几何光学
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思考 •介质中的光频是否等于真空中的光频?
在线性介质的光场中，光的扰动频率仅由光源决定，它 与传播的介质无关。同一谱线的光波在不同介质中虽然 有不同速度，但其频率是不会改变的，均同于真空中的 C f 光频，即
0 0 f0 f n 或 n
n > 1，介质中的波长变短了！
三.费马原理的应用 1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空 或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。 2. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
15
16
3. 由费马原理导出光的反射定律 AB的光程为
n1
i1 i1
i2
n2
介绍
*漫射：当界面粗糙时,各入射点处法线不平行,即使入 射光是平行的,反射光和折射光也向各方向分散开—漫 反射或漫折射。
5
三.折射率
Q
QQ 1 t , OO 2t
QQ OO sin i1 , sin i2 OQ OQ sin i1 QQ 1 即 sin i2 OO 2
光程[l]取极小值
17
z 0
有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) y
2 2 1
n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y2 2 x x2 ( x x2 ) y2
2 2
x x1 ( x x1 ) y
2 2 1
sin i
sin i
7
• 色散：一种介质对不同波长的光具有不同的折射率。
1. 现象：
一束白光经界面折射，就被分为 不同颜色的光束。
棱镜分光是先后两次折射的色散 效应。 大气中的虹霓是阳光经大量水滴的折射和反射而产生的 色散现象。 水晶的色散明显强于玻璃或有机玻璃。
8
四.光的可逆性 由于折射定律的对称性,可得出光线传播的可逆性。 表明：当光线沿与原来方向相反的方向传播时，其路径 不变。 注意：在不考虑介质吸收引起损耗时，波动现象就是一 个可逆过程。 五. 临界角 当光从光密( n)射到光疏(n)介质时,一般情况下,折射角 大于入射角,当入射角为某一ic 时,折射角为 / 2 ,折射线 沿界面传播。 若入射角再增大，就不再有折射线了，此 n 时光线将全部返回光密介质，且反射角等 ic arcsin n 于入射角—全反射
2 2 [l ] n1 AM n2 M B n1 ( x x1 ) 2 y1 z 2 n1 ( x x2 ) 2 y2 z 2
光程取极值
[l ] 1 x n1 ( x x1 ) ( x x1 ) 2 y1 z 2
2
n1 ( x x2 ) ( x x2 ) 2 y 2 z 2
M
A1 A2
F
P1
P2
Q1 Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线 抛物线性质
N
P F P Q1 P2 F P2Q2 1 1 则 A1P P F A2 P2 P2 F 1 1
即
[ A1P F ] [ A2 P2 F ] 1
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
S 是一个焦点
n2 偏心率e 1 n1
作业：P56～57 1.1、1.3 、1.4
25
1.3 成像的基本概念
一.同心光束和像散光束 1. 同心光束：一束光线本身或其延长线交于一点。
会பைடு நூலகம்聚 光 束 发 散 光 束
特殊：平行光束——会聚于无穷远
注意 同心光束的三要素:中心、主光线、立体角
26
2. 像散光束：各条光线彼此既不平行又不完全相交于 一点。
i i
4. 由费马原理导出折射定律
P( x, y, 0) A( x1 , 0, z1 ) B( x2 , 0, z2 )
[ APB] n1l1 n2l2
l1 z12 ( x x1 )2 y 2 l2 z2 2 ( x x2 )2 y 2
18
由光程取极值:
虚物成虚像
28
三.理想光学系统
物像之间的共轭
理想光学系统——能实现同心光束变换的光学系统
1. 性质:
(1) 物空间一个点对应像空间的一个点; (2) 物空间的一条直线对应于像空间的一条直线; (3) 物空间的一个平面对应于像空间的一个平面。 点—点 线—线 面—面 共轭性
四. 理想光学系统物像之间的等光程性 可用费马原理证明
x
n1
P
O
M ( x, y)
P
z
s
z
s
n2
这样，得到的是一个四次曲线方程，将此曲线绕光轴旋 转而形成的曲面称为笛卡儿卵形面，它就是 PP 等光程 面。此面只是轴上物点的等光程面。
31
1.4 光在平面上的反射和折射
一.光在平面上的反射 同心光束经平面反射后仍然保持为同心光束,它只是改 变了光束前进的方向,所以它能生成物点的像——平面 镜是最简单的理想光学系统.
24
S 是一个焦点
z
P
A M
椭圆的几何参量：
Q
O
Q
O N
中心 [n2 d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b ( n1 n2 ) /(n1 n2 )d
2c 2 a 2 b 2 2n2 d /(n1 n2 )
s
C
n1
n2
N
S
S
A
B
S
S
32
虚光程: AS 及BS 是实际光线的延长线,相应的光程 称为虚光程 [ SAS ] n( SA AS ) 0 [ SBS ] n( SB BS ) 0 表明：物像之间各光线的光程相等,反射平面是等光程面
n1
i1
Q
O
n2
o
i2
平行光的折射
n
c
1 n21 2 光在真空中的传播速度为c c c 1 n2 n1 n2 n21 1 2 2 n1
折射率较大的介质称为光密介质， 折射率较小的介质称为光疏介质。
6
按照波动光学理论，有
n f00 / f , c f 00
[l ] ndl 0
A
B
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
13
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值、恒定 和拐点
14
变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时， 函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶 微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点A B，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一 般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时 光程的改变一般称为变分。
x2 x sin i2 l2
即n1 sin i1 n2 sin i2
19
四.梯度折射率介质中光线的弯曲
即为折射率随不同位置呈连续变化的介质
20
利用梯度折射率介质中光线的弯曲,可以表解释蜃景的 现象
21
22
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后， 会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。 分析：
2
2
称为阶跃型光纤的数值孔径
10
1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理 一.光程 在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l 与该介质的折射率 n 的乘积： [l ] nl c [l ] l [l ] n l t c c 1. 直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一 定几何路程所需要的时间。 [l ] nl t [l ] ct c c 2. 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
二. 物和像 物空间和像空间
成像的实质——将入射同心光束转化为出射同心光束 若干反射面、折射面——光学系统——系统 实像：出射同心会聚光束的顶点 虚像：出射同心发散光束的顶点 实物点：入射同心发散光束的顶点 虚物点：入射同心会聚光束的顶点
27
同心光束通过光学系统后生成点像
实物成实像
实物成虚像
虚物成实像
29
五.等光程面 物像对应只需单个反射面或折射面 该面＝物像共轭点的等光程面
x
n1
P
O
M ( x, y)
P
z
s
z
s
n2
30
n1MP n2 MP n1s n2 s n1 ( s z ) 2 x 2 n2 ( s z ) 2 x 2 n1s n2 s ( s z ) 2 x 2 ) n1 ( s ( s z ) 2 x 2 ) 0 或 n2 ( s
P( x, y)
s
C
n1
n2
n1SP n2 PQ n1SO
N
上式化为 n1 ( x 2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d n2 d 2 ) z2 n1 n2 1 2 2 2 2 d n1 /(n1 n2 ) (n1 n2 )d /(n1 n2 ) (x
(n1l1 n2l2 ) y
(n1l1 n2 l2 ) 0 0 x
(n1l1 n2l2 ) ny n y 1 2 0 y 0 y l1 l2 (n1l1 n2 l2 ) x x1 x2 x n1 n2 0 x l1 l2
x x1 sin i1 l1
1
1.1 几何光学的基本定律
一. 光源和光线
1. 光源
光源—任何发光物体：太阳、烛焰、钨丝白炽灯、日 光灯、高压水银荧光灯等 点光源—可看成几何上的点，只有空间位置无体积的 光源 2. 光线和光束 光线—光能传播方向的几何线 光束—有一定几何关系的一些光线的集合
2
几何光学：在光学研究中，当0时，可用几何方 法讨论成像规律，使问题大大简化 3. 光波波面
23
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ， 在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面 波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z
P
A M
Q
O
Q
O N
解：S 发出的球面波经 面折射后 成平面波，各折射光线路径是等 光程。
2
0
[l ] n1 z n1 z 0 2 2 z ( x x1 ) 2 y1 z 2 ( x x2 ) 2 y 2 z 2 z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M ( x,0, z ) M ( x,0,0)
AM MB AM M B
9
应 用 利用全反射原理，可制成光学元件——光纤
n2
0
n0
1
n1
利用高折射率材料制成芯线，外 包一层低折射率的皮，由于光线 的全反射，光线在芯内是锯齿形 折线的径迹。
单根阶跃型光纤只能传光而不能传图像，将众多光纤 集束为光缆便可传图像。
N . A. n0 sin 0 n1 n2
11
◆ 分区均匀介质:
[l ] 1 k [l ] ni li , t ni li c c i 1 i 1
k
◆ 连续介质:
[l ] ndl
(l )
12
二.费马原理的表述及讨论 空间中A、B两点间的实际光线路 径是所经历的光程为极值的路径 极值：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时， 相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶 或二阶以上的无限小量。 换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何 其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或 恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
3. 光的折射反射定律：
(1) 光的反射定律：反射线位于入射面内，反射线和 入射线分居法线两侧，反射角等于入射角，即
i1 i1
4
(2) 光的折射定律：折射线位于入射面内,折射线与入 射线分居法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之 比为一与入射角无关的常数，即
sin i1 n2 n21 或 n1 sin i1 n2 sin i2 sin i2 n1
光振动—用电磁波中电场强度的变化表示 波面：在任意时刻,振动位相值相同的各点所构成 的曲面
波面对应的法线就是光束
3
二.几何光学的基本定律 1. 光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播
2. 光的独立传播定律：两束光在传播途中相遇时互不 干扰，即每一束光的传播方向及其他性质(频率、波 长、偏振状态)都不因另一束光线的存在而发生改变
在线性介质的光场中，光的扰动频率仅由光源决定，它 与传播的介质无关。同一谱线的光波在不同介质中虽然 有不同速度，但其频率是不会改变的，均同于真空中的 C f 光频，即
0 0 f0 f n 或 n
n > 1，介质中的波长变短了！
三.费马原理的应用 1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空 或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。 2. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
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3. 由费马原理导出光的反射定律 AB的光程为
n1
i1 i1
i2
n2
介绍
*漫射：当界面粗糙时,各入射点处法线不平行,即使入 射光是平行的,反射光和折射光也向各方向分散开—漫 反射或漫折射。
5
三.折射率
Q
QQ 1 t , OO 2t
QQ OO sin i1 , sin i2 OQ OQ sin i1 QQ 1 即 sin i2 OO 2
光程[l]取极小值
17
z 0
有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) y
2 2 1
n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y2 2 x x2 ( x x2 ) y2
2 2
x x1 ( x x1 ) y
2 2 1
sin i
sin i
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• 色散：一种介质对不同波长的光具有不同的折射率。
1. 现象：
一束白光经界面折射，就被分为 不同颜色的光束。
棱镜分光是先后两次折射的色散 效应。 大气中的虹霓是阳光经大量水滴的折射和反射而产生的 色散现象。 水晶的色散明显强于玻璃或有机玻璃。
8
四.光的可逆性 由于折射定律的对称性,可得出光线传播的可逆性。 表明：当光线沿与原来方向相反的方向传播时，其路径 不变。 注意：在不考虑介质吸收引起损耗时，波动现象就是一 个可逆过程。 五. 临界角 当光从光密( n)射到光疏(n)介质时,一般情况下,折射角 大于入射角,当入射角为某一ic 时,折射角为 / 2 ,折射线 沿界面传播。 若入射角再增大，就不再有折射线了，此 n 时光线将全部返回光密介质，且反射角等 ic arcsin n 于入射角—全反射
2 2 [l ] n1 AM n2 M B n1 ( x x1 ) 2 y1 z 2 n1 ( x x2 ) 2 y2 z 2
光程取极值
[l ] 1 x n1 ( x x1 ) ( x x1 ) 2 y1 z 2
2
n1 ( x x2 ) ( x x2 ) 2 y 2 z 2
M
A1 A2
F
P1
P2
Q1 Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线 抛物线性质
N
P F P Q1 P2 F P2Q2 1 1 则 A1P P F A2 P2 P2 F 1 1
即
[ A1P F ] [ A2 P2 F ] 1
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
S 是一个焦点
n2 偏心率e 1 n1
作业：P56～57 1.1、1.3 、1.4
25
1.3 成像的基本概念
一.同心光束和像散光束 1. 同心光束：一束光线本身或其延长线交于一点。
会பைடு நூலகம்聚 光 束 发 散 光 束
特殊：平行光束——会聚于无穷远
注意 同心光束的三要素:中心、主光线、立体角
26
2. 像散光束：各条光线彼此既不平行又不完全相交于 一点。
i i
4. 由费马原理导出折射定律
P( x, y, 0) A( x1 , 0, z1 ) B( x2 , 0, z2 )
[ APB] n1l1 n2l2
l1 z12 ( x x1 )2 y 2 l2 z2 2 ( x x2 )2 y 2
18
由光程取极值:
虚物成虚像
28
三.理想光学系统
物像之间的共轭
理想光学系统——能实现同心光束变换的光学系统
1. 性质:
(1) 物空间一个点对应像空间的一个点; (2) 物空间的一条直线对应于像空间的一条直线; (3) 物空间的一个平面对应于像空间的一个平面。 点—点 线—线 面—面 共轭性
四. 理想光学系统物像之间的等光程性 可用费马原理证明
x
n1
P
O
M ( x, y)
P
z
s
z
s
n2
这样，得到的是一个四次曲线方程，将此曲线绕光轴旋 转而形成的曲面称为笛卡儿卵形面，它就是 PP 等光程 面。此面只是轴上物点的等光程面。
31
1.4 光在平面上的反射和折射
一.光在平面上的反射 同心光束经平面反射后仍然保持为同心光束,它只是改 变了光束前进的方向,所以它能生成物点的像——平面 镜是最简单的理想光学系统.
24
S 是一个焦点
z
P
A M
椭圆的几何参量：
Q
O
Q
O N
中心 [n2 d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b ( n1 n2 ) /(n1 n2 )d
2c 2 a 2 b 2 2n2 d /(n1 n2 )
s
C
n1
n2
N
S
S
A
B
S
S
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虚光程: AS 及BS 是实际光线的延长线,相应的光程 称为虚光程 [ SAS ] n( SA AS ) 0 [ SBS ] n( SB BS ) 0 表明：物像之间各光线的光程相等,反射平面是等光程面
n1
i1
Q
O
n2
o
i2
平行光的折射
n
c
1 n21 2 光在真空中的传播速度为c c c 1 n2 n1 n2 n21 1 2 2 n1
折射率较大的介质称为光密介质， 折射率较小的介质称为光疏介质。
6
按照波动光学理论，有
n f00 / f , c f 00
[l ] ndl 0
A
B
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
13
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值、恒定 和拐点
14
变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时， 函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶 微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点A B，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一 般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时 光程的改变一般称为变分。
x2 x sin i2 l2
即n1 sin i1 n2 sin i2
19
四.梯度折射率介质中光线的弯曲
即为折射率随不同位置呈连续变化的介质
20
利用梯度折射率介质中光线的弯曲,可以表解释蜃景的 现象
21
22
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后， 会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。 分析：
2
2
称为阶跃型光纤的数值孔径
10
1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理 一.光程 在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l 与该介质的折射率 n 的乘积： [l ] nl c [l ] l [l ] n l t c c 1. 直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一 定几何路程所需要的时间。 [l ] nl t [l ] ct c c 2. 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
二. 物和像 物空间和像空间
成像的实质——将入射同心光束转化为出射同心光束 若干反射面、折射面——光学系统——系统 实像：出射同心会聚光束的顶点 虚像：出射同心发散光束的顶点 实物点：入射同心发散光束的顶点 虚物点：入射同心会聚光束的顶点
27
同心光束通过光学系统后生成点像
实物成实像
实物成虚像
虚物成实像
29
五.等光程面 物像对应只需单个反射面或折射面 该面＝物像共轭点的等光程面
x
n1
P
O
M ( x, y)
P
z
s
z
s
n2
30
n1MP n2 MP n1s n2 s n1 ( s z ) 2 x 2 n2 ( s z ) 2 x 2 n1s n2 s ( s z ) 2 x 2 ) n1 ( s ( s z ) 2 x 2 ) 0 或 n2 ( s
P( x, y)
s
C
n1
n2
n1SP n2 PQ n1SO
N
上式化为 n1 ( x 2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d n2 d 2 ) z2 n1 n2 1 2 2 2 2 d n1 /(n1 n2 ) (n1 n2 )d /(n1 n2 ) (x
(n1l1 n2l2 ) y
(n1l1 n2 l2 ) 0 0 x
(n1l1 n2l2 ) ny n y 1 2 0 y 0 y l1 l2 (n1l1 n2 l2 ) x x1 x2 x n1 n2 0 x l1 l2
x x1 sin i1 l1
1
1.1 几何光学的基本定律
一. 光源和光线
1. 光源
光源—任何发光物体：太阳、烛焰、钨丝白炽灯、日 光灯、高压水银荧光灯等 点光源—可看成几何上的点，只有空间位置无体积的 光源 2. 光线和光束 光线—光能传播方向的几何线 光束—有一定几何关系的一些光线的集合
2
几何光学：在光学研究中，当0时，可用几何方 法讨论成像规律，使问题大大简化 3. 光波波面
23
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ， 在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面 波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z
P
A M
Q
O
Q
O N
解：S 发出的球面波经 面折射后 成平面波，各折射光线路径是等 光程。
2
0
[l ] n1 z n1 z 0 2 2 z ( x x1 ) 2 y1 z 2 ( x x2 ) 2 y 2 z 2 z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M ( x,0, z ) M ( x,0,0)
AM MB AM M B
9
应 用 利用全反射原理，可制成光学元件——光纤
n2
0
n0
1
n1
利用高折射率材料制成芯线，外 包一层低折射率的皮，由于光线 的全反射，光线在芯内是锯齿形 折线的径迹。
单根阶跃型光纤只能传光而不能传图像，将众多光纤 集束为光缆便可传图像。
N . A. n0 sin 0 n1 n2
11
◆ 分区均匀介质:
[l ] 1 k [l ] ni li , t ni li c c i 1 i 1
k
◆ 连续介质:
[l ] ndl
(l )
12
二.费马原理的表述及讨论 空间中A、B两点间的实际光线路 径是所经历的光程为极值的路径 极值：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时， 相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶 或二阶以上的无限小量。 换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何 其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或 恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
3. 光的折射反射定律：
(1) 光的反射定律：反射线位于入射面内，反射线和 入射线分居法线两侧，反射角等于入射角，即
i1 i1
4
(2) 光的折射定律：折射线位于入射面内,折射线与入 射线分居法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之 比为一与入射角无关的常数，即
sin i1 n2 n21 或 n1 sin i1 n2 sin i2 sin i2 n1
光振动—用电磁波中电场强度的变化表示 波面：在任意时刻,振动位相值相同的各点所构成 的曲面
波面对应的法线就是光束
3
二.几何光学的基本定律 1. 光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播
2. 光的独立传播定律：两束光在传播途中相遇时互不 干扰，即每一束光的传播方向及其他性质(频率、波 长、偏振状态)都不因另一束光线的存在而发生改变