非线性方程的解法

20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。这种方法优点是，不要求f(□)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大

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目录

• 1 正文

• 2 牛顿法及其变形

• 3 割线法

• 4 布朗方法

• 5 拟牛顿法

•

非线性方程组数值解法 - 正文

n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为

(1)

式中ƒi(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若ƒi中至少有一个非

线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记ƒ＝

则(1)简写为ƒ(尣)=0。若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。

非线性方程组数值解法 - 牛顿法及其变形

牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：

(2)

式中

是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。

这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及

;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求

。

由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。

为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P为迭

代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W 内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义，

牛顿法(2)的效率为。

牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即

式中I是单位矩阵。牛顿法是局部收敛方法,因而对初始近似尣0限制较严，为放宽对尣0的要求,扩大收敛范围,通常可引进松弛因子ωk，得到牛顿下降法：

(3)

式中ωk的选择应使成立。

为减少解线性方程组次数，提高效率，可使用修正牛顿程序

(4)

这种算法也称为萨马斯基技巧，它的收敛阶为 p =m+1，由尣k计算的工作量为W

=n2+m n，于是该法的效率。当n=10,m＝7时,当n ＝100,m＝37时,，由此看到修正牛顿法(4)比牛顿法效率高，且m 越大效果越明显。

在计算机上往往采用不计算偏导数的离散牛顿法，即

(5)

式中

，

其中e j为基向量,,若取，则(5)仍具有2阶收敛速度。其效率与牛顿法相同。

若在牛顿法(2)中解线性方程组不用直接法,而采用迭代法则得到一类解非线性方程组的双重迭代法。按解线性方程组采用的方法不同就得到不同名称的迭代法，如牛顿－赛德尔迭代法，牛顿－SOR迭代法，牛顿－ADI迭代法，等等。这些方法都具有超线性收敛速度，工作量也比牛顿法大，除了对某些特殊稀疏方程组外，通常用得校少。若将解线性方程组迭

代法的思想直接用于非线性方程组(1)，然后把(1)化为一维方程求解，可得到另一类双重迭代法，由于采用的迭代法与解一维非线性方程的方法不同，则得到不同的双重迭代法。如果利用SOR迭代法后再用牛顿法解一维方程则得SOR－牛顿迭代法，在牛顿法中只计算一步而不进行迭代，则得一步的SOR－牛顿迭代，其计算公式可表示为

式中记号嬠iƒi表示；ω为迭代参数，当ω=1时就是赛德尔-牛顿迭代法,这类方法对解维数高的稀疏的非线性方程组是有效的。

非线性方程组数值解法 - 割线法

若对方程组 (1)线性化时使用插值方法确定线性方程组

(6)

中的A k和b k,则可得到一类称为割线法的迭代序列。假定已知第k步近似尣k，为确定A k和b k,可在尣k附近取n个辅助点у忋(j=1,2,…,n),使n个向量线性无关，由插值条件可知

由此可求得

由(6)解得以此作为方程 (1)的新近似，记作，于是得到

(7)

(7)称为解非线性方程组的割线法。辅助点у忋取得不同就得到不同的割线法程序，例如取为常数(j=1,2,…,n)，就得到与(5)相同的程序，由于它只依赖于尣k点的信息，故也称一点割线法,若取它依赖于点尣k及, 称为两点割线法。其他多点割线法由于稳定性差，使用较少。

非线性方程组数值解法 - 布朗方法

布朗采用对每个分量方程ƒi(尣)=0逐个进行线性化并逐个消元的步骤，即在每迭代步中用三角分解求线性方程组的解，得到了一个效率比牛顿法提高近一倍的迭代法，即

式中

(8)中当i=n时求得x n记作,再逐次回代,求出(i=n-1,n-2,…,1)就完成了一个迭代步。布朗迭代程序的敛速仍保持p＝2，而每一迭代步的工作量

，故效率对这方法还可与牛顿法一样进行改进，得到一些效率更高的算法。这类方法是70年代以来数值软件包中常用的求解非线性方程组的算法。

非线性方程组数值解法 - 拟牛顿法