非线性动力学方程的求解方法
1000138生物药剂学与药物动力学_第十一章非线性药物动力学_1002
dt
V Vm
= Km+C
C
因为： X = V C 所以： Vm C dXe = Km+C Vdt
1) C>>Km 时： Vm V CL = C 2) Km>>C 时： CL = Vm V
V Vm C dXe = dt Km+C
Km
3）药物有线性和非线性消除同时存在时：
Vm V
CL =
Km+C
+KV
生物药剂学与药物动力学
Biopharmaceutics and Pharmacokinetics
浙江大学药学院药物制剂研究所
邱利焱 博士, 教授
第十一章
内容概要
非线性药物动力学
概述 非线性药物动力学方程 血药浓度与时间的关系及参数计算
第一节 概述
一、线性动力学的三个基本假设：
1. 吸收速度为零级或一级 2. 药物分布相很快完成 3. 药物在体内消除属一级速度过程
特征
1. 血药浓度与剂量成正比的改变。 2. 血药浓度-时间曲线下面积与剂量成正比。 3. 药物的生物半衰期与剂量无关。 4. 药物的体内过程用一级速度过程或线性过程表示。
二、非线性药物动力学特点
1. 血药浓度与剂量不成正比。 2. 3. 4. 5. 6. AUC与剂量不成正比。 当剂量增加时，消除半衰期延长。 药物的消除不呈一级动力学特征, 即消除过程是非线性的。 其它药物可能与其竞争酶或载体系统影响其动力学过程。 药物代谢物组成比例可能由于剂量变化而变化。
3） ΔC/Δt = Vm- ΔC/Δt Km
C中
ΔC/Δt 对（ΔC/Δt）/ C中作图，斜率-Km，截距Vm
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析非线性动力系统是一种非常常见的实际物理系统，例如电路、化学反应、天气系统等，它们的行为通常比线性系统更加复杂。
数值计算非线性动力系统的稳定性与动力学特性是一个非常重要的课题，对于研究和预测实际系统的行为有着非常重要的意义。
在本文中，我们将介绍几种常见的非线性动力系统的数值计算方法及它们的稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是动力系统数值计算中最基本的一种方法。
它的基本思路是将连续的时间离散化，将微分方程转化成差分方程，然后用迭代的方式求解。
欧拉法的迭代公式为：$$y_{n+1}=y_{n}+hf(y_n)$$其中，$h$为步长，$f(y_n)$是微分方程在$y_n$处的导数。
欧拉法是一种比较简单易懂的方法，但是它的稳定性较差，容易产生数值误差。
欧拉法对于初始值的依赖性很强，如果步长$h$选取过大，就会导致解的不稳定。
因此，在使用欧拉法进行数值计算时，我们需要根据实际问题来调整步长，以保证数值解的正确性。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常见的数值积分方法，在动力系统数值计算中也常常被使用。
它的基本思路是利用微分方程的某些性质，选取合适的时间步长和权重，在数值上求得微分方程的积分近似解。
龙格-库塔法通常可以由一些权重系数和步长系数组成，如下：$$Y_{n+1}=Y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$$$k_1=hf(Y_n)$$$$k_2=hf(Y_n+\frac{1}{2}k_1)$$$$k_3=hf(Y_n+\frac{1}{2}k_2)$$$$k_4=hf(Y_n+k_3)$$其中，$k_1,k_2,k_3,k_4$均为微分方程在相应位置处的导数。
龙格-库塔法比欧拉法更加稳定，适用于多数动力系统的数值计算。
但是，龙格-库塔法在计算一些比较长时间范围内的运动时，需要降低步长以保证解的精度。
同时，权重系数和步长系数也需要根据具体问题调整，才能得到更加准确的数值解。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
牛顿迭代法解动力学方程不收敛
牛顿迭代法解动力学方程不收敛摘要：1.引言2.牛顿迭代法简介3.动力学方程及其收敛性问题4.牛顿迭代法在解动力学方程中的应用5.牛顿迭代法在解动力学方程中的不收敛问题6.结论正文：1.引言在物理学中，动力学方程是描述物体运动状态的数学模型，广泛应用于各种实际问题中。
然而，在求解动力学方程时，常常会遇到收敛性问题。
牛顿迭代法作为一种求解非线性方程的数值方法，被广泛应用于解动力学方程。
本文将探讨牛顿迭代法在解动力学方程中的不收敛问题。
2.牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解非线性方程的数值方法，其基本思想是通过迭代使得函数值逐步逼近零。
对于非线性方程F(x) = 0，牛顿迭代法的迭代公式为：x[n+1] = x[n] - F(x[n])/F"(x[n])，其中F"(x) 表示F(x) 的导数。
牛顿迭代法具有二阶收敛性，即当迭代步长足够小，且初始值足够接近真实解时，可以通过有限次迭代得到精确解。
3.动力学方程及其收敛性问题动力学方程描述了物体在给定力的作用下的运动状态，通常包括质量、速度、加速度等物理量。
求解动力学方程时，通常需要采用数值方法，因为解析解往往难以求得。
然而，在数值求解过程中，可能会遇到收敛性问题。
例如，在迭代过程中，如果迭代步长过大或者初始值与真实解差距过大，可能导致迭代结果发散，无法得到精确解。
4.牛顿迭代法在解动力学方程中的应用由于牛顿迭代法具有二阶收敛性，因此在求解动力学方程时，可以得到较好的数值解。
在实际应用中，可以根据动力学方程的特点，选择合适的牛顿迭代法求解。
例如，对于具有显式解的动力学方程，可以直接使用牛顿迭代法求解；对于具有隐式解的动力学方程，可以通过拟合等方法得到显式解，然后使用牛顿迭代法求解。
5.牛顿迭代法在解动力学方程中的不收敛问题尽管牛顿迭代法具有二阶收敛性，但在求解动力学方程时，仍然可能出现不收敛的情况。
这主要是因为动力学方程的非线性特性和迭代过程中的误差累积。
非线性动力学
t∈R
x∈ Rn
的解，则显然它是不仅是时间的函数，而且也是初值的函数，即解随着初值的改变而改变， 可以将解记为
φ(t, x0 )
当 x0 是 R n 中的某一点时，φ (t, x0 ) 代表了 1 条解轨线，而
{φ(t, x0 ) x0 ∈ D}
则代表了一族轨线。将φ看成是一个映射，即
φ : R× Rn → Rn
运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干 扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状 态体现了动态系统的本质结构。
微分方程解的最终形态通常有： (1) 平衡点 (2) 周期解 (3) 拟周期解 (4) 混沌解
6.4.1 平衡点
图 6-7 所示是 2 维线性系统的相轨线，坐标原点是系统的平衡点，图 6-7a、b 中的平衡 点是稳定的，称为稳定结点，图 6-7c 中的平衡点是不稳定的，称为鞍点。
图 6-7 2 维线性系统的相轨线
6.5.2 任意解的稳定性
设 x = ψ (t)是微分方程 x& = F(t, x)
第 6 章 非线性动力学
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
图 6-2 例 1 相图
例2
如图 6-3 所示是微分方程
&y& + 0.2 y& + y = 0
在相平面 (x1, x2 ) ，
x1 = y
x2 = y&
上的轨线图，平衡点为 (0,0)，当 t → ∞ 时，解轨线趋于平衡点。
0.6 0.4 0.2
-0.6
-0.4
-0.2 -0.2
使用matlab求解vanderpol方程的研究方法
使用matlab求解vanderpol方程的研究方法研究van der pol方程是一种重要的非线性动力学问题，它描述了一些自振系统的运动行为。
这个方程由物理学家布里尔·范·德·波尔在1920年首次提出，并广泛用于描述电路、生物和化学系统中的自振现象。
van der pol方程的一般形式如下：d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2)dx/dt + x = 0其中，x是系统的状态变量，t是时间，而μ是一个非负常数，代表了系统的非线性因素。
为了研究van der pol方程的行为，我们可以使用MATLAB进行求解和分析。
下面将介绍几种常用的方法。
1. 数值解法：通过数值方法求解van der pol方程是最常用的研究方法之一、MATLAB中可以使用ode45函数来进行求解。
该函数基于Adams-Bashforth-Moulton方法，可以自动选择适当的步长，并给出较高的数值精度。
例如，我们可以定义一个匿名函数来表示van der pol方程，并使用ode45来求解：```MATLABmu = 1; % 设置μ的值[t, x] = ode45(f, [0, 10], [0.1; 0]); % 求解方程plot(t, x(:,1)); % 绘制解的图像xlabel('t'); ylabel('x');```这段代码定义了一个匿名函数f，其中t是时间，x是状态变量。
通过ode45函数对该方程进行求解，给定了初始条件[0.1; 0]，求解时间范围为[0, 10]。
最后，使用plot函数对解进行可视化。
2. 分岔和稳定性分析：van der pol方程是一个具有非线性耗散的系统，因此它可以表现出各种动力学行为，如周期振荡、混沌和吸引子等。
MATLAB提供了一些函数用于分析方程的分岔和稳定性。
例如，可以使用bifurcation函数分析van der pol方程的分岔图：```MATLABmu = linspace(0, 10, 100); % 设定μ的取值范围x = linspace(-2, 2, 100); % 设定x的取值范围bifplot(bif_x, bif_par); % 绘制分岔图xlabel('μ'); ylabel('x');```这段代码根据设定的μ和x范围，使用bifurcation函数计算系统的分岔图，并使用bifplot函数进行可视化。
第十一章 非线性动力学
可饱和的代谢过程；酶诱导；较高剂量时 的肝中毒；肝血流的变化；代谢物的抑制 作用
二、非线性药物动力学特点与识别
特点：
药物消除为非一级动力学，遵从米氏方程 AUC与剂量不成正比 消除半衰期随剂量增大而延长，剂量增加至一定 程度时，半衰期急剧增大 动力学过程可能会受到合并用药的影响 代谢物的组成比例受剂量的影响
当C0>>Km时, t1/2=C0/(2Vm) 当Km>>C0时, t1/2=0.693Km/Vm
清除率Cl
dX dt Cl C VmC dX dt ( dC dt ) V V Km C Vm V Cl Km C
当C>>Km时, Cl与C成反比：CL=Vm*V/C 当Km>>C时, Cl与C无关： CL=Vm*V/Km
线性动力学
血药浓度与剂量呈正比 ； AUC与剂量呈正比；t1/2、k、 V、Cl与剂量无关
非线性动力学
Dose-dependant PK 动力学参数与剂量有关 存在饱和现象
k
AUC
t1/2
X0
X0
X0
注：图中实线表示非线性，虚线表示线性非线性药代动力学主要见于：
与药物代谢有关的可饱和的酶代谢过程； 与药物吸收、排泄有关的可饱和的载体转 运过程； 与药物分布有关的可饱和的血浆/组织蛋白 结合过程； 酶诱导及代谢产物抑制等其他特殊过程。
五、非线性动力学参数的求算
1. Km及Vm的求算：根据-dC/dt 求算
dC Vm C dt K m C
Lineweaver-Burk方程式： Hanes-Woolf方程式： Eadie-Hofstee方程式：
高速列车轮轨系统非线性动力学模型数值计算
高速列车轮轨系统非线性动力学模型数值计算高速列车轮轨系统非线性动力学模型数值计算是现代运输领域一个重要的研究课题，也是一个复杂的问题。
本文试图从多个角度来探讨这一问题，包括高速列车轮轨系统的研究背景、相关技术的介绍、常用的数值方法和模型分析等方面。
一、研究背景高速列车的轮轨系统是指列车轮子与铁轨之间的接触面，它是列车的运动控制和路面状况诊断的重要部分。
轮轨系统的非线性动力学模型数值计算是指对这一系统进行精确建模，并利用计算机模拟这一系统的运动和响应过程。
在这一领域，有关的研究内容包括车轮和铁轨的动力学特性、轮轨接触力的计算和分析、轮轨系统的振动问题等。
二、相关技术介绍在高速列车轮轨系统的研究中，有几项技术是非常重要的，它们分别是:1. 车轮铁轨滚动接触力的计算和分析技术：轮轨接触力是指列车在高速运行时轮子与铁轨之间所产生的力，这种力对列车的稳定性和安全性有很大的影响。
要精准地计算这种力，需要细致地研究车轮和铁轨的接触面形状、材料参数、载荷等因素。
2. 应力分析和振动分析技术：在高速列车行驶中，车轮和铁轨都会受到很大的压力和振动力，这些力会导致它们产生应力和振动。
要准确地模拟这些过程，需要运用有关的应力分析和振动分析技术，包括有限元分析、模态分析和频域分析等。
3. 数值计算方法：对于高速列车轮轨系统的非线性动力学模型数值计算，需要使用一系列数值计算方法，包括微分方程数值解法、偏微分方程数值解法、常微分方程数值解法和求解线性代数方程组的方法等。
三、常用的数值方法在高速列车轮轨系统的非线性动力学模型数值计算中，有几种常用的数值方法：1. 基于有限元理论的模拟方法：这种方法利用有限元分析的技术，将轮轨系统的各个部分离散化，然后建立数学模型进行模拟。
这种方法具有高效、精确、适用面广等优点，被广泛应用于车轮铁轨的接触力分析和振动分析中。
2. 先进的逆向设计技术：逆向设计技术是指通过反推物体的形状、轮廓、材质和运动特性等信息，来重新设计物体的技术。
线性动力学和非线性动力学。
该直线的截距为 ，斜率为 ，由斜率
1
和截距即可求出 V和m
Km
的数值V。m
km Vm
将（9）式两边同时乘以Cm，即得到HanesWoolf公式：
Cm C
t
1 Vm
Cm
km Vm
（10）
以
Cm C
Cm 作图，可以得到一条斜率为
t
1 Vm
截距为 km 的直线，从而可求出Vm、Km等参数。
Vm
例如：一个体重50kg的患者，静脉注射0.5g水 杨酸钠，于不同时间血样品测得血药浓度见表 1，求Vm、Km。
级动力学过程。见图 2.
图2
第三节
血药浓度与时间关系 及参数的计算
一、血药浓度与时间的关系
具非线性消除动力学特点的药物，静脉注射给药 后，血药浓度的经时过程可通过MichaelisMenten方程的积分式来表达。
将(1)式移项，可得：
dC C
(C
K
m
)
Vm
dt
（4）
上式积分后得 ：
C Km ln C Vm.t i （5）
非线性药物动力学的这些特征，主要与药物在高 浓度条件下形成体内药物代谢酶或载体的饱和过 程有关。
非线性药物动力学过程，药物 在较大剂量时的表观消除速率 常数与小剂量时不同，因此不 能根据小剂量时所估算的常数 预估血药浓度。
因为：
具有非线性药物动 力学特征的药物
一般在高浓度下达到饱和过程，则消除减慢。
注意
具有非线性消除过程的药物在体内系统中 的参数Km、Vm，在一定条件下是个常数， 但由于药物体内分布或其他因素受到影响 而变化时，这些参数亦会随之变化。
二、米氏过程的药物动力学特征
非线性方程组数值解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
fpk方程的求解
fpk方程的求解FPK方程，又称为Fokker-Planck-Kolmogorov方程，是在经典热力学及随机过程的基础上提出的非线性常微分方程的一种。
FPK方程被广泛用于研究系统的动力学和演化过程，其最重要的特点就是描述了系统状态随时间变化的完整过程。
它可以看作是一种非线性演化递推方程，可以用来研究复杂系统的行为表现。
FPK方程一般表示为：ρ/t =F + Dρ其中，ρ表示系统中某量的平衡状态分布，F表示外力，D表示扩散系数，表示二次梯度。
二、FPK方程的求解1.采用数值方法求解FPK方程以上FPK方程的求解一般采用数值解法，如果原方程的空间维度比较小，可以采用隐式格式的算法，如有限差分方法、改进的迭代格式，等等。
如果原方程的空间维度比较大，一般采用格式的方法。
格式方法的一般步骤是：先采用积分算法将原方程化为数值形式，然后分析其特性，按照算法来进行数值求解，最后注意结果的稳定性。
2.采用解析方法求解FPK方程如果原方程有特殊的形式或者可以用某种方法分解，就可以采用解析求解方法，比如Laplace变换进行解析求解等。
有一些特殊的FPK方程有显式解析解，比如一维FPK方程解析解就是熊和Hax的电子线路方程的解析解。
三、FPK方程的应用FPK方程在物理学中有很多应用，比如热力学、热传导、流体力学等多个研究领域；在经济学中，也可以用FPK方程来研究经济系统等；在生物学中，FPK方程也可以用来研究生物系统的行为表现；在计算机科学中，FPK方程在机器学习的训练过程中，有着重要的意义。
四、结论FPK方程是一种常见的非线性微分方程，它可以用来研究系统的动力学和演化过程。
求解FPK方程的方法有多种，数值方法有隐式格式的算法、有限差分法、改进的迭代格式等；解析方法有拉普拉斯变换等。
FPK方程有广泛的应用，比如热力学、热传导、流体力学、经济学、生物学、机器学习等。
非线性微分方程的化学动力学方程
非线性微分方程的化学动力学方程在化学反应中，非线性微分方程广泛应用于描述化学反应动力学的动态特征。
在本文中，将详细介绍非线性微分方程的化学动力学方程，以及它在化学反应动力学模型中的应用。
一、非线性微分方程的化学动力学方程在化学反应中，动态特征可由非线性微分方程进行描述。
其中，最常用的方程是由Ostwald提出的一阶反应速率方程，其形式为：$ \frac{dC}{dt}=-kC $其中，C是反应物浓度，t为反应时间，k为反应速率常数。
该方程描述了一种简单的单一反应物的消耗过程，其中反应速率与反应物浓度成比例，该方程与实验结果符合较好。
然而，在大多数化学反应中，反应物浓度往往不是单一的，并且反应物之间可能会相互作用，产生新的化合物。
在这种情况下，反应速率将不再与反应物浓度成正比，而是会发生变化。
例如，对于以下反应：$ A+B \longrightarrow C $反应速率方程可以表示为：$ \frac{dC}{dt}=k[A][B] $其中，[A]和[B]分别是反应物A和B的浓度。
该方程描述了一个二元反应，其中，反应速率与两种反应物的浓度乘积成正比。
对于更复杂的反应，常规速率方程往往无法描述其复杂的动力学过程。
因此，需要使用更为复杂的方程，如Briggs-Haldane速率方程和Michaelis-Menten速率方程等。
二、非线性微分方程的化学反应动力学模型非线性微分方程的化学动力学方程可用于建立多种复杂的化学反应动力学模型，以描述化学反应的动态过程。
其中，动力学模型是指在一定实验条件下，关于化学反应体系动态行为的数学描述。
例如，对于以下反应：$ A+B \longrightarrow C $可以建立一个基于Briggs-Haldane速率方程的动力学模型：$ \frac{d[A]}{dt}=-k_1[A][B]+\frac{k_2[C][B]}{K_m+[B]} $ $ \frac{d[B]}{dt}=-k_1[A][B]+\frac{k_2[C][A]}{K_m+[A]} $$ \frac{d[C]}{dt}=k_1[A][B]-k_2[C][A]/(K_m+[A])-k_2[C][B]/(K_m+[B]) $其中，k1和k2是反应速率常数，Km是Michaelis常数，其反映的是反应物在酶催化下的亲和力。
非线性动力学复习参考
非线性动力学复习参考1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
解：单自由度机械系统的自由振动，其动力学方程的一般形式为(,)0x f x x+= (1) 引入新的变量y 表示速度x（2）则系统的运动状态由位置x 及速度y 所体现,x 和y 构成系统的状态变量，方程(1)可写为状态变量的一阶微分方程组：,(,)xy y f x y ==- (3) 设状态变量的初始条件为(4)方程(3)的满足初始条件(4)的解x(t)和y(t) 完全确定系统的运动过程。
以x 和y 为直角坐标建立(x,y)平面，称为系统的相平面。
与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点。
系统的运动过程可以用相点在相平面上的移动过程来描述。
相点移动的轨迹称为相轨迹。
不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。
现在我们来推导，如何利用该微分方程组得到相轨迹族。
绘制相轨迹线的作用：相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运动全貌。
当系统是强非线性振动的时候，近似解析法（如小参数摄动法，多尺度法）不再适用，此时可以采用相轨迹法来研究。
相轨迹的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期运动分析。
奇点和极限环的类型可以判断平衡状态和周期运动的稳定性，以及受扰动后可能具有的振动特性。
6、简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及其与线性系统的区别。
解：（1）非线性保守系统的动力学方程的一般形式为 ()0xf x += ，化为状态方程为 对应的相轨迹微分方程为 ；（2）相轨迹线在平面上，只有当总能量大于势能时，速度才有实数解，而且y 关于X 轴对称；()x y y f x =⎧⎨=-⎩（3）相轨迹微分方程决定了相平面上的一个方向场:f(x)=0 处有水平切线，y=0时，有竖直切线；当f(x),y同时为零时，相轨线的斜率不定，称这一点为奇点，奇点的速度、加速度都为零，代表了平衡点，其它各点的斜率都是确定的，称为正常点，所以保守系统的相轨线在正常点是互不相交的。
非线性振动系统的动力学建模与分析
非线性振动系统的动力学建模与分析引言：振动现象在自然界和工程领域中普遍存在，因此对振动的研究具有重要意义。
线性振动系统的动力学研究已经相对成熟，但实际中许多振动系统的运动规律无法用线性模型描述，即非线性振动系统。
本文将讨论非线性振动系统的动力学建模方法和分析技术。
一、非线性振动系统的动力学方程非线性振动系统的运动方程一般可以表达为：m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + c \frac{{dx}}{{dt}} + kx = F(x,\frac{{dx}}{{dt}})其中，m是系统的质量，c是阻尼系数，k是刚度系数，F(x, dx/dt)表示非线性力的函数关系。
非线性力的引入导致了系统的非线性行为，因此对非线性振动系统的分析与线性振动系统有所差异。
二、非线性振动系统的建模方法1. 数值模拟法：对于复杂的非线性振动系统，可以使用数值模拟方法求解。
通过离散化系统的运动方程，利用数值算法（如Runge-Kutta 法）进行求解，可以得到系统的时间-位移曲线和相图等信息。
数值模拟方法适用于复杂的非线性系统，但需要考虑计算复杂度和收敛性等问题。
2. 经验计算法：一些简单的非线性振动系统可以使用经验计算法进行建模和分析。
例如，对于像弹簧质量系统一样的简单非线性振动系统，可以通过适当的近似和经验公式来求解系统的运动方程和稳定解。
经验计算法的优势在于简单直观，但适用范围有限。
三、非线性振动系统的分析技术1. 频域分析：频域分析是非线性振动系统研究中常用的一种方法。
通过将非线性运动方程转化为频域表达，可以得到系统的频率响应和频谱分析等信息。
常见的频域分析方法有Fourier变换和功率谱密度分析等。
2. 相空间分析：相空间分析是非线性动力学研究的重要工具。
通过将系统的状态变量表示为相空间中的点，可以直观地观察系统的轨迹和稳定解。
相空间分析方法包括Poincaré映射、Lyapunov指数等。
3. 非线性模态分析：非线性振动系统的模态分析是对系统振动特征的研究。
非线性动力学ODE解模拟实验助推未来气候预测
非线性动力学ODE解模拟实验助推未来气候预测气候预测一直以来都是气象学和环境科学中的重要课题。
随着科技的不断进步，气候预测模型的发展也取得了显著的进展。
而非线性动力学ODE解模拟实验被认为是助推未来气候预测的一种有效方法。
本文将就非线性动力学ODE解模拟实验在气候预测中的应用进行探讨。
非线性动力学ODE解模拟实验是一种基于非线性动力学理论和ODE（Ordinary Differential Equation，常微分方程）求解方法的模拟实验。
该方法基于已知的气候数据和气象因素，通过建立ODE方程模拟气候系统的动力学行为，进而预测未来的气候变化。
相比传统的线性模型，非线性动力学ODE解模拟实验能够更好地捕捉气候系统的复杂性和非线性特征，从而提供更准确的预测结果。
在非线性动力学ODE解模拟实验中，首先需要确定预测的气象变量以及相关的气象因素。
这些因素可以包括温度、湿度、降水等常见气象参数，也可以考虑更复杂的因素如大气压力、风速、海洋表面温度等。
然后，根据已有的气象数据建立ODE方程，确定系统的动力学行为。
通过数值求解ODE方程，可以模拟气候变化过程，并进一步预测未来的气候状态。
非线性动力学ODE解模拟实验的关键在于确定适当的ODE方程和相关的初始条件。
这一过程需要准确地理解气候系统的复杂性和非线性特征，以及各种气象因素之间的相互作用。
在建立ODE方程时，可以借鉴已有的气候模型和理论，同时结合实际观测数据进行参数估计和模型验证。
通过不断调整ODE方程和初始条件，不断优化模型，可以提高气候预测的准确性和可靠性。
非线性动力学ODE解模拟实验在气候预测中具有一定的优势和应用价值。
首先，该方法能够更好地模拟气候系统的非线性行为，从而减小预测偏差和误差。
其次，非线性动力学ODE解模拟实验能够考虑多个气象因素之间的相互作用，更全面地分析气候系统的演变规律。
此外，该方法还可以应用于不同的时间尺度，从短期的天气变化到长期的气候趋势，为气候预测提供多样化的解决方案。
lorenz方程
lorenz方程Lorenz方程是以可视化和理解混沌现象而闻名的非线性动力系统方程。
它是由美国数学家Edward Lorenz于1963年提出的，最初是为了描述大气科学中的对流运动。
Lorenz方程成为了混沌理论的重要组成部分，对于混沌现象的研究和理解起到了重要的作用。
Lorenz方程是一个简单的三个一阶非线性常微分方程系统，它描述了一个自然系统中的动力学行为。
Lorenz方程可以用来模拟气象学中的气流、海洋中的洋流、流体力学中的混沌运动等各种系统。
该方程的形式如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中x，y和z是系统的状态变量，t是时间，σ，ρ和β是方程中的参数。
Lorenz方程的独特之处在于，它的系统行为非常灵敏于初始条件的微小变化。
这意味着，尽管初始条件只有微小的差异，系统的演化轨迹会迅速分离，并最终导致完全不同的结果。
这种灵敏性是混沌现象的基础，也就是著名的“蝴蝶效应”。
为了更好地理解Lorenz方程的混沌性质，我们可以进行一些数值模拟实验。
通过选择不同的初值和参数，可以观察到系统的演化过程。
在实际计算中，通常会采用数值积分方法，如欧拉法或Runge-Kutta法，来求解Lorenz方程。
运用适当的初值和参数，我们可以发现系统的行为呈现出混沌、周期和稳定等不同模式。
Lorenz方程的混沌现象对于气象学和其他领域的研究具有重要的意义。
这个方程将复杂的非线性动力学过程简化为了一个简单的数学模型，帮助我们更好地理解和预测自然现象。
它也启发了混沌理论的发展，揭示了自然界中许多看似随机的行为背后隐藏的基本规律。
尽管Lorenz方程已经有近60年的历史，但它仍然是非线性动力学研究的热点之一、研究人员们通过对Lorenz方程的改进和进一步的探索，发现了许多新的混沌模式和行为。
这些研究不仅深化了我们对混沌现象的理解，还为实际应用提供了新的思路和方法。
非线性方程与非线性方程组的迭代解法课件
迭代解法是否能够收敛到方程的解是关键问题，收敛性的判定需要满足一定的条 件。
收敛速度
迭代解法的收敛速度是指迭代过程逼近解的速度，收敛速度越快，求解效率越高 。
迭代解法的误差估计与收敛性判定
误差估计
在迭代过程中，我们需要对每次迭代的误差进行估计，以便 了解近似解的精度。
收敛性判定
为了确保迭代过程能够收敛到方程的解，我们需要根据一定 的收敛性判定准则来判断迭代过程是否可以终止。
三角函数求解
对于涉及三角函数的非线性方程，如 (sin x = a)，可以通过迭代法求解，例如初始值 (x_0 = a)，迭代 公式 (x_{n+1} = x_n + frac{a - sin x_n}{1 - cos x_n})。
非线性方程组求解实例
牛顿迭代法
对于非线性方程组 (f_1(x) = 0, f_2(x) = 0) 等，可以使用牛顿迭代法求解，通过迭代公式 (x_{n+1} = x_n - J^{1} cdot f(x_n)) 逐步逼近方程组的解。
适用于求解具有简单形式和已知导数的非线性方程。
弦截法
总结词
详细描述
公式
应用场景
一简单且易于实现的迭代方 法
弦截法基于线性方程组的求解 方法，通过不断修正近似解来 逼近非线性方程的解。在每次 迭代中，使用当前近似值和方 程的函数值来计算下一个近似 值。
$x_{n+1} = x_n - f(x_n) cdot frac{f(x_0) - f(x_n)}{f(x_0) 2f(x_n) + f(x_1)}$
适用于求解形式简单且导数不 易求得的非线性方程。
抛物线法
总结词
非线性动力学的基本原理和应用实例
非线性动力学的基本原理和应用实例非线性动力学，又称为混沌理论，是一门研究复杂系统行为的学科。
它研究的领域包括物理学、化学、生物学、社会学等多个领域。
本文将介绍非线性动力学的基本原理和应用实例。
一、非线性动力学的基本原理非线性动力学研究的是具有非线性行为的系统。
所谓非线性行为，指的是系统对初始条件的微小变化极其敏感，这种敏感性在系统中表现为不可预测性和不规则性。
一个非线性系统可以用微分方程的形式表示。
因此，非线性动力学的基本原理是微分方程的求解。
非线性系统的微分方程通常较为复杂，无法通过解析方法求解。
因此，在非线性动力学中，常常使用数值计算方法来模拟系统的行为。
另一个非线性动力学的基本原理是混沌理论。
混沌理论表明，在一些非线性系统中，微小的扰动可以引起系统行为的剧烈变化。
这是由于在非线性系统中，不同的初值条件会引起系统的行为非常不同。
这种不确定性被称为“混沌”。
二、非线性动力学的应用实例1. 布朗运动布朗运动是指在液体中漂浮的物质在水分子的撞击下不断做无规则的运动。
这个过程可以用随机游走模型来描述，也可以用布朗粒子模型来描述。
布朗粒子模型是一个非线性系统，在模拟过程中需要使用非线性动力学的方法。
布朗运动在化学动力学、生物化学、统计物理学等领域有广泛应用。
2. 汇流问题汇流问题是指在不同流域中通过河道流动的水汇合到同一个点的问题。
这个问题可以用非线性水力模型来描述。
非线性水力模型是一个非线性系统，在模拟过程中需要使用非线性动力学的方法。
汇流问题在水文学和水资源管理等领域有广泛应用。
3. 神经网络神经网络是一种模拟大脑神经元之间相互作用的数学模型。
神经网络可以看作是一个非线性系统，因为神经元之间的连接是多样的、强弱不一的。
用非线性动力学的方法可以对神经网络模型进行仿真和分析。
神经网络在人工智能、模式识别等领域有广泛应用。
4. 生态系统生态系统是指生物体之间以及生物体与周围环境之间相互作用形成的系统。
生态系统通常是非线性的，因为生物体之间的相互作用和生物体与环境之间的相互作用都是非线性的。
非线性动力学系统的数值模拟
非线性动力学系统的数值模拟非线性动力学系统是自然界和人工系统中普遍存在的一类系统，其行为规律无法简单地用线性关系描述。
数值模拟非线性动力学系统是研究这类系统行为的重要手段之一。
本文将介绍非线性动力学系统的基本概念和数值模拟方法，并结合具体例子进行阐述。
一、非线性动力学系统概述非线性动力学系统的定义是：系统中的因果关系不仅仅依赖于输入的线性关系，而且可能存在非线性项。
这些系统在演化过程中具有多样的行为，例如周期性、混沌和奇异吸引子等。
非线性动力学系统广泛应用于物理学、工程学、生物学和社会科学等领域。
二、数值模拟方法数值模拟非线性动力学系统的目标是通过离散化的时间步骤来近似系统的持续演化。
常用的数值模拟方法包括常微分方程数值解法、映射法和蒙特卡洛方法等。
1. 常微分方程数值解法常微分方程数值解法是数值模拟非线性动力学系统最常用的方法之一。
常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法和四阶龙格-库塔法等。
这些方法根据系统的特性和所需精度选择合适的数值积分算法。
2. 映射法映射法是一种离散时间系统的数值模拟方法。
该方法将连续时间系统离散化为一系列映射关系，通过迭代计算系统的状态演化。
常用的映射法有Henon映射、Logistic映射和Lorenz映射等。
3. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是通过随机抽样和统计分析来模拟非线性动力学系统。
通过生成符合系统演化规律的随机数序列，并对大量样本进行统计，可以获得系统的平均性质和概率分布等信息。
三、具体例子下面以经典的洛伦兹吸引子为例，介绍非线性动力学系统数值模拟的步骤和结果展示。
洛伦兹吸引子是描述大气对流现象中的非线性动力学行为的一个模型。
其动力学方程为：dx/dt = σ(y - x)，dy/dt = x(ρ - z) - y，dz/dt = xy - βz。
其中，x、y和z是系统状态变量，t是时间，σ、ρ和β是系统的参数。
通过选择适当的参数值，可以观察到洛伦兹吸引子的演化过程。
流体力学中的非线性动力学行为研究
流体力学中的非线性动力学行为研究流体力学是研究流体在宏观范围内流动的科学，它有着广泛的应用领域，如飞行器设计、海洋工程、船舶设计、石油开采等。
而流体力学中的非线性动力学行为研究则是对于大规模复杂流体现象的探究、发现和应用。
一、复杂流体的非线性动力学行为在流体力学中，我们经常会遇到复杂的流动现象，例如旋涡、湍流等。
这些复杂的流动现象都是非线性的，它们在某些情况下会遵循线性的数学模型，但是在更普遍的情况下，它们会表现出非线性的动力学行为。
非线性动力学行为的特点是非常复杂的、具有多种变化形态的。
这种行为难以用简单的方程描述，需要用一些更加复杂的数学模型进行分析和预测。
二、非线性动力学分析方法为了研究流体力学中的非线性动力学行为，我们需要用到一些研究工具和分析方法。
1. 相空间分析法相空间分析法是一种研究动力学行为的方法，它在分析非线性系统中尤为有用。
这种方法可以通过数学模型中的一个特殊空间，来反映出系统动力学演化的规律。
相空间可以用来描绘物质的运动轨迹，也可以用来分析不同状态之间的关系。
2. 非线性系统运动方程的数学解法流体力学中的非线性系统的数学方程可以很难以求解，特别是在复杂的流体条件下。
然而，通过一些方法，我们可以实现非线性系统方程的数学求解。
例如，我们可以使用数值方法来求出流体力学中的非线性系统的解。
3. 数值模拟数值模拟是用计算机模拟流体运动过程的方法。
数值模拟可用于复杂流体流动的研究，可以通过数值方法模拟任何复杂的动力学行为。
三、非线性动力学在流体力学中的应用流体力学中的非线性动力学行为研究已经在各种工程领域中得到了广泛应用。
以下几个方面是非线性动力学在流体力学中的主要应用领域：1. 能源转换工程流体力学中的流动控制可以用于改善风力发电机的效率，从而提高绿色能源的使用效率。
2. 燃烧研究非线性动力学分析方法可以用来研究燃烧过程的非线性动态行为，帮助开发更有效的燃烧控制技术。
3. 污染控制非线性动力学分析方法可以帮助我们理解流体动力学的复杂行为，从而可以更好地控制流体系统中的污染问题。
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非线性动力学方程的求解方法1、概述在工程实际问题中，我们常常面临这样的选择：我们所遇的问题究竟是静力的还是动力的。
静力问题与动力问题，从力学的角度看就是是否考虑与加速度有关的力，而从数学求解方法看则是一个三维边值问题还是一个四维边值-初值问题。
在这个问题的选择上没有固定的原则，一般取决于我们研究者、分析者对工程问题的判断。
一般认为，实际工程大都是处于动力环境之中，因而属于动力问题。
但是，由于时间、经费等方面的原因的限制，我们不可能把所有的问题都按照动力问题的方法来分析。
对于许多具体的问题，与速度和加速度有关的力足够小，但是又影响结构分析结果的，将采用静力假定来模拟这些力。
线性的动力有限元控制方程如式(1-1)所示。
[]}{}]{[}]{[}{R q K q D qM =++ (1-1) 式中[M ][D ][K ]分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，{R }为荷载列矢量，}{q、}{q 和}{q 分别是加速度、速度和位移列矢量。
式(1-1)的解法大体上可以分为两类：直接积分法和模态叠加法。
直接积分法在对控制方程进行数值积分之前不对方程做任何形式的变换，直接用数值积分的方法在时域上一步一步地对方程进行积分。
模态叠加法是在求解之前对方程进行某种数学变换，使基底降低，或使矩阵的带宽减小，再进行求解。
这两种方法在形式上不同，但是密切相关。
上述每一类求解方法中又有许多具体的解法，每一种解法又有各自的特点。
因此我们在选择一种方法求解一个问题时，要对该方法的收敛性、稳定性、效率、精度和费用等进行一些分析，讨论它对所求问题的有效性，从而使我们能够针对某一特定的问题，选择合适的方法。
直接积分法基于以下两条：(1)不是在求解时间区间内任意时刻t 都满足式(1-1)，而是在相隔△t 上的一些离散时刻满足式(1-1)。
(2)对位移、速度和加速度在每一时间区间△t 内变化的形式进行假设，事实上若把式(1-1)看成一个常系数微分方程组，便可以用任何一种有限差分格式通过位移来近似表示速度和加速度，因此不同的差分格式就得到不同的方法。
从差分格式上看，分显式与隐式两大类方法，所谓显式差分法就是不必对方程进行求解，而是由前一时刻t 的平衡条件直接可求解△t 增量后t+△t 时刻的各参数解。
而隐式差分法则必须对方程进行求解。
显式差分法有中心差分法等。
隐式差分法有Wilson -θ法和Newmark 法。
不同方法解的精度、稳定性、收敛性、效率不同。
2、中心差分法2.1中心差分法简述中心差分法的差分格式为：}]{}{2}[{1}{2t t t t t t q q q tq ∆+∆-+-∆= (2-1) }]{}{[21}{t t t t t q q tq ∆+∆-+-∆= (2-2) 认为}{t q和}{t q 在任意时刻t 上满足平衡方程(1-1)，即： []}{}]{[}]{[}{t t t t R q K q D qM =++ (2-3) 将式(2-1)和式(2-2)代入到式(2-3)中，可得：}]){[21][1(}]){[1]([}{}]{[21][1(222t t t t t t q D tM t q M t K R q D t M t ∆-∆+∆-∆-∆--=∆+∆ (2-4)2.2中心差分法的特点(1)}{t t q ∆+的解是基于利用在时刻t 的平衡条件，即}{t t q ∆+是在假定t 时刻式(2-3)成立的条件下来计算的，该积分过程称为显式积分法，因此中心差分法为显式差分法。
但是，用式(2-4)计算}{t t q ∆+时，不仅要用到}{t q 而且还要用到}{t t q ∆-。
所以，计算在时刻t+△t 的解，必须存在一个具体的起始过程，即必须利用初始条件。
这样，已知}{0q 和}{0q，可由式(2-4)求得}{0q，由式(2-1)和式(2-3)可求得}{t q ∆-，如式(2-5)所示。
}{2}{}{}{0200q t q t q q t ∆+∆-=∆- (2-5) 我们称式(2-5)为差分格式(2-4)的初始条件。
(2)在求解时不需对刚度矩阵[K ]进行三角分解。
在应用此法时一般采用集束质量矩阵或称对角质量阵，而阻尼矩阵也通常为对角形式，这样，在运用式(2-4)时，就不需要对等号右端的系数矩阵t D t M ∆+∆2/][/]([2)进行三角分解，从而可以节省计算时间。
如果不考虑系统的阻尼，则0][=D ，这时式(2-4)可简化为：}{}]){[1(2t t t R q M t =∆∆- (2-6) 其中： }]{[1}]){[2]([}{}{22t t t t t q M t q M t K R R ∆-∆-∆--= (2-7) 从式(2-6)和式(2-7)可以看出，若质量阵[M ]为对角矩阵，即在系统中只考虑集束质量的情况，则方程(2-6)实际上是解耦的，即方程组中是相互独立的，因此只需进行矩阵相乘就可得到。
把式(2-6)改写为：}{][}{12t t t R M t q -∆-∆=写成分量形式，即：)(2)(i t ii i R m t q tt ∆=∆+ (2-8) 其中，)(i t t q ∆+和)(i t R 分别为}{t t q ∆+和}{t R 的第i 个分量，而ii m 为质量矩阵的第i 个对角线元素。
对于0=ii m ，我们可以用静凝聚的方法进行处理。
若对总体刚度和质量矩阵不必进行三角分角，就意味着不必形成总体的[K ]和[M ]，因此，式(2-7)的计算只需在单元一级进行即可，即：}){2}]({[1})]{([}{}{2t t t e e e e e t t q q M tq K R R -∆--=∆-∑∑ (2-9) 式中[K e ]和[M e ]分别为与待求节点自由度有关的单元刚度矩阵与质量矩阵。
所以，使用式(2-8)和式(2-9)构成的中心差分具有明显的优点。
它不需要计算总体刚度矩阵[K ]和质量矩阵[M ]，求解过程在单元一级进行，计算效率较高。
而且，如果所有单元刚度和质量矩阵都相同时，或有大部分的单元都相同时，可以用一个或少数单元矩阵来求解整个系统。
在工程中，常会遇到重复对称式结构，这时用这种方法来求解将具有很高的效率。
(3)加速度和速度的差分格式都具有(△t 2)阶的误差。
(4)可以证明，中心差分法所要求的步长为： πncr T t t ≤∆≤∆ (2-10)其中，T n 为有限无限无集合体的最小周期，n 为单元系统的阶，cr t ∆为临界时间步长。
周期T n 可利用如下任何一种方法来计算：(1) 广义Jacobi 法；(2) 逆迭代法；(3) 正迭代法；(4) Rayleigh 商迭代法；(5) 多项式迭代法；(6) 斯图姆序列对分法；(7) 行列式搜索法；(8) 子空间迭代法。
事实上，T n 为系统最大特征值的倒数。
要求使用的时间步长△t 小于临界时间步长cr t ∆的差分格式，称为条件稳定的。
若使用一个大于cr t ∆的时间步长，则积分将是不稳定的，此时由数值积分在计算机上导致的舍入误差会增大，从而使结果失去意义。
中心差分法是一种条件稳定的方法，这一缺点导致了它在使用上具有很大的局限性。
首选是时间步长选择困难，当矩阵阶数较高时，而且同时原系统的质量分布不均匀，将使得[M ]矩阵的个别对角上的元素很小，从而使系统的高阶特征趋于无限大，T n 趋于零，这样便使积分过程成为不可能。
所以，仅仅因为一个十分小的质量元素，就会导致计算效率的降低。
当这种情况出现时，通常采用静凝聚的方法使矩阵的阶数降低，但这仅仅能在低频段模拟原系统。
因此，中心差分法是条件稳定的非线性动力学分析方法，有其局限性。
3、Wilson -θ法Wilson -θ法是线性加速度方法的扩展，基于以下两条假定：(1)当时间从t 至变化到时间(t t ∆+θ)时，加速度从t q变化为t t q ∆+θ ； (2)在时间区段t ∆θ内，结构的刚度、阻尼、地面运动加速度都无改变。
则由上述两条假定可得：}){}({}{}{t t t t t q q tq q -∆+=∆++θτθτ (3-1) 式中，θ为参数，可根据积分的稳定性和精度进行选取，一般要求大于1。
对式(3-1)两端的τ进行积分，可得：}){}({2}{}{}{2t t t t t t q q tq q q -∆++=∆++θτθττ (3-2) 再对式(3-2)两端的τ进行积分，可得：}){}({6}{21}{}{}{22t t t t t t t q q tq q q q -∆+++=∆++θτθτττ (3-3) 在式(3-2)和式(3-3)中令t ∆=θτ，则可得在(t t ∆+θ)时刻的速度和位移分别如式(3-4)和式(3-5)所示：}){}({2}{}{t t t t t t q qtq q +∆+=∆+∆+θθθ (3-4) }){2}({6}{}{}{22t t t t t t t q qt t q q q +∆+∆+=∆+∆+θθθθ (3-5) 将加速度}{t t q∆+θ 和速度}{t t q ∆+θ 写成由位移}{t t q ∆+θ表达的形式，如式(3-6)和式(3-7)所示：}{2}{6}){}({6}{22t t t t t t t q q t q q t q -∆--∆=∆+∆+θθθθ (3-6) }{2}{2}{}({3}{t t t t t t t q t q q q t q ∆---∆=∆+∆+θθθθ (3-7) Wilson -θ法认为在(t t ∆+θ)时刻，系统满足动力平衡方程(1-1)，并由Wilson -θ法的第二条假定，我们把式(3-6)和式(3-7)代入到式(1-1)中，可得到式(3-8)。
[]}{}]{[}]{[}{t t t t t t t t R q K q D qM ∆+∆+∆+∆+=++θθθθ (3-8) 其中，}){}({}{}{t t t t t t R R R R -+=∆+∆+θθ (3-9)求(t t ∆+θ)时刻的位移、速度和加速度是我们所要得到的。
求解的过程如下所示：(1) 将式(3-6)和式(3-7)代入到式(3-8)中，并加以整理可得：}]){[3][)(6]([2t t q D tM t K ∆+∆+∆+θθθ =}){2}{6}{)(6]([}){}({}{2t t t t t t t q q t q t M R R R +∆+∆+-+∆+θθθ +}){2}{2}{3]([t t t q t q q t D ∆++∆θθ (3-10) 由式(3-10)可以求得}{t t q ∆+θ。
(2) 将式(3-6)分别代入式(3-1)、式(3-2)和式(3-3)中，并令t ∆=τ，可得：}){31(}{)(6}){}({)(6}{22tt t t t t t q q t q q t q θθθθ-+∆--∆=∆+∆+ (3-11) }){}({2}{}{t t t t t t q q t q q +∆+=∆+∆+ (3-12) }){2}({6}{}{}{2t t t t t t t q q t q t q q +∆+∆+=∆+∆+ (3-13) Wilson -θ法的特点：(1) 该法是一种隐式积分法，因为刚度矩阵[K ]是未知位移矢量的系数矩阵。