2003年考研数学三真题及全面解析

2003年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设,0,

0,

0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x

x x f 若若λ

其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.

【详解】 当1>λ时，有

,0,

0,0,1sin 1cos )(21

=≠⎪⎩

⎪⎨⎧+='--x x x

x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0

f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.

（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6

4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2

b 与a 的关系.

【详解】 由题设，在切点处有

0332

2

=-='a x y ，有 .22

0a x =

又在此点y 坐标为0，于是有

030023

0=+-=b x a x ,

故 .44)3(6422

202202a a a x a x b =⋅=-=

（3）设a>0，，

x a x g x f 其他若,

10,0,)()(≤≤⎩⎨

⎧==而D 表示全平面，则

⎰⎰-=D

dxdy x y g x f I )()(= 2a .

【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】 ⎰⎰

-=D dxdy x y g x f I )()(=

dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤1

0,102

=.])1[(21

21

1

2

a dx x x a dy dx a

x x

=-+=⎰⎰

⎰

+

（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T

α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵

T

E A αα-=， T a

E B αα1

+

=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .

【分析】 这里T

αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并

注意利用乘法的结合律即可.

【详解】 由题设，有

)1

)((T T

a E E AB αααα+

-= =T

T T T a a E αααααααα⋅-+-11

=T

T T T a a E αααααααα)(11-+-

=T

T T a a E αααααα21-+-

=E a

a E T

=+--+αα)121(,

于是有 0121=+--a a ，即 0122

=-+a a ，解得 .1,2

1-==a a 由于A<0 ,故a=-1.

（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为

0.9 .

【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为

)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(

---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),

且.DX DZ =

于是有 cov(Y ,Z)=

DZ

DY Z Y ),cov(=

.9.0),cov(==XY DY

DX Y X ρ

（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样

本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 1

2

1依概率收敛于 21 .

【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，

当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： ).(111

1∞→→∑∑==n EX n X n n

i i p

n i i

【详解】 这里2

2221,,,n

X X X 满足大数定律的条件，且 22)(i i i EX DX EX +==2

1

)21(412=+，因此根据大数定律有

∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.2

1

112=∑=n i i EX n

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x

x f x g )

()(=

(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0

)

0()(lim )(lim

)(lim 00

f x f x f x x f x

g x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.

（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是

(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ]

【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知

0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).

（3）设2

n

n n a a p +=

，2

n

n n a a q -=

， ,2,1=n ，则下列命题正确的是

(A) 若

∑∞

=1n n

a

条件收敛，则

∑∞

=1n n

p

与

∑∞

=1n n

q

都收敛.

(B) 若

∑∞

=1n n

a

绝对收敛，则

∑∞

=1n n

p

与

∑∞

=1n n

q

都收敛.

(C) 若

∑∞

=1

n n

a

条件收敛，则

∑∞

=1

n n

p

与

∑∞

=1

n n

q

敛散性都不定.