微分方程及其分类ppt课件

．所以，方程(10.2.6) 即为
(10.2.4)
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或者进一步作变换 于是有
所以
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又可以进一步将方程(10.2.11)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型．
2．当判别式
时：这时方程
(10.2.10)一定有重根
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因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
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把条件y x0 0 代入 y C1 sin2x C2 cos 2x, 得 C2 1
把条件y x0 1 代入 y 2C1 cos2x 2C2 sin2x, 得
C1
1, 2
因此方程满足初始条件的特解为
y 1 sin2x cos 2x 2
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二阶线性偏微分方程的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方 法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏 微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微 分方程求解是十分有用的.
即满足
y 2 x1
则 C 1. 所求曲线方程为 y x 2 1 .
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1.微分方程的定义 凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方 程叫微分方程。
例 y xy, y 2 y 3 y ex , (t 2 x)dt xdx 0.
2.微分方程的分类 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程。
微分方程及其解法
一、 微分方程的概念 二、二阶线性偏微分方程的分类
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函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具 ，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是 十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接 找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有 时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这 样的关系式就是所谓的微分方程。
需讨论判别式
即可.
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10.3 二阶线性偏微分方程标准化
对于二阶线性偏微分方程
若判别式为 线性偏微分方程分为三类：
(10.3.1) ，则二阶
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时，方程称为双曲型; 时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
解 （1）是，1阶； （2）是，1阶； （3）是，2阶； （4）是，3阶； （5）是，1阶； （6）不是。
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4.微分方程的解 任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。 （1）微分方 程的通解 如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与
微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解 （2）微分方程的特解 当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解 （3） 微分方程的初始条件
（10.2.1）
为
的已知函数．
是方程
(10.2.2)
是方程
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(10.2.3) 的一个特解． 在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
时，从方程(10.2.10)可
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也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏
微分方程进行分类. 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行
理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨 论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
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其中
定理10.2.1 如果
的一般积分，则
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确定通解中的任意常数的附加条件。 5.微分方程解的几何意义
通解的图象: 积分曲线族.
特解的图象: 微分方程的积分曲线.
例3 验证:
y C1 sin2x C2 cos 2x 是
d2y dx2
4y
0
的解, 并求满足初始条件 y x0 0, y x0 1 的特解.
解
dy
dx 2C1 cos 2x 2C2 sin2x,
就可以使
由(10.2.4)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
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即可．这样，方程(10.2.6)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
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3. 当判别式
时：这时，可以重复上
面的讨论，只不过得到的
和
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
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于是
所以 方程(10.2.11)又可以进一步化为
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这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、 泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型．
综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
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d2y dx 2
4C1
sin 2 x
4C 2
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cos 2x
代入原方程 ，有
4C1 sin2x 4C2 cos 2x 4C1 sin2x 4C2 cos 2x 0. 故函数 y C1 sin2x C2 cos 2x, 是原方程的解。
又因为这个解中含有两个独立的任意常数 C1 ,C 2 ， 而方程为二阶微分方程，所以 函数 y C1 sin2x C2 cos 2x, 是原方程的通解。
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一、微分方程的概念
为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：
例1 一曲线通过点 (1, 2) ，且在该曲线上任一点 M( x, y) 切线的斜率为 2x ，求这曲线的方程。
解 设所求曲线为 y y( x)。则有 y 2 x 对上式两边积分有 y x 2 C
由于所求曲线通过点 (1, 2)
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10.2 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方 程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解 也表现出各自不同的特点．
我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
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则当
时，上述二次曲线分别为双
3.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
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例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶 的微分方程？
(1) y x 2 y sin x (2) xydx (1 x 2 )dy 0
(3) y y 0 (5) x( y)2 x 2 1
(4) y 3 y x 1 (6) y3 3 y 2 x 4