高中数学函数与导数章节知识点总结

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高中数学导数相关知识点总结+解题技巧

高中数学导数相关知识点总结+解题技巧

高中数学:导数相关知识点总结+解题技巧一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义瞬时速率。

一般的,函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义曲线的切线,当点趋近于P时,直线 PT 与曲线相切。

容易知道,割线的斜率是当点趋近于 P 时,函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k,即3. 导函数当x变化时,便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数. y=f(x)的导函数有时也记作,即二. 导数的计算1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则3.复合函数求导y=f(u)和u=g(x),则称y可以表示成为x的函数,即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内(1) 如果>0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递增;(2) 如果<0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减;2. 函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。

求函数y=f(x)的极值的方法有:(1)如果在附近的左侧>0 ,右侧<0,那么是极大值;(2)如果在附近的左侧<0 ,右侧>0,那么是极小值;3. 函数的最大(小)值与导数求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值。

四. 推理与证明1.合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理。

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理。

2.类比推理的一般步骤(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠。

(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结

(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结

高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念1.导数的定义:设x 0是函数y =f (x )定义域的一点,如果自变量x 在x 0处有增量∆x ,则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0);比值率;如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆xf (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在,则称函数y =f (x )在点x 0处可导,并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0处的导数。

f (x )在点x处的导数记作y 'x =x=f '(x 0)=lim∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x2导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程)函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率,也就是说,曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0),切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).'3.基本常见函数的导数:n①C '=0;(C 为常数)②x ()'=nx x x n -1;③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;⑥(a )'=a ln a ;⑦(ln x )'=x x 11;⑧(l o g ax )'=logae .xx二、导数的运算1.导数的四则运算:法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即:⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C为常数)法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。

导数知识点总结大全高中

导数知识点总结大全高中

导数知识点总结大全高中一、导数的基本概念1. 函数的变化率函数在定义域内的某一点上的变化率就是导数。

函数在某一点的导数描述了函数在这一点附近的变化趋势,是函数曲线的切线斜率。

当函数在某一点的导数为正时,表示函数在这一点附近是增加的;当函数在某一点的导数为负时,表示函数在这一点附近是减小的;当函数在某一点的导数为零时,表示函数在这一点附近有极值。

2. 导数的几何意义函数在某一点的导数是该函数曲线在这一点的切线斜率,即切线的倾斜程度。

当导数为正时,表示切线斜率为正,曲线是逐渐上升的;当导数为负时,表示切线斜率为负,曲线是逐渐下降的;当导数为零时,表示切线水平,曲线在该点可能有极值。

3. 导函数如果函数f(x)在x处可导,则在这一点导函数f'(x)给出了函数在这一点的变化率。

导函数是原函数f(x)关于自变量x的导数函数,通常使用f'(x)来表示。

4. 导数的符号函数f(x)在某一点的导数为正时,表示函数在这一点附近是增加的;函数f(x)在某一点的导数为负时,表示函数在这一点附近是减小的;函数f(x)在某一点的导数为零时,表示函数在这一点附近有极值。

二、导数的定义1. 函数可导如果函数f(x)在某一点x处的导数存在,那么称函数f(x)在这一点可导。

函数在某一点可导的条件是函数在这一点存在切线。

2. 函数导数的极限定义函数f(x)在x处的导数被定义为:f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中,lim表示极限,h→0表示当h趋近于0时的极限,f(x+h) - f(x)表示函数在x+h处和x处的高度差,h为x的增量。

3. 导数的等价形式导数的等价形式有有限增量与自变量增量之比求极限、差商公式等形式。

三、导数的性质1. 可导函数的和、差的导数如果函数f(x)和g(x)在x处可导,则它们的和f(x)+g(x)和差f(x)-g(x)在x处也可导,且导数为f'(x)+g'(x)和f'(x)-g'(x)。

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,考生想要在考场上准确求出定义域,就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来,列成不等式组,不等式组的解集就是该函数的定义域。

在求一般函数定义域时,要注意以下几点:分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。

函数的定义域是非空的数集,在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。

复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数,判断分段函数的单调性有两种方法:第一,在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,然后对各个段上的单调区间进行整合;第二,画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质能够进行直观的判断。

函数题离不开函数图象,而函数图象反应了函数的所有性质,考生在解答函数题时,要第一时间在脑海中画出函数图象,从图象上分析问题,解决问题。

对于函数不同的单调递增(减)区间,千万记住,不要使用并集,指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域,对函数具有奇偶性的前提条件不清,对分段函数奇偶性判断方法不当等等。

判断函数的奇偶性,首先要考虑函数的定义域,一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称,如果不具备这个条件,函数一定是非奇非偶的函数。

在定义域区间关于原点对称的前提下,再根据奇偶函数的定义进行判断。

在用定义进行判断时,要注意自变量在定义域区间内的任意性。

第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的,在解答此类问题时,考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。

多用特殊赋值法,通过特殊赋可以找到函数的不变性质,这往往是问题的突破口。

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结高中数学导数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料,他能够提升我们的书面表达能力,因此十分有必须要写一份总结哦。

那么你真的懂得怎么写总结吗?以下是小编帮大家整理的高中数学导数知识点总结,仅供参考,欢迎大家阅读。

(一)导数第一定义设函数y = f(x)在点x0的某个领域内有定义,当自变量x在x0处有增量△x(x0 + △x也在该邻域内)时,相应地函数取得增量△y = f (x0 + △x)— f(x0);如果△y与△x之比当△x→0时极限存在,则称函数y = f(x)在点x0处可导,并称这个极限值为函数y = f(x)在点x0处的导数记为f'(x0),即导数第一定义(二)导数第二定义设函数y = f(x)在点x0的某个领域内有定义,当自变量x在x0处有变化△x(x — x0也在该邻域内)时,相应地函数变化△y = f(x)—f(x0);如果△y与△x之比当△x→0时极限存在,则称函数y = f (x)在点x0处可导,并称这个极限值为函数y = f(x)在点x0处的导数记为f'(x0),即导数第二定义(三)导函数与导数如果函数y = f(x)在开区间I内每一点都可导,就称函数f(x)在区间I内可导。

这时函数y = f(x)对于区间I内的每一个确定的x 值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,称这个函数为原来函数y = f(x)的导函数,记作y',f'(x),dy/dx,df(x)/dx。

导函数简称导数。

(四)单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤(1)求f(x)(2)确定f(x)在(a,b)内符号(3)若f(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数;若f(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤(1)求f(x)(2)f(x)>0的解集与定义域的'交集的对应区间为增区间;f (x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间学习了导数基础知识点,接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。

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示值域,则有 f (A) B 。
通常 y f x 表示“y 是 x 的函数”,简记作函数 f x 。
●2. 函数的三要素:定义域 A,对应法则 f,值域 f (A) 。 ●3. 函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法.函数解析式的求法: (1)待定系数法. 若已知函数的类型,可用待定系数法; (2)换元法. 已知复合函数 f (g(x)) 的解析式,可用换元法,要注意变量的 取值范围; (3)消参法. 若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f x 。 (4)直接法.变形后直接代换 【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明 定义域,特别是利用换元法求解析式时,不注明定义域往往导致错解。 分段函数:在定义域内不同部分上有不同的解析式,这样的函数通常叫分段 函数,分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数。
图象关于直线 xa 对称。 ⑤函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 x0 对称;
函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 y 0 对称;
函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于坐标原点对称。 三、初等函数 ●1. 二次函数 (1)二次函数的三种表示形式: ①标准式: y ax2 bxc a 0 ;
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②顶点式: y a xm2n ,顶点 m, n a 0 ;
③零点式: y a xx1xx2 a 0 。
(2)二次函数的图象:
图象是抛物线,其对称轴方程为
x
b 2a
.当
a0
时,开口向上;当
a0
时,
开口向下。
(3)二次函数的性质

a0
(4)周期性: 对于函数 f x ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值

高中数学导数知识点总结

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高中数学导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的几何意义在直角坐标系中,函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。

也就是说,导数描述了函数在某一点处的变化率。

如果函数在某一点的导数为正,那么函数在这一点的曲线是朝上凸的;如果函数在某一点的导数为负,那么函数在这一点的曲线是朝下凸的;如果函数在某一点的导数为零,那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。

2. 导数的代数定义设函数y=f(x),在点x0处可导。

如果当自变量x的增量为Δx时,函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在,那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。

这个极限就是函数在点x0处的导数,通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。

二、导数的性质1. 可导性与连续性在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。

不过反之不成立。

2. 导数的四则运算法则设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导,则:(1)常数函数的导数\[ (k)' = 0 \](2)乘积的导数\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \](3)商的导数\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \](4)复合函数的导数\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]3. 链式法则设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导,则复合函数y=f(g(x))在该点可导,且有\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]4. 高阶导数如果函数f的导数也可导,则函数f有二阶导数,记作f'';同理,f(n)表示函数f的n阶导数。

导数知识点笔记总结高中

导数知识点笔记总结高中

导数知识点笔记总结高中一、导数的定义导数是函数的一种特殊的变化率,描述了函数在某一点附近的局部变化情况。

导数可以通过极限的概念来定义,如果函数f(x)在点x0处可导,则其导数f'(x0)表示函数在该点处的斜率,即切线的斜率。

导数可以用来描述函数在某一点的变化趋势,其绝对值表示了函数曲线在该点的斜率大小,正负号表示了函数曲线的增减性。

二、导数的计算1. 用极限定义导数:对于函数f(x),其在点x0处的导数可以通过以下极限计算得到:\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h} \]如果该极限存在,则函数在点x0处可导,其导数即为该极限的值。

2. 使用导数的性质:导数具有一些常用的性质,如常数的导数为0,幂函数的导数为其指数乘以原函数的导数等,可以利用这些性质来简化导数的计算。

3. 使用导数的基本公式:常见函数的导数有一些基本的求导公式,例如:- f(x) = k,导数为0;- f(x) = x^n,导数为n*x^(n-1);- f(x) = e^x,导数仍为e^x;- f(x) = sin(x),导数为cos(x);- f(x) = cos(x),导数为-sin(x);- f(x) = tan(x),导数为sec^2(x)。

通过这些基本公式,可以快速求得常见函数的导数。

三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用,常见的应用包括:1. 描述曲线的斜率:导数可以描述函数曲线在某一点的斜率,通过导数可以了解函数在各个点的斜率,进而描绘出整个曲线的形状。

2. 确定函数的增减性:当导数大于0时,函数增加;当导数小于0时,函数减小;当导数等于0时,函数可能达到极值。

通过导数可以判断函数在某一区间上的增减性。

3. 寻找极值点:通过导数可以确定函数的极值点,即在导数等于0或不存在的点处,函数可能取得极大值或极小值。

4. 切线方程与切线问题:导数可以用来求解函数曲线在某一点的切线方程,从而描述曲线在该点的局部性质。

高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中导数复习资料一、基本概念1. 导数的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆;比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率;如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程)函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3.基本常见函数的导数:①0;C '=(C 为常数) ②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算:法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。

重点高中数学导数知识点归纳总结

重点高中数学导数知识点归纳总结

重点高中数学导数知识点归纳总结高中数学中的导数是一个重要的知识点,它是微积分的基础,也是日后学习数学和理工科学科的必备知识。

下面将对高中数学中的导数相关知识进行归纳总结。

一、导数的定义与基本性质1. 导数的定义:设函数y=f(x),在x=a处可导,那么函数f(x)在x=a处的导数定义为:f'(a)=lim┬(△x→0)⁡(f(a+△x)-f(a))/(△x)。

2.函数连续与可导的关系:如果函数f(x)在x=a处可导,则函数f(x)在x=a处连续。

3.导数的几何意义:函数y=f(x)在x=a处的导数f'(a)表示了函数在该点处切线的斜率。

4.导数的性质:(1)常数函数的导数为0,即(f(x)=c,c为常数时,f'(x)=0)。

(2) 任意一次幂函数的导数为对应的幂次函数的导函数,即(f(x)=x^n,n为常数时,f'(x)=nx^(n-1))。

(3)任意两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)。

(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

(4)任意两个函数的积的导数等于这两个函数的导数之积加上这两个函数之积的导数。

(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

(5) 任意一个函数的常数倍的导数等于它的导数的常数倍,即(cf(x))' = cf'(x),c为常数。

二、常见函数的导数1.常数函数f(x)=c的导数为f'(x)=0。

2. 幂函数f(x)=x^n,n为常数时,导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数f(x)=a^x,a>0且a≠1时,导数为f'(x)=a^xlna。

4. 对数函数f(x)=logₐx,a>0且a≠1时,导数为f'(x)=1/(xlna)。

5. 正弦函数f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结一、导数的基础1. 导数的定义- 导数表示函数在某一点的切线斜率。

- 符号表示:$f'(x)$ 或 $\frac{df}{dx}$。

2. 极限表达- 导数可以用极限表达:$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。

3. 几何意义- 导数的几何意义是曲线在某一点的切线斜率。

二、导数的计算1. 基本导数公式- 常数函数:$(C)' = 0$。

- 幂函数:$(x^n)' = nx^{n-1}$(其中n为实数)。

- 指数函数:$(a^x)' = a^x \ln(a)$(其中a > 0且a ≠ 1)。

- 对数函数:$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$。

- 三角函数:- $(\sin(x))' = \cos(x)$- $(\cos(x))' = -\sin(x)$- $(\tan(x))' = \sec^2(x)$2. 导数的运算法则- 和/差的导数:$(u \pm v)' = u' + v'$。

- 乘积的导数:$(uv)' = u'v + uv'$。

- 商的导数:$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。

3. 链式法则- 如果有一个复合函数$g(f(x))$,则其导数为:$(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$。

三、高阶导数1. 高阶导数的定义- 第二导数:函数的导数的导数,表示为$f''(x)$。

- 更高阶导数:同理,可以计算第三导数、第四导数等。

2. 高阶导数的计算- 通过重复应用导数的基本运算法则来计算。

四、导数的应用1. 切线问题- 利用导数求曲线在某一点的切线方程。

高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结1.导数的定义-函数f在a点可导的充分必要条件是:存在一个常数k,使得当自变量趋于a时,函数值与f(a)之差与自变量与a之差的比值的极限等于k。

这个常数k就是函数f在a点的导数。

- 导数的定义公式为:f'(x) = lim (f(x + △x) - f(x))/△x(△x→0)2.导数的基本运算法则- 常数法则:如果c是常数,那么dc/dx = 0-乘法法则:(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-除法法则:(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2- 链式法则:如果y = f(u)且u = g(x),那么dy/dx = dy/du *du/dx3.导数与函数的关系-函数f在点x=a处可导,则函数f在点x=a处连续。

-可导函数必定在其可导区间内连续,但是连续函数未必可导。

-导数存在的充分必要条件是函数在该点连续且有极限。

4.常见函数的导数- 幂函数:y = x^n,则y' = nx^(n-1)- 指数函数:y = a^x,则y' = a^x * ln(a)- 对数函数:y = ln(x),则y' = 1/x- 三角函数:sin x的导数是cos x,cos x的导数是-sin x,tan x 的导数是sec^2x5.导数的几何意义-导数表示函数在其中一点上的切线的斜率。

-导数的绝对值表示函数在该点的变化速率,正表示增加,负表示减小。

6.导数的应用-求函数的极值点:对导数函数进行分析,找到其零点。

-求函数的单调区间:根据导数的正负性,确定函数在哪些区间上是增函数或减函数。

-求函数的最大值最小值:结合极值点和边界点来进行判断。

-求曲线的切线和法线:根据导数和函数在其中一点上的数值来确定切线和法线的斜率。

7.高阶导数和导数的计算-高阶导数表示对函数的导数进行多次求导的结果。

高中数学函数与导数章节知识点总结

高中数学函数与导数章节知识点总结

高中数学函数与导数章节知识点总结高中数学的函数与导数章节是数学课程中的重要部分。

它深入研究了函数的性质和变化规律,以及导数的概念和应用。

本文将从函数的基本概念、函数的性质、函数的几何意义、导数的定义和基本性质以及导数的应用等方面总结高中数学函数与导数章节的知识点。

一、函数的基本概念1.函数的定义:函数是一个具有输入和输出的关系,通常用f(x)表示。

2.定义域:函数能够取值的变量的集合。

3.值域:函数所有可能的输出值的集合。

4.图像:函数在坐标系中的表示,由点(x,f(x))组成。

二、函数的性质1.奇偶性:如果对于函数f(x),有f(-x)=f(x),则函数是偶函数;如果有f(-x)=-f(x),则函数是奇函数。

2.周期性:如果对于函数f(x),存在正数T,使得f(x+T)=f(x),则函数具有周期性。

3.单调性:一个函数在定义域上递增或递减。

4.有界性:一个函数是否存在上界或下界。

5.奇点和极限:函数在定义域上的不连续点和趋于无穷大的点。

三、函数的几何意义1.函数的图像:函数在坐标系中的表示,可用于分析函数的性质和变化规律。

2.函数的对称轴:函数的奇偶性可用于确定函数的对称轴。

3.零点:函数的图像与x轴交点的横坐标值。

4.极值:函数的最大值和最小值。

5.拐点:函数图像由凸变凹或由凹变凸的点。

四、导数的定义和基本性质1. 导数的定义:函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]。

2.导数的几何意义:导数表示函数的斜率,即函数在特定点处的切线斜率。

3.导数的基本性质:导数可以用于求函数的变化率、斜率、切线方程等。

4.高阶导数:函数的导数再次求导,可以得到高阶导数。

五、导数的应用1.函数的极值:导数可以用来求函数的极大值和极小值。

2.函数的单调性:导数可以用来确定函数的递增区间和递减区间。

3.函数的最大值和最小值:导数可以用来确定函数的最大值和最小值。

(完整版)高中数学导数知识点归纳总结

(完整版)高中数学导数知识点归纳总结

§14.导数知识要点1.导数(导函数的简称)的定义:设X 。

是函数y f(x)定义域的一点,如果自变量X 在X 。

处 有增量 x ,则函数值y 也引起相应的增量 y f (x 0 x) f(x 0);比值 丄 止__x) f(xo)称为函数y 仁刈在点%。

到X 。

x 之间的平均变化率;如果极限 x X lim - lim f(X0 -------------- X)_f (Xo)存在,则称函数y f (x)在点x 。

处可导,并把这个极限叫做x 0 x x 0 x y f (x)在 x 0处的导数,记作 f (x 0)或 y |xX Q,即 f (x 。

)= lim y limf -(X° --- X)_.X 。

x x 。

x注:① X 是增量,我们也称为改变量”,因为X 可正,可负,但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A , y f '(x)的定义域为B ,则A 与B 关系为A B.注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数2.函数y⑴函数y 可以证明,如果 事实上,令x f (X)在点X o 处连续与点X o 处可导的关系:X o 处连续是y f (x)在点X o 处可导的必要不充分条件 y f (x)点x 0处连续. o.f (x)在点 y xof(x)在点X o 处可导,那么 X ,则XX o 相当于 是 lim f (x)X X 。

lim X 。

f(x 。

x) lim [ f(xX 。

X 。

) f(x 。

) f(x 。

)] 叫⑵如果y f (X 。

X ) f(x 。

) X f(x)点X o 处连续,f(x 。

)] 那么y例: f(x) |x|在点X o 。

处连续,f(X oX) f(X o ) lim lim f(X o )xx o x of(x)在点X o 处可导,是不成立的.y ,当X X0。

f (X 。

)o f(x 。

高中数学导数知识点总结3篇

高中数学导数知识点总结3篇

高中数学导数知识点总结第一篇:导数定义、基本求导公式及其应用关于导数的定义导数是微积分学中的一项重要知识,是描述函数变化率的概念。

对于函数f(x)而言,若它在点x0处可导,则导数f'(x0)表示函数f(x)在该点的变化率,即当x在x0附近微小偏移时,f(x)的改变量与x偏移量的比值。

导数的求法1. 使用导数定义根据导数的定义,导数f'(x)可以表示为:f'(x) = limΔx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx这个方法比较麻烦,但在某些特殊情况下比较有用。

2. 使用基本求导公式基本求导公式有以下几种形式:1)常数函数的导数为零。

2)幂函数的导数为:(xn)'=nxⁿ⁻¹。

3)指数函数的导数为:(ex)'=ex。

4)对数函数的导数为:(lnx)'=1/x。

5)三角函数的导数为:(sinx)'= cosx,(cosx)'= -sinx,(tanx)'= sec²x,(cotx)'= -csc²x。

3. 使用导数定理导数定理包括和法、差法、积法、商法和复合函数求导法。

它们的公式分别为:1)和法:[u(x)+v(x)]' = u'(x) + v'(x)。

2)差法:[u(x)-v(x)]' = u'(x) - v'(x)。

3)积法:[u(x)·v(x)]' = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)。

4)商法:[u(x)/v(x)]' = [u'(x)·v(x) -u(x)·v'(x)]/v²(x)。

5)复合函数求导法:[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)。

导数的应用1. 判断函数在某点的单调性和极值若函数在某点的导数f'(x0)符号发生改变,则该点是函数f(x)的极值点。

高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值

高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值

高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是高中数学中的重要知识点,也是数学分析中的基础内容。

导数可以帮助我们分析函数的变化趋势,而极值与最值则能帮助我们找到函数的局部极大值和最大值。

本文将对导数与函数的极值与最值进行总结和介绍。

一、导数的定义与求法1.导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率,可以理解为函数图像在该点的斜率。

若函数f(x)在点x处可导,则函数在该点的导数表示为f'(x),可以用极限的形式来定义,即:f'(x) = lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h2.导数的求法常见函数的导数求法有以下几种方法:(1)利用导数定义进行求解,使用极限的性质来计算;(2)使用基本导数公式,如常数函数导数为0,幂函数导数为幂次减1等;(3)使用导数的基本运算法则,如和差法则、积法则、商法则等;(4)利用复合函数、反函数和参数方程的求导法则;(5)利用隐函数求导法则,将函数的表达式转化为关于x和y的方程,然后进行求导等。

二、函数的极值与最值1.极值的定义函数f(x)在点x=a处的极值,指的是函数在该点的函数值最大或最小。

如果存在f(a) > f(x)(或f(a) < f(x))对于x在a的某个邻域内成立,则称f(a)是函数的极大值(或极小值)。

2.函数极值的判定条件对于函数f(x),有以下判定条件可以帮助我们确定其极值:(1)一阶导数的零点:若f'(x) = 0,则该点可能为函数的极值点;(2)二阶导数的符号:若f''(x) > 0,则该点为函数的极小值点;若f''(x) < 0,则该点为函数的极大值点;(3)导数的单调性:若f'(x)在某个区间上始终保持正(或负)号,则该区间上的极值点为极小值(或极大值)点;(4)端点:函数在区间的端点上也可能存在极值。

3.最值的定义与求法函数f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值称为最值。

高中数学各章节知识点汇总

高中数学各章节知识点汇总

高中数学各章节知识点汇总数学作为一门科学,无论在理论研究还是实际应用中,都占据着举足轻重的地位。

在高中数学学习中,学生们需要掌握多个章节的知识点,才能够建立起系统的数学思维框架。

本文将对高中数学各章节的知识点进行汇总,以帮助学生们更好地理解并掌握这些内容。

第一章:函数与导数1. 函数的概念与性质- 函数的定义与表示方法- 奇偶函数与周期函数- 函数的单调性与最值2. 导数与导数的应用- 导数的定义与基本性质- 函数的导数与图像的关系- 导数的几何意义与物理应用第二章:数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 数列的定义与表示方法- 等差数列与等比数列- 数列的通项公式与前n项和公式2. 数学归纳法的基本思想与应用- 数学归纳法的原理与步骤- 使用数学归纳法证明数学命题第三章:三角函数与解三角形1. 三角函数的概念与性质- 正弦函数、余弦函数与正切函数 - 三角函数的周期与图像- 三角函数的基本关系式2. 解三角形的基本原理与方法- 解直角三角形与一般三角形- 航向与三角函数的应用第四章:平面解析几何1. 向量的概念与性质- 向量的定义与表示方法- 向量的线性运算与数量积- 向量的几何应用2. 平面几何图形的性质与应用- 点、直线、平面的性质- 圆与椭圆的性质与方程- 直线与平面的位置关系第五章:数与函数的应用1. 数列与函数的模型建立- 序列与数列模型的建立- 函数与实际问题的建模- 数据处理与统计2. 几何与数据处理的应用- 函数的图像与几何问题- 数据处理与统计的相关概念与方法 - 概率与统计模型的建立第六章:立体几何1. 空间几何图形的性质与计算- 空间中的点、直线、面的性质- 空间几何体的计算公式- 空间几何模型的建立2. 空间解析几何的应用- 点、直线、面的位置关系- 空间几何图形的投影与旋转- 空间几何问题的解决方法总结:高中数学涵盖了函数与导数、数列与数学归纳法、三角函数与解三角形、平面解析几何、数与函数的应用以及立体几何等多个章节的知识点。

导数和函数的知识点总结

导数和函数的知识点总结

导数和函数的知识点总结一、导数的定义和性质1. 导数的定义函数的导数是函数在某一点上的变化率,它描述了函数在该点的斜率。

设函数y=f(x),如果函数在点x处的导数存在,那么我们可以用f'(x)或者dy/dx来表示函数在点x处的导数,它的定义式为:f'(x) = lim (h->0) ( f(x+h) - f(x) ) / h其中,h表示自变量的微小增量。

导数的定义可以直观理解为对应点处的切线斜率,是函数随着自变量的微小变化而变化的速率。

2. 导数的性质导数的性质包括线性性、导数的四则运算、复合函数求导、反函数求导等。

这些性质为我们在计算导数时提供了便利,并且也为我们理解函数的变化规律提供了重要依据。

3. 隐函数求导有些函数并不是显式地表达为y=f(x)的形式,而是以隐式形式出现,这时就需要用到隐函数求导的方法。

隐函数求导的关键在于利用导数的定义和隐函数的关系式,通过一系列的推导和变换,最终得到隐函数的导数。

4. 高阶导数如果一个函数的导数f'(x)再次可导,那么可以考虑它的二阶导数f''(x),同理还可以考虑其更高阶的导数。

高阶导数描述了函数高阶的变化规律,它在分析函数的曲率、凹凸性等方面有着重要的应用。

二、函数的概念和性质1. 函数的定义函数是一种特殊的关系,它描述了自变量和因变量之间的对应关系。

如果对于每一个自变量x,函数都有唯一确定的因变量y与之对应,那么这个关系就是一个函数。

函数的定义可以表达为y=f(x),其中x为自变量,y为因变量,f(x)为函数的值。

2. 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、凹凸性、极值点、拐点等。

这些性质描述了函数的特征以及函数在自变量的变化下的规律和规则。

3. 常见函数的图像及性质常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等,它们都有着特定的图像和性质。

了解这些函数的图像及性质,对于理解函数的变化规律有着重要的意义。

完整版)高中数学导数知识点归纳总结

完整版)高中数学导数知识点归纳总结

完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义:对于函数y=f(x),在点x处的导数f'(x)定义为:f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中,$\Delta x$表示自变量的增量,$\Delta y$表示函数值的增量。

函数的连续性和可导性的关系:如果函数y=f(x)在点x处可导,则它在该点处必然连续。

但是,反过来并不成立,即函数在某点处连续并不一定可导。

导数的几何意义:函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。

因此,切线方程为:y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中,$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。

导数的四则运算法则:对于任意可导函数f(x)和g(x),有以下四则运算法则:1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中,除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用:导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。

函数单调递增的条件是导数大于0,函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0,但反之不一定成立。

函数的最值可以通过求导数来确定。

注①:若点x是可导函数f(x)的极值点,则f'(x)=0.但反过来不一定成立。

对于可导函数,其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零。

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高中数学导数章节知识点总结
考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知
等于 A. 1 B.
C. 3
D.
1.已知
,则
的值是______ .
考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是
A.
B. C.
D.
2:已知函数,为
的导函数,则
的值为______.
考点3:复合函数的导数计算问题 1:设
,则 A.
B.
C.
D.
2:函数的导函数
______
考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数
,则
A.
B.
C.
D.
2:设函数满足,则
______.
考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
2:曲线在处的切线方程为_________________.
考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切,则直线斜率
A.
B.
C.
D.
2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切,则直线方程为:
考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切,则a 的值为
A. 1
B. 2
C.
D.
2:若曲线在点处的切线平行于x 轴,则
________.
考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题
1:点P 在曲线3
2)(3
+-=x x x f 上移动,设P 点处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是
( )
A. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,0π B. ),4
3[)2,0[πππ
C.),43[
ππ D. ]4
3,2(π
π 2:在曲线的所有切线中,斜率最小的切线方程为_______
考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题
1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点,则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为( )
A. 2
B. 22
C.2
D. 3
考点10:求具体函数的单调区间问题 1:函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是
A. ),2[+∞-
B. ),1[+∞-
C.
D.
2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为
考点11:已知单调性,求参数范围问题 1:已知函数
在区间
上是增函数,则实数m 的取值范围为
A. B. C. D.
2:若函数在区间上单调递增,则实数a 的取值范围是______.
考点12:解抽象不等式问题 1:已知函数是函数
的导函数,
,对任意实数都有,则不等

的解集为
A. B. C.
D.
2:函数的定义域为R ,且

,则不等式
的解集为______ .
考点13:求具体函数的极值问题 1:函数
,则
A. 为函数的极大值点
B. 为函数的极小值点
C.
为函数
的极大值点 D.
为函数
的极小值点
2:函数x x x f cos 2)(+=在[]π,0上的极小值为
考点14:已知极值求参数值问题 1:已知函数在处有极值10,则等于
A. 1
B. 2
C.
D. 2:已知在时有极值0,则
A. B. C. 和 D. 以上答案都不对
考点15:已知极值情况求参数范围问题 1:若函数
有两个不同的极值点,则实数a 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
2:已知函数
有两个不同极值点,则实数a 的取值范围是
考点16:根据零点情况求参数范围问题 1:若函数恰有三个零点,则实数a 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
2:若函数m x x x f --=33)(有三个零点,则实数m 的取值范围为
考点17:三次函数的极值与单调性情况问题 1:已知函数在R 上单调,则a 的范围为( )
A. []2,1
B. ()2,1-
C. []2,1-
D. ()2,1
2:已知函数
有两个极值点,则a 的范围______.
考点18:求具体函数在指定区间上的最值问题
1:函数x e x
x f =)(在区间[]4,0上的最大值为( )
A. e 1
B. 0
C. 22e
D.
2
4e 2:函数x
x x f 2
ln )(+=的最小值为
考点19:已知最值求参数的值的问题
1:已知函数a x x x x f +++-=93)(23在区间[]2,2-上的最大值为20,则实数=a ( )
A. 2
B. 2-
C. 3
D. 3-
2:已知函数a x x x f +-=23)(在区间[]1,1-上的最小值为1,则a 的值为
考点20:单任意不等式恒成立,求参数范围问题
1:已知函数x,若在区间内恒成立,则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
2:已知函数,对定义域内任意x都有,则实数k的取值范围是
考点21:对勾函数的应用问题
1:一窗户的上部是半圆,下部是矩形,大致图形如图所示,如果窗户面积
为S,为使窗户周长最小,用料最省,圆的半径应为
A. B. C. D.
2:某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新墙壁,当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为
考点22:三次函数的应用问题
1:某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销量为Q,销量单位:件与零售价单位:元有如下关系:,则最大毛利润为毛利润销售收入进货支出
A. 30元
B. 60元
C. 元
D. 元。

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