2-1 离散型随机变量及其分布律(2).

pk P{ X xk }
或
F ( xk ) F ( xk 0 ) F ( xk ) F ( xk 1 )
( k 1,2,)
( P{ X xk } P{ xk 1 X xk } ) 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是

解 由 0 pk 1( k 0,1,2,), pk 1 k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 k! k 0 3 k! k 0 1 k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 k 0 k!

2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
分布律可记为：
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
或记为
x1 X ~ p1
其中
x2 xn p2 pn
(1) pk 0, k 1,2,;
( 2) pk 1.
k 1
分布律中的 pk 必须满足： 注. 1º (1) 0 pk 1 ( k 1, 2, )
P( X C ) 1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X pk
0 1 p
1 p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~B(1,p)
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情 况. 0, 当e 正面, X X (e ) 1, 当e 反面. 随机变量 X 服从 (0-1) 分布. 其分布律为
或
X
P
0 0.1
1 0.6
2 0.3
X的分布函数为
F ( x ) P{ X x }

k x
( x R)
X
P
P{ X k }
0 0.1
y
1 0.6
2 0.3
x0 0, 1 0 x1 { X 0}, P0.1, 0.7 1 1 x 21 x 2 P { X 0 } P { X }, 0.1 0.7, + 0.6, 0.1 2 1, P { X 0 } P { X 1 } P { X 2 }, x 2 x 0.1 + 0.6 + 0.3, o 1 2 x
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1, 取得不合格品, X 0, 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
3.均匀分布
如果随机变量 X 的分布律为 a1 a2 an X 1 1 1 pk n n n 其中 (ai a j ), ( i j ) , 则称 X 服从均匀分布 . 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
方法1. P {0 X 2}
P{ X 1} P{ X 2}
0.6 0.3 0.9
P { 0 X 2} P{ X 0} P{ X 1}
F ( x) 0.7, 1 x 2 x2 1,
X 0 0, 1 x 2 0 P 00 .1.1, 0.60 0x .3 1
第二章
第一节 离散型随机变量 及其分布律 (2)
一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、内容小结
一、离散型随机变量的分布律
1.定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk ( k 1,2,), X 取各个可能值的概率 , 即事件 { X xk } 的概率, 为 P{ X xk } pk , k 1,2,. 称此式为离散型随机变 量 X 的分布律.
例2 一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的， 3个新的，从中任取2个，求取得的新球 个数X的分布律与分布函数，并计算：
P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 X={ 取得的新球个数 }，其分布律为
P{ X k }
k 2 k C3 C2 2 C5wk.baidu.com
( k 0, 1, 2)
pk P{ X xk } ( k 1,2,)
则X的分布函数：
F ( x)
xk x
P { X xk }
( x R)
事件 {a < X ≤ b}的概率：
P {a X b}
a xk b
P { X xk }
(2) 若已知 X的分布函数F(x)，则X的分布律：
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P{a X b}
P {a X b } P { X a } P { X b }
[ F (b) F (a )] [ F (a ) F (a 0)] [ F (b) F (b 0)]
F ( b 0) F ( a 0) F (b) F (a )
0.1 0.6 0.7
方法2. P{0 X 2} F ( 2) F (0) 1 0.1 0.9
P{0 X 2} F ( 2 0) F (0 0)
0.7 0 0.7
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.退化分布
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
( 2)
k 1
pk 1

2º 若X 是离散型随机变量，则其分布函数为：
F ( x)
xk x
P { X xk }
其中“ ” 是对于一切满足 xk x的k而言.
xk x
例1 设随机变量 X的分布律为：
a P{ X k } k 3 k! 试确定常数a.
( k 0,1, 2,)