高二精选题库2-11. 数学 数学doc北师大版
最新高二数学题库 北师大版高中数学选修21期末考试试题及答案(理科)
高二期末考试数学试题晁群彦一．选择题（每小题5分，满分６0分）１.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件２.对于两个命题：①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤， ②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>，下列判断正确的是（ ）。
A. ① 假 ② 真B. ① 真 ② 假C. ① ② 都假D. ① ② 都真３.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1222=-y x B. 1422=-y x C. 1222=-y x D. 13322=-y x ４.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点， 则2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率是（ ）A2 B 12C D 13５.过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为045直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是（ ）A 8B 16C 32D 64６.在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是（ ）A ．B ．C ．D ．７.已知椭圆12222=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，则12PF F ∆的面积 最大值一定是（ ）A 2a B ab C D ８.已知向量k -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k 的值是( )A ．1B ．51C ． 53D ．57９.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B与1D E所成角的余弦值为（ ）A B C D １０.若椭圆x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(122与直线交于A ，B 两点,过原点与线段AB 中点的连线的斜率为22，则m n的值是( )2.23.22.292. D C B A１１.过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．10１２.以12422y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ）A.1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 141622=+y x D. 二．填空题（每小题４分）１３．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：OCOB y OA x OM 31++=其中x ，y 是实数，若点M 与A 、B 、C 四点共面，则x+y=___１４．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则AB等于___１５．若命题P ：“∀x ＞0，0222<--x ax ”是真命题 ，则实数a 的取值范围是___．１６．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___．C三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
北师大版高二数学练习册试题及答案
北师大版高二数学练习册试题及答案【一】1．下列说法中不正确的是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B 不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B.2．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋（－1）n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1，0，1，0B．0，1，0，1C.12，0，12，0D．2，0，2，0解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么()A．30是数列{an}的一项B．44是数列{an}的一项C．66是数列{an}的一项D．90是数列{an}的一项解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．4．已知数列的通项公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，则该数列的前两项分别是()A．2，4B．2，2C．2，0D．1，2解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n（n－1）2C．an＝n（n＋1）2D．an＝n（n＋2）2解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故选C.6．若数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第________项．解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.令n2－2n＝15，得n＝5.答案：57．已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，则它的一个通项公式为________．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n8．已知数列{an}的通项公式为an＝2017－3n，则使an>0成立的正整数n的值为________．解析：由an＝2017－3n>0，得n答案：6729．已知数列{n(n＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．10．已知数列2，74，2，…的通项公式为an＝an2＋bcn，求a4，a5.解：将a1＝2，a2＝74代入通项公式，得a＋bc＝2，4a＋b2c＝74，解得b＝3a，c＝2a，所以an＝n2＋32n，所以a4＝42＋32×4＝198，a5＝52＋32×5＝145.[B能力提升]11．已知数列{an}的通项公式为an＝sinnθ，0解析：a3＝sin3θ＝12，又0答案：1212．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2017得n≤135.4，当n＝1时，此时a1＝1，不符合，故此数列的项数为135－1＝134.答案：13413．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2016；(3)2017是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)．由a1＝3，且a17＝67，得k＋b＝317k＋b＝67，解之得k＝4且b＝－1.所以an＝4n－1.(2)易得a2016＝4×2016－1＝8063.(3)令2017＝4n－1，得n＝20184＝10092∉N＋，所以2017不是数列{an}中的项．14．(选做题)已知数列9n2－9n＋29n2－1，(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间13，23内是否有数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．解：(1)设an＝9n2－9n＋29n2－1＝（3n－1）（3n－2）（3n－1）（3n＋1）＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10项a10＝2831.(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：因为an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，又n∈N＋，所以0所以数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13所以n>76，n当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2＝47.【二】1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为100040＝25.2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有()①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③解析：选 D.由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．3．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会() A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定解析：选C.系统抽样是等可能的，每人入样的机率均为502004.4．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体()A．3B．4C．5D．6解析：选B.由于只有524÷4没有余数，故选B.5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为() A．11B．12C．13D．14解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.因为x020∈120，1，所以k＝24，25，26， (35)所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12.6．为了了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，则抽样间隔k＝________．解析：由于120340不是整数，所以从1203名学生中随机剔除3名，则抽样间隔k＝120040＝30.答案：307．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48.答案：208．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k＝9－3＝6，而总体容量N＝60，所以样本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同学，的编号为第10组抽取的个体的编号，故编号为3＋9×6＝57.答案：579．某批产品共有1564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．解：(1)先从1564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．(2)将余下的1560件产品编号：1，2，3， (1560)(3)取k＝156015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．(4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s.(5)按编号把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：120030＝40；确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户；…(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题？试修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．(3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.[B能力提升]11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，若在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，则Δ中的数字有()A．1种可能B．2种可能C．3种可能D．4种可能解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.12．已知某种型号的产品共有N件，且40＜N＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，若样本容量为7，则不需要剔除；若样本容量为8，则需要剔除1个个体，则N＝________．解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N为7的倍数，又40＜N ＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；若N＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49.答案：4913．为了调查某路口一个月的车流量情况，*采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为*这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：*所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.14．(选做题)一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第2组抽取的号码是290，…故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.。
高二精选题库数学 课堂训练_2-1北师大版
第2章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江嘉兴一中模拟]设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )答案：B解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中(0,2]没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2. 已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个答案：B解析：A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素.3. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (3)的值为( )A. －1B. －2C. 1D. 2答案：B解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1) ＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.4. [2012·天津模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个答案：C解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域. 由已知x 2＝1，得x ＝±1； x 2＝4，得x ＝±2.∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合. 当定义域中有两个元素时有{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个. 有三个元素时有{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个. 有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个. 综上共有：4＋4＋1＝9个.5. [2012·福建省宁德市模拟]若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，34)C. [0，34]D. [0，34)答案：D解析：∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，当m ＝0，∴mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m >0时，Δ＝16m 2－12m <0， 解得0<m <34，当m <0时，Δ＝16m 2－12m <0，无解. 综上，0≤m <34，即m ∈[0，34).6. [2012·宁波市“十校联考”]设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A 2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0，14]B. (14，12)C. (14，12]D. [0，38]答案：B解析：因为f [f (x 0)]＝f (x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0，所以0≤1－2x 0<12，故14<x 0≤12，又x 0∈A ，所以14<x 0<12.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于__________.答案：2解析：f [1f (3)]＝f (1)＝2.8. (1)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，则f (x )＝__________；(2)若函数f (x )＝xax ＋b ，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.答案：(1)x 3＋1 (2)2xx ＋2解析：(1)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(2)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.9. [2012·南通六校联考(一)]定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为__________.答案：[－4,6]解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]，当x∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6].三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. (1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域； (2)已知f (x 2－3)＝lg x 2x 2－6，求f (x )的定义域.解：(1)依题意，0≤x ＋1<1，∴－1≤x <0， ∴f (x ＋1)的定义域为[－1,0).由0≤x 2<1得－1<x <1，∴f (x 2)的定义域为(－1，1). (2)令u ＝x 2－3，则f (x )的定义域就是u 的值域. 要使lg x 2x 2－6有意义，只需x 2>6，即x 2－3>3，∴u >3， 即f (x )的定义域是(3，＋∞).11.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图像.解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3).32(x >3)函数图像如图所示.12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2， 又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *). (2)f (x )＝2(x ＋14)2－178，∴x ＝1时f (x )min ＝1，由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0， 若m ＝0，则t ∈R ，若0<m ≤1，则t ≥m －2m ，即t ≥－1，若－1≤m <0，则t ≤m －2m ，即t ≤1，综上－1≤t ≤1.。
最新高二数学题库 北师大版高二数学选修21试题及答案
高二数学选修2－1质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至6页。
考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是 A.24y x =- B.24x y =C.24y x =-或24x y = D. 24y x =或24x y =- 2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.(1) (1,2,1)a =,(1,2,3)b =-； (2) (8,4,6)a =-,(4,2,3)b =-； （3）(0,1,1)a =-,(0,3,3)b =-； （4）(3,2,0)a =-,(4,3,3)b =- A. 一 B. 二 C. 三 D. 四3. 若平面α的法向量为1(3,2,1)n =，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-，则平面α与β夹角的余弦是B. C. D. 4.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 5. “直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为A B C D7. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为A.221916x y -= B.221169x y -= C.2212536x y -= D. 2212536y x -= 8. 已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是A. (1,－4,2)B.11(,1,)42-C. 11(,1,)42-- D. (0,－1,1)9. 命题“若a b <，则a c b c +<+”的逆否命题是A. 若a c b c +<+，则a b >B. 若a c b c +>+，则a b >C. 若a c b c +≥+，则a b ≥D. 若a c b c +<+，则a b ≥10 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8.11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为： （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =”是“A φ=”的必要不充分条件.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12。
高二精选题库2-6. 数学 数学doc北师大版
第2模块 第6节[知能演练]一、选择题1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1解析：按照幂函数的定义，只有形如y ＝x α(α∈R )的函数才叫做幂函数．答案：B2．x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )3．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (12)的值等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13解析：依题意设f (x )＝x α(α∈R )，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f (x )＝x log23，于是f (12)＝(12)log23＝2－log23＝2log213＝13，选D.答案：D 4．若f (x )＝x n 2＋n ＋1(n ∈N )，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数或偶函数D ．非奇非偶函数解析：由于当n ∈N 时，n (n ＋1)一定为偶数，因此n (n ＋1)＋1一定为奇数，所以函数一定为奇函数．答案：A 二、填空题5．0.312，2.212，2.112这三个数从小到大排列为________．解析：由于函数f (x )＝x 12在[0，＋∞)上是增函数，所以f (0.3)<f (2.1)<f (2.2)，即0.312<2.112<2.212.答案：0.312，2.112，2.212 6．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值等于________． 解析：由于函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2，而当m ＝1时，y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2＝x －2，定义域是{x |x ∈R ，x ≠0}，图象不经过原点；当m ＝2时，y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2＝x 0，定义域是{x |x ∈R ，x ≠0}，图象不经过原点．答案：1或2 三、解答题7．已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值． (2)判定f (x )的奇偶性．(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1.(2)因为f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}， 又f (－x )＝－x －2－x＝－(x －2x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－(x 2－2x 2)＝(x 1－x 2)(1＋2x 1x 2)，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0,1＋2x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．8．已知幂函数f (x )＝x m 2－m －3(m ∈N *，m ≥2)在(0，＋∞)内单调递减，g (x )＝f (x －2009)f (x －2008).(1)求f (x )；(2)比较g (44)与g (45)的大小．解：(1)由于函数f (x )在(0，＋∞)内单调递减，所以m 2－m －3<0，解得1－132<m <1＋132，由于m ∈N *，m ≥2，所以只能取m ＝2，这时f (x )＝x －1.(2)由(1)知g (x )＝f (x －2009)f (x －2008)＝x －2008x －2009＝x －2009＋2009－2008x －2009＝1＋2009－2008x －2009，由于442＝1936,452＝2025，所以44<2009<45，因此g (44)<1，g (45)>1，所以g (44)<g (45)．[高考·模拟·预测]1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题中的真命题只有一个．答案：C2．已知函数f 1(x )＝a x ，f 2(x )＝x a ，f 3(x )＝log a x (其中a >0，且a ≠1)，在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象，正确的是( )解析：观察选项，在0<a <1和a >1情况下，对三个函数的图象分析可知A 、C 、D 均不符合．选B.答案：B3．幂函数y ＝x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定解法一：由条件得M (13，23)，N (23，13)，由一般性，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝log 2313，β＝log 1323.所以αβ＝log 2313·log 1323＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.解法二：由解法一，得13＝(23)α，23＝(13)β，则(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝13，即αβ＝1，故选A.答案：A4．若x ∈[－1,1]时，22x －1<a x＋1恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)解析：由22x －1<a x ＋1⇒(2x －1)lg2<(x ＋1)lg a ⇒x ·lg 4a －lg(2a )<0，设f (x )＝x ·lg 4a －lg(2a )， 由当x ∈[－1,1]时，f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0f (－1)<0⇒⎩⎨⎧lg 4a －lg(2a )<0－lg 4a －lg(2a )<0⇒a >2为所求的范围．答案：A5．已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题： ①若x >1，则f (x )>1； ②若0<x <1，则0<f (x )<1； ③若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2； ④若0<x 1<x 2，则f (x 1)x 1<f (x 2)x 2.其中正确的命题序号是________．解析：作出y ＝x α(0<α<1)在第一象限的图象，由性质易判定①②③正确； 而f (x )x 表示图象上点P (x ，y )与原点连线的斜率，当0<x 1<x 2时应有f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，∴④不正确．答案：①②③6．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2. (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]． ∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q )处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．。
2022-2023学年北师大版高二下数学：概率(附答案解析)
2022-2023学年北师大版高二下数学：概率一．选择题（共8小题）1．（2021秋•宜昌期中）某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.55，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）A．0.8B．0.75C．0.45D．0.25 2．（2021秋•常州期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（）A ．B ．C ．D ．3．（2021秋•沙市区校级期中）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丁相互独立D．丙与丁相互独立4．（2021秋•浙江期中）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2个小球不全为红色B．2个小球恰有一个红色C．2个小球至少有一个红色D．2个小球不全为绿色5．（2021秋•仁寿县期中）先后抛掷一颗骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，事件A为：x+y为偶数，事件B为：xy为奇数，则概率P（B|A）＝（）A ．B ．C ．D ．6．（2021秋•河南期中）如图所示，阴影部分由六个全等的三角形组成，每个三角形是底边为圆的半径，顶角为120°的等腰三角形，若在圆内随机取一点，则该点落到阴影部分内的概率为（）第1页（共18页）。
高二精选题库3-8. 数学 数学doc北师大版
第3模块第8节[知能演练]一、选择题1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时() A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：如下图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．答案：C2．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为() A．15米B．5米C．10米D．12米解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，则OD＝3h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 答案：C3．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线走30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向前走10 3 m ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是( )A ．10 mB ．15 mC ．12 mD ．10 2 m解析：如下图，设塔高AB ＝h ，在△ACD 中，cos ∠ACD ＝(103)2＋(103)2－3022×103×103＝－12，所以∠ACD ＝120°，所以4θ＝60°， AB ＝103sin60°＝103×32＝15 m. 答案：B4．△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则A 的对边长为( )A ．5B ．6C ．8D ．7解析：a ＋b ＋c ＝20，∴b ＋c ＝20－a ， 即b 2＋c 2＋2bc ＝400＋a 2－40a ， ∴b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ① 又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ②又S △ABC ＝12bc ·sin A ＝103，∴bc ＝40③由①②③可知a ＝7. 答案：D 二、填空题5．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.解析：如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2 km. 答案：30 26．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．解析：如图：依题意有甲楼的高度AB ＝20·tan60°＝203米，又CM ＝DB ＝20米，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM tan60°＝2033米，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033米．答案：203米，4033米三、解答题7．如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)． 即乙船每小时航行302海里．8．l 1，l 2，l 3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．(1)如果l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在l 1，l 2，l 3上，求这个正三角形ABC 的边长；(2)如图，如果l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在l 1，l 2，l 3上，如果能放，求该正三角形的边长；如果不能，说明理由．解：不妨设A ∈l 1，B ∈l 2，C ∈l 3. (1)∵A ，C 到直线l 2的距离相等，∴l 2过AC 的中点M ，且△ABC 为正三角形， ∴l 2⊥AC ，∴边长AC ＝2AM ＝2，故△ABC 的边长为2.(2)设边长为a ，BC 与l 3的夹角为θ，由对称性，不妨设0°<θ<60°， 则BC 与l 2的夹角也为θ，AB 与l 2的夹角就是60°－θ， ∴a sin θ＝2，a sin(60°－θ)＝1，两式相比， 得sin θ＝2sin(60°－θ)，即sin θ＝3cos θ－sin θ， ∴2sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝32， ∴sin θ＝37，∴a ＝237＝2213.[高考·模拟·预测]1．设G 是△ABC 的重心，且(56sin A )GA →＋(40sin B )GB →＋(35sin C )GC →＝0，则B 的大小为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：∵G 为△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴56sin A ＝40sin B ＝35sin C ， 结合正弦定理有56a ＝40b ＝35c ， ∴a ＝57b ，c ＝87b ，由余弦定理有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝60°. 答案：D2在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3解析：根据S ＝12bc sin A ＝32可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝3.答案：D3．如图，位于港口O 正东20海里B 处的渔船回港时出现故障．位于港口南偏西30°，距港口10海里C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救渔船，则拖轮到达B 处需要________小时．解析：由余弦定理得BC ＝202＋102－2×10×20cos120°＝107，从而需73小时到达B 处． 答案：734．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：连接AC .则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.答案：135．如下图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .由题中所给数据可得，DF ＝MF 2＋MD 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130， EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理得， cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22×DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.[备选精题]6．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n . (1)求A 的大小； (2)现给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，求出你所确定的△ABC 的面积． 解：(1)∵m ⊥n ，∴－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0， 即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，∴cos(B ＋C )＝－32.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴cos A ＝32，∴A ＝30°. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC . ∵A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0， 由余弦定理得12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32， 整理得b 2＝2，∴b ＝2，c ＝6＋22. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×6＋22×12＝3＋14.方案二：选择①③，可确定△ABC . ∵A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，∴C ＝105°. 又sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， 由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22，∴S △ABC ＝12ac sin B＝12×1×6＋22×22＝3＋14. (注：若选择②③不能确定三角形)。
高二精选题库 数学检测4.北师大版
单元质量检测(四)一、选择题1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.答案：B2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：∵1－2＋i ＋11－2i＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i(1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ， ∴虚部为15.答案：B3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nm b ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋13e 1解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋13e 1]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →，∴BD →＝13BC →.∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13BC →.∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13BC →.∴AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行． 答案：A7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |等于( )A.14 B ．2 C.12D ．1解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝1.答案：D8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0， 即∠B ＝π2.答案：B9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：如图，F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小，且在△OAB 中，∠OAB ＝120°，OB ＝F 21＋F 22－2F 1·F 2cos120°＝28＝27，即F 3为27.答案：D10．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如下图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：函数y ＝tan(π4x －π2)的图象是由y ＝tan x 的图象向右平移π2个单位，再将图象的横坐标扩大为原来的4π倍得到，所以点A 的坐标为(2,0)，令tan(π4x －π2)＝1得π4x －π2＝π4，故可得B 点坐标为(3,1)，所以(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.答案：D11．设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB ＝2，AC ＝4，则AP →·BC →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A (－1,0)，B (1,0)，C (－1,4)，则外心P 为(0,2)，故AP →＝(1,2)，BC →＝(－2,4)，故AP →·BC →＝6.答案：B12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →(其中λ∈R )，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：CB →＝PB →－PC →＝λP A →＋PB →化简即得－PC →＝λP A →，由共线向量的充要条件可知，点P ，A ，C 三点共线，所以答案选B.答案：B 二、填空题13．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i ，∴⎩⎨⎧a ＋65＝03－2a 5≠0，∴a ＝－6.答案：－614．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 解析：|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－4(cos10°cos70°＋sin10°sin70°) ＝5－4cos60°＝ 3. 答案： 315．已知AD 是△ABC 的中线，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ＝________；若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．解析：若AD 为△ABC 的中线，则有AD →＝12(AB →＋AC →)，∴λ＋μ＝1.|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)，∵|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2AB →·AC →cos120°＝8，所以|AD →|≥1.答案：1 116．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：2 三、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12b )①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23c ，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a .因而⎩⎨⎧c ＝b ＋12ad ＝a ＋12b ⇒⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210.(2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎨⎧λ1＝－237λ2＝37.19．设△ABC 的外心为O ，则圆O 为△ABC 的外接圆，垂心为H .求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ， 则BD 为圆O 的直径，故∠BCD ＝∠BAD ＝90°. 又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC ， 得AH ∥DC ，同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形， ∴AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴AH →＝OB →＋OC →. 又∵OH →＝OA →＋AH →， ∴OH →＝OA →＋OB →＋OC →.20．(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝23a ＋13b .同理OQ →＝13a ＋23b ，∴OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)OA 1→＋OA n －1 ＝OA 2→＋OA n －2 ＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，…因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.21．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值． 解：(1)由题意知： AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝6① S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ) ＝12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[π6，π4]．(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]．∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f (θ)有最小值为3.22．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .。
高二精选题库2-1. 数学 数学doc北师大版
第2模块 第1节[知能演练]一、选择题 1．已知函数f (x )＝a x－1的定义域和值域都是[1,2]，则a 的值是( )A.22B ．2 C. 2D.13解析：当a >1时，f (x )为增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1－1＝1，a 2－1＝2，解得a ＝2；当0<a <1时，f (x )为减函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1－1＝2，a 2－1＝1，无解．所以a ＝2.答案：B2．由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，定义一个映射：f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)等于( )A ．(－1,0，－1)B ．(－1，－1,0)C ．(－1,0,1)D ．(－1,1,0)解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1，得－1＝b 3，即b 3＝－1；再令x ＝0与x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 3，3＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0，故选A. 答案：A3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )(实线表示)，另一种是平均价格曲线y ＝g (x )(虚线表示)〔如f (2)＝3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元；g (2)＝3表示两个小时内的平均价格为3元〕，下图给出的四个图象中，其中可能正确的是( )解析：解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应，因此可以得到正确选项为C. 答案：C4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x <1时，f (x )＝x 2＋1，则x >1时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－4x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋5 C ．f (x )＝x 2－4x －5 D ．f (x )＝x 2＋4x ＋5解析：因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (2－x )．当x >1时，2－x <1，此时，f (2－x )＝(2－x )2＋1，即f (x )＝x 2－4x ＋5. 答案：B 二、填空题5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin(πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能的值是________．解析：由已知可得，①当a ≥0时，有e 0＋e a －1＝1＋e a －1＝2，∴e a －1＝1.∴a －1＝0.∴a＝1.②当－1<a <0时，有1＋sin(a 2π)＝2，∴sin(a 2π)＝1.∴a 2＝2k ＋12(k ∈Z )．又－1<a <0，∴0<a 2<1，∴当k ＝0时，有a 2＝12，∴a ＝－22.综上可知，a ＝1或－22. 答案：1或－226．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有________个．解析：令y ＝f (x )＝4|x |＋2－1，y ∈[0,1]，即0≤4|x |＋2－1≤1， 解得－2≤x ≤2，故满足条件的整数对(a ，b )为(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个． 答案：5 三、解答题7．已知函数f (x )的定义域是[－1,2]，求下列函数的定义域： (1)y ＝f (x )－f (－x )； (2)y ＝f (x －a )·f (x ＋a )(a >0)． 解：(1)函数必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2－1≤－x ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2－2≤x ≤1⇒－1≤x ≤1.∴y ＝f (x )－f (－x )的定义域是[－1,1]． (2)为了使y ＝f (x －a )·f (x ＋a )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －a ≤2，－1≤x ＋a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤x ≤a ＋2，－a －1≤x ≤－a ＋2.∵a >0，令a －1<－a ＋2，即0<a <32，则当0<a <32时，a －1<－a ＋2，故定义域为[a －1，－a ＋2]；当a ＝32时，故定义域为{x |x ＝12}；当a >32时，a －1>－a ＋2，故定义域为Ø(舍去)．8．(1)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)＝1，且对任意实数a 、b ，有f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )；(2)函数f (x )(x ∈(－1,1))满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )． 解：(1)依题意令a ＝b ＝x ，则 f (x －x )＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x 2－x ， 而f (0)＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1. (2)以－x 代x ，依题意有 2f (－x )－f (x )＝lg(1－x ) ① 又2f (x )－f (－x )＝lg(1＋x )②两式联立消去f (－x )得 3f (x )＝lg(1－x )＋2lg(1＋x )， ∴f (x )＝13lg(1＋x －x 2－x 3)(－1<x <1)．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：通过作图可知，f (x )在R 上单调递增，∴f (2－a 2)>f (a )⇔2－a 2>a ，解得－2<a <1.故选C.答案：C2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2009)的值为}() A．－1 B．0C．1 D．2解析：由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2009)＝f(5)＝1，故选C.答案：C3．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a ＝________.解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(－x＋1)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，从而f(x)＝x(1－x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，∴a<0.∴a(1－a)＝－2，解得a＝－1或a＝2(舍)．∴a＝－1.答案：－14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：A＝50×0.568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4.答案：148.45．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式．(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x .由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．[备选精题]6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立．(1)证明：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，f (x )的表达式．解：(1)由条件知f (2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立． ∵x ＝2时，f (2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2成立，∴f (2)＝2.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝24a －2b ＋c ＝0，∴4a ＋c ＝2b ＝1，∴b ＝12，c ＝1－4a .又∵f (x )≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立， ∴a >0，Δ＝(12－1)2－4a (1－4a )≤0，解得a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴f (x )＝18x 2＋12x ＋12.。
北师大版数学高二-选修2-1模块综合测试2
模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝2B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－y 2＝3D ．x 2－y 23＝1 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题 解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，已知命题p ：a >b ，命题q ：tan 2A >tan 2B ，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识．在三角形中，命题p ：a >b ⇔A >B .命题q ：tan 2A >tan 2B ⇔sin(A ＋B )sin(A －B )>0⇔A >B ，显然p 是q 的充要条件，故选C.答案：C5．如右图，在三棱锥A —BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：如右图，建立空间直角坐标系． 设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.答案：A6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A ．43B ．423C ．83D ．823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面；③已知空间中三个向量a，b，c，则对空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c成立．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：本题主要考查空间向量的共线、共面、空间向量的基本定理等基础知识．若向量a，b共线，则向量a，b所在直线平行或在同一条直线上，故①不正确；在三棱锥P－ABC 中，取PA→，PB→，PC→分别为向量a，b，c，则a，b，c两两共面，但a，b，c不共面，故②不正确；在三棱锥P－ABC中，取AB→，BC→，CA→分别为向量a，b，c，则对向量PA→，不存在实数x，y，z使得PA→＝x a＋y b＋z c成立，故③不正确；综上，正确命题的个数是0，故选A.答案：A8．下列四个结论中正确的个数为()①命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<－1，则x2>1”；②已知p：∀x∈R，sin x≤1，q：若a<b，则am2<bm2，则p∧q为真命题；③命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．[2014·河南省开封高中月考]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为()A．1 B．5 2C．62D．32解析：本题主要考查空间中两点间的距离．以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)，F (2,1，22)， 所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C. 答案：C10．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，则直线B 1B 和平面CDB 1所成角的正切值为( )A ．2 2B ．322C ． 2D ．22解析：如右图，建立空间直角坐标系，可设AC ＝BC ＝CC 1＝1， 则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D (12，12，0)，B 1(0,1,1)，CD →＝(12，12，0)，CB 1→＝(0,1,1)，B 1B →＝(0,0，－1)．设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12y ＝0，y ＋z ＝0，不妨取n ＝(1，－1,1)，所以cos 〈n ，B 1B →〉＝n ·B 1B →|n ||B 1B →|＝－13＝－33.设直线B 1B 和平面CDB 1所成角为α，则sin α＝33， 故cos α＝63，tan α＝22.11．已知F 是抛物线y2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A ．83B ．163C ．833D ．823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||FA |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A ．233B ．62C ． 2D ． 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率e 为__________．解析：当m >0，n >0时，可设a ＝3k ，b ＝4k ， 则c ＝5k ，所以离心率e ＝53；当m <0，n <0时，可设a ＝4k ，b ＝3k ， 则c ＝5k ，所以离心率e ＝54.答案：53或5415．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝__________.解析：如右图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →， 即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.答案：－1216. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．(12分)[2014·福建省质检]某几何体ABC －A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角C 1－AB 1－C 的余弦值．解：(1)由三视图可知，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (4,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)，∴CA 1→＝(4,0,4)，C 1A →＝(4,0，－4)，C 1B 1→＝(0,3,0)．∴CA 1→·C 1A →＝4×4＋0×0＋4×(－4)＝0，CA 1→·C 1B 1→＝4×0＋0×3＋4×0＝0. ∴CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1，又C 1A ∩C 1B 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1. (2)由(1)得，CA →＝(4,0,0)，CB 1→＝(0,3,4)，设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则CA →⊥n ，CB 1→⊥n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n ＝0CA →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝03y ＋4z ＝0，即x ＝0，令y ＝4，则z ＝－3，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0,4，－3)． 由(1)知，CA 1→是平面AB 1C 1的一个法向量， cos 〈n ，CA 1→〉＝n ·CA 1→|n ||CA 1→|＝－12202＝－3210.由图可知，二面角C 1－AB 1－C 为锐角， 故二面角C 1－AB 1－C 的余弦值为3210.19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2， 整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1.解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0， 化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1) 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2013·江西高考]如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，PA ＝32，连结CE 并延长交AD于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)证明：在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1， 故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (0，3，0)，P (0,0，32)，故BC →＝(12，32，0)，CP →＝(－32，－32，32)，CD →＝(－32，32，0)．设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧ 12＋32y 1＝0，－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝(1，－33，23)． 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧－32＋32y 2＝0，－32－32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎨⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169·8＝24.22．(12分)[2014·山东高考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0， 由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0. 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20， 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)． 当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0， 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4， 所以点B 到直线AE 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2 ＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4·⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。
数学北师大版高中选修2-1高二下数学期末试卷
高二数学期末试卷一、选择题（本大题共有12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1．物体的运动方程是S =10t －t 2(S 的单位：m ； t 的单位：s), 则物体在t =2s 的速度是 ( ) A ．2 m/s B ．4 m/s C ．6 m/s D ．8 m/s 2．算法此算法的功能是 ( )A ．a ，b ，c 中最大值B ．a ，b ，c 中最小值C ．将a ，b ，c 由小到大排序D ．将a ，b ，c 由大到小排序3．从一群游戏的孩子中抽出k 人，每人扎一条红带，然后让他们返回继续游戏，一会后，再从中任取m 人，发现其中有n 人扎有红带，估计这群孩子的人数为 （ ） A ．k m B ．k n C ．m kn D ．n km4．甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拔赛 中所得的平均环数x 及其方差S 2如下表所示，则选送参加决赛的最佳人选 是 （ ）A ．甲B ． 乙C ．丙D ． 丁 5．若命题p : x ∈A ∪B , 则非p 是 ( ) A ．x ∉A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉B C ．x ∉A ∩B D ．x ∈A ∩B 6．在下列命题中，(1)2,0x R x ∀∈≥. (2)x R ∃∈,使得x 2+x +1<0. (3)若tan α= tan β,则α=β.(4)若ac =b 2则a 、b 、c 成等比数列。
其中真命题有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个7．若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤1B ．a ≤3C ．a ≥1D ．a ≥38． (文科做) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31则65是 ( ）A ．乙胜的概率B ．乙不输的概率C ．甲胜的概率D ．甲不输的概率8．(理科做)若向量、的坐标满足(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则·等于 ( ) A ．1- B ．5- C ．5 D ．79．(文科做) 设一组数据的方差s 2,将这组数据的每个数据乘以10,所得到一组新数据的方差是( )9．(理科做)下列积分正确的一个是( )A ．22ππ-⎰sin x dx =2 B ．271⎰=12C ．ln 2⎰e x (1+ e x ) dx =163D ．21⎰12xe x dxe10．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为 ( )A ．2B ． 3C ．263D ．23311．在平面直角坐标系中，点(x ,y ) 中的x 、y ∈{0,1,2,3,4,5,6}且x ≠y ，则点(x ,y )落在半圆（x －3）2+y 2=9(y ≥0)内(不包括边界) 的概率是 （ ）A ．1142B ．1342C ．37D ．154912．函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间上是增函数 ( )A ．(2π, 23π)B ．(π, 2π)C ．( 23π,25π) D ．( 2π, 3π)二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分. 把结果直接填在题中的横线上）13．若施肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为ˆy=5x +250，当施肥量为80kg 时，预计的水 稻产量为 . 14.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是 . 15有两个人在一座15层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则这两个 人在不同层离开的概率是 ．16．直线y ＝x －3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形 APQB 的面积为 ．17．点P 是椭圆19y 16x 22=+上一点, F 1、F 2是其焦点, 若 ∠F 1P F 2=90°, △F 1P F 2面积为 ．18. (文科做) 函数f (x )= x －e x在点P 的切线平行于x 轴,则点P 的坐标为 ． 18. (理科做) 由曲线y=24x 、直线x =1、x =6和x 轴围成的封闭图形的面积为 ． 三、解答题（本大题共有6小题，满分50分. 解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．根椐上述信息回答下列问题：（1）月收入在[3000, 3500 )的居民有多少人? (2) 试估计该地居民的平均月收入（元）； (3) 为了分析居民的收入与年龄、学历、职 业等方面的关系，要从这20000人中再用分层抽样方法抽出300人作进一步调查，则在[2500, 3000 )（元）月收入段应抽出多少人．20.今有一批球票，按票价分别为10元票5张，20元票3张，50票2张，从这批票中抽出2 张. 问：（1）抽得2张均为20元的票价的概率 （2）抽得2张不同票价的概率.（3）抽得票价之和等于70元的概率.21.(文科做)已知命题p : f (x )=31x- , 且,命题q : 集合{}2|(2)10,A x x a x x R =+++=∈,B={x | x ＞0}, 且A B =∅，求实数a 的取值范围，使p 、q 中有且只有一个为真命题。
北师大版高二数学试题(有答案)(选修2-1)AKMKnU
（选修2-1）孙 敏一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分） 1、a 3＞8是a ＞2的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 2、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数； B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数；D ．存在一个奇数，不能被5整除3、抛物线281x y -=的准线方程是( )A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y 4、有下列命题：①20ax bx c ++=是一元二次方程（0a ≠）；②空集是任何集合的真子集；③若a ∈R ，则20a ≥；④若,a b ∈R 且0ab >，则0a >且0b >．其中真命题的个数有（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 45、椭圆1162522=+y x 的离心率为（ ） A ．35 B ． 34 C ．45 D ． 9256、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=7、已知a ＝（2，－3，1），b ＝（4，－6，x ），若a ⊥b ，则x 等于（ ） A ．－26 B ．－10 C ．2 D ．10 8、如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则BC AB 2121++等于（ ）A ．B ．C ．D ．9、已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r B ． 2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rC ．1123OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rD ．111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r10、设3=a ，6=b ， 若a •b ＝9，则,<>a b 等于（ ）A ．90°B ．60°C ．120°D ．45°11、已知向量a ＝（1，1，－2），b ＝12,1,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若a ·b ≥0，则实数x 的取值范围为（ ）A ．2(0,)3 B ．2(0,]3C ．(,0)-∞∪2[,)3+∞D ．(,0]-∞∪2[,)3+∞12、设R x x ∈21,，常数0>a ，定义运算“﹡”：22122121)()(x x x x x x --+=*，若0≥x ，则动点),(a x x P *的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13、命题“若2430x x -+=，则x ＝1或x ＝3”的逆否命题为 ． 14、给出下列四个命题：①x ∃∈R ，是方程3x －5＝0的根；②,||0x x ∀∈>R ； ③2,1x x ∃∈=R ；④2,330x x x ∀∈-+=R 都不是方程的根． 其中假命题．．．的序号有 ． 15、若方程11222=-+-k y k x 表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为 ． 16、抛物线24y x =的准线方程是 ．17、由向量(102)=，，a ，(121)=-，，b 确定的平面的一个法向量是()x y =，，2n ，则x ＝ ，y ＝ ．三、解答题（本大题共5小题，共53分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 18、（本小题满分8分）双曲线的离心率等于2，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点，求此双曲线方程．19、（本小题满分10分）已知命题:P “若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”. (1)写出命题P 的否命题；(2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论.20、（本小题满分11分）已知0≠ab ,求证1=+b a 的充要条件是02233=--++b a ab b a21、（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD的中点．（Ⅰ）证明：AD ⊥D 1F ； （Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角； （Ⅲ）证明：面AED ⊥面A 1FD 1．22、（本小题满分12分）设椭圆12222=b y a x ＋(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2，0)，左准线 L 1 ：ca x 2-=与x 轴交于点N（－3，0），过点N 且倾斜角为300的直线L 交椭圆于A 、B 两点。
高二精选题库数学 课堂训练10-6北师大版
第10章 第6节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)＝( )A. 15 B. 25 C. 35 D. 45答案：D解析：P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 34C 36＋C 24C 12C 36＝45.2．若离散型随机变量ξ的分布列为( )则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13 D ．1 答案：C解析：由题意知(9c 2－c )＋(3－8c )＝1， 解得c ＝23或c ＝13，当c ＝23时，3－8c ＝－73<0，不合题意，当c ＝13时，3－8c ＝13，9c 2－c ＝23，∴c ＝13.3．某射手射击所得环数X 的分布列为：A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.51答案：C解析：P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)答案：C解析：X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4.5．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10 D ．n ＝9答案：C解析：∵P (X ＝k )＝1n(k ＝1,2,3，…，n )，∴0.3＝P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n，∴n ＝10.6．[2012·山东烟台]一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220B.2755C.27220D.2155答案：C解析：“X ＝4”表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.二、填空题(每小题7分，共21分) 7．已知随机变量ξ的分布列为若η＝2ξ－3，则η答案：解析：由η＝2ξ－38．随机变量ξ的分布列如下：若a 、b 、c 成等差数列，则答案：23解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1， ∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.9．抛掷两颗骰子，设掷得点数和为随机变量ξ，则P (3<ξ<7)＝__________. 答案：13解析：抛掷两颗骰子所得的点数之和情况如下表：因此P (ξ＝4)＝336＝112；P (ξ＝5)＝436＝19；P (ξ＝6)＝536.故P (3<ξ<7)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＋P (ξ＝6)＝13.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2012·江西六校联考]小明打算从A 组和B 组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛．已知小明选择A 组动作的概率是选择B 组动作的概率的3倍，若小明选择A 组动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择B 组动作则一定能正常发挥并获得8分．据平时训练成绩统计，小明能正常发挥A 组动作的概率是0.8.(1)求小明选择A 组动作的概率；(2)设x 表示小明比赛时获得的分数，求x 的分布列．解：(1)设小明选择A 组动作的概率为P (A )，选择B 组动作的概率为P (B )， 由题知P (A )＝3P (B )，P (A )＋P (B )＝1， 解得P (A )＝0.75.(2)由题知x 的取值为6,8,10. P (x ＝6)＝0.75×0.2＝0.15， P (x ＝8)＝0.25，P (x ＝10)＝0.75×0.8＝0.6.其分布列为11.[2011·湖南]3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．解：(1)P (“当天商店不进货”)＝P (“当天商店销售量为0件”)＋P (当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34.故X 的分布列为12.40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人．将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片上队员的跳高成绩为X ，跳远成绩为Y ，设X ，Y 为随机变量(注：没有相同姓名的队员)．(1)求X ＝4的概率及X ≥3且y ＝5的概率； (2)求m ＋n 的值；(3)若Y 的均值为10540，求m ，n 的值.解：(1)当X ＝4时的概率为P 1＝940；当X ≥3且Y ＝5时的概率为P 2＝440＝110.(2)m ＋n ＝40－37＝3.(3)P (Y ＝1)＝8＋n 40；P (Y ＝2)＝14；P (Y ＝3)＝14；P (Y ＝4)＝4＋m 40；P (Y ＝5)＝18.因为Y 的均值为10540，所以99＋n ＋4m 40＝10540，于是m ＝1，n ＝2.。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1学业分层测评11 Word版含答案
学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2-5-7，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 的夹角为( )图2-5-7A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设D 1C 1＝a ，C 1B 1＝b ，C 1C ＝c .则D 1(0,0,0)，A (0，b ，c )，D (0,0，c )，C (a,0，c )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ，b ，12c ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ，12b ，0.则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12b ，－12c ，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－b ，12c .∵∠CMN ＝90°，∴MN →·MC →＝0. 即12b 2－14c 2＝0，即b 2＝12c 2. ∴AD1→·DM →＝(0，－b ，－c )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ，b ，－12c ＝－b 2＋12c 2＝0.∴AD 1与DM 的夹角为90°.【答案】 D2.如图2-5-8，在正四面体A -BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为()图2-5-8A.32B ．23C.12D ．33【解析】 作AO ⊥平面BCD 于O ，则O 是△BCD 的中心，以O 为坐标原点，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则O(0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，263，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－33，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33，63， ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，263，CE →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，233，63， ∴cos 〈OA →，CE →〉＝OA →·CE→|OA →||CE →|＝43263×3＝23.∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为23.【答案】 B3．过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A⊥平面ABC ，且P A ＝AB ，则平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，从而PD →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1,0,0)．设平面ABC 与平面PCD 的法向量分别为n 1，n 2，取n 1＝AP →＝(0,0,1)．设n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CD →，n 2⊥PD →，可得⎩⎪⎨⎪⎧n2·CD →＝－x ＝0n2·PD →＝y －z ＝0，可取n 2＝(0,1,1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n1·n2|n1||n2|＝0＋0＋11×2＝22，所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°.【答案】 C4．如图2-5-9所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且P A⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )图2-5-9A.36B ．34C.33D ．233【解析】 设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，0，0.∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量．由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． ∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277.∴tan 〈n ，OC →〉＝233.【答案】 D5．P 是二面角α-AB -β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么α与β的夹角大小为( )【导学号：32550047】A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【解析】 设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，则因∠BPM ＝∠BPN ＝45°，故PE ＝a 2，PF ＝b2.于是EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ·b 2cos 45°－a 2·b cos 45°＋a 2·b 2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab 2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的与棱AB 垂直的两条直线，所以EM →与FN →的夹角就是α与β的夹角．【答案】 D 二、填空题6．若平面α的一个法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________．【解析】 ∵平面α的法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)． 则cos 〈m ，b 〉＝m·b|m||b|＝1×3＋1×3＋032×3＝63，sin 〈m ，b 〉＝33.∴l 与α所成角的余弦值为33.【答案】337．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．【导学号：32550048】【解析】 建立如图坐标系，设AB ＝1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，32，A (0,0,0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，32，F (1,0,0)，B (0,1,0)，BF →＝(1，－1,0)．cos θ＝AD →·BF→|AD →|·|BF →|＝12＋0＋01·2＝24.【答案】 248．如图2-5-10所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与AB 夹角的余弦值为________，A 1C 1与平面BB 1C1C 夹角为________，平面A 1BCD 1与平面ABCD 的夹角为________．图2-5-10【解析】 ∠A 1CD 是A 1C 与AB 的夹角，cos ∠A 1CD ＝13＝33；∠A 1C 1B 1是A 1C 1与面BC 1的夹角，∠A 1C 1B 1＝45°； ∠A 1BA 是面A 1BCD 1与面ABCD 的夹角，∠A 1BA ＝45°. 【答案】 3345° 45°三、解答题9.如图2-5-11，在三棱锥S -ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29.图2-5-11(1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：如图，取A 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AS 分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)、S (0,0，23)、C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫21317，417，0， ∴SC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21317，417，－23， CB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－21317，1317，0. ∵SC →·CB →＝0，∴SC ⊥BC . (2)设SC 与AB 所成的角为α AB →＝(0，17，0)，SC →·AB →＝4，|SC →||AB →|＝417，∴cos α＝SC →·AB →|SC →||AB →|＝1717，即为所求．10．如图2-5-12，在三棱柱ABO -A 1B 1O 1中，OA⊥OB ，且OB ＝3，OA ＝4，BB 1＝4，D 为A 1B 1的中点．P 为BB 1上一点，且OP ⊥BD .图2-5-12求直线OP 与底面AOB 的夹角的正弦值．【解】 以O 点为原点，以OB ，OA ，OO 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，有O (0,0,0)，B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，2，4，B 1(3,0,4)．设P (3,0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，解得z ＝98.∵BB 1⊥平面AOB ，∴BB1→是底面AOB 的一个法向量，且BB1→＝(0,0,4)．∴sin ∠POB ＝|cos ∠BPO |＝|OP →·BB1→||OP →||BB1→|＝923738×4＝37373.∴直线OP 与底面AOB 夹角的正弦值为37373.[能力提升]1．平面α的一个法向量为n 1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n 2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )A ．－925B ．925 C.725D ．以上都不对 【解析】 cos 〈n 1，n 2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－925，∴平面α与平面β夹角的余弦值为925.【答案】 B2．已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DC ，∠DAB ＝90°，P A⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12，AB ＝1，则AC 与PB 所成的角的余弦值为( )A.55B ．105C.155D ．255【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，12，从而AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1，－12，所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105.【答案】 B3．正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 的夹角是________．【解析】 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－a 2，a 2，则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →(a ，a,0)．设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，设BC 与平面P AC 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈CB →，n 〉|＝12，∴θ＝30°.【答案】 30°4．如图2-5-13，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．【导学号：32550049】图2-5-13(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F -AB -P 的余弦值．【解】 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P(0,0,2)由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)． (1)证明：BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)， 故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC . (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BD →＝0，n·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE →〉＝n·BE →|n|·|BE →|＝26×2＝33. 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34. 即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n1·AB →＝0，n1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0. 不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)． 则cos 〈n 1，n 2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝－310×1＝－31010， 易知，二面角F -AB -P 是锐角，所以其余弦值为31010.。
北师大版本高中高二数学选修21试卷习题包括答案.docx
选修 2－ 1姓名：张平安一 选 择 题（本题共 12 个小题，每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60分）1．x>2 是 x 2 4 的（）A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件A 、 1 a1b cB 、 1 a1b cC 、 1 a1b c D 、2222221 a 1 b c2 25、空间直角坐标系中， O 为坐标原点， 已知两点 A （3，1，0），B （-13，0），若点 C 满足 OC =α OA +β OB ，其中 α，β R ，α+β=1，则点 C 的轨迹为A 、平面B、直线C、圆D 、线段6、已知 a =(1,2,3), b =（3，0，-1）， c =1,1, 3 给出下列等式：5 5C.既充分又必要条件D.既不充分又不必要条件2．命题“在 ABC 中，若 sin A1，则 A=30o ”的否命题是（2A. 在中，若 sin A1 ，则 ≠ 30oABC2AB. 在 ABC 中，若 sin A1，则 A=30o1 2C.在中，若 sin A，则 ≠ 30oABC2A① ∣ a b c ∣ = ∣a b c ∣ ② (a b) c = a (bc)③222）(ab c) 2 = ab c④ (a b) c = a (b c)其中正确的个数是A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个7. 已知椭圆 x2 y 21 (a 5) 的两个焦点为 F 1 、 F2 ，且 | F 1 F 2 | 8 ，弦 AB 2a25D. 以上均不正确过点 F 1 ，则△ ABF 2 的周长为（）3．已知命题 P ：若 a b ，则 c>d ，命题 Q ：若 e f ，则 a b 。
若 P 为真（A ）10 （B ）20 （C ）2 41 （D ） 4 41 8. 椭圆 x 2y 2且 Q1上的点 P 到它的左准线的距离是 10，那么点 P 到它的 否 命 题 为 真 ， 则 “ c d” 是 “ ef 的 ”10036的右焦点的距离是（ ） （ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）8A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不9. 椭圆 x 2y 2 1 的焦点 F 1 、 F 2 ，P 为椭圆上的一点，已知 PF 1 PF 2 ，则259）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8充分也不必要条件△ F 1 PF 2 的面积为（10. 椭圆 x 2 y 21上的点到直线 x 2y 2 0 的最大距离是（）4、在平行六面体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A 1 B 1 a ,164A 1D 1b ， A 1 Ac ，则下列向量中与 B 1M 相等的向量是（A ）3（B ） 11 （C ） 2 2 （D ） 1011. 过抛物线 y ax 2(a>0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P 、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p 、q ，则 1 1等于（ ）pq（A ）2a（B ）1（C ） 4a（D ）42aa12. 如果椭圆x 2y 2 1的弦被点 (4 ，2) 平分，则这条弦所在的直线方369程是（ ）（A ） x 2 y0（ B ） x 2 y 4 0（C ） 2x 3y 12 0（D ） x 2 y 8 0二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分）三解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分）17、（本题满分 14 分）已知命题 P “:若 ac 0, 则二次方程 ax 2 bx c0 没有实根” .(1) 写出命题 P 的否命题； (2) 判断命题 P 的否命题的真假 , 并证明你的结论 .13、“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的否定形式是否命题是14. 与椭圆 x 2y 2 1 具有相同的离心率且过点（， 3 ）的椭圆的标准432 -方程。
2021年北师大版高二数学选修11模块试卷及答案
高二年级数学学科选修1-1模块试题命题人:宝鸡市斗鸡中学 张永春卷面满分为120分 考试时间90分钟一:选择题(本题共10小题，每题4分，共40分)1、判断下列语句是真命题的为( ).A ．若整数ａ是素数，则ａ是奇数B ．指数函数是增函数吗？C ．若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行D ．ｘ＞152. “2x >”是“24x >”的( ).A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．条件210p x ->：，条件2q x <-：，则p ⌝是q ⌝的( ).A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件4、曲线221259x y +=与曲线22125-9-x y k k+=(k<9)的( ). A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等5．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( ).A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．(0，2) 6．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =( ).A ．2B ．3C ．4D ．57.抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是( ).A.(,0)aB.(,0)a -C.(0,)aD. (0,)a -8.曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是( ).A. 74y x =+B. 72y x =+C. 4y x =-D. 2y x =-9.与圆221x y +=及圆22-8120x y x ++=都外切的圆的圆心在( ). A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上10. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ).A.2 B. 12C. 2D. 1 二:填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)11.在下列四个命题中，正确的有________．(填序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件②“⎩⎨⎧≤-=∆>04,02ac b a ”是“一元二次不等式20ax bx c ++≥的解集为R 的充要条件 ③“1x ≠”是“21x ≠”的充分不必要条件④“0x ≠”是“0x x +>”的必要不充分条件 12.已知方程22-121x y m m =++表示双曲线，则m 的取值范围是_________. 13.已知自由下落物体的路程为212gt ，则物体在t 0时刻的瞬时速度为 . 14.人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆。
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第2模块 第11节[知能演练]一、选择题1．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0<x <2时，f ′(x )<0，∴f ′(x )在(0,2)上单调递减．故选C.答案：C2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 解析：f ′(x )＝1－cos x >0， ∴f (x )在(0,2π)上递增．故选A. 答案：A3．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：令f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23a (∵a >3，∴23a >2)．∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )在(0,2)上单调递减． 又f (0)·f (2)＝8－4a ＋1＝9－4a <0， ∴f (x )在(0,2)上有一个零点， 即方程在(0,2)上有一实根．故选B. 答案：B4．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13解析：y ′＝a ·e ax ＋3＝0，当a ＝0时，显然不合题意，∴a ≠0. ∴e ax ＝－3a .∴x ＝1a ln(－3a )．由题意，得1a ln(－3a )>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<－3a <1.∴a <－3. 故应选B. 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.∵f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，∴M －m ＝f (－2)－f (2)＝32. 答案：32 6．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，∴－1<x <1. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，2m ＋1>m ，∴－1<m ≤0.答案：(－1,0] 三、解答题7．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[－34，14]上的最大值和最小值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－32，＋∞)，f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3，令f ′(x )>0，∴x >－12或－32<x <－1.令f ′(x )<0，∴－1<x <－12.∴f (x )在区间(－32，－1)和(－12，＋∞)上为增函数，在区间(－1，－12)上为减函数．(2)当x 在区间[－34，14]上变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：f (－34)＝916＋ln 32，f (－12)＝14＋ln2，f (14)＝116＋ln 72，由表知函数f (x )在x ＝－12处取最小值14＋ln2.f (－34)－f (14)＝12＋ln 37＝12(1－ln 499)<0.故函数f (x )在x ＝14处取最大值116＋ln 72.8．已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解：f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，若a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立， ∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． 若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)证明：设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )，故F ′(x )＝2x 2－x －1x .∴F ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x .∵x >1，∴F ′(x )>0.∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数． 又F (x )在[1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0，∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成立．∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)·e x ，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)·e x >0解得：x >2.答案：D2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)解析：∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )图象如右图．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，得0<b <12.故选D.答案：D3．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得，f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，求得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：由于f ′(x )＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )·(x ＋1)′(x ＋1)2＝2x ·(x ＋1)－(x 2＋a )·1(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，而函数f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝12＋2×1－a (1＋1)2＝0，解得a ＝3，故填3.答案：35．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (Ⅰ)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(Ⅱ)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e.(Ⅱ)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．(1)若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：内是增函数，在函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.(2)若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.[备选精题]6．若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为函数f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)．(1)求F (x )＝h (x )－φ(x )的极值；(2)函数h (x )和φ(x )是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵F (x )＝h (x )－φ(x )＝x 2－2eln x (x >0)， ∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2(x －e)(x ＋e)x .当x ＝e 时，F ′(x )＝0.∵当0<x <e 时，F ′(x )<0，此时函数F (x )递减； 当x >e 时，F ′(x )>0，此时函数F (x )递增， ∴当x ＝e 时，F (x )取极小值，其极小值为0.(2)由(1)可知函数h (x )和φ(x )的图象在x ＝e 处有公共点，因此若存在h (x )和φ(x )的隔离直线， 则该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率为k ， 则直线方程为y －e ＝k (x －e)， 即y ＝kx ＋e －k e.由h (x )≥kx ＋e －k e(x ∈R )，可得x 2－kx －e ＋k e ≥0，当x ∈R 时恒成立． ∴Δ＝(k －2e)2， ∴由Δ≤0，得k ＝2 e.下面证明φ(x )≤2e x －e ，当x >0时恒成立． 令G (x )＝φ(x )－2e x ＋e ＝2eln x －2e x ＋e ， 则G ′(x )＝2ex －2e ＝2e(e －x )x ，当x ＝e 时，G ′(x )＝0. ∵当0<x <e 时，G ′(x )>0， 此时函数G (x )递增；当x >e 时，G ′(x )<0，此时函数G (x )递减， ∴当x ＝e 时，G (x )取极大值，其极大值为0. 从而G (x )＝2eln x －2e x ＋e ≤0， 即φ(x )≤2e x －e(x >0)恒成立，∴函数h (x )和φ(x )存在唯一的隔离直线y ＝2e x －e.。