2020-2021学年北京市101中学高二上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）

A．1B．C．D．2

4．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直，则实数a的值为（）

A．﹣1B．1C．﹣1或1D．以上都不对5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）

A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或0

6．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）

A．B．C．D．

7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

8．（5分）设复数z满足，则|z|的最大值为（）

A．B．2C．D．4

9．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（）

A．B．C．D．

10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（）

A．相离B．相切

C．相交D．以上三种情况都有可能

二、填空题（共5小题）.

11．（5分）复数z＝，则|z|＝．

12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为．

13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k＝．

14．（5分）直线l：y＝kx+与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时，k＝．

15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是．

三、解答题共5小题，共45分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．（8分）已知复数z＝1﹣i（i是虚数单位）．

（Ⅰ）求z2﹣z；

（Ⅱ）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求．

17．（8分）已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点．（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2＝r2有公共点，求r的取值范围．

18．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，且PE＝，点F是棱PC 的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．

（1）求证：BE∥FG；

（2）求直线PB与平面BEF所成角的正弦值；

（3）设H为PB中点，DH∩平面BEF＝M．求BM的长．

19．（10分）已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．

（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；

（2）求四边形QAMB面积的最小值；

（3）若|AB|＝，求直线MQ的方程．

20．（9分）已知集合R n＝{（x1，x2，…，x n）|x i∈R，i＝1，2，…，n}（n≥1），定义R n

上两点A（a1，a2，…，a n），B（b1，b2…，b n）的距离d（A，B）＝|a i﹣b i|．

（1）当n＝2时，以下命题正确的有（不需证明）：

①若A（1，2），B（4，6），则d（A，B）＝7；

②在△ABC中，若∠C＝90°，则[d（A，C）]2+[d（C，B）]2＝[d（A，B）]2；

③在△ABC中，若d（A，B）＝d（A，C），则∠B＝∠C；

（2）当n＝2时，证明R2中任意三点A，B，C之间的距离满足d（A，B）≤d（A，C）+d（C，B）；

（3）当n＝3时，设A（0，0，0），B（4，4，4），P（x，y，z）其中x，y，z∈Z，d （A，P）+d（P，B）＝d（A，B）．

求满足条件的P点的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或以它们为顶点的三棱锥体积不大于．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

解：复数z＝1+i的共轭复数为z＝1﹣i，

对应的点为（1，﹣1），

所以该点位于第四象限，

故选：D．

2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

解：根据题意，设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ，

直线x﹣y+1＝0可以变形为y＝x+，

其斜率k＝tanθ＝，

又由0°≤θ＜180°，

则θ＝30°；

故选：A．

3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）

A．1B．C．D．2

解：点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离：

d＝＝≤2，

∴当k＝0时，点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离取最大值为2．

故选：D．

4．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直，则实数a的值为（）

A．﹣1B．1C．﹣1或1D．以上都不对