第九章线性方程组
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中一种重要的问题，它常常在物理、经济学、工程学等领域中被应用。
线性方程组求解是一种常见的数学方法，其重要性不言而喻。
在本文中，我们将详细介绍线性方程组的定义、求解方法以及其在实际中的应用。
一、线性方程组的定义线性方程组是指由若干个线性方程组成的方程组。
线性方程的一般形式为：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b，其中a1, a2, …, an为已知系数，b为已知值，x1, x2, …, xn 为未知数。
线性方程组通常以方程组的形式给出，如下所示：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm二、线性方程组的求解方法1. 列主元消去法列主元消去法是线性方程组求解的一种常见方法，其基本思想是利用行变换将线性方程组化为阶梯形或行最简形，然后利用回代的方法求解未知数的值。
下面以一个简单的二元一次方程组为例进行演示。
设有线性方程组：2x + y = 53x - 2y = 8首先将其写成增广矩阵的形式：2 1 | 53 -2 | 8然后通过行变换将其化为阶梯形：2 1 | 50 -7 | 2通过回代的方法求解得到未知数的值：y = -2x = 3继续以上述二元一次方程组为例进行演示。
首先将方程组写成矩阵的形式：| 2 1 | | x | | 5 || 3 -2 | * | y | = | 8 |以上就是线性方程组求解的两种常见方法，实际问题中可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
三、线性方程组在实际中的应用线性方程组在实际中有着广泛的应用，下面主要介绍其在经济学、物理学和工程学中的应用。
1. 经济学在经济学中，线性方程组常常被用来描述市场供需关系、生产成本等问题。
假设某种商品的市场需求量与价格之间存在线性关系，可以通过观察市场上的实际数据得到一个线性方程。
线性代数Ⅳ—线性方程组
c1 , c2 为任意常数
其中
1 1 1 0 ξ = c1 + c2 为对应齐次线性方程组的通解 0 2 1 0 1 2 0 η = 1 为非齐次线性方程组的特解 2 0
16
例 已知 α1 = (1, 4, 0, 2)T α 2 = ( 2, 7,1, 3)T α 3 = ( 0,1, 1, a)T β = ( 3,10, b, 4)T 问:(1) a,b为何值时,β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示 (2) a,b为何值时,β 可以由 α1 , α 2 , α 3 线性表示,并写出 表达式 例 设线性方程组
x1 = 0 , x2 = 0 , , xn = 0 即 x = (0 , 0 , , 0)T 必为方程组的一个解向量
称零解.
有时,齐次线性方程组还有非零解.
4
2 求解齐次线性方程组
2.1 齐次线性方程组有非零解的条件
定理一: 定理一:n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解(仅有零解) A 的列向量 α1 , α 2 , , α n 线性相关(无关)
x = η + k1ξ1 + k 2ξ 2 + + k n rξ n r (k1 , k 2 , , k n r为任意常数)
~
即 非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个特解 +对应齐次线性方程组的通解
14
3.3 求解非齐次线性方程组 求解非齐次线性方程组——消元法 消元法
通过例题理解 例:求解线性方程组
11
3 求解非齐次线性方程组
3.1 非齐次线性方程组的讨论
非齐次线性方程组 Ax = b ( b ≠ 0 ) 解的情况有三种 (1)无解 (2)有唯一解 (3)有无穷多组解
线性方程组的解
线性方程组的解线性方程组是高中数学中的重要知识点，也是解决实际问题的有力工具。
在此，我将为大家介绍线性方程组的概念和解法，并辅以例题和实际应用，帮助大家更好地理解和运用线性方程组。
一、线性方程组的概念和解法1. 线性方程组的定义线性方程组是由一组线性方程所组成的方程体系，其形式可以表示为：\[\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_2 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m\end{cases}\]其中，\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)是未知数，\(a_{ij}\)和\(b_i\)是已知系数。
2. 解的定义解是指满足线性方程组中所有方程同时成立的数的组合。
3. 解的分类根据未知数的个数和方程组的性质，可以将线性方程组的解分为无解、有唯一解和有无穷多解三种情况。
- 无解：当线性方程组中的方程之间存在矛盾时，方程组无解。
- 有唯一解：当线性方程组中的方程数目等于未知数个数，并且方程组没有冗余方程时，方程组有唯一解。
- 有无穷多解：当线性方程组的方程个数小于未知数个数或者方程组中的方程可以通过其他方程表示时，方程组有无穷多解。
二、解线性方程组的方法1. 列主元的高斯消元法列主元的高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式。
\[\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & | & b_1 \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & | & b_2 \\ \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & | & b_m \end{bmatrix}\]（2）找到第一个主元（即第一行中不为零的元素），如果没有非零主元，则方程组无解。
第九章 有限元线性方程组的解法
i ≥ j)
（9-9）
讨论： 1 从式（9—9）看出，在按行列由Kij计算lij时，计算完lij后，Kij 就失去存在的作用，同时所用到lip、ljp和lpp排列顺序都在Kij之前，因 此可将分解后得到的元素lij存贮在Kij单元中，即原来存贮[K]的内存 单元，现在可用来存贮[L]矩阵，以减少对内存贮量的要求。 2 由于这里只存贮下三角形带内元素，所以在利用式（9—9） 由Kij计算lij时，求和号内各元素的列号应从第i行和第j列上第一个非 零元素所在列号（i1和j1）中最大的列号开始。 3 从式（9—8）看出，在分解[K]时，每行的第一个非零元素其 值保持不变，因此在分解总刚时，每行可从第二个非零元素的列号 开始，这样lij的最后递推公式为
2．检查哪些自由度已集成完毕，以集成完毕的自由度i作为主 元对其它行列的元素进行消元修正。 图（b）中，自由度4已等成完毕，是不活动变量，现在作为主 元，用
×
表示。主元行元素 × ，不再变化，对其它行列元素进行
消元修正。 自由度 2 扫描单元① 4 5 波前 Байду номын сангаас前三角形 （a） K × × P × × ×
δ i = ∆i −
讨论：
j =i +1
∑l
n
ji x j
lii
（9-13）
(i = n − 1, n − 2,L,1)
∆ 1．因为 δ i 与 ∆ i 相对应，而且一旦求出 δ i 后， i就失去作用，因
此把求得的 δ i 存贮在 ∆ i 的内存单元中，即存贮在结点荷载的内存 单元中。 2. lij必须是带内元素，因此它的列号i必不小于该行的第一个非 零元素的列号j1。
0 l ij = K ij −
线性方程组的解法线性方程组
线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。
解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。
本文将介绍线性方程组的解法和应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。
它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。
2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。
3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。
4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。
高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。
它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。
2. 计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。
三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。
它利用行列式的性质来求解未知数。
具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。
2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。
3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。
4. 将每个未知数的解依次计算出来。
克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
线性方程组知识点总结
线性方程组知识点总结一、引言线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的基本概念、求解方法和应用进行总结和介绍。
二、基本概念1. 线性方程组的定义：线性方程组是由若干个线性方程组成的方程集合，形式一般为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
2. 线性方程组的解：线性方程组的解是使得所有方程都成立的一组变量值，分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
3. 线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是由线性方程组中各个方程的系数构成的矩阵，记作A。
4. 线性方程组的增广矩阵：增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项列向量合并成一个矩阵，记作[A | b]。
三、求解方法1. 列主元消元法：利用行初等变换将线性方程组转化为简单形式，其中列主元消元法是一种常用的方法。
具体步骤包括选主元、消元和回代三个过程。
2. 矩阵法：利用矩阵的逆、转置等性质，可以通过求解矩阵方程来求解线性方程组。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，通过计算线性方程组的系数行列式和常数行列式的比值，可以得到方程组的解。
四、应用领域1. 工程学：线性方程组广泛应用于工程学中的结构分析、电路分析、力学运动等问题的求解。
2. 经济学：线性方程组在经济学中的需求分析、均衡分析、成本分析等方面有着重要应用。
3. 计算机科学：线性方程组在图像处理、数据分析、模型建立等计算机科学的领域中起着关键作用。
五、总结线性方程组是数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文总结了线性方程组的基本概念、求解方法和应用领域，希望能为读者提供一定的参考和启发。
建议读者在学习线性方程组时，注重理论与实践的结合，加强对各种方法的理解和运用能力，进一步提升问题求解的能力和水平。
线性方程组的解法详细教案(公开课)
线性方程组的解法详细教案(公开课)
前言
本文将详细介绍线性方程组的解法，希望通过此公开课，学生们能更好地掌握这一知识点。
一、什么是线性方程组
线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，其中每个线性方程的未知数个数相同。
例如：
2x + 3y = 7
4x - 5y = 1
这就是一个由两个线性方程组成的线性方程组，其未知数个数为2。
二、解线性方程组的方法
1.高斯消元法
高斯消元法是一种基本的线性代数算法，方程组的增广矩阵可
以通过行初等变换来进行化简，从而得到其阶梯形矩阵或行最简阶
梯形矩阵，进而求解线性方程组。
2.克拉默法则
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以求解规模较小的
线性方程组。
但由于其需要计算多个行列式，某些时候计算量较大，而且稳定性较差。
三、解线性方程组的步骤
1.对系数矩阵进行消元，通过行初等变换将其变为阶梯形矩阵
或行最简阶梯形矩阵。
2.根据阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵，列出新的线性方程组。
例如：
2x + 3y = 7
0x - 1y = -5
3.反推得到未知数的值，从下往上推导出每个未知数的解。
例如：
y = 5
2x + 3(5) = 7
2x = -8
x = -4
四、总结
通过以上的讲解，我们可以简单地总结如何解一个线性方程组：
1.通过高斯消元法或者克拉默法则将系数矩阵转化为阶梯形矩
阵或行最简阶梯形矩阵
2.由阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵列出新的线性方程组
3.通过反推的方式得出未知数的解
希望这份详细的教案可以帮助大家更好地掌握线性方程组的解法。
线性方程组的解结构
通过迭代更新雅可比矩阵和常数项，逐步逼近方程的解。
03
线性方程组的解的结构
解的唯一性
唯一性定理
对于给定的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该 方程组有唯一解。
唯一性条件
线性方程组有唯一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增广 矩阵的秩。
唯一性判定
可以通过计算系数矩阵的行列式值或比较系数矩阵与增广矩阵的 秩来判断线性方程组是否有唯一解。
03
其中 (a_1, a_2, ..., a_n) 是已知数，(x_1, x_2, ..., x_n) 是未知 数，b是常数项。
线性方程组解的存在性
无解
01
当方程组的系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，方程组无解。
有唯一解
02
当方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有唯一
解。
有无穷多解
03
当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组有无数多个解。
VS
在物理学中，线性方程组还可以用来 描述波动现象、热传导、量子力学等 领域的问题。通过建立物理模型，将 实际问题转化为线性方程组，可以更 好地理解和解决物理问题。
在经济中的应用
在经济学中，线性方程组也被广泛应用，用 于描述各种经济现象和问题。例如，在微观 经济学中，线性方程组可以用来描述消费者 行为和生产者行为；在宏观经济学中，线性 方程组可以用来描述国民收入、货币供应量 等经济指标的变化规律。
在经济分析中，线性方程组还可以用来解决 最优决策、最优化资源配置等问题。通过建 立经济模型，将实际问题转化为线性方程组
，可以更好地理解和解决经济问题。
05
线性方程组解的数值稳定 性
解的误差分析
舍入误差
人教版统编新教材初中数学九年级下册目录
人教版统编新教材初中数学九年级下册目
录
本文档提供了人教版统编材初中数学九年级下册的目录。
以下是目录的简要概述：
1. 第一单元：函数与方程
- 第一章：一次函数
- 第二章：二次函数
- 第三章：一元一次方程与一次不等式
- 第四章：一元二次方程与一元二次不等式
- 第五章：图象与函数的关系
2. 第二单元：集合与函数
- 第六章：集合的基本关系与运算
- 第七章：集合与实际问题
- 第八章：函数简介与函数的运算
3. 第三单元：线性方程组与矩阵
- 第九章：线性方程组的解
- 第十章：线性方程组应用
- 第十一章：矩阵的基本概念
- 第十二章：矩阵的运算
4. 第四单元：函数与图像
- 第十三章：反函数与一对一映射- 第十四章：函数及其变换
- 第十五章：函数的综合运用
5. 第五单元：统计与概率
- 第十六章：统计量的分析与运用- 第十七章：概率的初步研究
- 第十八章：统计调查与统计图编制
6. 第六单元：三角函数
- 第十九章：三角函数
- 第二十章：解三角形
- 第二十一章：三角函数的应用
以上是初中数学九年级下册的目录内容。
文档提供了课程的整体结构和各个单元的主题概述，供教师、学生和家长参考使用。
同济大学线性代数第六版第九章线性方程组的特解与通解
同济大学线性代数第六版第九章线性方程组的特解与通解在线性代数中，线性方程组是一个重要的概念。
解一个线性方程组意味着找到满足方程组中所有方程的解集。
在这个过程中，我们可以遇到两种类型的解：特解和通解。
特解是满足方程组的一个特定解，而通解是方程组所有解的集合。
本文将探讨同济大学线性代数第六版第九章中关于线性方程组特解和通解的相关知识。
一、线性方程组的特解特解是一个满足线性方程组的具体解。
对于一个线性方程组，我们可以通过代入法或高斯消元法来求解特解。
通过代入法，我们将找到一个满足方程组的特定解。
通过高斯消元法，我们可以将方程组化简为梯形矩阵或行阶梯矩阵，并从中找到特解。
例如，考虑以下线性方程组：ｘ₁ + 2ｘ₂ + ｘ₃ = 32ｘ₁ + 4ｘ₂ - ｘ₃ = 13ｘ₁ + 6ｘ₂ - 2ｘ₃ = 4我们可以使用高斯消元法将其转化为行阶梯矩阵：1 2 1 | 30 0 -3 | -50 0 0 | 0从中我们可以看出，ｘ₃是一个自由变量，可以取任意值。
我们可以令ｘ₃＝t，其中t为任意实数。
然后我们可以通过回代法求解得到特解：ｘ₃ = tｘ₂ = 2 - 1/2tｘ₁ = 3 - 2t + 1/2t这就是我们通过高斯消元法得到的线性方程组的特解。
二、线性方程组的通解通解是线性方程组所有解的集合。
通解由特解和齐次方程组的解构成。
齐次方程组是指线性方程组的右侧项均为零的方程组。
对于一个包含ｘ个未知数和ｎ个方程的线性方程组，如果ｒ<ｎ，即方程的个数小于未知数的个数，那么这个方程组必然有无穷多解。
通解的形式可以写作：Ｘ = Ｘ₀ + t₁Ｘ₁ + t₂Ｘ₂ + ... + ttＸt其中，Ｘ₀是一个特解，ｔ₁、ｔ₂等是自由变量，而Ｘ₁、Ｘ₂等是齐次方程组的解。
通过这个通解，我们可以得到方程组的所有解。
例如，考虑以下线性方程组：ｘ₁ + ｘ₂ + ｘ₃ = 32ｘ₁ + 4ｘ₂ - ｘ₃ = 1我们可以使用高斯消元法将其转化为行阶梯矩阵：1 1 1 | 30 2 -3 | -5从中我们可以看出，这个方程组有无穷多解，因为方程个数少于未知数个数。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用一、线性方程组的基本概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程形式。
一般而言，线性方程组可以表示为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数；a₁, a₂, ..., aₙ为系数；b₁, b₂, ..., bₙ为常数。
二、线性方程组的解法1. 消元法消元法是求解线性方程组的常见方法之一。
通过逐步消去未知数，将方程组转化为初等行列式或简化行阶梯形式，进而求得解。
2. 代入法代入法是用已解出的未知数表达式代入其他方程，从而逐步求解出所有未知数的方法。
3. 线性方程组矩阵表示与矩阵求解法将线性方程组表示为矩阵形式，通过矩阵的运算解出未知数。
三、线性方程组的应用线性方程组的解法与应用广泛存在于数学和实际生活中，例如：1. 工程问题中的应用：线性方程组可以用于解决关于电路、物理学、力学等工程问题，如平衡、流体力学和排队论等。
2. 经济学中的应用：线性方程组可以应用于经济学的模型建立和预测，如供求关系、市场均衡和成本效益分析等。
3. 物理学中的应用：线性方程组可用于描述物理学中的线性系统，如力学中的受力平衡、动力学中的运动情况等。
4. 优化问题中的应用：线性方程组可以用于求解优化问题，如线性规划问题和最小二乘法等。
5. 统计学中的应用：线性方程组可以应用于统计学的回归分析中，通过拟合直线或曲线，找出变量之间的关系。
四、总结线性方程组是数学中重要的概念，其解法决定了方程组的可行解。
消元法、代入法和矩阵求解法是常见的线性方程组解法，通过这些方法可以求解各种实际问题。
线性方程组的应用广泛涉及到工程学、经济学、物理学、优化问题和统计学等领域，为求解实际问题提供了数学工具。
通过学习和理解线性方程组的解法与应用，我们可以更好地理解线性方程组的意义，并将其应用于解决实际问题，推动科学技术和社会经济的发展。
初中知识点整理——线性方程组篇
初中知识点整理——线性方程组篇线性方程组是初中数学中的重要内容，是代数学习的基础和扩展。
在这篇文章中，我将为您详细介绍线性方程组的定义、解法和应用。
一、线性方程组的定义线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
每个线性方程都可以写为形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的形式，其中a1, a2, ..., an为常数，x1, x2, ..., xn为变量。
而b为方程的常数项。
二、线性方程组的解法1. 图解法当线性方程组只有两个变量时，可以通过图解法来求解。
将每个方程转化为直线的形式，并找出它们的交点，该交点即为线性方程组的解。
若直线重合，则方程组有无数个解；若直线平行，则方程组无解。
2. 代入法代入法是线性方程组常用的解法之一，适用于任意个数的变量。
步骤如下：（1）从方程组中选择一个方程，将其中的一个变量表示为其他变量的函数。
（2）将该函数代入其它方程中去，从而得到一个只含有一个变量的方程。
（3）解这个新的方程，得到一个变量的值。
（4）将该变量的值代入刚才选定的方程中，求出一个变量的值。
（5）按照这种方法继续，直到每个变量的值都求出来。
3. 消元法消元法是线性方程组解法中常用的方法，可以通过消元将线性方程组转化为简化的形式，进而得到解。
步骤如下：（1）将线性方程组排列成增广矩阵的形式，其中每行代表一个方程。
（2）利用初等行变换将增广矩阵化为行最简形。
（3）从化简后的增广矩阵中读出方程组的解。
4. 矩阵法线性方程组可以通过矩阵的形式进行求解，矩阵法更适用于高阶的线性方程组。
将方程组表示为矩阵形式AX = B，其中A为系数矩阵，X为变量矩阵，B为常数项矩阵。
通过矩阵的逆矩阵或高斯消元法求解出X的值。
三、线性方程组的应用线性方程组在实际生活和工作中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。
1. 比例分配假设投资人A和B共同投资了一个项目，A投资的金额为X，B投资的金额为Y。
根据投资人的协议，A和B的总投资金额为100万元。
线性代数线性方程组解的结构ppt课件
k1
k2
设
ξ
=
kr kr +1
是方程组的任一解.
kr+2
则
kn
y1 = c1,(r+1) yr+1 + + c1n yn
y2
=
c y 2,(r+1) r+1
+
+ c2n yn
(*)
yr = cr,(r+1) yr+1 + + crn yn
k1 = c k 1,(r+1) r+1 + k2 = c k 2,(r+1) r+1 + kr = c k r,(r+1) r+1 +
定义3 设x1, x2, , xs 都是AX=o的解,并且 (1) x1, x2, , xs线性无关； (2) AX=o的任一个解向量都能由x1, x2, , xs线性表示，
则称x1, x2, , xs为线性方程组AX=o的一个基础解系.
通解（方程组的全部解）可以表示为：k1x1 + k2x2 + + ksxs
0 0
c1nkn
c2
n
kn
+
crn kn 0
0
kn
c1r+1
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
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消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
线性方程组知识点
线性方程组知识点线性方程组是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将讨论线性方程组的定义、解的存在唯一性、解的表示形式及相关概念。
同时，还将介绍解线性方程组的常见方法。
一、线性方程组的定义线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合。
一般地，一个线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为已知系数，b₁, b₂, ..., bₙ为常数项。
二、解的存在唯一性线性方程组的解要求每个方程都被满足。
当线性方程组的未知数个数大于方程个数（即方程组行数小于列数）时，可能存在无穷多组解；当未知数个数小于方程个数（即方程组行数大于列数）时，可能无解。
对于未知数个数等于方程个数的情况，即方程组的系数矩阵的秩等于方程组的行数，解的存在唯一。
此时，方程组的解可以通过高斯消元法或克拉默法则来求解。
三、解的表示形式线性方程组的解可以分为唯一解、无穷解和无解三种情况。
1. 唯一解：在方程组的解是唯一的情况下，解的表示形式可以写为一个向量，其中向量的每个分量对应一个未知数的值。
2. 无穷解：在方程组的解不唯一但存在无穷个解的情况下，解的表示形式可以写为一个参数形式的向量，其中向量的每个分量都包含了一个参数，通过参数的取值可以得到方程组的不同解。
3. 无解：在方程组的解不存在的情况下，方程组被称为矛盾方程组。
四、解线性方程组的常见方法解线性方程组的常见方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵法。
1. 高斯消元法：将线性方程组表示为增广矩阵，通过初等行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。
2. 克拉默法则：通过计算方程组的系数矩阵的行列式及其部分行列式，从而求解出每个未知数的值。
线性方程组的解法
线性方程组的解法1. 背景介绍线性方程组是数学中常见的一类方程组，由一系列线性方程组成。
求解线性方程组的目标是找到满足所有方程的解。
线性方程组的解法有多种，本文将介绍其中常用的几种方法。
2. 列主元消元法列主元消元法是解线性方程组的一种常用方法。
该方法基于矩阵的行变换和列变换，通过消元得到一种简化的矩阵形式，从而求解方程组的解。
使用列主元消元法解线性方程组的步骤如下：- 将系数矩阵按列进行排序，选择绝对值最大的列作为主元列；- 交换主元所在列和第一列，同时交换方程组中的等式；- 利用第一个方程进行消元，将主元所在列下方的元素都变为0；- 重复以上步骤，直到所有主元都变成1。
列主元消元法的优点是解法简单直观，但在实际应用中可能会遇到主元为0或接近0的情况，会导致计算结果不够精确。
3. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法是另一种常见的解线性方程组的方法。
该方法通过矩阵的初等行变换，将方程组化为其简化形式，从而求解解的值。
使用高斯-约旦消元法解线性方程组的步骤如下：- 将系数矩阵与等式向量合并，形成增广矩阵；- 从第一行开始，找到第一个非零元素，将其变为1，同时该列的其他元素变为0；- 重复以上步骤，直到所有非零元素都变为1且其他元素都为0。
高斯-约旦消元法的优点是消元过程更为精确，计算结果更准确。
但该方法可能会遇到矩阵行或列的交换问题，需要额外的步骤进行处理。
4. 矩阵的逆和逆矩阵法对于特定类型的线性方程组，可以使用矩阵的逆和逆矩阵法来求解。
逆矩阵是方阵的一种特殊矩阵，具有一些特殊的性质，可以用于求解线性方程组。
利用矩阵的逆和逆矩阵法求解线性方程组的步骤如下：- 对系数矩阵进行求逆操作，得到逆矩阵；- 将逆矩阵与等式向量相乘，得到解向量。
矩阵的逆和逆矩阵法在理论上是一种高效且准确的解法，但实际应用中需要先判断矩阵是否可逆，且计算逆矩阵的过程可能较为复杂。
5. 小结本文介绍了线性方程组的三种常用解法：列主元消元法、高斯-约旦消元法和矩阵的逆和逆矩阵法。
线性代数 线性方程组
变换 3: 第i 个方程 乘以 r 0
…… … … … … …
ai1 x1+ai2 x2+… +ain xn = bi …… … … … … …
aj1 x1+aj2 x2+…+ajn xn = bj …… … … … … …
第 i 个方程乘以 r−1 即返回
…… … … … … …
rai1 x1+rai2 x2+… +rain xn = rbi …… … … … … …
同解。
行阶梯形
y z =3
0=0
x = 2+z
y = 3+z
1 0 1 2
0 1 1 3 0000
行最简形
x z = 2 y z = 3
0=0
2. 行最简形矩阵:
• 首先是行阶梯形矩阵； • 其次首元所在的列除了这个首1 外其余元素都是0.
利用行最简形增广矩阵直接就可以写出解.
增广矩阵
初等行变换
行阶梯形
得到一个与原方程组有相同解集的新方程组, 它更容 易判别是否有解并方便求解. 这一过程称为等价变换 或同解变换.
消元法：
• 消元
• 回代
例5
2x y z 3
求解
x y
2
解
x y z 6
xy 2
①
②
2x y z 3
x y z 6
xy 2
y z 1 ③ +②×(- 2)
2 y z 4
② +①×(- 2) ③ +①×(- 1)
严格三角形方程组
xy 2
Байду номын сангаас
y z 1
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域，例如工程、经济学和物理学等。
在本文中，将介绍线性方程组的解法和其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和基本概念线性方程组由一组线性方程组成，每个方程都是变量的线性组合。
一般形式可表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a、x和b分别表示系数矩阵、变量矩阵和常数矩阵。
基于这个定义，我们可以通过不同的方法来解决线性方程组。
二、线性方程组的解法1. 列主元消元法列主元消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为上三角矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零列主元素，通常为当前行中绝对值最大的元素。
（2）将选中的列主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为上三角矩阵。
2. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是另一种求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为行阶梯矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零主元素，通常为当前列中绝对值最大的元素。
（2）将选中的主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为行阶梯矩阵。
3. 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种求解线性方程组的较为高效的方法。
它通过计算系数矩阵的逆矩阵，将方程组转化为逆矩阵与常数矩阵的乘积，从而得到方程组的解。
然而，该方法要求系数矩阵可逆，即行列式不等于零。
三、线性方程组在实际问题中的应用线性方程组广泛应用于各个领域，主要体现在以下方面：1. 工程领域在线性方程组的求解过程中，常常需要对方程组进行建模。
例如，在工程领域中，可以通过建立线性方程组来描述和解决各种物理力学问题，如结构力学、电路分析和信号处理等。
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②9 3 0 2 7 2 13 2
②
2 x1 2 x 2 x3 6 9 3 x 2 x3 0 2 13 x3 13 2
③
2 2 1 6 9 0 3 0 2 13 0 13 0 2
其矩阵形式为 Ax b
其中
a 11 a A 21 ... a m1
a12 a 22 ... am2
... a1n x1 b1 ... a 2 n x2 b2 , x , b ... ... ... ... b ... a mn xn m
对本例，我们还可以利用线性方程组的初等行变换继续 化简线性方程组④:
8 2 x 1 2 x 2 3x2 9 x3 2
⑤
2 0 8 2 0 3 0 9 0 0 1 2
⑤
8 2 x 2 x 2 x2 3 x3 2
设r（A），则在A中应有一个n阶非零式Dn。根据克莱姆 法则，Dn所对应的n个方程 只要零解，与假设矛盾，故r（A）< n。 充分性，设r（A）=s n，则A的行阶梯形矩阵只含有s个 非零行，从而知其有n— s个自由未知量（即可取任意实数的 未知量）任取一个自由未知量为1，其余自由未知量为0，即 可得到方程组的一个非零解。 定理2 设 A (aij ) mn 元非齐次线性方程组Ax=b有解的充要 ~ A 条件是系数矩阵A是秩等于增广矩阵 =(A b)的秩，即 ~）。 r（A）=r（ A ~）,则 ~ 证明 必要性。设方程组Ax=b有解，但r(A)<r( A A 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行是矛盾方程，这与方程组 ~）。 有解矛盾，因此r（A）=r（ A
~ ⑴r(A)=r( A )=n当且仅当Ax=b有唯一解； ~ ⑵r(A)=r( A )<n当且仅当Ax=b有无穷多解； ~ ⑶r(A) r( A )当且仅当Ax=b无解； ⑷r（A）=n当且仅当Ax=0只有零解； ⑸r（A）<n当且仅当Ax=0有非零解。 ~ A 对非奇次个方程组，将增广矩阵 化为行阶梯形矩阵，
到 x1 1 ，因此，所求方程组的解为 x1 2 ， x2 3 ， x3 2
通常把方程①—④称为消元方程，矩阵 ④ 行阶梯形矩 阵, 与之对应的方程组④则称为行阶梯形方程组。 从上述解题过程可以看出，用消元法求解线性方程组的具体 做法就是对方程组反复实施以下三种： ⑴交换某两个方程的位置； ⑵用一个非零数乘某一个方程的两边； ⑶将一个方程的倍数加到另一个方程上去。
③
2 x1 2 x 2 x 3 6 9 3 x 2 x3 0 2 x3 2
④
2 2 1 6 9 0 3 0 ④ 2 0 0 1 2
从最后一个方程得到 x2 2，利用代入第二个方程可
得到 x2 3 ，可将 x1 2 与 x2 3 一起代入第一个方程得
解 对增广矩阵（A b）施行初等行变换。
5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 2 1 3 3 0 7 2 4 4 A b 3 8 1 1 1 0 7 2 4 4 1 9 7 7 7 0 14 4 8 8
1 0 0 0 1 2 1 2 0 p2 0 0 3 1 1 1 2 4 3 t 5
x1 2 x3 5 3x4 0 , x2 2 x3 4 3x4 0
即
x 1 2 x3 5 3x 4 （x3,x4为任意实数） x 2 2 x3 4 3x 4
令x3=c1，x4=c2，将其写成向量形式为
x1 2 53 x2 2 4 3 c c x 1 1 2 0 3 0 1 x 4
因为r（A b）=r（A）=2<4,故方程组有无穷多解，利用上 面最后一个矩阵进行回代得到
1 0 0 0
0 3 7 13 7 13 7 1 2 7 4 7 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0
该矩阵对应的方程组为
13 3 13 x x 1 7 7 3 7 x2 4 2 4 x 2 x 3 x 4 7 7 7
（c1.，c2为任意实数）
它表达了方程组的全部解
例2 解线性方程组
x1 5 x 2 x3 x 4 1 x 2 x x 3x 3 1 2 3 4 3 x1 8 x 2 x3 x 4 1 x1 9 x 2 3 x3 7 x 4 7
x 1 2 x 2 2 x3 x 4 0 求解奇次线性方程组 2 x1 x2 2 x3 2 x 4 0 x x 4 x 3x 0 2 3 4 1
2 1 2 1 1 2 1 2 r2 2 r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 r3 r1 1 1 4 3 0 3 6 4
2 x 1 2 x 2 x3 6 x1 2 x 2 4 x3 3 5 x 7 x x 28 2 3 1
①
2 2 1 6 1 2 4 3 5 7 1 28
①
2 x 1 2 x 2 x 3 6 9 3 x 2 x3 0 2 7 2 x 2 x3 13 2
便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形矩阵， ~ ）= 便可直接写出其全部解。其中要注意，当r（A）=r（A ~ s<n时， A 的行阶梯形矩阵中含有s个非零行，把这s行的第一 个非零元所对应的未知量作为非自由量，其余n—s个作为自 由未知量。 对奇次线性方程组，将其系数矩阵化为行最简形矩阵。 便可直接写出其余全部解。
第九章
线性方程组
第9章 线性方程组
ξ9.1消 元 法 引例 用消元法求解线性方程组：
2 x 1 2 x 2 x3 6 x1 2 x 2 4 x3 3 5 x 7 x x 28 2 3 1
解 为观察消元过程，我们将消元过程中每个步骤的 方程组与其对应的矩阵一并列出；
取x3=C1,X4=C2(其中C1,C2为任意常数)，则方程组的全 部解为
x1 x 2 x 3 x4 13 3 13 c1 c 2 7 7 7 4 2 4 c1 c 2 7 7 7 c1 c2
例3 讨论线性方程组
x1 x 2 2 x3 3x 4 1 x 3x 6 x x 3 1 2 3 4 3x1 x 2 px3 15x 4 3 x1 5 x 2 10x3 12x 4 t
a 11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 , .......... .......... .......... ..... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
例1
解 对系数矩阵A施行初等变换
1 2 2 1 1 0 2 5 3 r3 r2 r1 2 r2 0 1 2 4 3 0 1 2 43 r2 （3） 0 0 0 0 0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 0 7 2 4 4 0 1 2 7 4 7 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⑦
1 x1 x2 3 x3 2
⑧
⑧
从方程组⑧,我们可以一目了然地看出x1 1, x2 3, x3 2 通常把过程 称为回代方程。 从引例我们可得到如下启示：用消元法解三元线性方程 组的过程,相当于对该方程组的系数与右端常数项按对应位置 构成的矩阵作初等行变换。对一般线性方程组是否有同样的 结论？答案是肯定的，以下就是一般线性方程组求解的问题。 设有线性方程组
~ 称矩阵（A b）（有时记为A ）为线性方程组（1.1）
的增广矩阵。 当 时，线性方程组（1.1）称为奇次的，否 则称为非齐次的。显然，奇次线性方程组的矩阵形式为
Ax 0
定理1 设 A (aij ) mn 元奇次线性方程组 Ax 0 有非零解的 充要条件是系数矩阵A的秩 A (aij ) mn 证明 必要性，设方程组 Ax 0 有非零解，
2 x1 2 x2 3 x3 2
⑥
2 0 0
2 0 0
1 0 0
2 1 0
0 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
0 0 1
8 3 2
2 3 2
1 3 2
⑥
⑦
~ A
~ 充分性，设r（A）=r（ A）=s（s n），则的行阶梯形矩 阵中含有s个非零行，把这s行的第一个非零元所对应的未知量 作为非自由量，其余n—s个作为自由未知量，并令这n—s个自 由未知量全为零，即可得到方程组的一个解。 注：定理2的证明实际上给出了求解线性方程组（1.1）的 方法。此外，若记 =（A b），则上述定理的结果可简要总结 如下：
以上这三种变换称为线性方程组的初等变换。而消元法 的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为梯形方程 组。显然这个阶梯形方程组与原线性方程组同解，解这个阶 梯形方程组得原方程组的解。如果用矩阵表示其系数及常数 项，则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩 阵化为行阶梯形矩阵的过程。 将一个方程组化为星界梯形方程组的步骤并不是唯一的, 所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的，特别 地，我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为行最简形 方程组，从而使我们能直接“读”出该线性方程组的解。