A 是必然事件，（B ）P （B /A ）=0，（C ）A B ⊃，（D ）A B ⊂ 4.若随机变量X 与Y 独立，则（）A 、D （X-3Y ）=D （X ）-9D （Y ）B 、D （XY ）=D （X ）D （Y ）C 、[][]{}0)()(=--Y E Y X E X ED 、{}1=+=b aX Y P5.设随机变量X,Y 独立同分布,U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U 和V 必然 .(A)不独立; (B)独立; (C)相关系数不为零; (D) 相关系数为零.三、设二维连续型随机变量（X ，Y ）的分布函数 F （X ，Y ）=A （B+arctan 2x）(C+arctan 3y )求（1）系数A 、B 、C（2）（X ，Y ）的概率密度；（3）边缘分布函数及边缘概率密度。

概率论期末试题答案

概率论期末试题答案一、选择题1. 概率论中的“概率”是指：A. 事件发生的可能性B. 事件发生的频率C. 事件发生的必然性D. 不确定性的度量答案：A2. 若事件A和B相互独立，则以下哪项正确？A. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)B. P(A ∩ B) = P(A) + P(B)C. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)D. P(A | B) = P(A)答案：C3. 标准正态分布的数学期望和方差分别是：A. 0和1B. 1和0C. 1和1D. 0和0答案：A4. 若随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为：A. f(x) = λe^(-λx), x ≥ 0B. f(x) = λe^(-x/λ), x ≥ 0C. f(x) = 1/λe^(-x/λ), x ≥ 0D. f(x) = 1/λe^(-λx), x ≥ 0答案：B5. 以下哪个不是中心极限定理的内容？A. 独立同分布的随机变量之和趋于正态分布B. 独立同分布的随机变量之差的平方和趋于卡方分布C. 独立同分布的随机变量之和的均值趋于正态分布D. 独立同分布的随机变量之和的标准差趋于正态分布答案：D二、填空题1. 事件A和B相互独立，则P(A ∩ B) = _______ 。

答案：P(A) × P(B)2. 若随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则其概率密度函数为f(x) =_______ 。

答案：1/(b-a), a ≤ x ≤ b3. 二项分布的期望值E(X)和方差Var(X)分别为np和np(1-p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

若n=10, p=0.5，则E(X) = _______ ，Var(X) = _______ 。

答案：5；2.54. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = _______ 。

答案：(1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))5. 条件概率P(A|B)是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，其计算公式为P(A|B) = _______ 。

南昌大学～学年概率论与数理统计期末试题.

2．将n只球（1~n号）随机放进n只盒子（1~n号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。记x为总的配对数，求
3．设随机变量的概率密度为
求（1）常数；（2）
4．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
问X、Y是否相关，是否独立？为什么？
5.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
一、填空题(每题4分，共20分)
得分
评阅人
1.设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.
2.设服从泊松分布，若，则 ___________.
3.设随机变量的概率密度为现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于0.5的次数，则 ___________.
南昌大学2008～2009学年复习题
试卷编号：( )卷
课程编号：课程名称：概率论考试形式：
适用班级：姓名：学号：班级：
学科部：专业：考试日期：
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
累分人签名
题分
20
20
60
100
得分
考生注意事项：1、本试卷共4页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
则有（）
（A）（B）
（C）（D）
5．设随机变量的分布函数为，则的分布函数为
（）
（A） .（B） .
（C） .（D） .

南昌大学概率论练习册答案

练习一一、1．BCD 2. ABC 3. CD 4. BD 5. D二.1. 88365365A 2. 41/90 3. 0.4 0.6 4. 25/42 三、已知：P (A )=0.45，P (B )=0.35，P (C )=0.3，P (AB )=0.1，P (AC )=0.08，P (BC )=0.05，P (ABC )=0.03(1)3.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P AC P AB P A P C B A P A P C B A P (2)07.0)()()(=-=ABC P AB P C AB P (3)3.0)(=C B A P23.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AB P B P C A B P B P C B A P 2.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AC P C P B A C P C P C B A P得73.0)()()(=++=C B A P C B A P C B A P P(4)14.0)()()()(=-+-+-==ABC BC P ABC AC P ABC AB P BC A C B A C AB P P (5)P (A ∪B ∪C )=0.73+0.14+0.03=0.9 (6)1.09.01)(=-=C B A P四、令x 、y 为所取两数，则Ω={(x ,y )|0<x <1, 0<y <1}；令事件A ：“两数之积不大于2/9，之和不大于1”，则A ={(x ,y )| xy ≤2/9, x +y ≤1, 0<x <1, 0<y <1}S Ω=S OAED =1×1=1； 2ln 9231)9211121231+=---⨯⨯==⎰dx x x S S A 阴得2ln 9231+==ΩS S P A练习二一、1．ABCD 2. ABC 3. ABC 4. C二、Ω：“全厂的产品”；A 、B 、C 分别为：“甲、乙、丙各车间的产品”，S ：“次品”，则(1)由全概率公式，得 P (S )=P (A )P (S |A )+P (B )P (S |B )+P (C )P (S |C )=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45%(2)由贝叶斯公式，得%23.366925345125%45.3%5%25)()|()()|(≈==⨯==S P A S P A P S A P三、Ω={(女,女,女),(女,女,男),(女,男,女),(男,女,女),(女,男,男),(男,女,男),(男,男,女)}有：P {至少有一男}=6/7或132333331C C C C P ++-= 四、101)(,157)(,154)(===AB P B P A P有：143157101)()()|(===B P AB P B A P 83154101)()()|(===A P AB P A B P 3019)()()()(=-+=AB P B P A P B A P五、bB A P b a B P B A P B P A P B P AB P B A P )()()()()()()()|( -+=-+==又P (A ∪B )≤1，则bb a B A P 1)|(-+≥练习三一、1．BD 2. ABCD 3. AD 4. B二、A 1、A 2、A 3分别“甲、乙、丙击中飞机”，则A 1、A 2、A 3相互独立 B i ：“有i 个人击中飞机”（i =1,2,3），有：Ω== 31i i B ；B ：“飞机被击落”由已知：P (A 1)=0.4，P (A 2)=0.5，P (A 3)=0.73213213211A A A A A A A A A B =36.0075.06.03.05.06.03.05.04.0 )()()()()()()()()()(3213213211=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P41.0)(23213213212=⇒=B P A A A A A A A A A BB 3=A 1A 2A 3⇒P (B 3)=0.14又P (B |B 1)=0.2，P (B |B 2)=0.6，P (B |B 3)=1 由全概率公式，得：458.0114.06.041.02.036.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B B P B P B P三、A i ：“C 发生时第i 只开关闭合”，由已知有：P (A i )=0.96 (1)P (A 1∪A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1A 2)=0.96+0.96-0.96×0.96=0.9984 (2)设需k 只开关满足所需可靠性，在情况C 发生时，k 只开关中至少有一只闭合的概率为：39999.004.01)96.01(1)()()(1)(1)(1)(min 21212121=⇒≥-=--=-=-=-=k A P A P A P A A A P A A A P A A A P kkk k k k四、(1)3087.0)3.01(3.0)2(32255=-=C P(2)A ：“5个样品中至少有2个一级品”，有：47178.07.03.01)(1)()(15515525=-=-==∑∑∑=-==i i i i i i C i P i P A P练习四一、1. ABCD 2. D 3. A 4. AB 二、(1)任掷两骰子所得点数和i 有2→12共11种可能令ωi 表示和数为i 的样本点(i =2,3,…,12),则基本事件集Ω={ω2, ω3,…, ω12 }(2)由已知,得：∀ωi ∈Ω，有ξ(ωi )=2i (i =2,3,…,12）,则ξ的可能值为2i (i =2,3,…,12） (3){ξ<4}=φ； {ξ≤5.5}={ξ=4}={ω2}； {6≤ξ≤9}={ξ=6}∪{ξ=8}={ω3}∪{ω4}； {ξ>20}={ξ=22}∪{ξ=24}={ω11}∪{ω12}(4)P {ξ<4}=0；P {ξ≤5.5}=P {ω2}=1/36；P {6≤ξ≤9}=P {ω3}+P {ω4}=2/36+3/36=5/36； P {ξ>20}= P {ω11}+P {ω12}=2/36+1/36=3/36=1/12 三、(1) ξ的所有可能值为0，1，2P {ξ=0}=3522315313=C C ； P {ξ=1}=3512321312=C C C ； P {ξ=2}=35131511322=C C C 故ξ的分布律为： (2)F (x )=P {ξ≤x }当x <0时，{ξ≤x }为不可能事件，得F (x )=P {ξ≤x }=0当0≤x <1时，{ξ≤x }={ξ=0}，得F (x )=P {ξ≤x }=P {ξ=0}=22/35 当1≤x <2时，{ξ≤x }={ξ=0}∪{ξ=1}，又{ξ=0}与{ξ=1}是两互斥事件，得F (x )=P {ξ≤x }=P {ξ=0}+P {ξ=1}=22/35+12/35=34/35当x ≥2时，{ξ≤x }为必然事件，得F (x )=P {ξ≤x }=1 综合即得四、五、(1)ππ11111)(112=⇒=⇒=-⇒=⎰⎰-+∞∞-A A dx x A dx x f(2)3111)2121(21212=-=<<-⎰-dx x P πξ(3)dt t f x F x⎰∞-=)()( 当x <－1时，00)(==⎰∞-dt x F x当－1≤x ≤1时，x dt x dt x F xarcsin 121110)(121ππ+=-+=⎰⎰--∞- 当x >1时, 10110)(11121=+-+=⎰⎰⎰--∞-dt dt x dt x F xπ 综合即得六、(1)P {2<ξ≤5}=Φ(235-)-Φ(232-)=Φ(1)-Φ(-0.5)=Φ(1)-[1-Φ(0.5)]=0.5328P {-4<ξ<10}=Φ(2310-)-Φ(234--)=Φ(3.5) -Φ(-3.5)= 2Φ(3.5) -1=0.9996 P {|ξ|>2}=1-P {-2≤ξ≤2}=1-Φ(232-)+Φ(232--)=1-Φ(-0.5)+Φ(-2.5)=0.6977P {ξ>3}=1-P {ξ≤3}=1-Φ(233-)=1-Φ(0)=1-0.5=0.5(2) P {ξ>C}=1-P {ξ≤C}=P {ξ≤C}⇒P {ξ≤C}=0.5⇒Φ(23-C )=0.5⇒23-C =0.5⇒练习五一、1．AB 2. BC 3. AC 4. BD 5. B 二、⎩⎨⎧∉∈=)1,0( ,0)1,0( ,1)(x x x f X(1)y =e x 在(0,1)严格单调增且可导，则x =ln y 在(1,e )上有：(ln y )'=y1∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,01 |,1|)(ln )(e y y y f y f X Y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,01 ,1)(e y y y f Y (2)y = -2ln x 在(0,1)严格单调减且可导，则2yex -=在(0,+∞)上有：2221)(yy e e---='∴⎪⎩⎪⎨⎧>-=--其它 ,00 |,21|)()(y e e f y f y y X Y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它 ,00,21)(y e y f y Y 三、⎩⎨⎧-∈=其它,0]2/ ,2/[ ,/1)(πππx x f Xy =cosx 在[-π/2,0]上严格单调增且可导，则x 1=h 1(y )= -arccosy 在[0,1]上有：x 1'=211y- y =cosx 在[0, π/2]上严格单调减且可导，则x 2=h 2(y )=arccosy 在[0,1]上有：x 2'=211y-- ∴⎪⎩⎪⎨⎧∈-='+'=其它 ,0]1,0[ ,12|)(|)]([|)(|)]([)(22211y y y h y h f y h y h f y f X X Y π四、五、(1)12112/1),(0403=⇒==⇒=⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞-+∞-+∞∞-k k dy e dx e k dxdy y x f y x(2)⎪⎩⎪⎨⎧>>--===--+-∞-∞-⎰⎰⎰⎰其它,00,0 ),1)(1(12),(),(4300)43(y x e e dxdy edxdy y x f y x F y x y xy x yx(3)P (0<X ≤1,0<Y ≤2)=F (1,2)-F (1,0)-F (0,2)+F (0,0)= (1-e -3)(1-e -8)六、(1)X 与Y 独立，则⎪⎩⎪⎨⎧>>⨯==+-其它，00,0 ,1021)()(),(26y x e y f x f y x f y x Y X(2)311021),()(02000206=⨯==>⎰⎰⎰⎰+-∞+>dy edx dxdy y x f Y X P x yx yx练习六1．(1)2211),(ππ=⇒==⎰⎰+∞∞-+∞∞-A A dxdy y x f (2) 161)1)(1(11010222=++=⎰⎰dxdy y x P π (3))1(1)1)(1(1)(2222x dy y x x f X +=++=⎰+∞∞-ππ，同理)1(1)(2y y f Y +=⇒π 有f (x ,y )=f X (x )f Y (y )，故X 与Y 独立2．X 与Y 独立，则P {X =x i ,Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }有：3．(1)2,10)]3/()[2/(0),(0)2/)](2/([0),(1)2/)(2/(1),(2ππππππ===⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+-⇒=-∞=-+⇒=-∞=++⇒=+∞+∞C B A y arctg C B A y F C x arctg B A x F C B A F (2))9)(4(6),(),())((1),(22222++=∂=⇒++=y x y x F y x f y arctg x arctg y x F ππππ (3)2121)22)(22(1),()(2x arctg x arctg x F x F X πππππ+=++=+∞=则有)4(2)(2+=x x f X π；同理得：3121)(yarctg y F Y π+=，)9(3)(2+=y y f Y π4．5．设第i 周需要量为X i （i =1,2,3）⎩⎨⎧≤>=⇒-0 ,00,)(i i x i i X x x e x x f i i (i =1,2,3)(1)令X =X 1+X 2，则⎩⎨⎧>>=+-其它 ,00,0 ,),(21)(212121x x e x x x x f x x⎪⎩⎪⎨⎧≤>+++-===--+-≤+⎰⎰⎰⎰0 ,00,)12161(1),()(2320)(2101212112121x x e x x x dx e x x dx dx dx x x f x F x x x x x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⇒-0,00 ,61)(3x x e x x f x X(2)令Y =X 1+X 2+X 3=X +X 3，则⎪⎩⎪⎨⎧>>=--其它,00,0 ,61),(33333x x e x e x x x f x x⎪⎩⎪⎨⎧≤>+++++-===----≤+⎰⎰⎰⎰0,00,)12624120(161),()(2345303303333y y e y y y y y dx e x e x dx dxdx x x f y F y x y x x y y x x Y ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⇒-0,00 ,1201)(5y y e y y f y Y6．dxdy y x f dxdy y x f z Z P z F zy x z yx Z ⎰⎰⎰⎰≤+≤+==≤=22),(),()()((1)z ≤0⇒F Z (z )=0； (2)z z xz y x zZ ze e dy e dx z F z 2220)(2021)(0---+---==⇒>⎰⎰故⎩⎨⎧≤>=⇒⎩⎨⎧≤>--=---0,00 ,4)(0 ,00 ,21)(222z z ze z f z z ze e z F zZ z z Z 练习七一、1. D 2. B 3. AD 4. D 5. BC 二、令Z 表示整数，则P {Z =i }=1/10=0.1 (i =1,2, (10)除的尽1的整数有且只有整数1这一个；除的尽2，3，5，7的有二个；除的尽4，9的有三个；除的尽6，8，10的有四个，则 P {X =1}=P {Z =1}=0.1； P {X =2}=P {Z =2}+P {Z =3}+P {Z =5}+P {Z =7}=0.4 P {X =3}=P {Z =4}+P {Z=8}+P {Z =10}=0.3 得X 的分布律为：E (X )=1×0.1+2×0.4+3×0.2+4×0.3=2.7三、E (X )=p q pq q p q p q p kqp kpqk k k kk k k k 1)1()1()()(2111111=-='-='='==∑∑∑∑∞=∞=∞=-∞=- E (X 2)=)()()(1111112112'='='==∑∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=-∞=-k k k kk kk k k k kq q p kq p kq p qk p pqk222])1([ppq q p -='-= D (X )=E (X 2)-E 2(X )=221p qp p =- 四、E (X )=0)(2||==⎰⎰∞+∞--∞+∞-dx xe dx x xf xD (X )=322)()]([02||22===-⎰⎰⎰∞+-∞+∞--∞+∞-dx e x dx ex dx x f X E x x x五、令搜索时间为T ，则T 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)( t t e t F t λ，得：⎩⎨⎧≤>=-0,00,)( t t e t f t λλ，则有E (T )=λλλ1)(0 ==⎰⎰+∞-+∞∞-dt e t dt t tf t六、b X E a b dx x bf dx x xf X E dx x af a ba b a b a ≤≤⇒=≤=≤=⎰⎰⎰)()()()()(E [(X -x )2]=E (X 2)-2xE (X )+x 2=E (X 2)+[x -E (X )]2-E 2(X )=[x -E (X )]2+D (X )可见，当x =E (X )时，E [(X -x )2]取最小值D (X )则当2b a x +=时，有：D (X )=E {[X -E (X )]2}2222)2(])2[(])2[(])2[(a b a b E b a b E b a X E -=-=+-≤+-≤练习八一、1. AD 2. AD 3. B 4. D 5. ABD 二、(1)2/112)sin(1),(0=⇒==+⇒=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A A dxdy y x A dxdy y x f ππ(2)4)sin(21)(0πππ=+=⎰⎰dxdy y x x X E228)sin(21)(22222-+=+=⎰⎰ππππdxdy y x x X E2216)()()(222-+=-=ππX E X E X D同理可得：2216)( ,4)(2-+==πππY D Y E(3)12)sin(21)(22-=+=⎰⎰πππdxdy y x xy XY E 1612)()()(),(2ππ--=-=Y E X E XY E Y X Cov 328168)()(),(22-+-+-==ππππρY D X D Y X Cov XY 三、(1)设X i 为第i 个加数取整后的误差，则X i ~U[-0.5,0.5] (i =1, (1500)总误差∑==15001i i X X ，且125211500)()(,0)()(1500115001=⨯====∑∑==i i i i X D X D X E X E由独立同分布的中心极限定理：P {|X |>15}=1-P {|X |≤15}1802.0)34.1(22)553(22)125015()125015(1=Φ-=Φ-=--Φ+-Φ-≈(2)在(1)的假设下，设∑==ni i X X 1，有E (X )=0，12)(n X D =则求最小自然数n ，使P {|X |≤10}≥0.90，即65.112/1095.0)12/10(9.01)12/10(2)12/010()12/010(≥⇒≥Φ⇒≥-Φ=--Φ--Φn n n n n ⇒n ≤440.77⇒n =440为所求四、E (X )=E (Y )=μ, D (X )=D (Y )=σ2E (Z 1)=αE (X )+βE (Y )=μ(α+β), E (Z 2)=αE (X )-βE (Y )=μ(α-β)E (Z 1Z 2)=E (α2X 2-β2Y 2)=α2E (X 2)-β2E (Y 2)=α2[D (X )+E 2(X )]-β2[D (Y )+E 2(Y )]=α2(σ2+μ2)-β2(σ2+μ2) =(σ2+μ2)(α2-β2)D (Z 1)=α2D (X )+β2D (Y )=σ2(α2+β2), D (Z 2)=α2D (X )+β2D (Y )=σ2(α2+β2)22222222222121212121)()()()()()()()()(),(21βαβαβασβασρ+-=+-=-==Z D Z D Z E Z E Z Z E Z D Z D Z Z Cov Z Z 阶段自测一一、1. D 2. A 3. B 4. A 5. B二、1. 0 3/4 5/8 1/8 2. 1/2 1/[π(1+x 2)] 3. 20 16 4. 41 41 5. 1 三、X 的可能值为：2，3，4，5P {X =2}=101125=C =0.1 P {X =3}=104251212=C C =0.4 P {X =4}=103)1(2512=+C C =0.3 P {X =5}=1022512=C =0.2 得X 的分布律：E (X )=2×0.1+3×0.4+4×0.3+5×0.2=3.6E (X 2)=22×0.1+32×0.4+42×0.3+52×0.2=13.8 D (X )=E (X 2)-E 2(X )=0.84 四、令A i ：第i 台车床加工的零件；B ：废品，则A 1与A 2不相容由已知：P (B |A 1)=0.03, P (B |A 2)=0.02, P (A 1)=2/3, P (A 2)=1/3由贝叶斯公式：25.0413/203.03/102.03/102.0)()|()()|()|(21222==⨯+⨯⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 五、(1)1)(2)arcsin (lim )(lim ==+=+=--→→a F B A a x B A x F a x a x π0)(2)(lim )(=-=-=+-→a F B A x F a x π，则得：A =1/2, B =1/π(2)31)21arcsin 121()21arcsin 121()2()2(}22{=--+=--=<<-ππa F a F a X a P(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-='=其它 ,0|| ,1)()(22a x x a x F x f π六、⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤==⎰⎰---∞+∞-其它其它 ,01|| ,12,01|| ,1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ同理：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=其它,01|| ,12)(2y y y f Y πf (x ,y )≠f X (x )f Y (y )，则X 和Y 不独立012)()(112=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E Xπ，同理：E (Y )=001),()0)(0(),(122==--=⎰⎰⎰⎰≤++∞∞-+∞∞-dxdy xy dxdy y x f y x Y X Cov y x , 则X 和Y 不相关七、设A i ：第i 次误差的绝对值不超过30米 , ξ~N (20,402)所求为：3321321)](1[1)()()(1)(i A P A P A P A P A A A P --=-=8698.0)]402030()402030(1[1}]30|{|1[133=--Φ+-Φ--=≤--=ξP八、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-≤≤===≤dy dx x f y f dxdy y f x f dxdy y x f Y X P yyx Y X yx ])()([)()(),(}{21)]()([21)(21)()()()(222=-∞-+∞====+∞∞-+∞∞-+∞∞-⎰⎰F F y F y dF y F dy y F y f练习九一、1. C 2. A 3. C 4. C 5. A 二、(1)∵)1,0(~/N nX σμ- ∴}05.02)(05.0{}/21.0/2||{}1.0|{|n X n n P nn X P X P ≤-≤-=≤-=≤-μμμ153764.153695.01)05.0(2)05.0()05.0(≥⇒≥⇒≥-Φ=-Φ-Φ=n n n n n(2)n p p p np n X n D X D p np n X n E X E ni i n i i )1()1(1)1()( ,1)1()(211-=-=====∑∑==p (1-p )在p =1/2处取得最大值1/4,nX D X E X E p X E 41)(|)(|||22≤=-=-要使01.0||2≤-p X E ，只需1/4n ≤0.01，即n ≥25三、X 1,X 2,X 3,X 4~N (μ,σ2)，且相互独立⇒X 1-X 2~N (0,2σ2), X 3-X 4~N (0,2σ2)，且X 1-X 2与X 3-X 4相互独立则)1(~)2();1(~)2()1,0(~2);1,0(~2224322214321χσχσσσX X X X N X X N X X --⇒--)1,1(~)()()1,1(~)2()2(243221243221F X X X X F X X X X --⇒--⇒σσ 05.095.01)()(1)()(243221243221=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--a X X X X P a X X X X P ⇒a =F 0.05(1,1)=161.4四、由题意知：)1,0(~)(212N X X C i i +- (i =1,2,3)22222122112)()]([σσσσ=⇒==+=+⇒-C C C X X C D i i又σ2212i i X X +- (i =1,2,3)是相互独立的，得Y ~χ2(3)，即自由度为3五、X 1,X 2,...,X 16相互独立，且)16(~)()1,0(~21612χσμσμ∑=-⇒-i i i X N X}32)({}8)({}32)(8{161216121612>--≥-=≤-≤=∑∑∑===i i i i i i X P X P X P P σμσμσμ=0.95-0.01=0.94六、X 1,X 2,...,X n 相互独立，且E (X i )=D (X i )=λn n nX n D X D n n X n E X E ni i n i i λλλλ======∑∑==2111)1()( ;1)1()()(112122X n X n S ni i --=∑=E (X i 2)=D (X i )+E 2(X i )=λ+λ2, 222)()()(λλ+=+=nX E X D X Eλλλλλ=--+-=)(11)(222n n n n S E练习十一、1. A 2. D 3. A 4. B 5. B 二、矩估计量:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++===+===⎰⎰∞+--∞+--22222122)()(θμθμθμθμθμμθμμμdx e x X E dx e x X E x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑∑==ni i ni i X n A X X n A 1221111 令⎩⎨⎧==2211A A μμ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+∑=n i i X n X1222122θμθμθμ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==2122121ˆ1ˆX X n X X n X ni in i i θμ极大似然估计量:设x 1, x 2,..., x n 是相应于样本X 1, X 2,..., X n 的一个样本值似然函数L (x 1, x 2,..., x n , μ, θ )=∑==--=--∏ni i i x n ni x ee1)(1111μθθμθθ(x i ≥μ, i =1,2,..., n )⇒ln L = -n ln θ -∑=-n i i x 1)(1μθ,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂==∂∂∑=0)(1ln 0ln 12ni ixn L n L μθθθ⇒μ和θ无解∵x i ≥μ,取k nk x ≤≤=1min ˆμ,有 L =∑=--ni i x n e 1)(11μθθ≤∑=≤≤--ni k nk i x x n e 11)min (11θθ=∑=--ni i x n e 1)ˆ(11μθθ令g (θ )=∑=≤≤--ni k n k i x x n e 11)min (11θθ令0)(=∂∂θθg ⇒0)min (1112=-+-∑=≤≤ni k n k i x x n θ,得⎪⎩⎪⎨⎧-==≤≤=≤≤∑)min (1ˆmin ˆ111k nk n i i k nk x x n x θμ 三、似然函数L (x 1, x 2,..., x n , σ )=∑==-=-∏ni ii x nni x ee1||1||)2(121σσσ⇒ln L = -n ln(2σ) -∑=ni i x 1||σ= -n ln(2σ) -∑=ni ix1||1σ令0ln =∂∂L ⇒0||112=+-∑=n i i x n σσ⇒∑==n i i X n1||1ˆσ由大数定律,有: ∑∑==−→−ni iPn i i X E n X n 11||1||1 E |X i |=E |X |=dx e x dx e x dx e x xxx ⎰⎰⎰∞+-∞-∞+∞--⋅+⋅-=⋅00||2121)(21||σσσ=22σσ+=σ⇒σn n X E n ni i 1||11=∑==σ, 即σ−→−∑=P ni i X n 1||1⇒σˆ为σ的一致估计量四、E (X )=2β, D (X )=122β⇒βˆ21)(ˆ=X E,2ˆ121)(ˆβ=X D 似然函数L (x 1, x 2,..., x n , β )=n ni ββ111=∏= (0≤x 1,..., x n ≤β)⇒ln L = -n ln β令0ln =∂∂βL ⇒0=-βn ⇒β无解∵L =n β1≤nn x )(1* (x n *=max(x 1,..., x n ))∴取*ˆn x =β时,有L (x 1, x 2,..., x n , β )≤L (x 1, x 2,..., x n ,βˆ) ∴21)(ˆ=X Emax(x 1,..., x n ), 121)(ˆ=X D [max(x 1,..., x n )]2 X 的观察值为1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 0.3, 1.1时,最大值为2.2∴2.221)(ˆ⨯=X E=1.1, 22.2121)(ˆ⨯=X D =0.403 五、(1)证明连续型的情形: 设f (x )为X 的概率密度,则 P {|X -μ|≥ε}=dx x f y x ⎰≥-ε||)(≤dx x f x y x )()(||22⎰≥--εεμ≤dx x f x ⎰∞+∞--)()(22εμ=21εE (X -μ)2(2)∀ε >0, P {|t n -θ |<ε}=1-P {|t n -θ |≥ε}≥1-22)(1θε-n t E22)(1θε-n t E =)]()([122θθε-+-n n t E t D =}])([)({122θε-+n n t E t D=])([122n n K t D +ε=0)(1222−−→−+∞→n n n K σε∴1}|{|lim =<-∞→εθn n t P , 即t n 是θ的一致估计量练习十一一、n =16, 1-α =0.95⇒α =0.05, σ2未知)1(-n t α=t 0.025(15)=2.131516029.01315.2705.2)1(2⨯-=--n t n s x α=2.6916029.01315.2705.2)1(⨯+=-+n t n s x α=2.72∴μ的置信度为0.95的置信区间为(2.69, 2.72) 二、n =9, 1-α =0.95⇒α =0.05)8()1(2025.022χχα=-n =17.535, )8()1(2975.0221χχα=--n =2.180 535.171218)1()1(222⨯=--n s n αχ=55.20, 180.21218)1()1(2212⨯=---n s n αχ=444.04 ∴σ2的置信度为0.95的置信区间为(55.20, 444.04) 三、μ1, μ2分别为一号方案和二号方案的平均产量n 1= n 2=8, α =0.05, x =81.63, 21s =145.70, y =75.88, 22s =101.98)2(212-+n n t α=t 0.025(14)=2.14, 2)1()1(21222211-+-+-=n n s n s n s ω=11.13212111)2(n n s n n t y x +-+--ωα= -6.162121211)2(n n s n n t y x +-++-ωα=17.66 ∴μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间为(-6.16, 17.66)四、n 1= n 2=10, α =0.05, )1,1()1,1(122212--=--n n F n n F αα=F 0.05(9, 9)=4.0303.416065.05419.0)1,1(121222⋅=--n n F S S BA α=0.222 )1,1()1,1(11)1,1(112221222212122--=--=---n n F S S n n F S S n n F S S B ABA B A ααα 03.46065.05419.0⋅==3.601 ∴22BAσσ的置信度为0.95的置信区间为(0.222, 3.601) 五、∵212111)()(n n S Y X +---ωμμ~t (n 1+n 2-2)∴P {212111)()(n n S Y X +---ωμμ< t α(n 1+n 2-2)}=1-α∴P {2111n n S Y X +--ωt α(n 1+n 2-2)<μ1-μ2}=1-α∴μ1-μ2的置信度为1-α的置信下限为2111n n S Y X +--ωt α(n 1+n 2-2)x=0.14125, s 12=0.0000083, y =0.1392, s 22=0.0000052,7432221s s s +=ω=0.0025495 2111n n s y x +--ωt α(n 1+n 2-2)=0.14125-0.1392-0.00254955141+t 0.05(7)= -0.0011901≈ -0.0012 ∴μ1-μ2的置信度为0.95的置信下限为-0.0012六、∵S nX )(μ-~t (n -1), 且P {)1(|)(|2-<-n t S n X αμ}=1-α ∴P {nS n t X nS n t X )1()1(22-+<<--ααμ}=1-α∴μ的置信度为1-α的置信区间为(n S n t X )1(2--α,n S n t X )1(2-+α)此时n S n t L )1(2-=α⇒22222)]1([4)()]1([4)(-=-=n t n S E n t n L E αασ 阶段自测二一、1. 1 2. 21σnn - 11--n 3. F (1, n -1) 4. 11-n 5.二、1. AD 2. AC 3. CD 4. 三、(1)∵22)1(σnS n -~χ 2(n -1)∴P {22σn S ≤1.5}=P {22)1(σnS n -≤1.5(n -1)}≥0.95 ⇒P {22)1(σnS n ->1.5(n -1)}≤0.05⇒1.5(n -1)≥)1(205.0-n χ查χ 2分布表得满足上式的最小的n 为27 (2)∵n X σμ-~N (0,1), n n X E X E σσμμ⋅-=-||||, 令Y =nX σμ- ∴E |Y |=ππ22||2122=⎰∞+∞--dy ey y ∴nn X E ππμ24222||=⋅=-≤0.1⇒n ≥255 四、(1)矩估计量: μ1=E (X )=dx xe x ⎰+∞--θθ)(=1+θ, A 1=X令μ1=A 1⇒θ+1=X ⇒1ˆ-=X θ⇒∑∑==-=-=ni i ni i X n X n 111)1(111ˆθ 极大似然估计量: L (x 1,..., x n ,θ )=∑=--ni i x e1)(θ (x i ≥θ )⇒ln L = -∑=-n i i x 1)(θ, 令0ln =∂∂L ⇒θ无解∵x i ≥θ时L 非零 ∴当θ =i ni x ≤≤1min 时, L 有最大值⇒i n i X ≤≤=12min ˆθ (2))()1()ˆ(1X E X E E =-=θ-1=E (X )-1=θ+1-1=θ⇒1ˆθ是θ的无偏估计量 2ˆθ的分布函数G (y )=P {i ni x ≤≤1min ≤y }=1-P {ini x ≤≤1min >y } =1-P {X 1>y , X 2>y ,..., X n >y }=1-[1-F (y )]nX 的分布函数F (x )=⎩⎨⎧<≥---θθθx x e x,0 ,1)(⇒G (y )=⎩⎨⎧<≥---θθθy y e y n ,0 ,1)(⇒g (y )=G ' (y )=⎩⎨⎧<≥--θθθy y ne y n ,0 ,)(⇒ndy yne E y n 1)ˆ()(2+==⎰+∞--θθθθ⇒2ˆθ不是θ的无偏估计量五、n 1=5, n 2=7, α=0.01103262842)1()1(22212221⨯+⨯=-+-+-=n n S n S n S B A ω=30.46 )2(212-+n n t α=t 0.05(10)=3.1693212111)2(n n s n n t x x B A +-+--ωα=63.47,212111)2(n n s n n t x x B A +-++-ωα=176.52 ∴所求置信区间为(63.47, 176.52) 六、七、E (T )=)()(21X bE X aE +=a μ+b μ=(a +b )μ=μ⇒T 是μ的无偏估计 T =21)1(X a X a -+ ∵1X 与2X 相互独立∴D (T )=222122221222212])1([)1()()1()(σσσn a n a n a n a X D a X D a -+=-+=-+则问题归结为求2212)1(n a n a -+的最小值, 令f (a )=2212)1(n a n a -+令0)(=da a df ⇒0)1(2221=--n a n a ⇒a =211n n n + )()(2)(2112121n n n a n n n n a f +-+='⇒a >211n n n +时, f '(a )>0; a <211n n n+时, f '(a )<0 ⇒f (a )在点211n n n +处取得最小值 ∴使D (T )达到最小值的a =211n n n +, b =212n n n+。

南昌大学概率论期末试卷2011-2013答案

三、求下列概率密度（每题 10 分，共 20 分）
X 的概率密度为
1 x2 f X ( x) e ， x . 2
当 y≤0 时，显然
2
FY ( y) P( Y y) P (2 X
当 y＞0 时有
y )；0
FY ( y ) P(Y y ) P( X 2 y ) P ( y X
2分
则
ln L n ln xi / ，令
i 1
n
xi d ln L n i 1 2 0， d
解之得
n

1 n xi x ，因此极大似然估计量为 n i 1 1 n X i X （样本均值） n i 1
—南昌大学考试试卷答案 —
【适用时间：2011～2012 学年第二学期课程编号：课程名称：概率论与数理统计试卷类型：[A]卷】
试卷编号：
教师填写栏
试卷说明：
1、本试卷共 6 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
开课学院：适用班级：
理学院理工类 48 学时

1 2
X 2 Y 2 的概率
2 x2 2 y2 e ,0 x , e ,0 y , fX x fX x 0, 0, 其它；其它.
4 x 2 y 2 ， 0 x ,0 y e , f x, y f X x fY y 其它 0,
1 b 1
).
3 、设随机变量 X 服从正态分布 N 1 , 12 , Y 服从正态分布 N 2 , 2 2 , 且

南昌大学07、08年概率论期末考试试题及答案

南昌大学2007~2008年概率统计期末试题一、填空题（每空3分，共15分）1.如果每次试验成功的概率均为p(0<p<1)，并且已知在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为19/27，则p=__________2.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X+2Y的方差为______3.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为_________4.设随机变量X~B(10, 0.4)，则X2的数学期望为_________5.设随机变量X的概率密度为f(x)=，则2X的概率密度为_________二、求下列概率（20分）1.箱中有m件正品，n件次品，现把产品随机地一件件取出来，求第2次取出的一件产品是正品的概率.（10分）2.在区间(0, 1)中随机地取两个数，试求取得的两数之积小于1/4的概率.（10分）三、计算题（25分）1．已知随机变量X的概率密度为f(x)=，且.(1)求a，b；(2)计算.（15分）2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (x,y)=.求随机变量Z=X+2Y 的分布函数.（10分）四、解答题（30分）1.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=，求(1)系数A；(2)X的数学期望.（15分）2.设随机变量X与Y相互独立同分布，X的概率密度为f(x)=，求.（15分）五、应用题（10分）一学生金工实习时，用同一台机器连续独立地制造2个同样的零件，第i个零件时合格品的概率p i = (i=1,2)，以X表示2个零件中合格品数，求X得数学期望.南昌大学2007~2008年概率统计期末试题答案一、1. 1/3 2. 44 3. 3/8 4. 18.4 5.二、1. =2. Ω={(x,y): 0<x<1, 0<y<1}, A={(x,y): xy<1/4}∩Ωp===三、1.===1===解得a=1, b=1/2==2.当z≤0时, F Z(z)=0当z>0时, F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+2Y≤z}===1-e-z-ze-z 四、1.=1⇒=1⇒A=12E(X)===1/32.(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)====五、令X i=,则X1~B(1, 1/2), X2~B(1, 2/3)X=X1+X2E(X1)=1/2 E(X2)=2/3 E(X)=E(X1)+E(X2)=1/2+2/3=7/6 或X=0,1,2 P(X=0)=(1-p1)(1-p2)=1/6 P(X=1)=p1(1-p2)+(1-p1)p2=1/2P(X=2)=p1p2=1/3 E(X)=0⨯1/6+1⨯1/2+2⨯1/3=7/6南昌大学2008~2009年概率统计期末试题一填空题1. 设A，B相互独立，且，则__________.2、设、是随机事件，，，则3. 已知，且，则__________.4．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，则此密码被破译出的概率是.5．设随机变量的分布函数为：，则.二选择题1. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【A】(A) ；(B) ；(C) ；(D) .2．设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是【 B 】；；；．3．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。

2012-2013学年第1学期《概率论与数理统计》期末试题(A卷)

2012－2013学年第1学期《概率论与数理统计》期末试题（A 卷）姓名学号学院专业注意：(1.67)0.9525(2.5)0.9938(2.42)0.9922Φ=Φ=Φ=(3)0.9987 1.250.894 1.3Φ=Φ=Φ=（）（）()0.050.025(10) 1.61257 2.3646t t ==20.025(10)20.5χ= 20.975(10)3.25χ=49.9)4(2025.0=χ 48.0)4(2975.0=χ 831.0)5(2975.0=χ一、填空题（每空3分，共15分）。

1．随机变量2~(,)X N μσ，则(3)P X μσ-<=_______________. 2．甲乙二人独立地同时破译密码，甲破译的概率为21，乙破译的概率为31，则该密码被破译的概率为_______________.3．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则事件A至少发生一次的概率为。

4．设随机变量ξ的数学期望E ξμ=，方差2D ξσ=，则由车贝雪夫不等式()3P ξμσ-≥≤ 。

5. 设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服()0.0259 2.2622t =()0.02513 2.16t =从正态分布N （0，22），X 3服从参数为3λ=的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D(Y)=二、（12分）2封不同的信随机地投入4个邮筒，试求（1）前两个邮筒中没有信的概率；（2）第一个邮筒内只有一封信的概率。

三、（12分）甲乙丙3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求（1）全部产品的合格率；（2）若已知某个零件是合格品，求它是丙生产的概率。

四、（12分）甲、乙两人独立地各进行两次射击，甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求（X ，Y ）联合分布以及X 和Y 的边缘分布律。

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面或反面朝上D. 抛一枚硬币，硬币立起来答案：C2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则以下哪个选项是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 假设随机变量X和Y独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = npB. E(X) = n/2C. Var(X) = np(1-p)D. Var(X) = np答案：A5. 假设随机变量X服从泊松分布P(λ)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = λB. E(X) = λ^2C. Var(X) = λ^2D. Var(X) = λ答案：A二、填空题（每题5分，共20分）6. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x∈(a, b)。

答案：1/(b-a)7. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其标准正态分布的累积分布函数记为Φ(z)，则P(X ≤ x) = Φ((x - μ) / σ)。

答案：Φ((x - μ) / σ)8. 假设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x≥0。

答案：λe^(-λx)9. 假设随机变量X服从几何分布Geo(p)，其概率质量函数为：P(X = k) = ________，其中k = 1, 2, 3, ...答案：(1-p)^(k-1)p三、计算题（每题15分，共30分）10. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 ≤ X ≤ 1)。

A卷48学时2010-2011第二学期概率统计期末

南昌大学 2010～2011 学年第二学期期末考试试卷试卷编号： (A )卷课程编号：课程名称：概率论与数理统计48学时考试形式：闭卷适用班级：姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分 20 20 20 20 20 100得分考生注意事项：1、本试卷共5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。

如有立即举手报告以便更换。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题：(每空4分，共20分)得分评阅人1、已知()()()52===C P B P A P ，()0=AB P ，()()61==BC P AC P ，则事件,,A B C 全不发生的概率为。

2、已知()0.5,()0.6,()0.8,P A P B P B A === 则()P A B = 。

3、某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品。

各个车间的产量分别占全厂总产量的25％、35％和40％，各车间产品的次品率分别是5％、4％和2％，则全厂产品的次品率为。

4、设Y X ,都服从[0，2]上的均匀分布，则()Y X E += 。

5、设随机变量X 的概率密度为)|(|)(2||∞<=-x ex f x ，则()E X = 。

二、单项选择题(每题4分，共20分)1.某工厂每天分3个班生产，事件i A 表示第i 班超额完成生产任务(3,2,1=i )，则事件“至少有两个班超额完成生产任务”可以表示为。

（A ）312122313A A A A A A A A A (B)121323A A A A A A (C)231211323A A A A A A A A A (D)123A A A2、设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充要条件是。

（A ）A 与BC 独立（B ）AB 与A C 独立（C ）AB 与AC 独立（D ）A B 与A C 独立3、离散型随机变量X 的分布为)2,1(}{ ===k b k X P k λ，其中0,0b λ><<1,则。

概率论期末考试试题和答案

概率论期末考试试题和答案### 概率论期末考试试题#### 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，如果P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)的值是：A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 0.52. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)的表达式是：A. \( e^{-\lambda}\lambda^k / k! \)B. \( \lambda^k / e^{\lambda} \)C. \( e^{-k}\lambda^k / k! \)D. \( k! / \lambda^k e^{\lambda} \)3. 以下哪个不是随机变量的期望值的性质？A. 线性B. 非负性C. 可加性D. 可分解性4. 两个事件A和B独立，如果P(A)=0.6，P(B)=0.5，那么P(A∩B)的值是：A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.35. 随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)表示的是：A. X和Y的平均值B. X和Y的方差C. X和Y的线性相关性D. X和Y的独立性6. 如果随机变量X服从标准正态分布，那么P(X<0)的值是：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.257. 以下哪个是大数定律的表述？A. 随机变量的期望值等于其观察值的平均值B. 随机变量的方差随着观察次数的增加而减小C. 随机变量的观察值的平均值随着观察次数的增加而趋于稳定D. 随机变量的观察值的方差随着观察次数的增加而趋于稳定8. 以下哪个是中心极限定理的结论？A. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布B. 独立同分布的随机变量之差的分布趋近于正态分布C. 独立同分布的随机变量之积的分布趋近于正态分布D. 独立同分布的随机变量之比的分布趋近于正态分布9. 以下哪个是马尔可夫链的性质？A. 状态转移概率只依赖于当前状态B. 状态转移概率只依赖于初始状态C. 状态转移概率只依赖于最终状态D. 状态转移概率依赖于所有历史状态10. 以下哪个是贝叶斯定理的应用？A. 根据先验概率和似然函数计算后验概率B. 根据后验概率和先验概率计算似然函数C. 根据似然函数和后验概率计算先验概率D. 根据先验概率和后验概率计算似然函数#### 第二部分：简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是条件概率，并给出一个实际的例子。

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学分支。

以下是一套概率论期末考试题及答案，供参考。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.7C. 0.35D. 0.6答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，求正面朝上的次数为1的概率。

A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B3. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=1)。

A. λB. λe^(-λ)C. e^(-λ)D. 1/λ答案：B4. 某工厂有5台机器，每台机器正常工作的概率都是0.9，求至少有3台机器正常工作的概率。

A. 0.999B. 0.99C. 0.95D. 0.9答案：C5. 一个骰子连续抛掷两次，求点数之和为7的概率。

A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/9答案：C二、填空题（每题2分，共10分）6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其密度函数的峰值出现在X=______。

答案：μ7. 假设事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.5，则P(A∩B)=______。

答案：0.38. 某随机试验中，事件A发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.3，且P(A∪B)=0.4，则P(A∩B)=______。

答案：0.19. 连续型随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-λx)，其中λ>0，当x≥0时，X服从______分布。

答案：指数10. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求其期望E(X)=______。

答案：np三、简答题（每题10分，共30分）11. 简述什么是条件概率，并给出条件概率的公式。

答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B) 是事件A和B 同时发生的概率，P(B) 是事件B发生的概率。

概率论期末试题及答案

概率论期末试题及答案### 概率论期末试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.8C. 0.3D. 0.22. 抛一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率是：A. 0.5B. 0.75C. 0.25D. 13. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ=0，σ²=1，求P(X>1)：A. 0.1587B. 0.3173C. 0.6827D. 0.84134. 某工厂生产的产品中，有5%的产品是次品。

若随机抽取100件产品，求至少有3件次品的概率：A. 0.95B. 0.05C. 0.02D. 0.985. 某随机实验中，事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.3，且P(A∩B)=0.1，则P(A∪B)等于：A. 0.8B. 0.9C. 0.7D. 0.6#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是条件概率，并给出一个实际应用的例子。

条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，一个事件发生的概率。

例如，在医学领域，如果已知某人患有某种疾病，那么在这种情况下，他出现某种症状的条件概率可能会比一般人群要高。

2. 解释什么是大数定律，并说明它在统计学中的重要性。

大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了在重复进行独立随机实验时，随着实验次数的增加，实验结果的相对频率会越来越接近事件发生的概率。

在统计学中，大数定律是进行概率估计和推断的基础，它保证了样本均值的稳定性和可靠性。

#### 三、计算题（每题15分，共40分）1. 某工厂生产零件，每个零件的合格率为0.95。

求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。

设X为100个零件中合格的数量，X服从二项分布B(100, 0.95)。

使用二项分布公式计算P(X≥90)。

2. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，求P(X>2)。

概率论期末考试题及答案pdf

概率论期末考试题及答案pdf一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，则P(X<0)的值为（）。

A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，则E(X)的值为（）。

A. npB. n(1-p)C. pD. 1答案：A3. 两个随机变量X和Y相互独立，则P(X>1, Y>1)等于（）。

A. P(X>1)P(Y>1)B. P(X>1) + P(Y>1)C. P(X>1) - P(Y>1)D. P(X>1) / P(Y>1)答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，则P(X=k)的值为（）。

A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ) * k!C. λ^k * e^(-λ) / (k-1)!D. λ^k * e^(-λ) * (k-1)!答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其期望E(X)的值为（）。

A. (a+b)/2B. a+bC. 2a-bD. 2b-a答案：A6. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其方差Var(X)的值为（）。

A. μB. σ^2C. 1/σ^2D. 1/μ答案：B7. 随机变量X服从指数分布，其参数为λ，则其期望E(X)的值为（）。

A. 1/λB. λC. 1D. 0答案：A8. 随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布，则P(X+Y<0)的值为（）。

A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.9答案：A9. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，则其方差Var(X)的值为（）。

A. npB. np(1-p)C. pD. 1-p答案：B10. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，若P(X<μ)=0.5，则μ的值为（）。

A. 0B. 1C. μD. σ^2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 随机变量X服从标准正态分布，若P(X<1.96)=0.975，则P(X>1.96)=________。