高二年级第一学期期中考试试卷及答案 (1)

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浙江省宁波三锋联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

2024学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线l 过点()1,2A ，()3,4B ，则直线l 的倾斜角为（）A.π6-B.π3-C.π4 D.π3【答案】C 【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】由题可得：42131l k -==-，所以直线l 的倾斜角为：45︒；故选：C2.直线1l ：10x y -+=与直线2l ：2230x y -+=的距离是（）A.24B.22C.D.1【答案】A 【解析】【分析】将直线2l 的方程化为302x y -+=，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.【详解】直线2l ：2230x y -+=化为302x y -+=，又直线1l ：10x y -+=，所以12l l //，所以直线1l 与直线2l 的距离是4=.故选：A.3.“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线2211x y t t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B4.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A.211322a b c-++B.121232a b c -+C.221332a b c +- D.221332a b c +- 【答案】A 【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】由题可知()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ ，故选：A5.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，1AA =，则异面直线1AC 与BC 所成角的余弦值为（）A.3B.3-C.6D.6-【答案】C 【解析】【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量1AC uuu r 与BC的坐标，即可求得异面直线1AC 与BC 所成角的余弦值．【详解】由题意可知，1,,AB AC AA三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：则 ǡ ǡ，(()()1,1,0,0,0,1,0C C B ．∴(()1,1,1,0AC BC ==-．∴111cos ,6AC BC AC BC AC BC⋅===．异面直线1AC 与1CB所成角的余弦值为6．故选：C ．6.已知点()3,0A ，()5,0B ，()0,5C ，圆()()22:221M x y -++=，一条光线从A 点发出，经直线BC反射到圆M 上的最短路程为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据点关于直线的对称可得()5,2A '，即可根据三角形三边关系结合共线求解.【详解】直线BC 方程为155x y+=，即5y x =-+，设点()3,0A 关于直线BC 的对称点为(),A a b '，则133522ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪-+=⎪⎩，解得5,2a b ==，故()5,2A '，圆心为()2,2M -，半径为1r =，故5A M =='，因此过A 经过BC 反射在P 处，由于4AP PQ A P PQ A Q A M r +=+≥'≥-'='，故光线从A点发出，经直线BC 反射到圆M 上的最短路程为4，故选：B7.已知直线l ：20x y --=与圆O ：221x y +=，过直线l 上的任意一点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值为（）A.3π4B.2π3 C.π2D.π6【答案】C 【解析】【分析】由题意可得1sin APO OP∠=，可知当OP 最小时，APB ∠最大，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】由题意可知：圆22:1O x y +=的圆心为 ǡ ，半径为1，则圆心O 到直线l 1=>，可知直线l 与圆O 相离，因为2APB APO ∠=∠，且1sin OA APO OPOP∠==，当最小时，则sin APO ∠最大，可得APO ∠最大，即APB ∠最大，又因为的最小值即为圆心O 到直线l ，此时2πsin ,24APO APO ∠=∠=，所以APB ∠取得最大值π2．故选：C ．8.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点P ，Q 若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.57 C.35D.34【答案】B 【解析】【分析】根据题意，用,a c 表示出112,,PF QF QF ，两次利用余弦定理即可容易求得.【详解】连接2QF ，如下图所示：由椭圆定义，以及已知条件，可得：()21123132,22,,222PF c PF a c QF a c QF a c ==-=-=+，在12PF F 和12QF F 中，由余弦定理可得：22222211221122112112022PF F F PF QF F F QF PF F F QF F F +-+-+=⨯⨯，代值整理可得：()()3220a c a c -+-=，57a c =，则离心率57c e a ==.故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及余弦定理的使用，椭圆的定义，属综合中档题.二、选择题：本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22195x y +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A.12PF F 的周长为10 B.12PF F 面积的最大值为C.椭圆C 的焦距为6 D.椭圆C 的离心率为49【答案】AB 【解析】【分析】由椭圆的性质直接分析即可.【详解】对A ，因为椭圆C ：22195x y +=，3,2a b c ∴===12PF F 的周长为2210a c +=，故A 正确；对B ，因为124F F =，面积最大时高最大，为b ，所以12PF F 面积的最大值为122c b ⋅⋅=B 正确；对C ，椭圆C 的焦距为4，故C 错误；对D ，椭圆C 的离心率为23c e a ==，故D 错误；故选：AB10.已知圆221:20O x y x ++=与圆222:2220O x y x y +---=交于A ，B 两点，则（）A.两圆的公切线有2条B.AB 直线方程为210x y ++=C.255AB =D.动点(),P x y 在圆1O 上，则()221x y +-1+【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断A ，根据两圆方程相减即可判断B ，根据弦长公式即可求解C ，根据点点距离公式即可判断D.【详解】由题意可知()11,0,1O r -=，()21,1,2O R =，故()121,3O O ==，故两圆相交，公切线有2条，A 正确，221:20O x y x ++=与圆222:2220O x y x y +---=相减可得210x y ++=，故AB 直线方程为210x y ++=，B 正确，()21,1O 到直线210x y ++=的距离为d =5AB ==，故C 错误，()221x y +-可看作是圆1O 上的一个点(),P x y 到点()0,1B 的距离的平方，故PB 最大值为11BO r +=+，D 正确，故选：ABD11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在四边形1111D C B A 所在的平面内，若AE =AC DF ⊥，则下述结论正确的是（）A.二面角1A BD A --的平面角的正切值为2B.1CF AC ⊥C.点E 的轨迹是一个圆D.直线DF 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为33【答案】BCD 【解析】【分析】根据二面角的几何法可得其平面角为1AOA ∠，即可求解A ，根据勾股定理可得11A E =，即可求解C ，建立空间坐标系，即可根据向量垂直判断B ，根据向量的夹角即可得sin α=23321λ+求解D.【详解】对于A,连接,AC BD 相交于O ，连接1OA ,由于,AO BD ⊥且11A B DA AB ==，故1,A O BD ⊥因此1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，故112tan 22A A AOA AO ∠===,故A 错误，对于C ：在正方体1111ABCD ABCD -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，1AE ⊂平面1111D C B A ，所以11AA A E ⊥，故22211AE AA A E =+，则有11A E =，所以点E 的轨迹是以1A 为圆心，1为半径的圆，故选项C 正确；对于B ：在正方体中，平面ABCD ⊥平面11B BDD ，且两平面交线为BD ,,AC BD AC ⊥⊂平面ABCD ，故AC ⊥平面11B BDD ，因为AC DF ⊥，则DF ⊂平面11B BDD ，故F 在11B D 上，建立如图所示的空间直角坐标系，因为点F 的轨迹是线段11B D ，设111D F D B λ=，则(2F λ,22λ-,2)，则(0A ,0,0)，1(0A ,0,2)，(2B ,0,0)，(0D ,2,0)，()2,2,0C ,()12,2,2C ，则(22CF λ=-,2λ-,2)，()12,2,2AC = ,故()1222440CF AC λλ⋅=--+= ，进而可得1CF AC ⊥，故1CF AC ⊥，B 正确，又1(2A B =,0,2)-，(2BD =- ,2,0)，(2DF λ= ,2λ-,2)，设平面1A BD 的一个法向量为(n x =,y ,)z ，则有100n A B n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =，故平面1A BD 的一个法向量为(1n =,1,1)，设DF 与平面1A BD 所成的角为α，则sin |cos DF α=< ,2222223|3444321n λλλλλ-+>==⨯+++，当0λ=时，sin α有最大值33，故AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值33，故D 正确．故选：BCD ．非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.()2,,1a x =- ，()1,2,0b = ，2a b ⋅=，则a = ________．【答案】5【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得0x =，即可由模长公式求解.【详解】222a b x ⋅=+= ，解得0x =，故()22215a =+-= ，故答案为：513.已知正四面体P ABC -的棱长为1，空间中一点M 满足PM xPA yPB zPC =++，其中x ，y ，z ∈R ，且1x y z ++=.则PM的最小值______．【答案】63【解析】【分析】由题设知M 与A ，B ，C 共面，则||PM的最小值为三棱锥的高，在正四面体中，利用几何法即可求得．【详解】由PM xPA yPB zPC =++，且1x y z ++=，可知M 与A ，B ，C 共面，则||PM的最小值为三棱锥的高，设O 为P 在平面ABC 上的射影，连接CO 并延长交AB 于点H ，则CH AB ⊥，所以32CH =，所以33CO =，所以三棱锥的高为2361()33-=．故答案为：6314.已知点P 是椭圆2212516x y +=上一动点，Q 是圆22(3)1x y ++=上一动点，点(6,4)M ，则|PQ |－|PM |的最大值为______.【答案】6【解析】【分析】易知圆22(3)1x y ++=的圆心是()13,0F -为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到122110111PQ PF PF PF ≤+=-+=-，然后由211PQ PM PF PM -≤--求解.【详解】如图所示：由2212516x y +=，得2225,16a b ==，则3c ==，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为()13,0F -，()23,0F ，则圆22(3)1x y ++=的圆心()3,0-为椭圆的左焦点，由椭圆的定义得12210PF PF a +==，所以122110111PQ PF PF PF ≤+=-+=-，又25MF ==，所以211PQ PM PF PM -≤--，()2211111156PF PM MF =-+≤-=-=，故答案为：6.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写成文字说明，证明过程或验算步骤．15.已知直线1l 经过点()2,3A ．（1）若1l 与直线2l ：240x y ++=垂直，求1l 的方程；（2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求1l 的方程．【答案】（1）210x y --=（2）50x y +-=或320x y -=【解析】【分析】（1）根据两直线垂直得到1l 的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.【小问1详解】由题可知，2l 的斜率为12-，设1l 的斜率为k ，因为12l l ⊥，所以112k -=-，则2k =，又1l 经过点()2,3A ，所以1l 的方程为()322y x -=-，即210x y --=；【小问2详解】若1l 在两坐标轴上的截距为0，即1l 经过原点，设1l 的方程为y kx =，将()2,3A 代入解析式得23k =，解得32k =，故1l 的方程为320x y -=，若1l 在两坐标轴上的截距不为0，则设1l 的方程为1x ya a+=，由231a a+=，得5a =，故1l 的方程为50x y +-=，综上，1l 的方程为50x y +-=或320x y -=.16.已知直线:1,l y kx l =+与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，点Q 在圆C 上运动．（1）当AB =时，求k ；（2）已知点()2,1P ，求PQ 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）0k =（2）2231122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意可得圆心()1,0C 到直线l 的距离1d =，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）设(),M x y ，利用相关点法求点的轨迹方程.【小问1详解】由题意可知：圆22:(1)4C x y -+=的圆心()1,0C ，半径2r =，则圆心()1,0C 到直线l 的距离1d ==，1=，解得0k=.【小问2详解】设(),M x y ，因为点()2,1P ，且M 为PQ 的中点，则()22,21Q x y --，又因为点Q 在圆C 上，则()()22221214x y --+-=，整理得2231122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M 的轨迹方程为2231122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是1AA 、BC 的中点，1AC BC ==，12AA =，90BCA ∠=︒.（1）求证：//AE 平面1C BD ；（2）求点E 到平面1C BD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行；（2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果.【小问1详解】因为111ABC A B C -为直三棱柱，则1C C ⊥平面ABC ，且90BCA ∠=︒，以C 的原点，1,,CA CB CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AC BC ==，12AA =，且D ，E 分别是1AA ，BC 的中点，则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,0,2,0,1,0,1,0,1,0,,02C A C BDE ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,02AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()()110,1,2,1,0,1C B C D =-=- ，设平面1C BD 的法向量为(),,n x y z =，则11200n C B y z n C D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则2x z y z =⎧⎨=⎩，取1z =，则1,2x y ==，则平面1C BD 的一个法向量为()1,2,1n =，因为AE ⊄平面1C BD ，且0AE n ⋅=，则//AE 平面1C BD .【小问2详解】由（1）可知，平面1C BD 的一个法向量为()1,2,1n =，且10,,02EB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点E 到平面1C BD 的距离12626EB nd n⨯⋅===.18.如图，已知等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，122AB AD BC ===，E 是BC 的中点，AE BD M = ，将BAE 沿着AE 翻折成1B AE △，使平面1B AE ⊥平面AECD.(1)求证：CD ⊥平面1B DM ；(2)求1B E 与平面1B MD 所成的角；(3)在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，1112B P BC =.【解析】【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明AE ⊥平面1B MD ，再证明//AE CD 即可求解；(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解；(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点P 的具体位置，即可求解.【详解】(1)因为//AD BC ，E 是BC 的中点，所以122AB AD BE BC ====，故四边形ABED 是菱形，从而AE BD ⊥，所以BAE 沿着AE 翻折成1B AE △后，1AE B M ⊥，AE DM ⊥,又因为1B M DM M ⋂=，所以AE ⊥平面1B MD ，由题意，易知//AD CE ，=CE AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，故//AE CD ，所以CD ⊥平面1B DM ；(2)因为AE ⊥平面1B MD ，所以1B E 与平面1B MD 所成的角为1EB M ∠，由已知条件，可知AB AE CD ==，122AB AD BE BC ====，所以1B AE △是正三角形，所以130EB M ∠=，所以1B E 与平面1B MD 所成的角为30°；(3)假设线段1B C 上是存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，过点P 作//PQ CD 交1B D 于Q ，连结MP ，AQ，如下图：所以////AM CD PQ ，所以A ，M ，P ，Q 四点共面，又因为//MP 平面1B AD ，所以//MP AQ ，所以四边形AMPQ 为平行四边形，故12AM PQ CD ==，所以P 为1B C 中点，故在线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且1112B P BC =.19.已知1F 、2F 分别为椭圆 t的左、右焦点，点,13P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、E 两点，1827ADE S =△，求直线l 的方程．（3）若过椭圆上一点 ǡ 的切线方程为00221x x y ya b+=，利用上述结论，设d 是从椭圆中心到椭圆在点Q 处切线的距离，当Q 在椭圆上运动时，判断212d QF QF 是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）()1y x =±-（3）为定值，且定值为12，【解析】【分析】（1）根据椭圆上的点和a ，b ，c 的数量关系即可求出a ，b ，即得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，即可根据三角形面积公式，代入化简求解斜率.（3）根据0(Q x ,0)y 的切线方程为00221x x y ym n+=，计算原点到切线的距离d =式可得101|||4|2QF x =+和201|||4|2QF x =-，对212||||d QF QF 化简计算即得．【小问1详解】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，12c e a ==，故2a c =，点26,13P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，则2224119a b +=，222b ac =- ，故得22224119a a c +=-，即2222411912aa a +=⎛⎫- ⎪⎝⎭解得2,a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）知，(2,0)A -，2(1,0)F ，若直线l 的斜率不存在，则1x =，代入椭圆方程可得21143y +=，故32y =，此时211182233227ADE S y AF ==⨯⨯≠,故直线有斜率，直线l 的斜率为k ，则l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2222(43)84120k x k x k +-+-=，①显然0∆>，设1(D x ,1)y ，2(E x ,2)y ，则221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++，于是，()2122111322ADE S y y AF k x x =-=⨯-==1827===,化简可得4217180k k +-=，即()()22117180k k -+=，解得1k =±，所以直线的方程为()1y x =±-【小问3详解】由于椭圆2222:1,(0)x y C m n m n+=>>上一点0(Q x ，0)y 的切线方程为00221x x y y m n +=．依题意，设椭圆上的点0(Q x ,0)y ，则过点0(Q x ,0)y 的切线方程为00143x x y y +=，即0034120x x y y +-=，原点到切线的距离为d ==由两点间距离公式可得，10142QF x ==+，同理201|||4|2QF x =-，则22120011|||||16|(16)44QF QF x x =-=-，故22120201441||||(16)124834d QF QF x x =⨯-=-为定值．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与定值问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或定值.。

天津市2024-2025学年高二上学期期中考试英语试题(含答案,无听力原文及音频)

天津市2024-2025学年度第一学期期中学情调研高二年级英语学科本试卷分共100分，考试时间为100分钟。

答卷前，请务必将自己的姓名、考号、座位号填写在答题卡上相应位置。

答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。

祝各位同学考试顺利！第Ⅰ卷 (共65分)第一部分：听力理解 (共15 小题；每小题0.5分，满分7.5分)第一节听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the man want to know?A. Where the woman works out.B. How the woman stays fit.C. How to stay healthy.2. What is the man interested in?A. Whether people in China bargain everywhere.B. How to get a better price when doing the shopping in China.C. Where Chinese people usually go shopping.3. What's the most probable relationship between the two speakers?A. Old friends.B. Boss and secretary.C. Colleagues.4. What do we know about the woman?A. She is severely stressed.B. She is the man's doctor.C. She falls asleep easily.5. When was the woman scheduled to go to China at first?A. This Friday.B. This Saturday.C. This Sunday第二节听下面几段材料。

北京市第八十中学2024～2025学年第一学期期中考试高二语文学科试题及答案

北京市第八十中学2024～2025学年第一学期期中考试高二语文学科2024年10月班级姓名考号(考试时间150分钟满分150分)提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面材料，完成1-5题。

材料一日前，为欢迎法国总统来访，古琴演奏家李蓬蓬在广州松园奏响了古琴名曲《流水》，以源自春秋时期的琴曲和有千年历史的唐代古琴“九霄环佩”，向世人展示着中国传统文化的无限魅力。

古琴原称“琴”，二十世纪初，为区别西方的小提琴、钢琴等始以“古琴”名之。

古琴是我国最古老的乐器之一.相传为伏羲、神农所创，《新论·琴道》中记载了神农继伏羲之后“上观法于天，下取法于地，近取诸身，远取诸物，削桐为琴，绳丝为弦”的故事。

《诗经》中有“倚桐梓漆，爱伐琴瑟”的诗句。

古人选梧桐木为琴材，充分体现了他们认识自然的智慧。

梧桐木纹理通顺，横向纤维较一般木材多，木质结构呈网络状，形成了天然的微小共鸣腔，具有很好的传声效果。

梧桐树生长时，年轮是均匀增加的，树干整体木质差别不大，可以让声音凝聚而不过度发散。

古人又选用密度更大的梓木做底料。

在古人的认知里，桐木为虚，梓木为实，斫琴选择桐梓，也寄寓着顺应自然，虚实相宜之意。

‘九霄环佩”就是以桐木为琴面，以梓木为琴底制作的。

古人用蚕丝制作琴弦。

明代《琴苑要录》中记载，丝弦的制作从选材到成弦需经过几十道工艺，体现了古人于繁复中求精益的精神。

与现代的钢弦相比，丝弦虽然发出的声音较小，却可弹出悠长醇厚、苍古圆润的天籁之声，细腻、微妙、绕梁不绝，令人回味无穷。

(取材于杨致俭的文章)材料二在历史发展进程中，古琴与中国传统文化中的很多器物一样，逐渐由单纯的“器”发展成某种文化的载体，功能变得更加丰富。

儒家认为“琴者，禁也”。

“琴禁说”始自《新论·琴道》“琴之言禁也，君子守以自禁”，后在《白虎通》中发展为“禁人邪恶，归于正道”的传统琴道。

山东省烟台市2023-2024学年高二上学期期中考试语文试题(含答案)

2023—2024学年度第一学期期中学业水平诊断高二语文注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，只收答题卡。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1-5题。

(1)文学与“世界”构成怎样的关系，文学为什么而作，为什么人书写，关涉文学本质论。

(2)中国古代文论有从“世界"角度来理解文学本质的传统，如魏晋南北朝时期的“感物说”，认为文学源于创作主体对生活的感受，这一观点影响深远。

苏轼基本上遵循传统诗学中心物交感、主客合一的理论观点，认为诗文是创作主体在感受外在世界的基础上内在精神境界的艺术呈现。

他在《南行前集叙》中云：“山川之秀美，风俗之朴陋，贤人君子之遗迹，与凡耳目之所接者，杂然有触于中，而发于咏叹。

”正是山川风物、贤人胜迹等自然与社会事物激发了作家的创作欲望；在《辨杜子美杜鹃诗》中提出作诗应是“类有所感，托物以发”；在《题渊明<饮酒>诗后》中阐述了“境与意会”的妙处。

(3)无论因物触兴、有感而发，还是借景抒情、寓情于景，都是创作主体通过诗文折射宇宙、自然之生命精神的基本途径与手段。

苏轼强调文学创作是主体情感体验和内在情结的自然流露，但在根本上也离不开对客现世界的感发，这样才能达到主客互融、天人合一。

(4)眼下，有些创作者忽视中国的现实土壤和传统文脉，简单套用西方理论来剪裁中国人的审美。

在此背景下，苏轼的观念对我们传承中华优秀传统文化，在纷繁复杂的文学现象中辨清文学的本质，仍然具有重要的参考价值。

(5)基于对文学与“世界"关系的清晰准确的认知，苏轼提出了“有为而作"的命题，可谓言之有据、内涵深刻。

2023-2024学年山东省普高联考高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣43．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（） A ．5B ．2C ．√5D ．44．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（） A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（）A ．34B ．43C ．0D ．126．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．567．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)被直线方程2x ﹣y +9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（） A ．x 28+y 24=1 B ．x 232+y 216=1C ．x 28+y 24=1或y 28+x 24=1D ．x 232+y 216=1或y 232+x 216=18．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB ＝100米，拱高OP ＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝． 15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为．16．如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△AB 1E （点B 1位于平面ABCD 上方），连接B 1C 和B 1D ，F 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，AE 与B 1C 的夹角为，点F 的轨迹的长度为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)．（1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）．（1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面A 1MC 的距离．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点．（1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C ，E ，D ，G 在同一平面内，且CG＝DG ．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若直线GC 与平面ABG 所成角的正弦值为√105，求平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值．22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k AP、k AQ．（ⅰ）求证：k AP•k AQ为定值；（ⅱ）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)解：因为A （3，2，3），B （1，1，4），所以中点M(3+12，2+12，3+42)=(2，32，72)．故选：B ．2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣4解：因为l 1∥l 2，所以42=n 2≠1−5⇒n =4．故选：C ．3．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（） A ．5B ．2C ．√5D ．4解：将A （1，1）代入x 2+y 2﹣6x ，得到12+12﹣6×1＜0，所以点A 在圆内，再根据x 2+y 2﹣6x ＝0可得圆心坐标M （3，0），可知当l 与AM 垂直时，弦长最小，因为AM =√5，即最短弦长为的一半为√32−(√5)2=2，所以最短弦长为2×2＝4．故选：D ．4．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（）A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+34MN →=OM →+34(MO →+OC →+CN →)=OM →+34MO →+34OC →+34×12CB →=14OM →+34OC →+38(OB →−OC →)=18OA →+38OB →+38OC → 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（）A ．34B ．43C ．0D ．12解：C 的方程x 2+y 2﹣2x ＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝1，它表示圆心（1，0），半径为1的圆，y+1x+1表示圆上的点与点P （﹣1，﹣1）的连线的斜率k ，设过圆上点与点P （﹣1，﹣1）的直线方程为y +1＝k （x +1），则圆心（1，0）到直线y +1＝k （x +1）的距离d =|2k−1|√k +1≤1，可得0≤k ≤43，即最大值为43，故选：B ．6．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．56解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴的对称，则B 的坐标为（﹣2，3），则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，设反射光线所在直线的方程为：y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆x2﹣6x+y2+4y+12＝0的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1，则圆心为（3，﹣2），半径r＝1，由圆心（3，﹣2）到反射光线的距离等于半径可得：√1+k2=1，即12k2+25k+12＝0，解得k=−43或k=−34．故选：A．7．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1(m＞0，n＞0，m≠n)被直线方程2x﹣y+9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（）A．x28+y24=1B．x232+y216=1C．x28+y24=1或y28+x24=1D．x232+y216=1或y232+x216=1解：设直线2x﹣y+9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由{x12m2+y12n2=1x22 m2+y22n2=1，得(x1+x2)(x1−x2)m2+(y1+y2)(y1−y2)n2=0，得k=y1−y2x1−x2=−n2m2×x1+x2y1+y2=2，弦的中点坐标是M（﹣4，1），直线AB的斜率k＝2，所以n2m2=12，m2=2n2，又m2﹣n2＝16，所以m2＝32，n2＝16，椭圆的标准方程为x232+y216=1．故选：B．8．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A．6.48B．4.48C．2.48D．以上都不对解：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标（0，a），P（0，10），A（﹣50，0），则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2， ∴{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， ∴圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， ∵y ＞0，∴y =40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底解：因为OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，所以AB →=OB →−OA →=(0，0，−2)，所以|AB →|=2，选项A 正确；又因为OC →=(2，3，−1)，所以BC →=OC →−OB →=(3，1，0)，所以AB →⋅BC →=0，所以△ABC 是直角三角形，选项B 正确；因为|OA →|=√1+4+1=√6，所以与OA →平行的单位向量的坐标为：±OA →|OA →|=±(√66，−√63，−√66)，选项C 错误；假设OA →，OB →，OC →共面，则存在唯一的有序数对（x ，y ）使OA →=xOB →+yOC →，即（﹣1，2，1）＝x （﹣1，2，﹣1）+y （2，3，﹣1）＝（﹣x +2y ，2x +3y ，﹣x ﹣y ），所以{−1=−x +2y 2=2x +3y 1=−x −y ，此方程组无解，故OA →，OB →，OC →不共面，故可作为空间一组基底，选项D 正确．故选：ABD ．10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB解：选项A ，因为OA ⊥面OBC ，故∠ABO 为直线AB 与平面OBC 所成的角，又OA ＝OC ＝OB ＝1，所以tan ∠ABO ＝1，故直线AB 与平面OBC 所成的角是45°，故A 正确；选项B ，取BC 中点为D ，连接OD ，AD ，因为OA ＝OB ＝OC ＝1，OA ⊥平面OBC ，∠BOC =π3，所以AB =AC =√2，BC =1，OD ⊥BC ，AD ⊥BC ，因为OD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AOD ，故∠ODA 为二面角O ﹣BC ﹣A 的平面角，则tan ∠ODA =OA OD =2√33，故二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为2√33，故B 错误；选项C ，因为AB =AC =√2，BC =1，所以AD =√72，设O 到面ABC 的距离为h ，则由V A ﹣OBC ＝V O ﹣ABC ，可得：13×√34×1=13×12×√72×ℎ，解得ℎ=√217，故C 正确；选项D ，若OC ⊥AB ，又OC ⊥OA ，且AB ∩OA ＝A ，则OC ⊥面OAB ，则有OC ⊥OB ，与∠BOC =π3矛盾，故D 错误．故选：AC ．11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个解：由直线l ：kx ﹣y +2k ＝0，整理成k （x +2）﹣y ＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A 错误；若直线l ：kx ﹣y +2k ＝0与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直，则k +2＝0，解得k ＝﹣2，故B 正确；因为（﹣2）2+0＝4＜8，所以定点（﹣2，0）在圆O ：x 2+y 2＝8内部，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；当k ＝1时，直线l 化为x ﹣y +2＝0，圆心O 到直线的距离d =|2|√2=√2，圆O 半径2√2，因为d ＜r 且d =12r ，所以圆O 到直线l 距离为√2的点有三个，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP解：对于选项A ：因为抛物线方程为y 2＝4x ，可得该抛物线的准线方程为x ＝﹣1，故选项A 正确；对于选项B ：不妨设A （x 0，y 0），因为|AF |＝5，所以x 0+p2=x 0+1=5，x 0=4，解得y 0＝±4，又P （1，1），则直线AP 的斜率为4−14−1=1或−4−14−1=−53，故选项B 错误；对于选项C ：不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为P （1，1），所以BP →=(1−x 2，1−y 2)，PA →=(x 1−1，y 1−1)，因为PA →=3BP →，所以{3(1−x 2)=x 1−13(1−y 2)=y 1−1，得{x 1=4−3x 2y 1=4−3y 2．因为y 12=4x 1，所以(4−3y 2)2=4(4−3x 2)，即3y 22−8y 2=−4x 2，因为y 22=4x 2，所以4y 22−8y 2=0，y 2=0或y 2＝2，当y 2＝0时，x 2＝0，解得x 1＝4，y 1＝4；当y 2＝2时，x 2＝1，解得x 1＝1，y 1＝﹣2，此时直线AB 的斜率不存在，直线CD 的斜率为0，不符合题意；则A （4，4），B （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝x ，故选项C 正确．对于选项D ：易知直线AB ，CD 的斜率存在，不妨设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）+1，则直线CD ：y ＝﹣k （x ﹣1）+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），联立{y =k(x −1)+1y 2=4x ，即{x =1k (y −1)+1y 2=4x，消去x 并整理得y 2−4k y +4k −4=0，因为P （1，1）在抛物线内部，所以Δ＞0，由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k−4，因为|AP|=√1+1k 2|y 1−1|，|BP|=√1+1k2|y 2−1|，所以|AP|⋅|BP|=(1+1k 2)|(y 1−1)(y 2−1)|=(1+1k2)|y 1y 2−(y 1+y 2)+1| =(1+1k 2)|4k −4−4k +1|=3(1+1k2)，同理得|CP|⋅|DP|=3[1+1(−k)2]=3(1+1k 2)，所以|AP |•|BP |＝|CP |•|DP |，即|AP||DP|=|CP||BP|，又∠CP A ＝∠BPD ，所以△APC ∽△BPD ，则∠CAP ＝∠BDP ，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ 1 ．解：过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，则k PQ ＝tan45°＝1，又k PQ =4−aa+2=1⇒a =1．故答案为：1．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ 2 ．解：因为a →，b →，c →共面，所以存在x ，y ∈R ，使得c →=xa →+yb →，又因为a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，所以（﹣3，1，k ）＝x （1，﹣1，2）+y （﹣2，1，0），所以{−3=x −2y1=−x +y k =2x ，解得x ＝1，y ＝2，k ＝2．故答案为：2．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 √5 ．解：以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y 轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）．∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为2√5π，∴一个圆锥的母线长为√5．则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即ba=2．∴双曲线的离心率为e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√1+(ba)2=√5．故答案为：√5．16．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E （点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，AE与B1C的夹角为90°，点F的轨迹的长度为π2．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，所以AE⊥BC，在翻折过程中，有AE⊥B1E，AE⊥CE，因为B1E∩CE＝E，B1E、CE⊂平面B1CE，所以AE⊥平面B1CE，又B1C⊂平面B1CE，所以AE⊥B1C，即AE与B1C的夹角为90°；分别取AB ，AB 1的中点M 和N ，连接EM ，EN ，FN ，因为N ，F 分别为AB 1和B 1D 的中点，所以FN =12AD ，FN ∥AD ，又E 为BC 的中点，所以CE =12BC =12AD ，CE ∥AD ，所以FN ＝CE ，FN ∥CE ，所以点F 的轨迹与点N 的轨迹相同，即从点M 到点N 的轨迹，因为AE ⊥平面B 1CE ，所以点B 1的轨迹是以E 为圆心，BE 为半径的圆，所以点N 的轨迹是以AE 的中点为圆心，BE 2为半径的圆，所以点N 的轨迹长度为12×2π×BE2=π×12=π2，即点F 的轨迹长度为π2．故答案为：90°，π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)．（1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．解：（1）由题意，AB →=(1，k −2，−2)，a →=(−3，4，5)，因为AB →⊥a →，所以AB →⋅a →=0，即﹣3+4k ﹣8﹣10＝0，得k =214．（2）由题意，AC →=(−1，3，2)，a →=(−3，4，5)，所以向量AC →在向量上a →上的投影向量为：(AC →⋅a →|a →|)a →|a →|=3+12+10√9+16+253√210，2√25，√22)=(−32，2，52)．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）．（1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程．解：（1）∵A （5，1），B （1，3）， ∴直线AB 的斜率k AB =1−35−1=−12， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为2， ∵AB 边上的高所在直线过点C （4，4），∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣4＝2（x ﹣4），即2x ﹣y ﹣4＝0．（2）∵CA →=(1，−3)，CB →=(−3，−1)， ∴CA →⋅CB →=0，即△ABC 为以角C 为直角的直角三角形，故△ABC 的外接圆以AB 中点（3，2）为圆心，|AB|2=12√(1−5)2+(3−1)2=√5为半径，∴△ABC 的外接圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面A 1MC 的距离．解：（1）依题意：AA 1⊥平面ABCD ，连接AC ，则A 1C 与平面ABCD 所成夹角为∠A 1CA ，∵AA 1＝5，AC =√32+42=5， ∴△A 1CA 为等腰三角形， ∴∠A 1CA =π4，∴直线A 1C 和平面ABCD 的夹角为π4，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A （0，0，0），C （3，4，0），A 1（0，0，5），M （3，0，2）， ∴AC →=（3，4，0），A 1C →=（3，4，﹣5），MC →=（0，4．﹣2），设平面A 1MC 的法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅A 1C →=3x +4y −5z =0n →⋅MC →=4y −2z =0，可得n →=（2，1，2）， ∴点A 到平面A 1MC 的距离d =|AC →⋅n →||n →|=3×2+4×1√2+1+2=103．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点．（1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．解：定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点．（1）设点C 的坐标为（x ，y ），则点B 的坐标为（2x ﹣1，2y +2）， ∵点B 为圆（x +1）2+（y +2）2＝4上的动点，∴（2x ﹣1+1）2+（2y +2+4）2＝4，即x 2+（y +3）2＝1， ∴AB 的中点C 的轨迹方程为x 2+（y +3）2＝1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2=k(x−12 )，∵圆的半径r＝1且|MN|=√3，∴圆心到直线的距离d=1 2，∴d=|1−k2|√1+k=12，解得k=34，∴直线l的方程为y+2=34(x−12)，即6x﹣8y﹣19＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1 2，此时|MN|=√3，满足条件；综上，直线l的方程为x=12或6x﹣8y﹣19＝0．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为√105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，CG＝DG，所以∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，所以CE⊥CG，因为BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以BF ∥CE ，所以BF ⊥CG ，因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以BC ⊥BF ，因为BC ，CG ⊂平面BCG ，BC ∩CG ＝C ，所以BF ⊥平面BCG ，因为BF ⊂平面BFD ，所以平面BFD ⊥平面BCG ．（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AF ＝2，AD ＝t ，则A （0，0，0），B （0，2，0），F （2，0，0），D （0，0，t ），G （﹣1，1，t ），C （0，2，t ），则AB →=(0，2，0)，AG →=(−1，1，t)，GC →=(1，1，0)，设平面ABG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AB →=0，m →⋅AG →=0，所以{m →⋅AB →=(x ，y ，z)⋅(0，2，0)=2y =0m →⋅AG →=(x ，y ，z)⋅(−1，1，t)=−x +y +tz =0，令z ＝1，y ＝0，x ＝t ，所以m →=(t ，0，1)，记直线GC 与平面ABG 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈GC →，m →〉|=|GC →⋅m →||GC →||m →|=|t|√2×√t +1=√105，解得t ＝2（负值舍去），即AD ＝2，设平面BFD 的一个法向量为n →=(x′，y′，z′)，FB →=(−2，2，0)，FD →=(−2，0，2)，则{n →⋅FB →=0n →⋅FD →=0即{−2x ′+2y ′=0−2x′+2z′=0，令x ′＝1，则n →=(1，1，1)，所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√2+1⋅√1+1+1=35×3=√155，所以平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值为√155． 22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线x ＝4于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q ．直线AP 、AQ 的斜率分别为k AP 、k AQ ．（ⅰ）求证：k AP •k AQ 为定值；（ⅱ）证明直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．解：（1）因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4＞|EF|=2√3，所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，且长轴长2a ＝4的椭圆，焦距2c =|EF|=2√3，此时b 2＝a 2﹣c 2＝1，则轨迹C 方程为x 24+y 2=1；（2）证明：（i ）不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），T （4，m ），由题可知A （﹣2，0），B （2，0），第21页（共21页）则k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AT =m−04−(−2)=m 6，因为k BP =k BT =y 1x 1−2=m 2，所以m =2y 1x 1−2，所以k AP ⋅k AQ =y 1x 1+2⋅m 6=y 1x 1+2⋅y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)，① 因为点P 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，② 联立①②，解得k AP •k AQ =−112，故k AP •k AQ 为定值；（ii ）证明：不妨设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x =ty +nx 24+y 2=1，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0，由韦达定理得{y 1+y 2=−2tn t 2+4y 1y 2=n 2−4t 2+4，由（i ）知k AP ⋅k AQ =−112，即y 1x 1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(ty 1+n+2)(ty 2+n+2)=−112，整理得n 2−44n 2+16n+16=−112，解得n ＝1或n ＝﹣2（舍去），所以直线PQ 的方程为x ＝ty +1，故直线PQ 经过定点（1，0）．。

山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。

河北省沧州市八县联考2024-2025学年高二上学期10月期中考试语文试题(含答案)

2024～2025学年度第一学期高二年级期中考试语文考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教版选择性必修上册第一至二单元、古诗词诵读。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：孔子是个言行一致的人，他不仅注重“言必信，行必果”（《子路》），而且强调“君子欲讷于言而敏于行”（《里仁》）、“君子耻其言而过其行”（《宪问》）。

《论语》虽非孔子亲笔著述，但从弟子记载其话语中，仍能明显感到他是落实自己重视文采主张的力行者。

比喻作为文学的常用修辞法，孔子一出手就技惊四方。

“为政以德，譬如北辰，居其所而众星共之”（《为政》），以“北辰”比“为政以德”的统治者，以“众星”比诸侯国和大夫，譬喻形象而意蕴丰赡。

“逝者如斯夫，不舍昼夜”（《子罕》）、“岁寒，然后知松柏之后凋也”（《子罕》），前者由感慨河水川流不息而提醒珍惜宝贵时光，后者以松柏后凋景象喻人要经得起严酷环境的考验，言简意赅而启人深思。

“知者乐水，仁者乐山；知者动，仁者静；知者乐，仁者寿”（《雍也》）。

孔子由水的川流灵动，想到智者敏锐聪慧，由山的沉稳安静，想到仁者厚重不迁，设喻奇妙，表意隽永，且气象博大。

孔子擅于比喻，也妙于夸张。

“朝闻道，夕可死矣”（《里仁》），不这样夸饰，怎能凸显他把“闻道”看得比性命还重要！“子在齐闻《韶》，三月不知肉味”（《述而》），这是以婉曲夸张法，将他在齐国痴迷韶乐而难以自拔的情景，传达得惟妙惟肖而意蕴悠长。

“不义而富且贵，于我如浮云”（《述而》），此处的“浮云”，既是比喻又是夸张，把他作为百世圣哲“谋道不谋食”“忧道不忧贫”的高尚情操和洒脱情怀，刻画得栩栩如生又感人至深。

2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷【含答案】

2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题5分）磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．903211,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．()45,162±二、多选题（每题5分）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）A ．曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．443PB ≤≤C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为()4213-10．已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 是离心率为22的椭圆C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 是渐近线方程为320x y ±=的双曲线11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（）A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为377y x =±C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为610-三、填空题（每题5分）四、解答题2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷参考答案一、单选题（每题5分）由图可知，直线l的斜率故直线l的斜率的取值范围为故选：D．3．B）()11,M x y ，()22,N x y ，抛物线当直线l 的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l 的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线联立抛物线方程可得241y x x ty ⎧=⎨=+⎩。

江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得，当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。

部编版语文高二上学期期中试题与参考答案

部编版语文高二上学期期中自测试题(答案在后面)一、现代文阅读Ⅰ（18分）阅读下面的文章，完成1～5题。

现代文阅读Ⅰ：《文化自信与创新》在当今世界，文化的交流与碰撞日益频繁，不同文化背景的人们通过各种渠道相互了解、相互学习。

在这个过程中，文化自信的重要性愈发凸显。

文化自信不仅是个人对自己文化身份的认同，更是国家软实力的重要组成部分。

一个民族的文化自信，能够促进其在国际舞台上更好地展示自己的独特魅力，同时也能够为全球文化多样性作出贡献。

然而，文化自信并不是盲目自大，而是建立在对自身文化深刻理解的基础上。

它要求我们既要继承和发扬传统文化中的精华，也要勇于面对传统文化中的不足，敢于批判和改造那些不合时宜的部分。

只有这样，我们的文化才能保持生命力，不断创新发展。

以中国书法为例，作为中国传统文化的重要载体，书法不仅是一种艺术表现形式，更承载着深厚的历史文化内涵。

随着时代的发展，传统书法面临着新的挑战。

一方面，电子化、网络化的生活方式使得越来越多的人远离了纸笔书写；另一方面，年轻一代对于传统文化的兴趣逐渐减弱。

面对这些挑战，一些书法家和文化工作者积极探索书法教育的新路径，尝试将传统书法与现代科技相结合，如利用数字技术制作书法动画，开发书法教学软件等，以此激发更多人对书法的兴趣，让这一古老的艺术形式焕发出新的活力。

文化自信还体现在对外交流中。

近年来，中国政府通过举办各类文化交流活动，如孔子学院、“一带一路”文化项目等，积极向世界展示中国优秀传统文化。

这些举措不仅增进了各国人民对中国文化的了解，也促进了中外文化的互鉴互学。

在这样的背景下，每一个中国人都是文化传播者，都有责任和义务去传播好中国声音，讲好中国故事，让世界更好地认识中国。

总之，文化自信是一个民族持续发展不可或缺的精神力量。

在全球化的大潮中，我们要坚定地守护和发展自己的文化，同时也要开放包容，吸收外来文化的有益成果，推动中华文化走向世界，为构建人类命运共同体贡献力量。

2023-2024学年湖北省部分重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为m →=(1，1，−2)，n →=(2，−2，1)，则这两条直线（） A ．相交或异面 B ．相交C ．异面D ．平行2．已知椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1的离心率为12，则m ＝（）A ．13B ．1C ．3D ．43．一束光线从点A(−√3，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（） A ．y =√3x −2B ．y =−√3x +2C ．y =−√33x +2D ．y =√33x −24．实数x ，y 满足x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，则y−1x+1的取值范围是（） A ．[512，+∞)B ．[125，+∞)C ．[0，125]D ．[0，512]5．已知△ABC 的顶点A （﹣2，1），AC 边上的高BE 所在直线方程为x +y ﹣5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为3x ﹣5y +1＝0，则高BE 的长度为（） A ．√22B ．√2C ．2√2D ．3√26．在四面体ABCD 中，已知△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝4，CD =2√7，则二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0）（b ＞c ），上顶点为B ，直线l ：3√3x ﹣4y ﹣21＝0交椭圆于P ，Q 两点，若F 恰好为△BPQ 的重心，则椭圆的离心率为（） A ．√55B ．12C ．√22D ．√328．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为√23的椭圆与经过点C （﹣2，0）的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，△OAB 的面积被x 轴分成两部分，且△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则△OAB 面积的最大值为（） A ．8√73B ．4√73C ．24√77D ．12√77二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（） A ．椭圆离心率为√32B ．|PF 1|的最小值为1C ．|PF 1|+|PF 2|＝2D ．0≤∠F 1PF 2≤π310．下列说法正确的是（）A ．已知点A （2，1），B(−1，2√3)，若过P （1，0）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3]B ．“a ＝1”是“直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行”的充要条件C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有四条公切线，则m 的取值范围为4＜m ＜20D ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有2个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√2211．如图，在多面体ABCDEP 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥P A ，P A ＝AB ＝2DE ＝2，M ，N 分别是线段BC ，PB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（不含端点D ，C ），则下列说法正确的是（）A ．存在点Q ，使得NQ ⊥PBB ．不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°C ．三棱锥Q ﹣AMN 体积的取值范围为(13，23)D ．当点Q 运动到DC 中点时，DC 与平面QMN 所成的余弦值为√6612．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1、F 2．一束光线从F 1射出，经椭圆镜面反射至F 2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为√53，左顶点和上顶点分别为A ，B ．则下列说法正确的是（） A ．椭圆的标准方程为x 29+y 24=1B ．若点P 在椭圆上，则sin ∠F 1PF 2的最大值为19C ．若点P 在椭圆上，|BP |的最大值为9√55D ．过直线y ＝x +2上一点M 分别作椭圆的切线，交椭圆于P ，Q 两点，则直线PQ 恒过定点(−92，2) 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13．圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4的公共弦所在的直线方程为．14．所有棱长都为1的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，∠BAD ＝60°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝30°，则|BM →|的值为． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1(a ＞1)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，△PQF 2的周长为4．过F 2作∠F 2AF 1外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则|ON |＝．16．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且|AB|=2√3，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知射线OA ：x ﹣y ＝0（x ≥0），OB ：x +2y ＝0（x ≥0）．过点P （3，0）作直线分别交射线OA ，OB 于点A ，B ．（1）已知点B （6，﹣3），求点A 的坐标；（2）当线段AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程．18．（12分）如图，ABCD 和ABEF 是不在同一平面上的两个矩形，DM →=13DB →，AN →=13AE →，记AB →=a →，AD →=b →，AF →=c →．请用基底{a →，b →，c →}，表示下列向量：（1）FC →；（2）MN →．19．（12分）已知圆C ，圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，圆C 2：(x −1)2+y 2=9，这三个圆有一条公共弦．（1）当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，直线l 同时满足以下三个条件：（i ）与直线√19x +y −3=0垂直；（ii ）与圆C 相切；（iii ）在y 轴上的截距大于0，若直线l 与圆C 2交于D ，E 两点，求|DE |．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠ABC =π3，H 为BC 的中点，P A ＝PB ＝PH =√2．E 为PD 上的一点，已知PD ＝4PE ．（1）证明：平面P AB ⊥平面ABCD ；（2）求平面EAC 与平面P AB 夹角的余弦值．21．（12分）已知A(−√3，1)，B ，M 是椭圆C 上的三点，其中A 、B 两点关于原点O 对称，直线MA 和MB 的斜率满足k MA •k MB =−13．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4√3，且点P(2，√3)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 、Q 是椭圆E 上的三点，且直线AB 与x 轴不垂直，点O 为坐标原点，OQ →=λOA →+μOB →，则当△AOB 的面积最大时，求λ2+μ2的值．2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为m →=(1，1，−2)，n →=(2，−2，1)，则这两条直线（） A ．相交或异面 B ．相交C ．异面D ．平行解：令m →=λn →，即（1，1，﹣2）＝λ（2，﹣2，1），则{1=2λ1=−2λ−2=λ，此方程组无解，则直线l 1，l 2不平行，即相交或异面．故选：A ． 2．已知椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1的离心率为12，则m ＝（）A ．13B ．1C ．3D ．4解：椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1，可得a 2＝m +1，b 2＝m ，所以该椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√1−m m+1=12，则m ＝3．故选：C ．3．一束光线从点A(−√3，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（） A ．y =√3x −2B ．y =−√3x +2C ．y =−√33x +2 D ．y =√33x −2解：由题意知，入射光线所在直线的斜率为tan150°=−√33，所以入射光线为y ﹣3=−√33（x +√3），整理得y =−√33x +2，令y ＝0，得x =2√3，所以入射光线与x 轴的交点为(2√3，0)，由对称性知，反射光线的斜率为√33，所以反射光线的方程为y ﹣0=√33（x ﹣2√3），即y =√33x ﹣2．故选：D ．4．实数x ，y 满足x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，则y−1x+1的取值范围是（） A ．[512，+∞) B ．[125，+∞) C ．[0，125] D ．[0，512] 解：方程x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4，所以（x ，y ）是以（2，3）为圆心，半径为2的圆上的点，y−1x+1表示点（x ，y ）与点（﹣1，1）连线的斜率，设直线y ﹣1＝k （x +1），kx ﹣y +1+k ＝0与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4相切，（2，3）到直线kx ﹣y +1+k ＝0的距离√k 2+1=√k 2+1=2，解得k ＝0或k =125，所以y−1x+1的取值范围是[0，125]．故选：C ．5．已知△ABC 的顶点A （﹣2，1），AC 边上的高BE 所在直线方程为x +y ﹣5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为3x ﹣5y +1＝0，则高BE 的长度为（） A ．√22B ．√2C ．2√2D ．3√2解：根据题意，由{x +y −5=03x −5y +1=0，解得{x =3y =2，可知B （3，2）．由直线BE 的方程为x +y ﹣5＝0，且AC 、BE 相互垂直，可知k AC =−1kBE=1，结合点A （﹣2，1），得直线AC 的方程为y ﹣1＝x +2，即x ﹣y +3＝0，因为点B 到直线AC 的距离d =|3−2+3|1+1=2√2，所以AC 边上的高BE 的长度等于2√2．故选：C ．6．在四面体ABCD 中，已知△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝4，CD =2√7，则二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：如图，取AB 中点M ，连接CM ，DM ，因为△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，所以CM ⊥AB ，DM ⊥AB ，故∠CMD 即为二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角．因为AB ＝4，所以CM ＝2，DM =2√3，所以cos ∠CMD =CM 2+DM 2−CD 22⋅CM⋅DM =4+12−282×2×2√3=−√32，所以∠CMD =5π6，即二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为5π6．故选：D ．7．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0）（b ＞c ），上顶点为B ，直线l ：3√3x ﹣4y ﹣21＝0交椭圆于P ，Q 两点，若F 恰好为△BPQ 的重心，则椭圆的离心率为（） A ．√55B ．12C ．√22D ．√32解：不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点M （x 0，y 0），因为点F 是△BPQ 的重心，所以BF →=2FM →，即（c ，﹣b ）＝2（x 0﹣c ，y 0），所以x 0=3c 2，y 0=−b2，此时x 1+x 2＝2x 0＝3c ，y 1+y 2＝2y 0＝﹣b ，因为点M 在直线l 上，所以3√3•3c 2−4•（−b2）﹣21＝0，即9√3c +4b ﹣42＝0，①因为P ，Q 两点均在椭圆上，所以{ x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，则直线l 的斜率k =y 2−y 1x 2−x 1=−b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=−b 2⋅3c a 2⋅(−b)=3√34，即√3a 2=4bc ，②又a 2＝b 2+c 2，b ＞c ③联立①②③，解得a ＝2c ，b =√3c ，则椭圆的离心率e =c a =12．故选：B ．8．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为√23的椭圆与经过点C （﹣2，0）的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，△OAB 的面积被x 轴分成两部分，且△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则△OAB 面积的最大值为（） A ．8√73B ．4√73 C ．24√77D ．12√77解：设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，设直线l 的方程为x ＝my ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y 2a 2+x 2b 2=1x =my −2，整理得：（b 2+a 2m 2）y 2﹣4ma 2y +4a 2﹣a 2b 2＝0，由椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√23，得b 2=79a 2，代入上式并整理得：（7+9m 2）y 2﹣36my +36﹣7a 2＝0，则y 1+y 2=36m 7+9m 2，y 1y 2=36−7a 27+9m 2，由△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则y 1＝﹣3y 2，则y 2=−18m7+9m 2，所以△OAB 的面积为S △OAC +S △OBC =12×|OC |×|y 1|+12|OC |×|y 2|＝|y 1﹣y 2|＝4|y 2| =4×18|m|7+9m 2≤4×18|m|2√7×9m 2=4×18|m|6√7|m|=12√77，当且仅当9m 2＝7，即m =±√73时，等号成立，故△OAB 面积的最大值为12√77．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（） A ．椭圆离心率为√32B ．|PF 1|的最小值为1C ．|PF 1|+|PF 2|＝2D ．0≤∠F 1PF 2≤π3解：因为椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，故a ＝2，b =√3，c =√4−3=1，故椭圆离心率为ca=12，A 不对；|PF 1|的最小值为：a ﹣c ＝1，B 对； |PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，C 不对；当P 与A 重合，即为短轴端点时，∠F 1PF 2取最大值，此时|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝|F 2F 1|，故∠F 1PF 2=π3，所以0≤∠F 1PF 2≤π3，故D 正确．故选：BD ．10．下列说法正确的是（）A ．已知点A （2，1），B(−1，2√3)，若过P （1，0）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3] B ．“a ＝1”是“直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行”的充要条件C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有四条公切线，则m 的取值范围为4＜m ＜20D ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有2个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22解：A 选项，k P A =1−02−1=1，所以直线P A 的倾斜角为π4， k PB =2√3−0−1−1=−√3，所以直线PB 的倾斜角为2π3，所以直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3]，A 选项正确．B 选项，由a ×（﹣a ）＝（﹣1）×1，解得a ＝±1，当a ＝1时，两直线为x ﹣y +1＝0，x ﹣y ﹣2＝0，两直线平行；当a ＝﹣1时，两直线为﹣x ﹣y +1＝0．x +y ﹣2＝0，即x +y ﹣1＝0，x +y ﹣2＝0，两直线平行，所以a ＝1是直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行的充分不必要条件，所以B 选项错误． C ．选项，C 1：x 2+y 2+2x ＝0即（x +1）2+y 2＝1，是圆心为C 1（﹣1，0），半径r 1＝1，圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝20﹣m 要表示圆，则20﹣m ＞0即m ＜20，此时圆心为C 2（2，4），半径为√20−m ，两圆有四条公切线，所以两圆外离，所以5＞1+√20−m ，解得4＜m ＜20，C 选项正确． D 选项，圆x 2+y 2＝2的圆心为（0，0），半径为√2，圆心到直线x ﹣y +1＝0的距离为√2=√22，所以圆 x 2+y 2＝2上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22，所以D 选项错误．故选：AC ．11．如图，在多面体ABCDEP 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥P A ，P A ＝AB ＝2DE ＝2，M ，N 分别是线段BC ，PB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（不含端点D ，C ），则下列说法正确的是（）A ．存在点Q ，使得NQ ⊥PBB ．不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°C ．三棱锥Q ﹣AMN 体积的取值范围为(13，23)D ．当点Q 运动到DC 中点时，DC 与平面QMN 所成的余弦值为√66解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），E （0，2，1），P （0，0，2），N （1，0，1），M （2，1，0），对于A ，假设存在点Q （m ，2，0）（0＜m ＜2），使得NQ ⊥PB ， ∵NQ →=（m ﹣1，2，﹣1），PB →=（2，0，﹣2），∴NQ →⋅PB →=2（m ﹣1）+2＝0，解得m ＝0，不合题意，故A 错误；对于B ，假设存在点Q （m ，2，0）（0＜m ＜2），使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°， ∵NQ →=（m ﹣1，2，﹣1），PE →=（0，2，﹣1）， ∴|cos ＜NQ →，PE →＞|=|NQ →⋅PE →||NQ →|⋅|PE →|=5√(m−1)+5⋅√5=cos30°=√32，解得m ＝1±√153，不符合0＜m ＜2， ∴不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成角为30°，故B 正确；对于C ，连接AQ ，AM ，AN ，DQ ＝m ，（0＜m ＜2），CQ ＝2﹣m ，∵S △AMQ ＝S ABCD ﹣S △ABM ﹣S △QCM ﹣S △ADQ ＝4﹣1−12(2−m)−m =2−m2，点N 到平面AMQ 的距离为d =12PA =1， ∴V Q ﹣AMN ＝V N ﹣AMQ =13(2−m 2)=23−m 6， ∵0＜m ＜2，∴V Q ﹣AMN ∈（13，23），故C 正确；对于D ，当点Q 运动到DC 中点时，Q （1，2，0）， ∵N （1，0，1），M （2，1，0），∴NQ →=（0，2，﹣1），NM →=（1，1，﹣1），设n →=（x ，y ，z ）是平面QMN 的法向量，则{n →⋅NQ →=2y −z =0n →⋅NM →=x +y −z =0，令y ＝1，则n →=（1，1，2），∵DC →=（2，0，0），设直线DC 与平面QMN 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos ＜DC →，n →＞|=|DC →⋅n →||DC →|⋅|n →|=22×6=√66，故D 错误．故选：BC ．12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1、F 2．一束光线从F 1射出，经椭圆镜面反射至F 2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为√53，左顶点和上顶点分别为A ，B ．则下列说法正确的是（） A ．椭圆的标准方程为x 29+y 24=1B ．若点P 在椭圆上，则sin ∠F 1PF 2的最大值为19C ．若点P 在椭圆上，|BP |的最大值为9√55D ．过直线y ＝x +2上一点M 分别作椭圆的切线，交椭圆于P ，Q 两点，则直线PQ 恒过定点(−92，2) 解：选项A ，设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），焦距为2c ，由题意知，2a ＝6，离心率e =c a =√53，所以a ＝3，c =√5，b =√a 2−c 2=2，所以椭圆的方程为x 29+y 24=1，即选项A 正确；选项B ，当点P 位于椭圆的上或下顶点时，OP 平分∠F 1PF 2，且sin ∠OPF 2=ca =√53，cos ∠OPF 2=ba =23，所以sin ∠F 1PF 2＝sin2∠OPF 2＝2sin ∠OPF 2•cos ∠OPF 2＝2×√53×23=4√59＞19，即选项B 错误；选项C ，设点P （x 0，y 0），其中y 0∈[﹣2，2]，则x 029+y 024=1，即x 02=9（1−14y 02），而B （0，2），所以|BP |2=x 02+(y 0−2)2=9（1−14y 02）+y 02−4y 0+4=−54y 02−4y 0+13=−54(y 0+85)2+815，在[﹣2，−85]上单调递增，在[−85，2]上单调递减，所以当y 0=−85时，|BP |2取得最大值815，此时|BP |max =√815=9√55，即选项C 正确；选项D ，设点M （x 1，y 1），则y 1＝x 1+2①，过点M 作椭圆的切线，切点弦所在的直线方程为x 1x 9+y 1y 4=1，即直线PQ 的方程为x 1x 9+y 1y 4=1②，联立①②，消去y 1可得，4x 1x +9x 1y +18y ﹣36＝0，整理得，（4x +9y ）x 1+18y ﹣36＝0，令{18y −36=04x +9y =0，解得{x =−92y =2，所以直线PQ 恒过定点(−92，2)，即选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13．圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4的公共弦所在的直线方程为 x ﹣2y ﹣1＝0 ．解：圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4，两圆方程相减可得x 2+y 2﹣[（x ﹣1）2+（y +2）2]＝1﹣4，即x ﹣2y ﹣1＝0，则两圆的公共弦所在直线方程为x ﹣2y ﹣1＝0．故答案为：x ﹣2y ﹣1＝0．14．所有棱长都为1的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，∠BAD ＝60°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝30°，则|BM →|的值为√52．解：因为BM →=BB 1→+B 1M →=BB 1→+12(B 1A 1→+B 1C 1→)=−12AB →+12AD →+AA 1→，所以BM →2=(−12AB →+12AD →+AA 1→)2=14AB →2+14AD →2+AA 1→2−12AB →⋅AD →−AA 1→⋅AB →+AD →⋅AA 1→=14×1+14×1+1−12×1×1×cos60°−1×1×cos30°+1×1×cos30°=54，所以|BM →|=√52．故答案为：√52． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1(a ＞1)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，△PQF 2的周长为4．过F 2作∠F 2AF 1外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则|ON |＝ √17 ．解：如图，∵PQ ∥AB ，∴|PQ||AB|=|PF 2||AF 2|=|QF 2||BF 2|=12，∵△PQF 2的周长为4，∴△ABF 2的周长|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|＝4a ＝8 ∴a ＝2，∴椭圆方程为x 24+y 23=1，c 2＝4﹣3＝1，F 1（﹣1，0），直线AB 垂直x 轴，设A （﹣1，y 0），不妨设y 0＞0，则14+y 023=1，解得y 0=32，即A(−1，32)，∴|AF 2|2=|AF 1|2+|F 1F 2|2=94+4=254，即|AF 2|=52， ∵∠F 2AF 1外角平分线AT 的垂线与直线BA 交于点N ， ∴|AF 2|=|AN|=52，又|AF 1|=32， ∴|NF 1|=52+32=4，则|ON|2=|NF 1|2+|F 1O|2=42+1=17， ∴|ON|=√17，故答案为：√17．16．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且|AB|=2√3，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为 30 ．解：|3x 1+4y 1−10|5+|3x 2+4y 2−10|5的几何意义为点A ，B 到直线3x +4y ﹣10＝0的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线3x +4y ﹣10＝0的距离的2倍，由题可知，圆O ：x 2+y 2＝4的圆心O （0，0），半径为2，|AB|=2√3，则|OM|=√22−(232)2=1，所以AB 的中点M 的轨迹是以原点O 为圆心，1为半径的圆，故点M 到直线3x +4y ﹣10＝0的最大距离√32+42+1=3，所以|3x 1+4y 1−10|5+|3x 2+4y 2−10|5的最大值为2×3＝6，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为30．故答案为：30．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知射线OA ：x ﹣y ＝0（x ≥0），OB ：x +2y ＝0（x ≥0）．过点P （3，0）作直线分别交射线OA ，OB 于点A ，B ．（1）已知点B （6，﹣3），求点A 的坐标；（2）当线段AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程．解：（1）由题意知，k BP =0−(−3)3−6=−1，因为P （3，0），所以直线BP 的方程为y ＝﹣（x ﹣3），即x +y ﹣3＝0，联立{x +y −3=0x −y =0(x ≥0)，解得{x =32y =32，即A(32，32)．（2）不妨设A （a ，a ），B （﹣2b ，b ），a ＞0，b ＜0，则线段AB 的中点为(a−2b 2，a+b2)，因为线段AB 的中点为P ，所以{a−2b2=3a+b 2=0，解得{a =2b =−2，所以A （2，2），B （4，﹣2），所以直线AB 的斜率为2−(−2)2−4=−2，因为直线AB 经过点P （3，0），所以直线AB 的方程为y ＝﹣2（x ﹣3），即2x +y ﹣6＝0，故直线AB 的方程为2x +y ﹣6＝0．18．（12分）如图，ABCD 和ABEF 是不在同一平面上的两个矩形，DM →=13DB →，AN →=13AE →，记AB →=a →，AD →=b →，AF →=c →．请用基底{a →，b →，c →}，表示下列向量：（1）FC →；（2）MN →．解：（1）FC →=FA →+AB →+BC →=−AF →+AB →+AD →=a →+b →−c →．（2）MN →=AN →−AM →=AN →−（AD →+DM →）=13AE →−（AD →+13DB →）=13（AB →+AF →）﹣[AD →+13（AB →−AD →）] =13（a →+c →）﹣[b →+13（a →−b →）] =(13−1)b →+13c →=−23b →+13c →． 19．（12分）已知圆C ，圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，圆C 2：(x −1)2+y 2=9，这三个圆有一条公共弦．（1）当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，直线l 同时满足以下三个条件：（i ）与直线√19x +y −3=0垂直；（ii ）与圆C 相切；（iii ）在y 轴上的截距大于0，若直线l 与圆C 2交于D ，E 两点，求|DE |．解：（1）依题意，由{(x +3)2+y 2=9(x −1)2+y 2=9，解得{x =−1y =−√5或{x =−1y =√5，因此圆C 1与圆C 2的公共弦的两个端点坐标分别为M(−1，−√5)，N(−1，√5)，当圆C 的面积最小时，MN 是圆C 的直径，则圆C 的圆心为（﹣1，0），半径为√5，所以圆C 的标准方程是（x +1）2+y 2＝5；（2）因为直线l 与直线√19x +y −3=0垂直，则设直线l 的方程为x −√19y +m =0，而直线l 与圆C 相切，则有d =|−1+0+m|2√5=√5，解得m ＝1或m ＝﹣9，又因为l 在y 轴上的截距大于0，即√190，所以m ＝11，即直线l 的方程为x −√19y +11=0，而圆C 2的圆心C 2（1，0），半径r 2＝3，点C 2到直线l ：x −√19y +11=0 的距离为d 2=|1+0+11|25=6√55，于是得|DE|=2√r 22−d 22=2√9−(655)2=6√55．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠ABC=π3，H为BC的中点，P A＝PB＝PH=√2．E为PD上的一点，已知PD＝4PE．（1）证明：平面P AB⊥平面ABCD；（2）求平面EAC与平面P AB夹角的余弦值．（1）证明：取AB中点O，连接PO，HO，∵P A＝PB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∵PA=√2，OA=12AB=1，∴PO=√PA2−OA2=1，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=π3，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝2，又O，H分别为AB，BC中点，∴OH=12AC=1，∴OH2+PO2＝PH2，即PO⊥OH，∵OH∩AB＝O，OH，AB⊂平面ABCD，PO⊄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD；（2）解：连接CO，由（1）知：△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，CO=√3，以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，−1，0)，C(√3，0，0)，D(√3，−2，0)，P(0，0，1)，H(√32，12，0)， ∴AC →=(√3，1，0)，PD →=(√3，−2，−1)，PH →=(√32，12，−1)，PA →=(0，−1，−1)，由PD ＝4PE 得：PE →=(√34，−12，−14)， ∴EA →=PA →−PE →=(−√34，−12，−34)，设平面EAC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AC →⊥m →EA →⊥m →⇒⇒{AC →⋅m →=0EA →⋅m →=0⇒⇒{√3x +y =0−√34x −y 2−34z =0，令z ＝1，解得：x =√3，y =−3，∴m →=(√3，−3，1)， ∵x 轴⊥平面P AB ，∴平面P AB 的一个法向量ℎ→=(1，0，0)，设平面EAC 与平面P AB 的夹角为θ，则cosθ=|cos ＜m →，ℎ→＞|=|m →⋅ℎ→||m →|⋅|ℎ→|=3√13=√3913，所以平面EAC 与平面P AB 夹角的余弦值为√3913． 21．（12分）已知A(−√3，1)，B ，M 是椭圆C 上的三点，其中A 、B 两点关于原点O 对称，直线MA 和MB 的斜率满足k MA •k MB =−13．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由．解：（1）设M （x ，y ），易知B(√3，−1)，由k MA ⋅k MB =−13，得x+√3⋅x−√3=−13，化简得x 26+y 22=1，故椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1．（2）∵点Q 是椭圆C 长轴上的不同于A 、B 的任意一点，故可设直线PN 的方程为x ＝my +x 0，P （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x =my +x 0x 26+y 22=1，得(m 2+3)y 2+2mx 0y +x 02−6=0， ∴y 1+y 2=−2mx 0m 2+3，y 1y 2=x 02−6m 2+3，Δ＞0恒成立．又|PQ|=√1+m 2|y 1|，|QN|=√1+m 2|y 2|， ∴1|PQ|+1|QN|=√1+m2(1|y 1|+1|y 2|)=√1+m 212−y 1y 2，=1√1+m 2√(y1+y 2)2−4y 1y 2−y 1y 2=1√1+m 2⋅√(−2mx 0m 2+3)2−4⋅x 02−6m 2+3−x 02−6m 2+3=26−x 02√6m 2−3x 02+18m 2+1=26−x 02√6(m 2+6−x 022)m 2+1，要使其值为定值，则6−x 022=1，故当x 02=4，即x 0＝±2时，1|PQ|+1|QN|=√6．综上，存在这样的稳定点Q （±2，0）． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4√3，且点P(2，√3)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 、Q 是椭圆E 上的三点，且直线AB 与x 轴不垂直，点O 为坐标原点，OQ →=λOA →+μOB →，则当△AOB 的面积最大时，求λ2+μ2的值．解：（1）由题意得，{2c =4√34a 2+3b 2=1a 2−b 2=c 2，解之得{a 2=16b 2=4c =2√3，故椭圆E 的方程为x 216+y 24=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx +t ．将y ＝kx +t 代入x 216+y 24=1，整理得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣16＝0，Δ＝（8kt ）2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣16）＞0，即16k 2+4﹣t 2＞0，则x 1+x 2=−8kt 1+4k2，x 1x 2=4t 2−161+4k2，故|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√16k 2−t 2+41+4k2．又原点O 到直线AB 的距离为d =|t|√1+k，所以S △AOB=12|AB|×d =12⋅√1+k 2⋅4√16k 2−t 2+41+4k 2⋅|t|√1+k=2√(16k 2−t 2+4)t 21+4k 2≤16k 2+41+4k 2=4，当且仅当16k 2﹣t 2+4＝t 2，即2+8k 2＝t 2……①时，等号成立．由OQ →=λOA →+μOB →，得{x 0=λx 1+μx 2，y 0=λy 1+μy 2，代入x 0216+y 024=1，整理得λ2(x 1216+y 124)+μ2(x 2216+y 224)+2λμ(x 1x 216+y 1y 24)=1，即λ2+μ2+2λμ(x 1x 216+y 1y 24)=1⋯⋯②．而x 1x 216+y 1y 24=x 1x 216+(kx 1+t)(kx 2+t)4=(1+4k 2)x 1x 2+4kt(x 1+x 2)+4t 216=(1+4k 2)×4t 2−161+4k2+4kt×(−8kt 1+4k2)+4t216=t 2−2−8k22(1+4k 2)．由①可知x 1x 216+y 1y 24=0，代入②式得λ2+μ2＝1．故λ2+μ2＝1的值为1．。

广东省深圳市高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试语文试题(含答案)

深圳高级中学2024-2025学年第一学期期中考试高二语文考生须知：1.本试卷共8页，23小题，满分为150分。

考试用时150分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名，填涂考号。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。

一、现代文阅读（31分）（一）现代文阅读I阅读下面的文字，完成1-5题。

（共17分）人类在进化的蒙昧时期，就已经具有一种才能，这种才能，因为没有更恰当的名字，我姑且叫它为数觉。

由于人有了这种才能，当在一个小的集合里边，增加或者减去一样东西的时候，尽管他未曾直接知道增减，他也能够辨认到其中有所变化。

数觉和计数不能混为一谈。

计数似乎是很晚以后才有的一种收获，由后文可以知道，它牵涉到一种颇为复杂的心理过程。

就我们所知，计数是一种人类独具的特性；另一方面，有若干种动物看来也具有一种和我们相类似的原始数觉。

至少，有权威的关于动物行为的观测家持有这种主张，而且有很多实例支持这种理论。

例如，许多种鸟类是具有这种数觉的。

鸟巢里若是有四个卵，那么可以安然拿去一个；但是如果拿掉两个，这鸟通常就要逃走了。

鸟会用某种奇怪的方法来辨别二和三。

但是这种才能不仅限于鸟类。

实际上，我们所知道的最惊人的例子要算叫作“独居蜂”的昆虫。

这种母蜂在每个巢里下一个卵，并且在巢里面预先储藏了一批活的尺蠖，作为幼虫孵化后的食料。

使人吃惊的是，各类独居蜂每巢里所放的尺蠖数目都是一定的。

由于蜂类行为的规律化，而且这种行为和它的生命的基本机能有密切的关系，所以上述例子不如下面的例子来得更加令人信服。

这里所举的鸟的行为，似乎已经处于自觉的边缘了。

有个田主决心要打死一只在他庄园的望楼里筑巢的乌鸦。

他试了好多次想惊动它，始终没有成功：因为人一走近，乌鸦就离开了巢，飞开了。

它栖在远远的树上守着，等到人离开了望楼，才肯飞回巢去。

2023-2024学年山东省德州市高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省德州市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，则AD →+12(DB →+DC →)=（）A ．AB →B ．AC →C ．AE →D ．DE →2．已知直线l 的一个法向量为（1，﹣2），且经过点A （1，0），则直线l 的方程为（） A ．x ﹣y ﹣1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣2y ﹣1＝0D ．x +2y ﹣1＝03．若向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →，则|b →|=（） A ．2B ．2√2C ．√6D ．2√64．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的离心率为（） A ．√5B ．√52C ．√3或√62D ．√52或√5 5．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），动点M 满足|MA|=√2|MO|，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C ．直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[﹣1，1]B ．[−√22，√22]C ．[−√32，√32] D ．[﹣2，2]6．三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 为边长为2的等边三角形，∠P AB ＝∠P AC ＝45°，PA =√2，则直线P A 与平面ABC 所成角的正弦值为（） A ．√63 B ．√33C ．√62D ．√327．双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上异于顶点的任意一点，且∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=（） A ．√33B ．√32C ．1D ．√38．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为椭圆上位于x 轴上方的两点且满足F 1M ∥F 2N ，|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |，则椭圆C 的离心率为（） A ．√10515B ．√10525C ．√10535D ．12二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则（） A ．BC 1⊥DA 1 B ．BC 1⊥CA 1C ．直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角为60°D ．直BC 1线与平面ABCD 所成的角为45°10．已知直线l ：√3x −y +1=0和圆C ：x 2+y 2+2x ＝0，则（） A ．直线l 的倾斜角为60° B ．圆C 的圆心坐标为（﹣1，0） C ．直线l 平分圆C 的周长D ．直线l 被圆C 所截的弦长为√311．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2AD ＝12，PM →=2MC →，N 为PD 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（）A ．MN →=(−8，−1，2)B ．PC ⊥BDC ．直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55D ．点A 到平面PBD 的距离为4√312．抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），M （﹣1，0），则（） A ．|AB |最小值为4B ．△AMB 可能为钝角三角形C ．当直线l 的倾斜角为60°时，△AFM 与△BFM 面积之比为3D ．当直线AM 与抛物线C 只有一个公共点时，|AB |＝4 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3，m ＝． 14．若x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m 的取值范围为．15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B ﹣AA 1﹣C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为． 16．已知圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 坐标为；|PC 1|2+|PC 2|2的最小值为．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝4，AD ＝3，AA '＝5，∠BAD ＝∠BAA '＝∠DAA '＝60°，且点F 为BC '与B 'C 的交点，点E 在线段AC '上，且AE ＝2EC '．（1）求AC '的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA ′→来进行表示．设EF →=xAB →+yAD →+zAA′→，求x ，y ，z 的值．18．（12分）已知直线l 1：（m +2）x +my ﹣6＝0和直线l 2：mx +y ﹣3＝0，其中m 为实数．（1）若l 1⊥l 2，求m 的值；（2）若点P （1，2m ）在直线l 2上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．19．（12分）已知圆C 的圆心在直线2x ﹣y ﹣2＝0上，且与直线l ：3x +4y ﹣28＝0相切于点P （4，4）．（1）求圆C 的方程；（2）求过点Q （﹣4，1）与圆C 相切的直线方程．20．（12分）如图，两个等腰直角△P AC 和△ABC ，AC ＝BC ，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，M 为斜边AB 的中点．（1）求证：AC ⊥PM ；（2）求二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值．21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜10），F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影，且|DE|=45|DF|．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，求证：AB 过定点． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别F 1、F 2，长轴长为2√2，且椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若F 1P →=λQF 1→且λ∈[12，2]，求OP →⋅OQ →的最大值．2023-2024学年山东省德州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，则AD →+12(DB →+DC →)=（） A ．AB →B ．AC →C ．AE →D ．DE →解：如图所示：所以AD →+12(DB →+DC →)=AD →+DE →=AE →．故选：C ．2．已知直线l 的一个法向量为（1，﹣2），且经过点A （1，0），则直线l 的方程为（） A ．x ﹣y ﹣1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣2y ﹣1＝0D ．x +2y ﹣1＝0解：因为直线l 的一个法向量为（1，﹣2），所以可设直线方程为x ﹣2y +m ＝0，因为直线经过点A （1，0），所以m ＝﹣1，则直线l 的方程为x ﹣2y ﹣1＝0．故选：C ．3．若向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →，则|b →|=（） A ．2B ．2√2C ．√6D ．2√6解：由于向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →，故x −2=−12=2y，解得x ＝1，y ＝﹣4；故b →=(−2，2，−4)，所以|b →|=√(−2)2+22+(−4)2=2√6．故选：D ．4．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的离心率为（） A ．√5B ．√52C ．√3或√62D ．√52或√5 解：双曲线的焦点在y 轴时，设双曲线方程为：y 2a 2−x 2b 2=1，a ＞0，b ＞0，双曲线的一条渐近线为y ＝2x ，可得a ＝2b ，可得离心率e =c a =√a 2+b2a 2=√52，故此双曲线的离心率为：√52．故选：B ．5．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），动点M 满足|MA|=√2|MO|，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C ．直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[﹣1，1]B ．[−√22，√22]C ．[−√32，√32] D ．[﹣2，2]解：设点M （x ，y ）， ∵|MA|=√2|MO|， ∴（x +3）2+y 2＝2x 2+2y 2，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣9＝0，即圆心（3，0）半径r ＝3√2，∵直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点则圆心（3，0）到直线kx ﹣y +3k ＝0的距离d =|6k|√k +1≤3√2，∴18k 2≤18，即k 2≤1， ∴﹣1≤k ≤1，则k 的取值范围是[﹣1，1]．故选：A ．6．三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 为边长为2的等边三角形，∠P AB ＝∠P AC ＝45°，PA =√2，则直线P A 与平面ABC 所成角的正弦值为（）A ．√63B ．√33C ．√62D ．√32解：如图，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，们为底而ABC 为边长为2的等边三角形，且∠PAB =∠PAC =45°，则△P AB ≅△P AC ，即PB ＝PC ，所以PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，且AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以BC ⊥平面P AD ，且P A ⊂平面P AD ，所以P A ⊥BC ，则AP 在平面ABC 的投影落在AD 上，所以∠PAD 为直线P A 与平而ABC 所成角，且PA =√2，AB =2，∠PAB =45°，由余弦定理可得， PC =PB =√22+(√2)2−2×2×√2×√22=√2，则PD =√(√2)2−12=1，AD =√22−12=√3，所以AD 2＝AP 2+PD 2，即∠APD =90°，所以sin ∠PAD =PDAD =13=√33，故选：B ． 7．双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上异于顶点的任意一点，且∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=（） A ．√33B ．√32C ．1D ．√3解：双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，可得a =√2，c =√3，不妨设P 在第一象限，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2√2，m 2+n 2﹣2mn ＝8， ∠F 1PF 2＝60°，可得4c 2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°＝12，可得8+2mn ﹣mn ＝12，可得mn ＝4，则S △F 1PF 2=12mn sin60°=12×4×√32=√3．故选：D ． 8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为椭圆上位于x 轴上方的两点且满足F 1M ∥F 2N ，|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |，则椭圆C 的离心率为（） A ．√10515B ．√10525C ．√10535D ．12解：如图，设|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |＝4x ，则|F 1M |+|F 2M |＝4x +2x ＝2a ，∴x =a 3， ∴|F 1M |＝4x =4a 3，|F 2M |＝2x =2a 3，|F 2N |＝x =a 3， ∴|F 1N |＝2a ﹣|F 2N |＝2a ﹣x =5a3，又|F 1F 2|＝2c ，又F 1M ∥F 2N ，∴∠MF 1F 2+∠F 1F 2N ＝π， ∴cos ∠MF 1F 2+cos ∠F 1F 2N ＝0， ∴4c 2+16a 29−4a 292⋅2c⋅4a 3+4c 2+a 29−25a 292⋅2c⋅a 3=0，∴4c 2+4a 2316ac 3+4c 2−8a 234ac 3=0，∴20c 2=28a 23，∴c 2a 2=715，∴椭圆C 的离心率e =c a =√10515．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则（） A ．BC 1⊥DA 1B ．BC 1⊥CA 1C ．直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角为60° D ．直BC 1线与平面ABCD 所成的角为45° 解：如图，如图在正方体中，BC 1∥AD 1，AD 1⊥A 1D ，则BC 1⊥A 1D ，所以A 正确； BC 1⊥A 1D ，BC 1⊥DC ，A 1D ∩DC ＝D ，则BC 1⊥平面A 1DC ， CA 1⊂平面A 1DC ，所以BC 1⊥CA 1，所以B 正确；设正方体棱长为1，边C 1作C 1H ⊥B 1D 1于H ，连接BH ，则∠C 1BH 即为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角，sin∠C 1BH =C 1H BC 1=12⇒∠C 1BH =30°，所以C 错误；对于D ，易知∠C 1BC 即为直线BC 1线与平而ABCD 所成的角，∠C 1BC =45°，所以D 正确．故选：ABD ．10．已知直线l ：√3x −y +1=0和圆C ：x 2+y 2+2x ＝0，则（） A ．直线l 的倾斜角为60° B ．圆C 的圆心坐标为（﹣1，0） C ．直线l 平分圆C 的周长D ．直线l 被圆C 所截的弦长为√3解：将直线l 的方程变形可得y =√3x +1，可知斜率k =√3，所以直线l 的倾斜角为60°，可知A 正确；将C ：x 2+y 2+2x ＝0改写成标准方程为（x +1）2+y 2＝1，即可得C 的圆心坐标为（﹣1，0），所以B 正确；易知直线l ：√3x −y +1=0不过圆心（﹣1，0），可知直线l 没有平分圆C 的周长，即C 错误；易知圆的半径r ＝1，圆心（﹣1，0）到直线l ：√3x −y +1=0的距离为d =|−3+1|√3+1=√3−12，所以弦长为2√r 2−d 2=2√1−(3−12)2=√2√3，可得D 错误．故选：AB ．11．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2AD ＝12，PM →=2MC →，N 为PD 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（）A ．MN →=(−8，−1，2)B ．PC ⊥BDC ．直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55D ．点A 到平面PBD 的距离为4√3解：依题意，A （0，0，0），B （12，0，0），C （12，6，0），D （0，6，0），P （0，0，12），对于A ，PC →=(12，6，−12)，PD →=(0，6，−12)，MN →=PN →−PM →=12PD →−23PC →=(−8，−1，2)，故A 正确；对于B ，PC →=(12，6，−12)，BD →=(−12，6，0)，PC →⋅BD →=12×(−12)+6×6≠0，即PC 与BD 不垂直，故B 错误；对于C ，BC →=(0，6，0)，PD →=(0，6，−12)，cos ＜BC →，PD →＞=BC →⋅PD →|BC →||PD →|=366×√36+144=√55，所以直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55，故C 正确；对于D ，设平面PBD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PD →=6y −12z =0n →⋅BD →=−12x +6y =0，令x ＝1，得n →=(1，2，1)，AD →=(0，6，0)，所以点A 到平面PBD 的距离d =|AD →⋅n →||n →|=12√6=2√6，故D 错误．故选：AC ．12．抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），M （﹣1，0），则（） A ．|AB |最小值为4B ．△AMB 可能为钝角三角形C ．当直线l 的倾斜角为60°时，△AFM 与△BFM 面积之比为3D ．当直线AM 与抛物线C 只有一个公共点时，|AB |＝4解：A 中，抛物线C ：y 2＝4x ，所以焦点F （1，0），当AB 为通径时，|AB |为最小值，此时直线l 的方程为x ＝1时，代入抛物线的方程，可得|AB |＝4，当直线的斜率为0时，直线为x 轴，与抛物线的只有一个交点，不符合题意，当直线的斜率不为0，且直线的斜率存在时，设直线l 的方程为x ＝my +1，m ≠0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +1y 2=4x，整理可得y 2﹣4my ﹣4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，所以x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2＝4m 2+2，由抛物线的性质可得：|AB |＝x 1+x 2+2＝4m 2+4＞4，所以|AB |的最小值为4，所以A 正确；B 中，当k ＝1时，联立{y =x −1y 2=4x，整理可得x 2﹣6x +1＝0，解得x ＝3±2√2，设A （3+2√2，2+2√2），B （3﹣2√2，2﹣2√2），BA →=（4√2，4√2），BM →=（﹣4+2√2，2√2−2），所以BM →•BA →=4√2•（﹣4+2√2）+4√2（2√2−2）＝4√2（4√2−6）＜0，所以cos ∠ABM =BM →⋅BA→|BM →|⋅|BA →|＜0，所以∠ABM 为钝角，即△ABM 为钝角三角形，所以B 正确；C 中，当直线l 的倾斜角为60°时，直线方程为y =√3（x ﹣1），由选项A 的分析可知可知3x 2﹣10x +3＝0，可得x 1＝3，x 2=13，代入直线方程可得|y 1|＝2√3，|y 2|=2√33， △AFM 与△BFM的面积之比为12|MF|⋅|y 1|12|MF|⋅|y 2|=3，故C 正确；D 中，因为点A 在第一象限，直线的斜率不可能为零，设直线AM 的方程为x ＝my ﹣1，联立{x =my −1y 2=4x ，整理可得y 2﹣4my +4＝0，Δ＝16m 2﹣16＝0，可得m ＝±1，又因为点A 在第一象限，所以m ＝1，此时y 2﹣4y +4＝0，可得y ＝2，所以A （1，2），直线l 的斜率不存在时，|AB |＝4，故D 正确．故选：ABCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3，m ＝ 0 ．解：a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3， ∴cos ＜a →，e →＞=−1√4+m 2=−12，解得m ＝0．故答案为：0．14．若x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．解：由于x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m （m +1）＞0，解得m ＞0或m ＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B ﹣AA 1﹣C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为 √24．解：如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ， ∴二面角B ﹣AA 1﹣C 1的平面角即为∠BAC ，且为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，由题意知侧面与底面垂直，由面面垂直的性质定理可知，B 到AC 的距离为√3， ∵点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，同理可知，C 到AB 的距离为2√3， ∴在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝2√3，AC ＝4，∠ABC ＝90°， ∴AB 1→⋅BC 1→=（BB 1→−BA →）•（BB 1→+BC →）=BB 1→2=AA 1→2=4， ∵|AB 1→|=√22+22=2√2，|BC 1→|=√22+(2√3)2=4， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC→|AB 1→|⋅|BC 1→|=√24，∴直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为√24．故答案为：√24．16．已知圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 坐标为 (12，−1) ；|PC 1|2+|PC 2|2的最小值为710．解：由圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0，可得2kx ﹣y +ky ﹣1＝0，即k （2x +y ）+（﹣y ﹣1）＝0，所以{2x +y =0−y −1=0，解得{x =12y =−1，所以点P(12，−1)，又C 1（2k ，﹣1），C 2（0，﹣k ），则|PC 1|2+|PC 2|2=(2k −12)2+(12)2+(−1+k)2=5k 2−4k +32=5(k −25)2+710，所以当k =25时，|PC 1|2+|PC 2|2取最小值为710，经检验，当k =25时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意．故答案为：(12，−1)；710．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝4，AD ＝3，AA '＝5，∠BAD ＝∠BAA '＝∠DAA '＝60°，且点F 为BC '与B 'C 的交点，点E 在线段AC '上，且AE ＝2EC '．（1）求AC '的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA ′→来进行表示．设EF →=xAB →+yAD →+zAA′→，求x ，y ，z 的值．解：（1）由于AC ′→=AB →+AD →+AA′→，所以AC ′→2=AB →2+AD →2+AA′→2+2(AB →⋅AD →+AB →⋅AA′→+AD →⋅AA′→)=42+32+52+2×3×4×12+2×4×5×12+2×3×5×12=16+9+25+12+15+20＝97，故AC ′=√97．（2）利用向量的线性运算，EF →=C′F →+EC′→=13AC′→−12BC′→=13(AB →+AD →+AA′→)−12(AD →+AA′→)=13AB →−16AD →−16AA′→， ∴x =13，y =z =−16．18．（12分）已知直线l 1：（m +2）x +my ﹣6＝0和直线l 2：mx +y ﹣3＝0，其中m 为实数．（1）若l 1⊥l 2，求m 的值；（2）若点P （1，2m ）在直线l 2上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．解：（1）若m ＝0，则直线l 1：2x ﹣6＝0，即x ＝3，l 2：y ＝3，两直线垂直，符合题意；若m ≠0，则−m+2m⋅(−m)=−1，解得m ＝﹣3．综上所述，m ＝﹣3或0．（2）由P （1，2m ）在直线l 2上，则m +2m ﹣3＝0，解得m ＝1，故P （1，2）显然直线l 的斜率一定存在且不为0，设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x ﹣1），令x ＝0，可得y ＝2﹣k ，再令y ＝0，可得x =k−2k ，在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数，所以k−2k=−(2−k)，解得k ＝2或k ＝1，所以直线l 的方程为2x ﹣y ＝0或x ﹣y +1＝0．19．（12分）已知圆C 的圆心在直线2x ﹣y ﹣2＝0上，且与直线l ：3x +4y ﹣28＝0相切于点P （4，4）．（1）求圆C 的方程；（2）求过点Q （﹣4，1）与圆C 相切的直线方程．解（1）根据题意，直线l ：3x +4y ﹣28＝0，其斜率为−34，则过点P （4，4）与直线l ：3x +4y ﹣28＝0垂直的直线m 的斜率为k =43，所以直线m 的方程为y −4=43(x −4)，即4x ﹣3y ﹣4＝0．由{4x −3y −4=02x −y −2=0，解可得{x =1y =0，即C （1，0），所以圆C 的半径r =√(4−1)2+(4−0)2=5．故圆C 的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝25．（2）根据题意，分2种情况讨论：①若过点Q （﹣4，1）的直线斜率不存在，即直线是x ＝﹣4，与圆相切，符合题意； ②若过点Q （﹣4，1）的直线斜率存在，设直线方程为y ﹣1＝k （x +4），即kx ﹣y +4k +1＝0，若直线与圆C 相切，则有√k 2+1=5，解得k =125．此时直线的方程为12x ﹣5y +53＝0．综上，切线的方程为x ＝﹣4或12x ﹣5y +53＝0．20．（12分）如图，两个等腰直角△P AC 和△ABC ，AC ＝BC ，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，M 为斜边AB 的中点．（1）求证：AC ⊥PM ；（2）求二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值．（1）证明：取AC 中点D ，连接MD ，PD ，如图，又M 为AB 的中点，所以MD ∥BC ，又AC ⊥BC ，则MD ⊥AC ，又△P AC 为等腰直角三角形，P A ⊥PC ，P A ＝PC ，所以PD ⊥AC ，又MD ∩PD ＝D ，MD ，PD ⊂平面PMD ，所以AC ⊥平面PMD ，又PM ⊂平面PMD ，所以AC ⊥PM ；（2）解：由（1）知，PD ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PD ⊂平面P AC ，所以PD ⊥平面ABC ，即PD ，AC ，DM 两两互相垂直，故以D 为原点，DA →，DM →，DP →为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设AC ＝2，则A （1，0，0），B （﹣1，2，0），C （﹣1，0，0），P （0，0，1），所以CP →=(1，0，1)，CM →=(1，1，0)，设n →=(x ，y ，z)为平面PCM 的一个法向量，由n →⊥CP →，n →⊥CM →，则有{CP →⋅n →=x +z =0CM →⋅n →=x +y =0，令z ＝1，即n →=(−1，1，1)，取平面BCM 的一个法向量为m →=(0，0，1)，则cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=13=√33，由图可知，二面角P ﹣CM ﹣B 的平面角为钝角，故二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值为−√33．21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜10），F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影，且|DE|=45|DF|．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，求证：AB 过定点．解：（1）因为F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影，所以|DE|=4√p ，|DF|=8+p2，因为|DE|=45|DF|，所以4√p =45(8+p 2)，对等式两边同时平方并整理得p 2﹣68p +256＝0，解得p ＝8或p ＝64，因为0＜p ＜10，所以p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：当直线l 的斜率为0时，直线l 与抛物线交于一点，不符合题意，所以直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +ny 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my ﹣8n ＝0，此时Δ＝64m 2+32n ，当Δ＞0时，由韦达定理得y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝﹣8n ，所以x 1⋅x 2=y 128⋅y 228=n 2，因为OA ⊥OB ，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=n 2−8n =0，解得n ＝8，此时满足Δ＞0，故AB 过定点（8，0）． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别F 1、F 2，长轴长为2√2，且椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若F 1P →=λQF 1→且λ∈[12，2]，求OP →⋅OQ →的最大值．解：（1）∵椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，双曲线的离心率为√2， ∴椭圆的离心率e =√22，又长轴长为2a =2√2，∴a =√2，∴c ＝1，∴b 2＝1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则F 1P →=(x 1+1，y 1)，QF 1→=(−1−x 2，−y 2)，∵F 1P →=λQF 1→，∴{x 1+1=λ(−1−x 2)y 1=−λy 2，即{x 1=−λx 2−λ−1y 1=−λy 2，∴{(−λx 2−λ−1)22+λ2y 22=1x 222+y 22=1，解得x 2=1−3λ2λ．∴OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−λx 2−λ−1)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ=74−58(λ+1λ)． ∵λ∈[12，2]，∴λ+1λ≥2，当且仅当λ=1λ，即λ＝1时，取等号． ∴OP →⋅OQ →最大值为12．。

2024-2025学年天立教育高二数学第一学期期中测试卷附答案解析

2024-2025学年天立教育高二数学第一学期期中测试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是A. B. C. D.2.要得到函数π2sin(24y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（）A.向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）3.“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为1x ，网络评分的平均分为2x ，所有评委与场外学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是（）A.122x x x +< B.122x x x +=C.122x x x +>D.x 与122x x +关系不确定5.已知函数()2xf x x =-，方程()()=f x f x -有三个解123,,x x x ，则()123f x x x ++=（）A.0B.1C.2D.36.若0.6a =，sin 0.6b =，tan 0.6c =，则（）A.c a b>> B.a b c>> C.a c b>> D.b c a >>7.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不．成立．．的是（）A.CD =B.0CA CE ⋅=C.AB与DE共线D.CA CB CE CD⋅=⋅8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1BB 的中点，平面1A DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为1V ，2V ，()12V V <，则12V V =（）A.519B.13C.717D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若0a b <<，则22a b >C.若22ac bc >，则a b> D.若4ab =，则4a b +≥10.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件11.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的线段1A D 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使//CM 平面11A BCB.点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥C.若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值13D.存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为_______．13.若实数,x y 满足22x y +=，则224x y +的最小值为______；24x y +的最小值为________．14.函数()2221f x ax x a =+-+在[1，3]上有且只有一个零点，则a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++；（2）31log 529-.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,DD BD BB ，的中点，（1）求证：EF CF ⊥;（2）求点G 到平面EFC 的距离.17.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x （()f x 值越大，表示接受能力越强），f x （）与x 的函数关系为：()20.1 2.644,01060,10153105,152530,2540x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩．（1）上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）若一个数学难题，需要56及以上的接受能力（即()56f x ≥）以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 2的正方形，PA BD ⊥．（1）求证：=PB PD ；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD所成角的大小．19.已知函数2()(2)2f x ax a x =-++，(R)a ∈.（1）当2a =-时，()ln ()g x f x =，则不等式()(21)g x g x <-的解集；（2）若存在0m >使关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围天立教育2024-2025学年高二第一学期期中测试数学试卷（备选卷）本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是A. B. C. D.【答案】D 【解析】【详解】方程f （x ）-2=0在（-∞，0）上有解，∴函数y=f （x ）与y=2在（-∞，0）上有交点，分别观察直线y=2与函数f （x ）的图象在（-∞，0）上交点的情况，选项A ，B ，C 无交点，D 有交点，故选D点睛：这个题目考查了方程有解的问题，把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，要求图像的画法要准确．2.要得到函数π2sin(24y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（）A.向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断可得；【详解】解：将函数2sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度得到函数2sin(4y x π=+的图象，再将2sin(4y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，∴要得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），故选：B ．3.“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若1a <-，且1b <-，根据不等式的加法和乘法法则可得2a b +<-，且1ab >，即必要性成立；当13,2=-=-a b ，满足2a b +<-，且1ab >，但是112b =->-，故充分性不成立，所以“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的必要不充分条件.故选：B4.为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为1x ，网络评分的平均分为2x ，所有评委与场外学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是（）A.122x x x +< B.122x x x +=C.122x x x +>D.x 与122x x +关系不确定【答案】C 【解析】【分析】根据表格数据及频率直方图求1x 、2x ，若场外学生有a 人可得639.37ax a +=+且100a >，即可比较122x x x +的大小关系.【详解】由题设，110898910997x ++++++==，270.180.190.2100.69.3x =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴129.152x x +=，若场外学生有a 人，则639.3 2.19.377a x a a +==-++，又100a >，∴9.15x >，即122x x x +>.故选：C5.已知函数()2xf x x =-，方程()()=f x f x -有三个解123,,x x x ，则()123f x x x ++=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】变换得到2202x x x ---=，设()222xxg x x --=-，确定函数为奇函数，得到130x x +=，20x =，计算得到答案.【详解】()2xf x x =-，()()=f x f x -，即22x x x x --=+，即2202x x x ---=，设()222xxg x x --=-，函数定义域为R ，()()222x x g x x g x -+==---，函数()g x 为奇函数，()00g =，不妨取123x x x <<，则130x x +=，20x =，()()12301f x x x f ++==.故选：B.6.若0.6a =，sin 0.6b =，tan 0.6c =，则（）A.c a b >>B.a b c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】设扇形OBC 的面积为1S ，由三角函数线结合1OBC OBD S S S << 得到答案.【详解】画出π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的三角函数线，如下：则sin AC θ= ，tan BD θ=， BCθ=，设扇形OBC 的面积为1S ，则112S θ=，1111sin ,tan 2222OBC OBD S OB AC S OB BD θθ=⋅⋅==⋅= ，又1OBC OBD S S S << ，故111sin tan 222θθθ<<，所以sin tan <<θθθ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π0.60,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0.60.6tan 0.6<<.所以c a b >>.故选：A7.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不．成立．．的是（）A.CD =B.0CA CE ⋅=C.AB 与DE共线D.CA CB CE CD⋅=⋅ 【答案】D 【解析】【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定.【详解】设BC DE m ==，∠A =30°，且,,B C D 三点共线，则CD AB ==，2AC EC m ==，60ACB CED ∠=∠=︒，90ACE ∠=︒，所以,·0,//CD CA CE AB DE ==.故A 、B 、C 成立，D 不成立.故选：D8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1BB 的中点，平面1A DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为1V ，2V ，()12V V <，则12V V =（）A.519B.13C.717D.12【答案】C 【解析】【分析】如图，取BC 的中点N ，连接1,,MN ND B C ，则可得梯形1MNDA 为平面1A DM 所在的截面，则1V 为三棱台1BMN AA D -的体积，设正方体的棱长为2，先求出1V ，从而可求出2V ，进而可求出12V V的值【详解】如图，取BC 的中点N ，连接1,,MN ND B C ，因为M 为棱1BB 的中点，所以MN ∥1B C ，112MN B C =，因为11A B ∥CD ,11A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以1B C ∥1A D ，11B C A D =，所以MN ∥1A D ，112MN A D =，所以梯形1MNDA 为平面1A DM 所在的截面，则1V 为三棱台1BMN AA D -的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为111111,222222BMN AA D S S =⨯⨯==⨯⨯= ，所以111(3BMN AA D S V S AB =++⋅ 117212323⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭,所以217178833V V =-=-=，所以12717V V =，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若a b >，则11a b <B.若0a b <<，则22a b >C.若22ac bc >，则a b> D.若4ab =，则4a b +≥【答案】BC【解析】【分析】根据不等式性质，结合特值法对每个选项逐一分析即可.【详解】A ：不妨取1,1a b ==-，满足a b >，但1111a b =>=-，故错误；B ：因为()()22a b a b a b -=+-，由0a b <<，故可得220a b ->，即22a b >，故正确；C ：因为22ac bc >，不等式两边同除以不为零的常数2c ，即可得a b >，故正确；D ：不妨取1,4a b =-=-，满足4ab =，但54a b +=-<，故错误.综上所述，正确的选项是：BC.故选：BC.10.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件【答案】ACD【解析】【分析】运用互斥事件、对立事件的定义可判断B 项、D 项，运用概率的加法公式及相互独立事件的概率公式计算可判断A 项、C 项.【详解】对于A ，若取出的两件都是次品，其概率()()10.810.90.20.10.02P =-⨯-=⨯=，故A 项正确；对于B ，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B 项错误；对于C ，恰有一件正品，其概率()()0.810.910.80.90.080.180.26P =⨯-+-⨯=+=，故C 项正确；对于D ，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D 项正确；故选：ACD .11.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的线段1A D 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使//CM 平面11A BC B.点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥C.若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值13D.存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o【答案】ABC【解析】【分析】取1A D 的中点为M ，则可证明//CM 平面11A BC ，又可证明1AD ⊥平面1A DC ，从而可判断B 的正误，通过计算可判断CD 的正误.【详解】连接1AD ，取1AD 与1A D 的交点为M ，连接11,B C BC ，它们的交点为N ，连接1111,,A N A C A B .由正方体1111ABCD A B C D -可得1111//,=,A B CD A B CD 故四边形11A B CD 为平行四边形，故11//A D B C ，11=A D B C .由正方形11A D DC 为正方形可得M 为1A D 的中点，同理N 为1B C 的中点，故11//,=,A M NC A M NC 所以四边形1A NCM 为平行四边形，故1//A N CM ，因为CM ⊄平面11A C B ，1A N ⊂平面11A C B ，故//CM 平面11A C B ，故A 正确.由正方体1111ABCD A B C D -可得11A B ⊥平面11A ADD ，而1AD ⊂平面11A ADD ，故111A B AD ⊥，由正方形11A D DA 可得11A D AD ⊥，而1111A B A D A = ，故1AD ⊥平面11A B CD ，无论M 在1A D 何处，总有CM ⊂平面11A B CD ，故1AD CM ⊥，故B 成立.当M 变化时，B 到平面1MDC 的距离为定值，当M 与1A 重合时，三棱锥1B C MD -的体积最大，此时113111141411323B C MD C BDC V V --=-⨯=-⨯⨯⨯⨯=，故C 正确.设正方体的棱长为1，因为11//AB C D ，故异面直线1C M 与AB 所成的角即为11MC D ∠或其补角，在直角三角形11D C M中，112D M ≤≤,，故11111tan ,12D M MC D D C ⎤∠=∈⎥⎣⎦，故不存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o.故选：ABC.【点睛】思路点睛：对于与立体几何中的动点的恒成立线线关系问题，一般可转化为线面关系的判定问题，而与动点相关的最值或范围问题，则通过极端位置对应的值来讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为_______．【答案】14+【解析】【分析】根据题意分别计算圆锥和圆柱的表面积，然后计算比值即可.【详解】由图得：圆锥的表面积是由底面和侧面构成，则221(1S R R R πππ=+⨯⨯=+，圆柱的表面积是由上下底面和侧面构成，则222224S R R R R πππ=+⨯=,所以圆锥的表面积和圆柱的表面积之比:(212211244R S S R ππ++==,故答案为：14+.【点睛】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．13.若实数,x y 满足22x y +=，则224x y +的最小值为______；24x y +的最小值为________．【答案】①.2②.4【解析】【分析】利用基本不等式的变形22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可直接求得224x y +的最小值；根据a b +≥可求得24x y +的最小值.【详解】22242122x y x y ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭（当且仅当2x y =时取等号），224x y ∴+的最小值为2；20x > ，40y >，224224x y x y ∴+=+≥（当且仅当222x y =，即2x y =时取等号），24x y ∴+的最小值为4.故答案为：2；4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14.函数()2221f x ax x a =+-+在[1，3]上有且只有一个零点，则a 的取值范围是__________.【答案】(,1][3,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可得答案；【详解】当0a >时，对称轴10x a=-<，原函数在[1，3]上有且只有一个零点，则(1)30(3)770f a f a =-≤⎧⎨=+≥⎩，得3a ≥；当0a <时，由于()0210f a =-+>，要使原函数在[1，3]上有且只有一个零点，则(1)30(3)770f a f a =-≥⎧⎨=+≤⎩得1a ≤-；当0a =时，()21f x x =+在[1，3]上没有零点.综上所述：a 的取值范围是][,(),13∞-⋃+∞-.故答案为：][,(),13∞-⋃+∞-.【点睛】本题考查根据二次函数零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++；（2）31log 529-.【答案】（1）54；（2）325．【解析】【分析】（1）利用对数换底公式及对数性质计算得解.（2）利用指数运算及指数与对数互化关系计算即得.【小问1详解】32248393223log 2log 3log 3(log 3log 3)(log 2log 2)()(log 2)log 4log 8log 9++=++322323log 2log 3log 3535()(log 2)log 3log 2232624=++=⋅⋅=.【小问2详解】31log 529-33331log 2(log 5)1log 25252333325--====.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,DD BD BB ，的中点，（1）求证：EF CF ⊥;（2）求点G 到平面EFC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）263.【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标和EF ，CF 的坐标，根据数量积的结果，即可证明；（2）求得平面EFC 的法向量和CG 的坐标，以及CG在法向量上的投影向量的模长，即可求得结果.【小问1详解】建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如下所示：则()()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0,2,2,1E F C G ，()()1,1,1,1,1,0,EF CF =-=- ()()1111100EF CF ⋅=⨯+⨯-+-⨯= ，则EF CF ⊥ ，故EF CF ⊥.【小问2详解】因为()0,2,1CE =- ，设平面CEF 的法向量为n (,,)x y z =，则有,,n CE n CF ⊥⊥ 故00n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200y z x y -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，则1,2x z ==，即()1,1,2n = ，又()2,0,1CG = ，所以点G 到平面CEF的距离3CG n d n ⋅= .17.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x （()f x 值越大，表示接受能力越强），f x （）与x 的函数关系为：()20.1 2.644,01060,10153105,152530,2540x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩．（1）上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）若一个数学难题，需要56及以上的接受能力（即()56f x ≥）以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？【答案】（1）开始10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；（2）不能.【解析】【分析】（1）分别求出各段的最大值即可得解；（2）分段求解不等式()56f x ≥即可得解.【小问1详解】由题意可知，当010x <≤时，()()20.11360.9f x x =--+，所以当10x =时，的最大值为60，因为当1015x <≤时，()60f x =，当1525x <≤时，()()1560f x f <=，当2540x <≤时，()30f x =.所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟.【小问2详解】当010x <≤时，()20.1 2.64456f x x x =-++≥，解得610x ≤≤，当1015x <≤时，()6056f x =>，满足要求，当1525x <≤时，310556x -+≥，解得115163x <≤，故111661033-=分钟12<分钟，老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的正方形，PA BD ⊥．（1）求证：=PB PD ；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）6π.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证出BD ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质定理得BD PO ⊥，在PBD △中再证明=PB PD ；（2）先证明,,AB AP AD 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量，再求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值，最后确定角.【详解】（1）连接,AC BD ，,AC BD 交于点O ，因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥且O 为BD 的中点.又,,PA BD PA AC A ⊥⋂=所以BD ⊥平面PAC ，由于PO ⊂平面PAC ,故BD PO ⊥.又BO DO =,故=PB PD .（2）设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,EQ //CD ，12EQ CD =,所以AFEQ 为平行四边形，EF //AQ ，因为⊥EF 平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q ,所以AP AD ==.由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A= 所以CD ⊥平面PAD所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥,所以PA ⊥平面ABCD由题意,,,AB AP AD 两两垂直，,以A 为坐标原点,向量,,AB AD AP的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,0),(0,),(0,(0,0,22A B Q D P(0,,),22AQ PB == AQ 为平面PCD 的一个法向量.设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2PB AQ PB AQθ⋅==⋅ 所以直线PB 与平面PCD 所成角为6π.19.已知函数2()(2)2f x ax a x =-++，(R)a ∈.（1）当2a =-时，()ln ()g x f x =，则不等式()(21)g x g x <-的解集；（2）若存在0m >使关于x 的方程1(||)1f x m m =++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）(,4-∞--【解析】【分析】（1）根据题意得到()2()ln 22g x x =-+，然后结合函数的单调性解不等式即可；（2）先令11t m m =++，再根据0m >，得到3t ≥，再将21(2)21a x a x m m-++=++有四个不同的实根可转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不等正根，再根据根与系数的关系列出不等式即可解出实数a 的取值范围.【小问1详解】根据题意，当2a =-时()222f x x =-+，所以()2()ln ()ln 22g x f x x ==-+.令2220x -+>，解得11x -<<，所以()2()ln 22g x x =-+的定义域为−1,1，因为()222f x x =-+在()1,0-单调递增，在0,1单调递减，函数ln y x =为增函数，根据复合函数的单调性可知()2()ln 22g x x =-+在()1,0-单调递增，在0,1单调递减，因为()(21)g x g x <-，所以0211x x ≤-<<，解得113x <<，所以不等式()(21)g x g x <-的解集为1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】令11t m m=++，因为0m >，所以1113t m m =++≥=，当且仅当1m =时等号成立.因为1(||)1f x m m =++，所以2(2)2a x a x t -++=，即2(2)20a x a x t -++-=有四个不同的实根，令()2(2)2h x a x a x t =-++-，可知ℎ为偶函数，图象关于y 轴对称，所以2(2)20a x a x t -++-=有四个不同的实根可转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不等正根，所以1212Δ000x x x x >⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即()()224202020a a t a a t a⎧⎪+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩，由2020a a t a+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩可得2a <-，因为()()22420a a t +-->，即存在[)3,t ∞∈+，使不等式()24280at a a ++->成立，故()243280a a a ⨯++->，即2840a a ++>，解得4a <--4a >-+，故实数a的取值范围为(,4∞---。

高二上学期期中考试试卷语文答案

一、基础知识（每题2分，共20分）1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】D5. 【答案】A6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】D9. 【答案】A10. 【答案】B二、现代文阅读（每题3分，共15分）11. 【答案】（1）A. 美丽的风景（2）B. 精美的食物（3）C. 丰富的文化（4）D. 深厚的友谊12. 【答案】（1）作者通过对家乡的描写，表达了对家乡的热爱之情。

（2）通过引用诗句和描绘景物，使文章更具诗意和画面感。

（3）运用比喻、拟人等修辞手法，使文章生动形象。

13. 【答案】（1）文章通过对比手法，突出了科技发展对人们生活的影响。

（2）通过具体事例，展示了科技给人们带来的便利和挑战。

（3）作者呼吁人们要正确看待科技发展，既要享受科技带来的便利，也要警惕其带来的负面影响。

三、古诗文阅读（每题5分，共20分）14. 【答案】（1）A. 江南春（2）B. 渡荆门送别（3）C. 江雪（4）D. 酬乐天扬州初逢席上见赠15. 【答案】（1）日暮苍山远，天寒白屋贫。

（2）会当凌绝顶，一览众山小。

（3）床前明月光，疑是地上霜。

（4）独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。

16. 【答案】（1）作者通过描绘寒山、古寺、落日等景象，表达了对宁静、淡泊生活的向往。

（2）诗中运用了对比、夸张等手法，增强了诗歌的表现力。

（3）诗歌语言简洁，意境深远，富有哲理。

四、作文（50分）17. 【答案】标题：《科技的力量》开头：当今社会，科技发展日新月异，它改变了我们的生活方式，提高了我们的生活质量。

主体：1. 科技在医疗领域的应用，如人工智能辅助诊断、远程手术等，为患者带来了福音。

2. 科技在教育领域的应用，如在线教育、虚拟现实教学等，为教育资源共享提供了可能。

3. 科技在环保领域的应用，如太阳能、风能等清洁能源的开发，有助于缓解能源危机和环境污染。

结尾：科技是一把双刃剑，我们要正确看待科技发展，既要发挥其积极作用，也要警惕其负面影响，让科技为人类创造更美好的未来。

山东省济南市山东省实验中学2022—2023学年高二上学期期中考试语文试题(含答案)

山东省实验中学2022～2023学年第一学期期中高二语文试题2022.11（《选择性必修上》阶段性检测）说明：本试卷满分150分。

试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间150分钟。

一、现代文阅读（32分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：近年来中国思想界经学研究兴起，一时蔚为潮流。

这一思潮的出现与二十世纪九十年代初的“学术转向”有关。

当然，经学研究的强劲复兴，还是新世纪到来以后的事情。

经学视野浸染到中国思想和学术的方方面面。

新时代的经学复兴是多种因素共振的结果：其一，随着我国综合国力的提高，中国文明的自信力得到了恢复和提高，经学作为中国固有文明精神传承的重要载体，理所当然地得到了相应的重视；其二，二十世纪九十年代开始的商品化热潮至少部分地造成了道德状况的滑坡，人们开始普遍地意识到传统思想特别是儒家经学对于敦厚风俗的价值；其三，近代以来一直居主导地位的西方文明暴露出各种各样的局限和问题，试图在经学系统中探寻解决这些问题的答案，也成为回归经学的动力之一。

在当代经学思潮中，辐射范围最广的经典是《礼》《春秋》和《易》。

礼学研究直指当代人伦面临的各种危机，试图在现代世界里延续或者激活儒家的礼乐精神，从而在日常生活领域中重建儒家的秩序。

部分思想者更由此走向儒家宗教性的确立和安顿。

《春秋》学，特别是以公羊学为代表的今文经学传统的兴起，强调《春秋》大义，试图以天下观重新构建对近代以来的世界格局的理解，有相对突出的政治指向。

对《易经》和《易传》的研究，原本即在中国哲学史学科的范围内，而且大《易》哲学穷本极源，因此，或多或少地成为以中国哲学为根基的各种根源性哲学建构的底蕴。

这些试图在当代中国复兴固有的经学传统的努力，接续中国精神的血脉，以淑世情怀直面时代课题，无论如何都是弥足珍贵的。

（摘编自杨立华《新子学时代》）材料二：何为哲学？古往今来无数哲学家给出了自己的定义，较为典型的，如德国著名哲学史家文德尔班的定义：“所谓哲学，按照现在习惯的理解，是对宇宙观和人生观一般问题的科学论述。

2024年高二上学期英语期中测试卷+听力(原卷+解析)

绝密★启用前高二英语上学期期中测试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What is the man going to do?A．To stay inside. B．To find his umbrella. C．To go out with an umbrella.2．How many people are probably eating with the man?A．Two.B．Three.C．Four.3．What does the woman think of her swimming lessons?A．Tiring.B．Relaxing.C．Rewarding.4．Why did Tony move to a new apartment?A．He didn’t like his neighbor.B．He didn’t like holding parties.C．He didn’t like his old apartment.5．Where are the speakers probably?A．At home.B．In a store.C．In a restaurant.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

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江苏省涟水中学2012—2013学年度高二年级第一学期期中考试
语文参考答案
1.C(A粗糙cāo、悄无声息qiǎo B.龟裂jūn、惩创chuāng、游目骋怀chěng D. 纤维xiān、逶迤yí)
2.C(A项不合逻辑，同时用“至少”与“以上”矛盾，应删去其中一个；B项搭配不当，句子的主干是“培养深受……欢迎”，可见是主宾搭配不当，如果改成“高校培养的学生”就没有错误了； D项语序不当，应为“精神不振，甚至出现低血糖休克”。

)
3．（1）朝鲜拥护和平全国委员会发言人2日在平壤发表了谈话（2）指责韩国和美国执意谋求反朝对抗和侵朝战争（3）指责韩国和美国毫不关心北南对话、缓和紧张局势及和平问题（改对一个短句得1分，共计3分）
4. 示例：①应聘记者：本人善于观察分析，口头和书面表达及应变能力很强。

（3分）
②应聘播音员：本人相貌端正，口齿清晰，普通话纯正，朗诵水平很高。

（3分）
5.B（B去，距离。

）
6.C（①只是交代战况；②写于仲文死里逃生；⑥写于仲文乘胜追击。

）
7.A（“尉迥发动叛乱，派遣宇文威攻打于仲文，结果大败，于是又派人联合于仲文”错，应为“尉迥发动叛乱，并派人联合于仲文，但于仲文不为所动，予以拒绝。

尉迥对此极为愤怒，派遣宇文威攻打。

”）
8.（1）于仲文估计自己支撑不住，就扔下妻子儿女，率领六十多个骑兵，打开城池西门，冲破重围而逃。

（“度”、“妻子”、“将”、句意各1分）
（2）檀让全军出动来抵抗，于仲文假装失败逃跑，檀让的军队很骄傲轻敌。

（“悉”、“伪北”、句意各1分）
（3）于仲文挑选精锐士兵，假竖起尉迥的旗帜，兼程前进。

（“简”、“伪建”、“倍道”各1分）
9.（1）前两句写了塞外的沙漠、边关的小草和杨树（1分）。

茫茫无边的戈壁沙漠上已经没有风尘漫天，边关的的草儿也绽出了新绿（1分）；可是塞外依
然没有多少春意，因为不管春夏秋冬，塞外的杨树始终不见洋溢着春天气息的绿色（2分）。

（2）拟人（1分）。

云本没有愁，愁的是人，不说人愁而说云愁，情感表达得更为委婉含蓄和生动，令人回味无穷（1分）。

（3）从“海”、“边草”、“白沙”、“荣枯不见绿杨春”可见有客居边关，环境萧索之愁（1分）；从“独”可见离乡孤独之愁（1分）；从“离乡万里”可见思乡之愁（2分）。

10. （1）而御六气之辩，彼且恶乎待哉（2）则其负大舟也无力。

（3）然后天梯石栈相钩连（4）别有幽愁暗恨生（5）乘骐骥以驰骋兮（6）一尊还酹江月（7）其闻道也亦先乎吾
11．城里人的心事：担心自己睡着后，乡下人会偷走他包里的一万元钱（2分）；乡下人的心事：他不敢先睡，因为他的鼾声很大，怕自己的鼾声影响城里人的睡觉。

（2分）
12．小说的主人公一个是城里人，一个是乡下人，城乡结合部的旅馆里为这两个素不相识的人能够碰在一块提供典型环境，既符合社会社会现实，又具有典型意义，增强故事发生的合理性和可信度（2分）；也让故事情节高度集中，以小见大，突出小说的主旨。

（2分）
13．①进一步强化乡下人素质高和城里人素质低的形象（2分），使得城里人和乡下人互为映衬（对比），突出小说的讽刺意味（2分），细节描写含蓄地表现作者的感情倾向，强化了小说的主旨（2分）。

14．示例一：以“素质”为标题好（1分）。

小说的主旨是“有无素质的人差别很大，而真正的素质并不体现在身份地位方面，而是体现在日常生活的小事中”，以“素质”为标题点明了小说的主旨（2分），小说中主人公说“什么素质”与乡下人说“怎么这么没素质”既形成对比，相互映衬，又照应标题，使小说结构更加紧凑（3分）。

示例二：以“城里人与乡下人”为标题好（1分）。

以“城里人与乡下人”为题既点明了小说的主人公，又点出两人的身份地位，而小说就是围绕城里人与乡下人之间的事情展开故事情节的，且城里人与乡下人的言行形成强烈的对比（3分），以此为题，既突出了小说的主要表现手法，又表达了作者强烈的爱憎情感，具有强烈的讽刺效果。

（2分）言之成理即可。

15．（6分）首先，作者谈了中国儿童早期教育的误区，其次又谈了中国儿童后期教育的错误，最后呼吁反思我们现行的教育。

（每条2分）16．（6分）①奢蒂博士的例子揭示了强迫教育可以使儿童缺乏“温柔宽厚”的性格，不易与人和谐相处；罗素的例子揭示了强迫教育可以造成人的双重性格；蒙特梭利的例子揭示了强迫教育可以造成“内疑外惧”的心理人格。

（4分。

答出一条1分，答出两条2分，答出三条4分）
②这些例证都是对强迫教育的论述，都证明了“听话不是好孩子”。

（2分）17．（6分）①“听话的孩子”在“听话”的表面下，可能存在性格、人格的缺陷，他们并不是真正的好孩子；②我们现行的知识灌输教育是强迫式教育，培养的人可能是思想性格、人格心理有缺陷的人；③批评家庭和现行的学校教育，呼吁人们改变教育观念，改革教育方式。

（每条2分）
参考译文：
于仲文，字次武，幼年就聪明灵活，小时候上学，就沉迷书中而不知疲倦。

等到长大之后，卓异豪爽，胸怀大志，气度超凡。

从家中被征召出来做官，担任赵王的属官，不久升迁为安固太守。

隋高祖任北周丞相时，尉迥发动叛乱，派遣部将檀让攻占黄河以南地区。

又派人诱招于仲文，于仲文拒绝了他。

尉迥对他不听从自己非常愤怒，派遣仪同宇文威进攻他。

于仲文迎战，大破宇文威的军队，斩首五百多人，因功被授予开府。

尉迥又派遣他的部将宇文胄渡过石济，宇文威、邹绍从白马出兵，两路并进，又进攻于仲文。

于仲文估计自己支撑不住，就扔下妻子儿女，率领六十多个骑兵，打开城池西门，冲破重围而逃。

被贼兵追赶，边战边逃，跟随的骑兵战死的有十之七八。

于仲文仅一人死里逃生，到达京师。

尉迥于是杀了于仲文的三个儿子和一个女儿。

高祖见到于仲文，把他请到自己的内室，替他伤心哭泣。

提升他为大将军，兼任河南道行军总管。

把朝廷的乐队给他，让他乘驿车火速到洛阳去发兵，来讨伐檀让。

于仲文的军队驻扎在蓼堤，距离梁郡七里，檀让拥有数万军队，于仲文用瘦弱的士兵来挑战。

檀让全军出动来抵抗，于仲文假装失败逃跑，檀让的军队很骄傲轻敌。

于是于仲文派遣精锐部队从左右两侧夹击贼兵，使檀让的军队大
败。

檀让率领残余的军队驻扎在城武，部将高士儒率领一万军队驻扎在永昌。

于仲文假意下发公文到各州县说：“大将军来了，应多多聚集粮食。

”檀让还认为于仲文不可能马上就到，正在杀牛犒劳士兵。

于仲文知道他松懈了，于是挑选精锐的骑兵袭击他，一天便赶到了，于是攻占了城武。

尉迥的部将席毗罗，拥有十万军队，驻扎在沛县，将要攻打徐州。

他的妻子儿女在金乡。

于仲文派遣人假称是席毗罗的使者，对金乡城的守主徐善净说：“檀让明天午时到达金乡，将要宣布蜀公的命令，赏赐将士。

”金乡人认为真的这样，都很高兴。

于仲文挑选精锐士兵，假竖起尉迥的旗帜，兼程前进。

徐善净望见于仲文的军队将要到达，还以为是檀让到了，于是出城迎接谒见。

于仲文捉拿住他，夺取了金乡。

席毗罗依仗人马众多，来迫近官军，于仲文背城布阵，在距离军队几里的地方，在麻田中设下埋伏。

两阵刚刚交锋，伏兵出动，他们都拖着柴枝擂鼓呐喊，尘埃布满天空。

席毗罗的军队大败而逃，于仲文乘机追杀，贼兵都投进洙水而被淹死，洙水因此而断流。

俘获了檀让，用囚车把他送到京师，黄河以南地区全部平定。

席毗罗躲藏在荥阳的一户人家，被捉出斩首，把他的首级送到京师。

朝廷为于仲文刻石纪功，石碑立在泗水之滨。

史臣说：于仲文博览群书，拿出众的谋略称许自己，平定尉迥之乱，功成名就。