2020年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)数学(含答案)
天津市十二区县重点中学2020届高三毕业班联考(一)数学试卷Word版含答案
2021年天津市十二区县重点中学高三毕业联考〔一〕数学试卷本试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，共150分，考试用时120分钟．第一卷 选择题(共45分)参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)． ·柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高． ·锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．一、选择题(本大题共9小题，每题5分，共45分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．a ，b ∈R ，假设a －2i ＝b ＋ii (i 是虚数单位)，那么复数a ＋bi 是( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i2．设θ∈R ，那么“⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2〞是“sinθ>0〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．函数f(x)＝lnx ＋x2－ax.假设曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y ＝2x 平行，那么实数a ＝( )A.72 B ．2 C.32D ．1 4．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，以边BC 所在的直线为轴，将△ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为( )A ．36πB ．12πC ．36D ．125．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取局部学生参加环保知识测试，这些学生的成绩(分)的频率分布直方图如下图，数据(分数)的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．假设分数在区间[20，40)的频数为5，那么大于等于60分的人数为( )A ．15B ．20C ．35D ．456．函数f(x)＝2x ＋5x.假设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1312，b ＝f(log35)，c ＝f(60.2)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a>b>cB ．a>c>bC ．c>a>bD ．c>b>a7．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，其图象关于直线x ＝π6对称．给出下面四个结论：①将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点⎝⎛⎭⎫5π12，0为f(x)图象的一个对称中心；③f ⎝⎛⎭⎫π4＝12；④f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增．其中正确的结论为( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的两条渐近线与圆x2＋y2＝10相交于A ，B ，C ，D 四点，假设四边形ABCD 的面积为12，那么双曲线的离心率是( )A.103B.10C.10或103D ．210 9．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝60°，AB ＝8，CD ＝4.假设M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且AM →·AE →＝27，那么DM →·DE →＝( )A ．15B ．10 C.203D ．5第二卷 非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)10．集合A ＝{2，2m}，B ＝{m ，n}，(m ，n ∈R)，且A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，那么A ∪B ＝________．11．在⎝⎛⎭⎫1x －2x25的展开式中，x5项的系数为________(用数字作答)． 12．设a>0，b>0，假设a 与b2的等差中项是2，那么log2a ＋2log2b 的最大值是________． 13．圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝16，过点P(－2，3)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝211，那么l 的方程为________．14．天津市某学校组织教师进行“学习强国〞知识竞赛，规那么为：每位参赛教师都要答复3个问题，且对这三个问题答复正确与否互不影响，假设每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排知名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p.假设教师甲恰好答对3个问题的概率是14，那么p＝________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，那么X 的数学期望为________．15．函数f(x)＝⎩⎨⎧x2－x ，x ≤0，2x ，x>0.假设存在x ∈R 使得关于x 的不等式f(x)≤ax －1成立，那么实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共5小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(本小题总分值14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.asinA ＋B2＝csinA ，c ＝7，2a ＝3b.(1)求角C 的大小； (2)求sin(C －B)的值． 17．(本小题总分值15分)如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，四边形ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，且A1B1⊥B1C1，M 为CC1的中点，N 为A1B 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABC ；(2)求二面角B －MN －B1的正弦值；(3)设P 是棱B1C1上一点，假设直线PM 与平面MNB1所成角的正弦值为215，求B1PB1C1的值．18．(本小题总分值15分)抛物线C ：y2＝42x 的焦点为椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且|PQ|＝2.(1)求E 的方程；(2)过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO(O 为坐标原点)的延长线交E 于点M ，假设直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．(本小题总分值15分)设{an}是等比数列，{bn}是等差数列．a4＝8，a3＝a2＋2，b1＝a2，b2＋b6＝a5.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn ＝其中m ∈N*，求数列{cn}的前2n 项和．20．(本小题总分值16分)函数f(x)＝x －mlnx －1(m ∈R)在x ＝1处取得极值A ，函数g(x)＝f(x)＋ex －1－x ，其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)求m 的值，并判断A 是f(x)的最大值还是最小值； (2)求g(x)的单调区间；(3)证明：对于任意正整数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e 成立． 数学答案1．B [命题立意]此题考查复数的乘法运算、复数相等．[解析]∵a －2i ＝b ＋ii ，∴(a －2i)i ＝b ＋i ，∴2＋ai ＝b ＋i ，∴b ＝2，a ＝1，∴a ＋bi ＝1＋2i ，应选B.2．A [命题立意]此题考查充分、必要条件的判定．[解析]当⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2时，有0<θ<π，∴sinθ>0；反之不成立，∴“⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2〞是“sinθ>0〞的充分不必要条件，应选A.3．D [命题立意]此题考查导数的几何意义．[解析]∵f(x)＝lnx ＋x2－ax ，∴f′(x)＝1x ＋2x －a ，∴f′(1)＝3－a ，∵切线与y ＝2x 平行，∴3－a ＝2，∴a ＝1，应选D.4．B [命题立意]此题考查圆锥的体积．[解析]由题意知几何体为圆锥，底面半径r ＝3，高h ＝4，∴体积V ＝13πr2h ＝12π，应选B.5．C [命题立意]此题考查频率分布直方图．[解析]由图可得(a ＋0.01＋0.02＋0.015)×20＝1，∴a ＝0.005，∵分数在[20，40)的频数为5，∴共抽取学生50.005×20＝50人，那么大于等于60分的人数为50×(0.02＋0.015)×20＝35，应选C.6．D [命题立意]此题考查函数单调性的应用．[解析]∵log 1312＝log32<log35<1<60.2，f(x)＝2x ＋5x 在R 上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1312<f(log35)<f(60.2)，即c>b>a ，应选D.7．C [命题立意]此题考查正弦型函数的图象性质．[解析]∵f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，∴ω＝2.又∵f(x)的图象关于x ＝π6对称，∴2·π6＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，∴φ＝π6＋kπ，k ∈Z.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，对于①，平移之后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，图象不关于原点对称，①错误；对于②，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2·5π12＋π6＝sinπ＝0，②正确；对于③，f ⎝⎛⎭⎫π4＝32≠12，③错误；对于④，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，④正确，应选C.8．A [命题立意]此题考查双曲线的几何性质．[解析]不妨设A ⎝⎛⎭⎫x ，ba x ，那么⎩⎨⎧2x·2bax ＝12x2＋⎝⎛⎭⎫b a x 2＝10，整理得b a ＋a b ＝103，又a>b>0，∴b a ＝13，∴e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝103，应选A.9．D [命题立意]此题考查向量的数量积．[解析]过D 作DO ⊥AB 于O ，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图直角坐标系， ∵等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝60°，AB ＝8，CD ＝4，∴AO ＝2，DO ＝23，∴A(－2，0)，B(6，0)，D(0，23)，C(4，23)，∴M(5，3)．设E(x ，23)，∴AM →·AE →＝(7，3)·(x ＋2，23)＝7(x ＋2)＋6＝27，∴x ＝1，∴E(1，23)，∴DM →·DE →＝(5，－3)·(1，0)＝5，应选D.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－2，14 [命题立意]此题考查集合的交集、并集运算．[解析]∵A ＝{2，2m}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，∴2m ＝14，∴m ＝－2，又∵B ＝{m ，n}，∴n ＝14，∴A ∪B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－2，14.11．－80 [命题立意]此题考查二项展开式中的特定项的系数．[解析]⎝⎛⎭⎫1x －2x25展开式的通项为Tr ＋1＝Cr5⎝⎛⎭⎫1x 5－r (－2x2)r ＝(－2)rCr5x 5r －52，令5r －52＝5，∴r ＝3，∴x5的系数为(－2)3C35＝－80.12．2 [命题立意]此题考查根本不等式．[解析]由题意知a ＋b2＝4，又∵a>0，b>0，∴log2a ＋2log2b ＝log2ab2≤log2⎝⎛⎭⎫a ＋b222＝2，当且仅当a ＝b2＝2时等号成立，∴log2a ＋2log2b 的最大值为2.13．x －2y ＋8＝0 [命题立意]此题考查直线与圆的位置关系、直线的方程．[解析]当直线的斜率不存在时，x ＝－2代入圆的方程得y ＝1±15，|AB|＝215≠211，不合题意，故直线的斜率存在，设直线方程为y －3＝k(x ＋2)，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －1＋3|k2＋12＋11＝16，解得k ＝12，∴直线方程为y －3＝12(x ＋2)，即x －2y ＋8＝0.14.232312 [命题立意]此题考查独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的分布列、期望． [解析]∵甲恰好答对3个问题的概率14＝34×12p ，∴p ＝23，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝14×12×13＝124，P(X ＝1)＝34×12×13＋14×12×13＋14×12×23＝624＝14，P(X ＝2)＝34×12×13＋34×12×23＋14×12×23＝1124，P(X ＝3)＝14，∴E(X)＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312. 15．(－∞，－3]∪(0，＋∞) [命题立意]此题考查分段函数、存在性问题求参数的取值范围．[解析]当x ≤0时，f(x)≤ax －1等价于x2－x ≤ax －1即ax ≥x2－x ＋1，当x ＝0时，不成立；当x<0时，等价于存在x ∈R ，a ≤x ＋1x －1成立，∵x ＋1x－1≤－2－1＝－3，∴a ≤－3.当x>0时f(x)≤ax －1等价于2x ≤ax －1，即x ∈R ，a ≥1x ＋2x 成立，∵1x ＋2x ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12－1>0，∴a>0.综上a>0或a ≤－3.16．[命题立意]此题考查正、余弦定理、两角差的正弦公式． [解题思路](1)利用正弦定理将转化为角的关系式，结合三角形内角和定理得sinC ，从而求得角C ；(2)由余弦定理求得a ，b 边，再利用正弦定理求得sinB ，由b<c ，得B<C ，即B 是锐角，求得cosB 代入两角差的正弦公式即可．[解](1)由题设及正弦定理，得sinAsin A ＋B2＝sinCsinA.在△ABC 中，因为sinA ≠0， 所以sin A ＋B2＝sinC ，由于A ＋B ＝π－C ，从而sin A ＋B 2＝cos C2，所以cos C 2＝2sin C 2cos C2.在△ABC 中，因为0<C 2<π2，所以cos C 2≠0，所以sin C 2＝12，所以C 2＝π6，即C ＝π3.(2)在△ABC 中，由于c ＝7，C ＝π3，那么由余弦定理，得7＝a2＋b2－2abcos π3，即a2＋b2－ab ＝7.因为2a ＝3b ，所以⎝⎛⎭⎫3b 22＋b2－32b2＝7， 解得b ＝2，a ＝3.在△ABC 中，由正弦定理，得 sinB ＝bsinC c ＝2×sinπ37＝37＝217，因为△ABC 中，b ＝2<7＝c ，且C ＝π3，所以0<B<π3，所以cosB ＝1－sin2B ＝1－⎝⎛⎭⎫2172＝277.所以sin(C －B)＝sinCcosB －cosCsinB ＝32×277－12×217＝2114. 17．[命题立意]此题考查线面平行、二面角、线面角．[解题思路]建立空间直角坐标系，(1)证MN →与平面ABC 的法向量垂直；(2)分别求出平面MNB 和平面MNB1的法向量，利用向量法求得二面角的大小；(3)设P 点坐标，利用向量法和线面角的正弦值求得P 点坐标即可得B1PB1C1的值．[解]因为四边形ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，所以A1B1⊥BB1，BB1⊥B1C1. 又A1B1⊥B1C1，从而以点B1为坐标原点，分别以向量B1B →，B1C1→，B1A1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标系B1－xyz.不妨设BB1＝2，那么有B1(0，0，0)，B(2，0，0)，A1(0，0，2)，M(1，2，0)，N(1，0，1)，所以MN →＝(0，－2，1)．(1)证明：方法1：易知，平面ABC 的法向量为B1B →＝(2，0，0)． 由于B1B →·MN →＝0，所以B1B →⊥MN →，即BB1⊥MN.又因为MN 平面ABC ，所以MN ∥平面ABC.方法2：取B1B 的中点Q ，连接MQ.证明平面MNQ ∥平面ABC ，进而证得MN ∥平面ABC.方法3：取AB 的中点R ，连接CR ，NR.先证明MN ∥CR ，进而证得MN ∥平面ABC.(2)由题意，知MN →＝(0，－2，1)，BM →＝(－1，2，0)，B1M →＝(1，2，0)． 设平面MNB 的法向量m ＝(x ，y ，z)， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧m·MN →＝0，m·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，得m ＝(2，1，2)．设平面MNB1的法向量为n ＝(x1，y1，z1)， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧n·MN →＝0，n·B1M →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y1＋z1＝0，x1＋2y1＝0.令y1＝1，得n ＝(－2，1，2)．所以m ·n ＝1，|m|＝3，|n|＝3， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝19，设二面角B －MN －B1的大小为θ， 所以sinθ＝1－cos2〈m ，n 〉＝459. 故所求二面角B －MN －B1的正弦值为459.(3)设点P(0，t ，0)(0≤t ≤2)，那么PM →＝(1，2－t ，0)， 且有PM →·n ＝－t ，|PM →|＝1＋〔2－t 〕2，|n|＝3.设直线PM 与平面MNB1所成角为θ，那么有sinθ＝|cos 〈PM →，n 〉|＝215，即|t|31＋〔2－t 〕2＝215，整理，得21t2＋16t －20＝0， 解得t ＝23或t ＝－107(舍去)．所以B1P B1C1＝t 2＝13.18．[命题立意]此题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系．[解题思路](1)⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，|PQ|＝2b2a＝2，a2＝b2＋c2，求得a ，b ，c 得椭圆方程；(2)设直线AB 方程与椭圆方程联立，消y ，利用韦达定理求得B 点坐标，利用M 、B 关于原点对称得M 点坐标，由kAM ＝1，求得直线l 的方程．[解](1)易得，抛物线C 的焦点F 的坐标为(2，0)，准线方程x ＝－2，所以椭圆E 的右焦点F(2，0)，左焦点为F′(－2，0)．设椭圆E 的半焦距为c ，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，|PQ|＝2b2a ＝2，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.故所求椭圆E 的方程为x24＋y22＝1.(2)方法1：由题意，得E 的左顶点A(－2，0)．又知直线l 的斜率存在，不妨设为k(k ≠0)，点B(xB ，yB)，那么直线AB 方程为y ＝k(x ＋2)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x ＋2〕，x24＋y22＝1.消去y 并整理，得(2k2＋1)x2＋8k2x ＋8k2－4＝0，(*)易知Δ＝(8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－4)＝16>0， 所以－2，xB 为方程(*)的实数根， 从而－2×xB ＝8k2－42k2＋1，所以xB ＝2－4k22k2＋1.所以yB ＝k(xB ＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k22k2＋1＋2＝4k 2k2＋1.由题意，点B ，M 均在E 上，且B ，M 关于原点O 对称，所以点M(－xB ，－yB)，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－4k22k2＋1，－4k 2k2＋1.所以kAM ＝1，所以4k2k2＋1－2＋2－4k22k2＋1＝1，解得k ＝－12.故所求直线l 的方程为y ＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0.方法2：由题意，得E 的左顶点A(－2，0)，直线AM 的斜率为1， 所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x24＋y22＝1.消去y 并整理，得3x2＋8x ＋4＝0. 解得x ＝－2，或x ＝－23.所以点M 的横坐标xM ＝－23(因为－2为点A 的横坐标)，所以点M 的纵坐标yM ＝43，从而点M ⎝⎛⎭⎫－23，43. 由题意，点B ，M 均在E 上，且B ，M 关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，－43，所以kAB ＝－12. 所以直线AB 的方程为y ＝－12(x ＋2)，即所求直线l 的方程为x ＋2y ＋2＝0.19．[命题立意]此题考查等差、等比数列的通项公式、分组求和、错位相减求和．[解题思路](1)解方程组分别求得a1、q 和b1、d.得{an}、{bn}的通项公式；(2)将cn 分为奇数项和偶数项分别求和、奇数项利用错位相减法求和，偶数项利用等差数列前n 项和公式求和．[解](1)设等比数列{an}公比为q ，由a4＝8，a3＝a2＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝8，a1q2＝a1q ＋2，消去a1并整理，得q2－4q ＋4＝0， 解得q ＝2，从而a1＝1.所以an ＝2n －1；设等差数列{bn}的公差为d ，由b1＝a2，b2＋b6＝a5，得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝2，4＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝2，d ＝2. 所以bn ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2)由(1)及题意，得cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧n·2n ，n ＝2m －1，2n ＋1，n ＝2m ，其中m ∈N*. ①当n 为奇数时，不妨设数列{n·2n}的前n 项和为S 奇，所以S 奇＝c1＋c3＋c5＋…＋c2n －1，即S 奇＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1，所以4S 奇＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1， 上述两式相减，得－3S 奇＝2＋2×23＋2×25＋…＋2×22n －1－(2n －1)×22n ＋1 ＝2＋24〔1－4n －1〕1－4－(2n －1)×22n ＋1＝5－6n 3×22n ＋1－103，所以S 奇＝6n －59×22n ＋1＋109.②当n 为偶数时，易得，数列{2n ＋1}前n 项和为S 偶＝5＋9＋13＋…＋(4n ＋1)＝n[5＋〔4n ＋1〕]2＝2n2＋3n.设{cn}的前2n 项和为T2n 那么T2n ＝S 奇＋S 偶 ＝6n －59×22n ＋1＋2n2＋3n ＋109. 20．[命题立意]此题考查利用导数求函数的极值、最值、单调区间、不等式证明．[解题思路](1)对f(x)求导，利用f′(1)＝0求得m ，代回解不等式得f(x)的单调区间，从而得极值；(2)对g(x)求导，判正负得单调区间；(3)利用(1)中结论x －1>lnx(x>1)，令x ＝1＋12n (n ∈N*)，累加即可得证．[解](1)因为f(x)＝x －mlnx －1(x ∈(0，＋∞))，所以f′(x)＝1－mx(x ∈(0，＋∞))．因为x ＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝0， 即1－m1＝0，所以m ＝1.此时f(x)＝x －lnx －1，f′(x)＝1－1x ＝x －1x，(x ∈(0，＋∞))．易得，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递减；在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x ＝1处的极值A 是最小值． (2)由(1)知，m ＝1，所以g(x)＝ex －1－lnx －1，且x ∈(0，＋∞)， 所以g′(x)＝ex －1－1x.设h(x)＝ex －1－1x (x ∈(0，＋∞))，那么h′(x)＝ex －1＋1x2.显然，当x>0时，h′(x)>0恒成立，所以函数h(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0. 所以，当0<x<1时，h(x)<0，即g′(x)<0； 当x>1时，h(x)>0，即g′(x)>0.所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)；单调递增区间为(1，＋∞)． (3)证明：由(1)可知，当x>1时，f(x)>f(1)＝0，即x －1>lnx. 不妨令x ＝1＋12n (n ∈N*)，那么有ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n(n ∈N*)． 所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋121＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <121＋122＋…＋12n ＝1－12n<1， 即ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <1＝lne. 因为函数y ＝lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e(得证)．。
年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——02 函数的概念与基本初等函数I(教师
专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选A .【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++.由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.13．【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.2．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A【解析】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，12122f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【答案】A【解析】∵1122log 3log 10a =<=，0.20110()()133b <=<=，1131222c <=<=，∴a <b <c ，故选A ．4．【2020·重庆巴蜀中学高三月考（文）】已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为A ．(),2-∞-B ．2,C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-， 得()()112211f x x f x x --<--， 即()()12F x F x <， 所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->， 所以11x ->，2x >. 故选B.【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．5．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】已知函数||()e ||x f x x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由||()e ||()x f x x f x --=+-=，知()f x 是偶函数，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()e xf x x =+，()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，1|21|,3x ∴-<解得1233x <<.故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 6．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x <时，ππx xx y x -==-；当0x >时，ππx x x y x ==，πx y =为R 上的增函数，πx x y x∴=在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知B 正确.故选B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.7．【2020·重庆市育才中学高三开学考试（文）】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A ．103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】由函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则1202113a a a a a⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤--⎪⎩，解得103a <≤，即实数a 的取值范围是103⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，重点考查了运算能力，属基础题.8．【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学（文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为 A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤. 故选C.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.9．【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，1 03a≤≤.故选D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.10．【2020·四川省成都外国语学校高三月考（文）】若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选D.【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.11．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题】函数ln||cos ()sinx xf xx x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.12．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(,1)(2,)2+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>，又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数，∴181log 3x >，∴118811log log 33x x 或><-，∴1022x x <或，∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2+∞，故选C.13．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文）】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >. 故选B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若()ln34a f =，e (2)b f -=，1ln πc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】因为函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称，因为(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递减； 因为ln3ln e e 01444,0221,lnln ln e 1->=<<==π>=π，所以a c b >>. 故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质，根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.15．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =A ．2x -B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出()f x -的表达式，再利用奇偶性得出()f x 的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.16．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型. 17．【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学（文）试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为A ．(222,0⎤-⎦B ．(232,0⎤-⎦C ．222,0⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-【答案】C【解析】因为不等式()10f x kx k -++<的解集为空集， 所以不等式()10f x kx k -++恒成立.()10f x kx k -++可变形为()(1)1f x k x --.在同一坐标系中作出函数(),(1)1y f x y k x ==--的图象，如图：直线(1)1y k x =--过定点(1,1)A -，当直线(1)1y k x =--与2(0)y x x =相切时，方程()10f x kx k -++=有一个实数解，可得2(1)1x k x =--，即210x kx k -++=，由24(1)0k k ∆=-+=，可得2k =-2k =+（舍去）， 故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属于中档题.18．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD 【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+,即1294a a -+≤+,解得2a ≥,故选BCD.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.19．【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【答案】ABC【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-的图像关于原点成中心对称，所以B 正确；又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确.故选ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.20．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =， ()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.21．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(1)f -=_____________【答案】2【解析】函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1(1)122f f -===. 故答案为：2【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．【2020·陕西省交大附中高三三模（文）】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____【答案】4【解析】函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 23．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2a =. ()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=.故答案为2.【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩， 所以33ππππ,66x k x k k -≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩Z ， 解得5π36x -≤<-或ππ66x -<<或5π36x <≤. 故答案为5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2nk 的前n 项和为________. 【答案】()41n n + 【解析】当02x ≤<时，()y f x ==()2211x y -+=，0y ≥； 当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故()2244211n k n n n ==++-，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 数列{}2n k 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41n n +. 【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.。
2020年天津市十二区县高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．123．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．148．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．i是虚数单位，复数=．10．在的二项展开式中，x2的系数为．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3，5}，∴∁U A={0，4}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}．故选A2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．12【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，结合图象可得，过点A（0，3）时有最大值为z=0+6=6，故选：C．3．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上【考点】程序框图．【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可．【解答】解：根据题意得：程序框图输出的所有点都在函数y=2x﹣1的图象上，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．否命题是即否定条件又否定结论；B．根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C．存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D．且命题的概念判断即可．【解答】A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故错误；B．若a，b∈R，则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0，但由a≠0推不出ab≠0，故是充分不必要条件，故正确；C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故错误；D．若“p且q”为假，则p，q不全是真命题，故错误．故选B．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，可得FF1=，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线的方程为x=﹣1，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的e==，由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|，可得|PF|+|PF1|的最小值为，当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|==，即有c=，由c2=a2+b2，解得a=2，b=1，即有双曲线的方程为﹣x2=1．故选：B．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=ab•sinC，再由余弦定理，结合6S=（a+b）2﹣c2，得出3sinC﹣2cosC=2，然后通过（3sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．【解答】解：△ABC中，∵S△ABC=ab•sinC，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且6S=（a+b）2﹣c2，∴3absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得3sinC﹣2cosC=2，∴（3sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得5tan2C﹣12tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=，故选：C．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．14【考点】与圆有关的比例线段．【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用．【解答】解：由相交弦定理得：AD•BD=CD•DT，即4×6=3×DT，解得DT=8设PB=x，PT=y因为PT为切线，所以DT⊥PT，在Rt△PDT中，PT2+DT2=PD2，即y2+64=（6+x）2①由切割线定理知，PT2=PB×PA，即y2=x×（x+10）②联立①②得，x=14故选：D8．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：设f（x）=t，（t＞0）则由y=f[f（x）]﹣4m=0得f[f（x）]=4m，即f（t）=4m，则m（|t﹣2|+|t﹣4|）=4m，则|t﹣2|+|t﹣4|=4，得t=5，或t=1，若t=1，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=1，即|x﹣2|+|x﹣4|=，若t=5，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=5，即|x﹣2|+|x﹣4|=，设g（x）=|x﹣2|+|x﹣4|，（x≥0），∵函数f（x）是偶函数，∴要使函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则等价为当x≥0时，函数y=f[f（x）]﹣4m恰有2个零点，作出g（x）在[0，+∞）上的图象如图：①，即，即＜m＜，②，即，即0＜m＜，综上实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i是虚数单位，复数=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将复数分母实数化，分子、分母同乘以（1+i），化简即可．【解答】解：===；故答案为：．10．在的二项展开式中，x2的系数为90．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，再由x的指数等于2求得r，则答案可求．【解答】解：由，得=，由，得r=2．∴x2的系数为．故答案为：90．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据积分的应用，求出区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：作出曲线对应的平面区域，则区域B是边长分别为1，2的矩形，则面积S B=2，区域A的面积S A=dx=lnx=ln3﹣ln1=ln3，则对应的概率P==，故答案为：12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，且球的半径是，正方体的棱长是3，∴几何体的体积V==故答案为：．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为[，2]．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l与圆C的普通方程得出圆C的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围．【解答】解：直线l的普通方程为2x+ay﹣a=0．∵ρ=2cos（θ+），∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为：x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆C的圆心为C（1，﹣1），圆C的半径r=．∵圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，∴圆心C到直线l的距离0≤d≤．即0≤≤．解得．故答案为：[，2]．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=[，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示，根据λ的范围求出的范围，即M的范围，根据基本不等式求出N的范围，得出M∩N．【解答】解：∵，∴0≤λ≤1．=．==（）=．==．∴=（）•（）=+=2λ．∴M==[0，2]．∵a＞b，ab=1，∴a﹣b＞0，==≥2=．∴N={x|x=，a＞b，ab=1}=[，+∞）．∴M∩N=[，2]．故答案为：．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=（1）由周期公式可得；（2）由x的范围和三角函数的最值可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x+cos2（x﹣）===（1）函数f（x）的最小正周期；（2）∵函数f（x）在单调递增，在单调递减，∵，∴．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率．（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，P（A）=．…（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，…，，，，，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4P…∴随机变量X的期望为：．…17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由等边三角形性质得出AO⊥EF，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB，故AO⊥BE；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，则=（0，0，1）为平面AEF的一个法向量，求出平面ABE的法向量，则cos＜＞与二面角的余弦值相等或相反．（III）令|cos＜＞|=，列方程解出a．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，∴AO⊥BE．（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（﹣a，0，0），，，，∴，=（a，﹣a，0），设平面AEB的一个法向量，则，∴，令y=1，得=（，1，﹣1）．平面AEF的一个法向量为，∴=﹣1，||=，||=1，∴，由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣．（Ⅲ），∴=4，||=，||=，∴cos＜，＞=，∴6a2﹣12a+16=10，解得a=1．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；（II）解法一、设出PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程；解法二、设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得PQ的斜率，求得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（I）∵A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|∴M，，∴，∴∴椭圆E的离心率e为；（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意，圆心C（﹣2，1）是线段PQ的中点，且．易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入（1）得（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2﹣4b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由x1+x2=﹣4，得，解得．从而．于是，由，得，2b2﹣4=6，解得b2=5．故椭圆E的方程为．解法二：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意点P、Q关于圆C（﹣2，1）对称且，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，两式相减得﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，易知PQ不与x轴垂直，则x1≠x2，，∴PQ的斜率为，设其直线方程为，代入（1）得x2+4x+8﹣2b2=0∴x1+x2=﹣4．于是，由，得，2b2﹣4=6解得b2=5．故椭圆E的方程为．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由a2=16a4，结合数列是非单调数列求出等比数列的公比，可得等比数列的通项公式；（Ⅱ）由b n=，得，分n为奇偶数求出{b n}的最大值，代入|m﹣1|≥3b n，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）放缩得到，代入S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）可得2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．﹣1【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，∴，解得q=，∵数列是非单调数列，∴q=﹣，则；（Ⅱ）解：由b n=，得，当n为奇数时，；当n为偶数时，，且{b n}为减函数，∴，则|m﹣1|≥3b n=1，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）证明：∵===，∴S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）﹣1=．∴2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．2020年7月21日。
天津市各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编(1) 集合
天津市各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编（1） 集合一、选择题:1.（天津市耀华中学2020届高三第一次月考文）设集合={|||<1},={|=2}M x x N y y x,x M ∈，则集合()R M N I ð等于A 、(-∞,-1)B 、(-l ，1)C 、(,1][1,)-∞-+∞UD 、(1，+∞)3.（天津市天津一中2020届高三第二次月考文）已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =I （ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x << 【答案】B【解析】{21}{1}x A y y y y ==+=>，15{||1||2|2}{}22B x x x x x =-+-<=<<，所以{1}U A y y =≤ð，所以1(){1}2U A B x x =<≤I ð，选B. 4.（天津市新华中学2020届高三第二次月考文）已知集合{}92==x x M ，{}33<≤-∈=x z x N ，则=⋂N MA. ΦB. {}3-C. {}3,3-D. {}2,1,0,2,3--二、填空题:13. （天津市十二区县重点中学2020年高三毕业班联考一）若不等式4+-2+1x m x ≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈，集合{}2=--6<0B x R x x ∈，则集合=A B I . 【答案】{}-1<3x x ≤9. (天津市六校2020届高三第二次联考文)若集合{}1≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=11x x A ，则B A ⋂= ▲ .【答案】)0,1[- (9) （天津市和平区2020届高三第二学期第一次质量调查文）已知集合11552A {x R ||x |}=∈-≤，则集合A 中的最大整数为 。
2020十二区县一模 天津市十二区县重点学校2020届高三毕业班联考(一)化学试题
2020年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）化学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时60分钟。
第I卷1至4页，第II卷5至8页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共12题，每题3分，共36分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Br 801．我国在物质制备领域成绩斐然，下列物质属于有机物的是A．砷化铌纳米带B．全氮阴离子盐C．聚合氮D．双氢青蒿素2．下列有关化学用语表示正确的是A．氮气的电子式: B．氯原子的结构示意图为：C．Cr的基态原子价电子排布式为：3d54s1 D．聚氯乙烯的链节：CH2=CHCl 3．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列有关说法正确的是A．常温常压下，1.8g甲基(—CD3)中含有的电子数为N AB．0. lmol环氧乙烷（）中含有的共价键数为0. 3 N AC．常温下，1L pH=9的CH3COONa溶液中，发生电离的水分子数为1×10－9 N A D．加热条件下，含0.2molH2SO4的浓硫酸与足量铜反应，转移电子数小于0.2N A 4．下列说法正确的是A．最外层都只有2个电子的元素原子性质一定相似B．同一周期元素中，第一电离能随原子序数增加而增大C．I3AsF6晶体中存在I3＋离子，I3＋离子的几何构型为V形D．H2O2是一种含有极性键和非极性键的非极性分子5．化学产品在抗击新型冠状病毒的战役中发挥了重要作用，下列说法不正确的是A．75%的医用酒精常用于消毒，用95%的酒精消毒效果更好B．“84”消毒液的主要成分是次氯酸钠C．用硝酸铵制备医用速冷冰袋是利用了硝酸铵溶于水快速吸热的性质D．医用防护口罩中熔喷布的生产原料主要是聚丙烯，聚丙烯的单体是丙烯6．2020年1月南开大学周其林团队因《高效手性螺环催化剂的发现》获得国家自然科学一等奖。
2020年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考
2020年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考理科综合能力测试本试卷分第I卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分,共300分,考试时刻150分钟。
第一卷1至6页，第二卷7至16页。
考试终止后，将II卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题，共126分)本卷须知：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H 1 O 16 P 31 Si 28 Cl 35.5 N 14 C 12 K 39 Fe 56 Cu 64一.选择题〔此题共21个小题，每题6分，共126分。
在每题给出的四个选项中，有1个是正确的〕1．下面有关生物实验的表达中，讲法正确的选项是①在探究温度对淀粉酶活性阻碍的实验中，能够使用斐林试剂作为检验试剂②制作的小生态瓶除了提供必要的成格外，还应是密闭、透亮的装置③用纸层析法分离叶绿体中色素的结果中，蓝绿色色素带位于滤纸条的最下方④DNA的粗提取实验中，向鸡血细胞液中加蒸馏水的目的是为了使其吸水破裂⑤用高倍显微镜观看细胞质流淌时能够选择液泡作为标志物A．③⑤ B. ②④C．①②④D．①②③2．右图是一个生态系统要紧成分示意图，以下相关表达正确的选项是A．图中由捕食关系而形成的食物链共有四个营养级B．CO2、N2、SO2能够被草直截了当利用C．该生态系统中的细菌的代谢类型均为异养需氧型D．兔和细菌所获得的能量的总和小于草所固定的太阳能3．生命科学是当代科学的前沿，生物工程的进展正极大地改变着我们的生活，以下关于生物工程的相关表达不正确的选项是A．依照碱基互补配对原那么可知，在基因工程中，人工合成的目的基因与用〝鸟枪法〞获得的目的基因的核苷酸序列应是一样的B．单克隆抗体制备中两次选择，第一次选择出杂交瘤细胞，第二次选择出能产生相应抗体的杂交瘤细胞C．人工种子的制作需经历脱分化、再分化的过程D．通过发酵工程既能够得到多种抗生素、维生素等，也能得到单细胞蛋白4．以下图为人体体液免疫示意图，据图分析有关表达正确的选项是A．把效应B细胞进行细胞培养能够得到细胞系，继而能够得到单克隆抗体B．机体再次受到同种抗原刺激可在短时刻内发生③反应，⑤过程要紧发生在内环境中C．流感病毒侵入人体经⑤过程失去侵染和破坏宿主细胞的能力后，被吞噬细胞完全水解，能够得到多种氨基酸，一种五碳糖，四种碱基和磷酸D．①②过程都需要细胞膜上糖被的参与，人体正常细胞癌变后因其细胞膜通透性改变而成为抗原5．以下对生命活动调剂的有关表达正确的选项是A．性行为是以性激素为生理基础的行为，因而动物性行为要紧靠性激素调剂B．某人由温顺的室内来到冰冷的室外时，其皮肤血管血流量及肾上腺素的分泌量增加C．生产中，能够用一定浓度的生长素类似物来挽回向日葵因无法传粉而造成的减产D．高等动物的神经调剂和微生物的酶活性调剂都具有快速和精细的特点6．以下对图形的表达不正确的选项是A．甲图所示结果可能是基因重组所致B ． 乙图讲明，种群中具有抗药基因害虫比例B 点比A 点高C ．丙图中假设A 为连续培养装置中青霉菌的生长曲线，那么B 为该群体青霉素的产量曲线D ．丁图表示生物的受精作用和个体发育过程 7．下面几位同学自己总结出的结论中不正确的选项是．．．．．．．A ．将pH=3的醋酸溶液稀释后，溶液中所有离子的浓度均降低B ．式量比空气〔29〕小的气体不能够使用向上排空气法收集C ．有些化学反应能够不属于化合、分解、置换、复分解中的任何一种反应类型D ．原子晶体的熔点不一定都比金属晶体的高，分子晶体的熔点不一定比金属晶体的低 8．以下表达正确的选项是A ．室温下pH=7的CH 3COOH 与CH 3COONa 的混合液中离子的浓度大小顺序为：c 〔Na +〕> c 〔CHCOO -〕> c 〔H +〕= c 〔OH -〕B ．0.1 mol/L KHS 的溶液中，c 〔K +〕= 2c 〔S 2-〕+ c 〔HS -〕+ c 〔H 2S 〕C ．25℃ 时，pH 均为12的NaOH 溶液和Na 2CO 3溶液中由水电离出的c 〔OH -〕， 前者小于后者D ．中和pH 和体积相同的盐酸与醋酸溶液，消耗NaOH 的物质的量相等 9．以下讲法正确的选项是①标准状况下，22.4L 已烯含有的分子数约为6.02×1023 ②标准状况下，aL 的氧气和氮气的混合物含有的分子数约为4.22a×6.02×1023③7.1g 氯气与足量的氢氧化钠溶液反应转移的电子数约为0.2×6.02×1023 ④60 g SiO 2晶体中含有2×6.02×1023个Si —O 键 ⑤1mol 乙醇中含有的共价键数约为7×6.02×1023⑥500mL 1 mol/L 的硫酸铝溶液中含有的硫酸根离子数约为1.5×6.02×1023A ．①④B ．②⑥C ．③⑤D ．②⑤10．以下各组离子在指定溶液中能大量共存的是 ①无色溶液中：K +、Na +、MnO 4－、SO 42－②pH=11的溶液中：CO 32－、Na +、AlO 2－、NO 3－③加入Al 能放出H 2的溶液中：Cl －、HCO 3－、SO 42－、NH 4+ ④由水电离出的c (OH －)=10－13mol·L－1的溶液中：Na +、Ba 2+、Cl －、Br －⑤有较多Fe3+的溶液中：Na+、NH4+、SCN－、HCO3－⑥酸性溶液中：Fe2+、Al3+、NO3－、I－、Cl－A．①②B．③⑥C．②④D．③⑤11．将4 mol A 气体和2 mol B 气体在2 L 的密闭容器中混合并在一定条件下发生如下反应2A〔g〕＋B〔g〕2C〔g〕；△H＜0 ，4 s〔秒〕后反应达到平稳状态，现在测得C的浓度为0.6 mol·L－1，以下讲法中正确的选项是A．反应过程中，当A 、B、C的物质的量浓度之比为2:1:2时，反应即达到平稳状态B．4 s 内用物质B表示的反应速率为0.075 mol·L－1·S－1C．达平稳后假设增大压强，A的转化率降低D．达平稳后假设升高温度，C的浓度将增大12．只靠一组镍氢电池驱动，一台试运行的混合动力公交车两年内跑了10万公里。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高三联考数学试题理科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高三联考数学试题理科第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}22530A x x x =--≤，{}2B x Z x =∈≤，则A B ⋂中的元素个数为(A)2(B)3(C)4(D)5（2）若复数z 满足11z i i i -=-+（），则z 的实部为1(C)1 （3）“=0a ”是“函数1()sin f x x a x=-+为奇函数”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件（4）已知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅=，则P 到x 轴的距离为(C)2 （5）在平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0x y x y +≤≥≥的点(,)P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π；类似的，在空间直角坐标系O xyz -中，满足2221x y z ++≤，0,0,0x y z ≥≥≥的点(,,)P x y z 的集合对应的空间几何体的体积为(A)8π(B)6π(C)4π(D)3π（6）在数列}{n a 中，12n n a a +-=，n S 为}{n a 的前n 项和.若1050S =，则数列1{}n n a a ++ 的前10项和为(A)100(B)110(C)120(D)130（7）设D 是ABC ∆所在平面内一点，2AB DC =，则(A)12BD AC AB =-(B)12BD AC AB =-(C)32BD AC AB =-(D)32BD AC AB =- （8）执行如图所示的程序框图，如果输入的50t =，则输出的n = (A)5(B)6(C)7(D)8 （9）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对x R ∀∈，有()()3f x f π≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是(A)2(,0)3π-(B)(,0)3π-(C)2(,0)3π(D)5(,0)3π （10）若,x y 满足约束条件230,40,1,2x y x y y x ⎧⎪-≥⎪+-≤⎨⎪⎪≥⎩则z y x =-的取值范围为(A) []2,2-(B)1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)[]1,2-(D)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(A)416π++(B)516π++(C)416π++(D)516π++ （12）已知函数21()ln 2f x a x x bx =-+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为(A)3e -(B)2e - (C)e -(D)1e-侧视图2正视图俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N =. （14）5(2)x y -的展开式中，23x y 的系数为.（15）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P Q 、 两点，若=PQ a ，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为.（16）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ，2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得不等式2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. (17)(本小题满分12分)如图，平面四边形ABCD中，AB =，AD =，CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=，求 （Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）ADC ∆的面积S .(18)(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面⊥EFBD 平面ABCD .（Ⅰ）证明：DE //平面ACF ;（Ⅱ）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值. (19)(本小题满分12分)第31届夏季奥林匹克运动会将于8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪 中国俄罗斯1 2 3 4 5DCEA个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点N 且垂直于x 轴.（Ⅰ）求线段ON 的长；（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数2()=21x f x e ax ax +--.（Ⅰ）当1=2a 时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数()()g x f x '=，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分) 选修4-1 :几何证明选讲如图，过O 外一点E 作O 的两条切线EA EB 、，其中A B 、为切点，BC 为O 的一条直径，连CA 并延长交BE 的延长线于D 点. （Ⅰ）证明：ED BE =；（Ⅱ）若3AD AC =,求:AE AC 的值.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，），（），，（33233ππB A ，圆C 的方程为θρcos 2=（Ⅰ）求在平面直角坐标系xOy 中圆C 的标准．．方程； （Ⅱ）已知P 为圆C 上的任意一点，求ABP ∆面积的最大值.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数12)(--=x x x f ，记1)(->x f 的解集为M . （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）已知M a ∈,比较12+-a a 与a1的大小. 参考答案与评分标准（1）B 【解析】132A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2A B ⋂=，A B ⋂中有3个元素，故选B （2）A 【解析】由11z i i i -=-+（），得z ===，z 的实部为，故选A （3）C 【解析】()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称OAC当=0a 时，1()sin f x x x=-， 111()sin()sin (sin )()()f x x x x f x x x x-=--=-+=--=--，故()f x 为奇函数； 反之，当1()sin f x x a x=-+为奇函数时，()()0f x f x -+=又11()()sin()sin 2()f x f x x a x a a x x-+=--++-+=-，故=0a所以“=0a ”是“函数1()sin f x x a x=-+为奇函数”的充要条件，故选C（4）C 【解析】12(F F ，不妨设l 的方程为y =，设00()P x由21200000(,),)360PF PF x x x ⋅=--⋅-=-=得0x =P 到x 2，故选C （5）B 【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为3141836ππ⨯⨯=，故选B （6）C 【解析】1{}n n a a ++的前10项和为12231011a a a a a a +++++=12101112()a a a a a +++-102102120S =+⨯=，故选C（7）D 【解析】1322BD AD AB AC CD AB AC AB AB AC AB =-=+-=--=-，故选D（8）B 【解析】第一次运行后1,3,2===n a s ；第二次运行后2,5,5===n a s ；第三次运行后3,9,10===n a s ；第四次运行后4,17,19===n a s ；第五次运行后5,33,36===n a s ；第六次运行后6,65,69===n a s ；此时不满足t s <，输出6=n ，故选B（9）A 【解析】由)sin()(ϕω+=x x f 的最小正周期为π4，得21=ω.因为()()3f x f π≤恒成立，所以max ()()3f x f π=，即12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由2πϕ<，得3πϕ=，故)321sin()(π+=x x f .令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为))(0,322(Z k k ∈-ππ，当0=k 时，()f x 的对称中心为)0,32(π-，故选A （10）B 【解析】作出可行域，设直线:l y x z =+，平移直线l ，易知当l 过30x y -=与40x y +-=的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线212y x =相切时z 取得最小值 由212z y xy x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y 得：2220x x z --=，由480z ∆=+=，得12z =-，故122z -≤≤，故选B （11）D 【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为16242=⨯⨯，两个底面面积之和为3232212=⨯⨯⨯；半圆柱的侧面积为ππ44=⨯，两个底面面积之和为ππ=⨯⨯⨯21212，所以几何体的表面积为32165++π，故选D（12）A 【解析】2()a x bx af x x b x x-++'=-+=因为()fx 存在极小值，所以方程20x bx a -++=有两个不等的正根故12122+0040x x b x x a b b a ⎧=>⎪⋅=->⇒>⎨⎪∆=+>⎩ 由()0f x '=得1x =，2x =，分析易得()f x 的极小值点为1x ，因为b>1x== 设21()ln (02g x a x x a x =+-<<，则()f x 的极小值恒大于0等价于()g x 恒大于0因为2()0a a x g xx x x+'=+=<，所以()g x在单调递减故3()02g x g a a >=-≥，解得3a e ≥-，故3min a e =-，故选A （13）200【解析】由题意可得360060=2400+3600+6000N，故200N =（14）40-【解析】23x y 的系数为40)1(23235-=-⨯⨯C（15）【解析】不妨设点P 在第一象限，由对称性可得22PQ aOP ==，因为AP PQ ⊥在Rt POA ∆中，1cos 2OP POA OA ∠==，故60POA ∠=，易得1()4P a ，代入椭圆方程得：116316122=+b a ，故222255()a b a c ==-，所以离心率552=e （16）21t -<≤-或112t ≤<【解析】2n ≥时，11(1)22n n n n n n a na a S S --+=-=-整理得11n n a an n -=-，又1=1a ，故n a n =不等式2220n n a ta t --≤可化为：2220n tn t --≤设22()2f n n tn t =--，由于2(0)20f t =-≤，由题意可得22(1)120(2)4220f t t f t t ⎧=--≤⎪⎨=-->⎪⎩，解得21t -<≤-或112t ≤< (17)【解析】（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 3sinCD BD BCDCBD =⋅∠==∠，…………………2分在ABD ∆中，由余弦定理得： ==4分 所以45ADB ∠=…………………6分（Ⅱ）因为30CBD ∠=，120BCD ∠=，所以30CDB ∠=因为6sin sin(4530)ADC ∠=+=8分所以1sin 2S AD CD ADC =⋅⋅∠12=⨯=……12分 （18）【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF由BD EF BD EF 21,//=，得OD EF OD EF =,//所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED //……3分又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF 所以DE //平面ACF …6分（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AM AO ⊥平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ⋂ BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角.……………………8分取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯=中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 814 3 7 6 2所以2=OP .由12PF OB ==BF OF === 因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅所以OB OP OM BF ⋅==AM ==…………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠==故二面角A BF D --的余弦值为23………12分方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，故OP ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.因为1()2EFBD S EF BD OP=⨯+⨯梯形132OP =⨯+⨯=所以2=OP , )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，F C B A -因此(2,20),(0,AB BF =-=，…8分 设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =由00n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则(2,2,1)n = 因为AO BD ⊥，所以AO ⊥平面EFBD ，故平面BFD 的法向量为(2,0,0)OA =………10分于是22cos ,32OA n OA n OA n⋅<>===⋅ 由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D --的余弦值为2312分(19)【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下 …………………3分通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。
2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案
绝密★启用前2020届天津市部分区高考一模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知a ，b R ∈，若2b ia i i+-=（i 是虚数单位），则复数a bi +是（） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +答案：B根据复数的除法，先得到21a i bi -=-+，根据复数相等，求出参数，即可得出结果. 解：因为()()()21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-， 所以12a b =⎧⎨=⎩，因此12a bi i +=+.故选：B. 点评：本题主要考查复数的除法，以及由复数相等求参数的问题，属于基础题型. 2．设R θ∈，则22ππθ-<是“sin 0θ>”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果. 解： 若22ππθ-<，则222πππθ-<-<，即0θπ<<，所以sin 0θ>；若sin 0θ>，则22,k k k Z πθππ<<+∈，不能推出“22ππθ-<”.所以22ππθ-<是“sin 0θ>”的充分不必要条件.故选：A.点评：本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型. 3．已知函数()2ln f x x x ax =+-．若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行，则实数a =（）A ．72B ．2C ．32D ．1答案：D先对函数求导，求得()13f a '=-；再由题意，得到32a -=，求解，即可得出结果. 解：因为()2ln f x x x ax =+-，所以()12f x x a x'=+-，则()13f a '=-； 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行， 所以32a -=，解得：1a =. 故选：D. 点评：本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型.4．在ABC 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（） A ．36π B ．12π C ．36 D ．12答案：B根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 解：因为在ABC 中，90B ∠=︒，所以BC AB ⊥，若以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所得的几何体是以BC 为高，以AB 为底面圆半径的圆锥，因为3AB =，4BC =， 因此，其体积为：()21123V AB BC ππ=⨯⨯⨯=.故选：B. 点评：本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型.5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为（）A ．15B ．20C ．35D ．45答案：C根据分数在区间[)20,40的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数. 解：因为分数在区间[)20,40的频数为5，由频率分布直方图可知，区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++⨯=， 因此样本容量为5500.1=， 所以，大于等于60分的人数为()500.020.0152035⨯+⨯=. 故选：C. 点评：本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.6．已知函数()25x f x x =+．若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3log 5b f =，()0.26c f =．则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>答案：D先根据对数函数与指数函数的性质，得到13310log log 512<<<，0.261>，再根据函数单调性，即可判断出结果. 解：因为113333310log 1log log log 5lo 2g 312=<=<<=，0.261>，函数2x y =与5y x =都是增函数，所以()25xf x x =+也是增函数，因此(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭， 即c b a >>. 故选：D. 点评：本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.7．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心；③142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的结论为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④答案：C先由函数周期性与对称轴，求出函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，根据三角函数的平移原则，正弦函数的对称性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 解：因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称，所以2,62k k Z ππωππωϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩，解得2,6k k Z ωπϕπ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩， 因为2πϕ<，所以6π=ϕ，因此()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；①将()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度后函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,6x k k π-=π∈Z 得,122k x k Z ππ=+∈，所以其对称中心为：,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故①错； ②由2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；令512212k πππ-+=，则1k =，故②正确；③sin cos 26624f ππππ⎛⎫+== ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，故③错； ④由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．即④正确. 故选：C. 点评：本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的对称性，单调性，周期性等即可，属于常考题型.8．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ，B ，C ，D四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（） A．3BC或3D．答案：A先由题意，得到四边形ABCD 为矩形，设点00(,)A x y 位于第一象限，得到004ABCD S x y =矩形；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出22010e x =，再由四边形面积，得到20x =，进而可求出离心率.解：根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABCD 为矩形；不放设点00(,)A x y 位于第一象限，则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形；因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2220210a b x a +=，所以2222010c e a x ==， 又20004412ABCD b S x y x a===矩形，所以203a x b===因此22010e x ==整理得：4291001000e e -+=，解得：2109e =或210e =，所以e =或e = 又0a b >>，所以双曲线的离心率e ===因此3e =. 故选：A. 点评：本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 9．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60BAD ∠=︒，8AB =，4CD =．若M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27AM AE ⋅=，则DM DE ⋅=（） A ．15 B ．10 C ．203D ．5答案：D过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据平面向量的基本定理，根据题意，得到3142AM AB AD =+，设DE tDC =，得到2t AE A AB D =+，再由27AM AE ⋅=，求出14t =；再由向量数量积运算，即可求出结果. 解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，且8AB =，4CD =，所以2AF =， 又60BAD ∠=︒，所以4cos60AFAD ==︒；因为M 为线段BC 的中点， 所以()()111131222242AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭， 又E 为线段CD 上一点，所以存在t R ∈，使得DE tDC =， 则2tAE AD AD DE AB =+=+， 由27AM AE ⋅=得3127422t AB AD A B D A ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22331274824tAB AD t AB AD AD AB ⋅+++⋅=， 即33184cos60641648cos60274824tt ⨯⨯⨯︒+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=， 解得：14t =； 所以()13118428DM DE AM AD AB A A A D AB B D ⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 231131311cos 606484615428321632162AB AD A AB AB AB D ⎛⎫=-⋅=-︒=⨯-⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭故选：D.点评：本题主要考查由向量数量积求参数，以及求平面向量的数量积，熟记向量数量积运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题10．已知集合{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，且14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =________．答案：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭根据交集的结果，先求出2m =-，从而得到14n =，再求并集，即可得出结果.解： 因为{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以124m=，解得2m =-；因此14n =. 所以12,,24AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.故答案为：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 点评：本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的并集运算，属于基础题型.11．在522x⎫⎪⎭-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）． 答案：80-根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解. 解：因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--，令5552r -=，则3r =， 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为：80-. 点评：本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.12．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 答案：2根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 解：因为a 与2b 的等差中项是2， 所以24b a +=，又0a >，0b >，则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤，当且仅当2a b =，即2,a b ==.故答案为：2. 点评：本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 13．已知圆()()22:1116C x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程为________． 答案：280x y -+=根据几何法求弦长的公式，先求出圆心到直线l 的距离，根据点到直线距离公式，列出等式，即可求出直线斜率，进而可求出结果. 解：由题意，圆()()22:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-，半径为4r =， 又由题意可知，AB 为弦长，所以圆心到直线l的距离为：d ===设直线l 的方程为：3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，所以d ==d ==24410k k -+=，解得：12k =. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为：280x y -+=. 点评：本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及弦长的求法即可，属于常考题型.14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p ．若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为________． 答案：23；2312. 先根据独立事件的概率计算公式，由题意，求出23p =；结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3，求出对应的概率，即可计算期望. 解：因为教师甲恰好答对3个问题的概率是14，所以311424p ⨯⨯=，解得：23p =； 由题意，随机变量X 的可能取值分别为：0,1,2,3；所以3121(0)11142324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231231261(1)111111423423423244P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31231231211(2)11142342342324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31261(3)423244P X ==⨯⨯==，因此，()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：23；2312. 点评：本题主要考查独立事件的概率，以及求离散型随机变量的期望，属于常考题型.15．已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：(][),31,-∞--+∞分0x =，0x <，0x >三种情况，结合分离参数的方法，分别求出a 的范围，即可得出结果. 解：由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立； 当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x≤+-， 又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤，即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立， 所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为：(][),31,-∞--+∞.点评：本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题，后者可利用基本不等式求最值，也可以利用二次函数的性质求最值，本题属于常考题型. 三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ba c A +=，c =23a b =．（1）求角C 的大小； （2）求()sin C B -的值．答案：（1）3π；（2. （1）根据正弦定理，诱导公式，以及二倍角公式，得出1sin22C =，进而可求出结果； （2）由（1）的结果，根据余弦定理，求出2b =，3a =，再求出cos B ，sin B ，即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解：（1）因为sinsin 2A Ba c A +=，,,A B C 分别为三角形内角， 由正弦定理可得：sin sin sin sin 2CA C A π-=，因为()0,A π∈，故sin 0A ≠， 所以cossin 2sin cos 222C C C C ==， 又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此2sin 12C =，所以1sin 22C =，因此26C π=即3C π=； （2）由（1）得1cos 2C =，因为7c =，23a b =， 由余弦定理可得：22222229713714cos 231232b b a bc C ab b b +-+-===-=，解得：2b =；所以3a =，因此2222cos 72767a c b B ac +-===，所以221sin 1cos B B =-=，故()3212121sin sin cos cos sin 7272714C B C B C B -=-=⨯-⨯=. 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形，以及三角恒等变换求函数值的问题，属于常考题型.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值答案：（1）证明过程见详解；（2）45；（3）13.（1）先取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ，根据面面平行的判定定理，得到平面//MON 平面ABC ，进而可得//MN 平面ABC ；（2）先由题意，得到11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，分别求出平面BMN和平面1B MN 的一个法向量，根据向量夹角公式，求解，即可得出结果；（3）先设[]1110,1B Pt B C =∈，得到()1,22,0PM t =-，根据空间向量的夹角公式，列出等式求解，即可得出结果. 解：（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直， 以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ，所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ， 则1cos cos ,94m nm n m nθ⋅=<>===+， 所以sin θ==； （3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,151PM n PM n PM nα⋅=<>====， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.点评：本题主要考查证明线面平行，求二面角，已知线面角求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理与性质，以及二面角，线面角的向量求法即可，属于常考题型.18．已知抛物线2:42C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．答案：（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. （1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由2PQ =，得到222b a=，根据焦点坐标得到2222c a b =-=，两式联立，求出24a =，22b =，即可得出结果；（2）先由题意，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，联立直线与椭圆方程，求出点B 坐标，根据对称性，得到M 的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果. 解：（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-，又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a =，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=. 点评：本题主要考查求椭圆的方程，以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题，属于常考题型.19．设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列．已知48a =，322a a =+，12b a =，265b b a +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，求数列{}n c 的前2n 项和．答案：（1）12n na ，2nb n =；（2）2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++⎪⎝⎭. （1）先设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，根据等差数列与等比数列的基本量运算，以及题中条件，求出q 和d ，即可得出通项公式；（2）分别求出奇数项与偶数项的和，再求和，即可得出结果. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 由48a =，322a a =+得4422q a a q =+，即2882q q =+，解得：2q ，所以4131a a q==，因此12n n a ，又12b a =，265b b a +=，所以142612262b b b b d =⎧⎨+=+=⎩，解得122b d =⎧⎨=⎩， 因此2n b n =；（2）因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，当n 为偶数时，121n n c b n =+=+， 所以2242(341) (222)n n n c c n c n +++++==+；当n 为奇数时，2nn n n c a b n ==⋅，记352113521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=⋅+⋅+⋅++-⋅①则357214123252...(21)2n M n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②得357212132222222 (22)(21)2n n M n -+-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅()4224682212122122222...2(21)22(21)212n n n n n n -++-=+++++--⋅=+--⋅-()422212122121052(21)2221233n n n n n -++-⎛⎫=+--⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以2110252939n n M +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭， 因此数列{}n c 的前2n 项和为2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算，以及数列的求和，熟记等差与等比数列的通项公式，以及求和的方法即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ，函数()()1x g x f x e x -=+-，其中 2.71828e =…是自然对数的底数．（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值； （2）求()g x 的单调区间；（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． 答案：（1）1m =；A 是最小值；（2）单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞；（3）证明过程见详解.（1）先对函数求导，根据题意，得到()10f '=，求出1m =，研究函数单调性，即可判断出结果； （2）对函数()1ln 1x g x ex -=--求导，得到()11x xe g x x--'=，令1()1x h x xe -=-，对其求导，研究其单调性，即可判断函数()1ln 1x g x ex -=--的单调性；（3）先由（1）得1x >时，ln 1x x <-恒成立，令112nx =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，进而求和，即可得出结果. 解：（1）因为()ln 1f x x m x =--，0x >，所以()1m f x x'=-， 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A ， 则()110f m '=-=，即1m =；所以()111x f x x x-'=-=，由()10x f x x -'=>得1x >；由()10x f x x-'=<得01x <<， 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值，即A 是最小值； （2）由（1）得()11ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--，所以()1111x x xe g x e x x---'=-=， 令1()1x h x xe-=-，则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+，因为0x >，所以1()(1)0x h x x e -'=+>恒成立，因此1()1x h x xe-=-在()0,∞+上单调递增；又(1)0h =，所以，当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>；所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞； （3）由（1）知，()ln 1(1)0f x x x f =--≥=， 所以ln 1x x ≤-，当1x >时，ln 1x x <-恒成立；令112n x =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111111122 (1112222212)n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++==-<-， 即2111ln 1111ln 222n e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评：本题主要考查根据函数极值点求参数，考查求函数单调性，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末联考数学理科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末联考数学理科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设i 是虚数单位，复数z 满足()()12z i i i +-=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2、七位裁判各自对一名跳水运动员打分后，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，关于剩余分数的说法一定正确的是（ ）A ．众数不变B ．方差不变C ．平均值不变D ．中位数不变 3、函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()1f =（ ） A ．32-B ．12-C ．12D ．32 4、已知x 、y 满足约束条件230230x ax y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，且2z x y =+的最大值为11，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为35x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为()4cos sin ρθθ=+，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为（ ） A ．22B ．32 C ．42D ．526、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π7、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108、“1a =”是“直线y x =与函数()ln y x a =+的图象有且仅有一个交点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9、若函数()f x 满足()21f =且()()32f x f x +=，则()2015f =（ ）A ．6702B ．6712C ．6722D ．673210、将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、6x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是．12、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且2462532a a a ++=，则9S =．13、过焦点为F 的抛物线24y x =上一点P 向其准线作垂线，垂足为Q ，若Q F 120∠P =，则F P =．14、已知a 、b 是单位向量，其夹角为120，若实数x 、y 满足6xa yb +=，则22x y +的取值范围是．15、在三棱柱111C C AB -A B 中，C ∆AB 为正三角形，1AA ⊥底面C AB ，E 是AB的中点，F 是1C B 的中点．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）． ①F//E 平面11CC A A ； ②平面C F E ⊥平面11ABB A ；③平面C F E 截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11:1； ④若该三棱柱有内切球，则13AB =BB ；⑤若1BB 上有唯一点G ，使得1G CG A ⊥，则12BB =AB ．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且()sinC 2sin =A-B ．()I 证明：tan 3tan A =B ； ()II 若2c b =，求角A 的值．17、（本小题满分12分）如图所示的是某母婴用品专卖店根据以往销售奶粉的销售记录绘制的日销售量的频率分布直方图．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． ()I 估计日销售量的平均值；()II 求未来连续三天里，有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋的概率；()III 记X 为未来三天里日销售量不低于150袋的天数，求X 的分布列和均值（数学期望）．18、（本小题满分12分）如图，在四棱台1111CD C D AB -A B 中，1DD ⊥底面CD AB ，四边形CD AB 为正方形，1DD D 2=A =，111A B =，1C //E 平面11DD A A ．()I 证明：E 为AB 的中点；()II 求二面角1C D A -E -的余弦值．19、（本小题满分13分）设函数()()1x f x a x e =--（e 为自然对数的底数）．()I 当1a =时，求()f x 的最大值；()II 当()(),00,x ∈-∞+∞时，()1f x x<恒成立，证明：1a =．20、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221x y a b +=（ ）0a b >>的离心率为12，． ()I 求椭圆C 的方程；()II 设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ．请问：在x 轴上是否存在定点M ，使得Q MP ⋅M 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，且()224n n S n n T =-+，n *∈N ．()I 证明：数列{}1n a +为等比数列； ()II 设11n n n b a +=+，证明：123n b b b ++⋅⋅⋅+<． 参考答案一、选择题：本题有10小题，每小题5分，共50分。
2020年天津市十二校高三毕业班联考答案
5
1 n1
4
3n 2
1
n
4
3 4
An
1
3 14
1 4
2
...
1 4
n1
3n
2
1 4
n
ห้องสมุดไป่ตู้
1
3
1 4
-
1
n
1
4
1 1
3n
2
1 4
n
4
2 - 3n
2
1 4
n1
An
8 3
3n 3
2
1 4
n1
R2n
3T2n1
An
3
1
2n1 a2nb2n
8 3
3n
4
1
n1
………14 分（公式和结果各 1 分）
（Ⅱ）过点 A 做 AH CD ,垂足为 H 以 A 为坐标原点，分别以 AH , AB, AE 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系
A(0,0,0),C(1,2,0), F(0,1,2), D(1,1,0)
设平面 FAC 的一个方向量为 n (x, y, z)
联立椭圆与PQ得： yx423y3x2m1 即 3x2 3mx m2 3 0 2
………10 分
9m2 12 m2 3 3 12 m2 00 m2 12
m2 3 x1 x2 m, x1x2 3
………11 分
PQ
1 k2
x1 x2 2 4x1x2
39 6
1 2
3
...
(n
1)(
1)n 2
（ -
n)(
1 )n1 2
3 2
Tn
1 2
天津市各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编(4) 数列
天津市各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编（4） 数列一、选择题:2.（天津市十二区县重点中学2020年高三毕业班联考一）“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．（天津市新华中学2020届高三第二次月考文）等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为A. 297B. 144C. 99D. 66 【答案】C【解析】由147=39a a a ++，得443=39=13a a ，。
由369=27a a a ++，德663=27=9a a ，。
所以194699()9()9(139)===911=99222a a a a S ++⨯+=⨯，选C. 2. （天津市新华中学2020届高三第二次月考文）已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =，则nm 41+的最小值为 A.23 B. 35 C. 625 D. 不存在4. （天津市南开中学2020届高三第四次月考理）数列}{n a 的前n 项和为)()1(,1*2N n a b n n S n n n n ∈-=++=，则数列}{n b 的前50项的和为（ ）A. 49B. 50C. 99D. 100【答案】A 二、填空题:1.（天津市新华中学2020届高三第一次月考文）等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m【答案】10【解析】在等差数列中，由0211=-++-m m m a a a 得220m m a a -=，解得2m a =或m a =（舍去）。
又12`121(21)()2(21)(21)22m mm mm a a m a S m a ---+-===-，即(21)2(21)38m m a m -=-=，解得10m =。
《精编》天津市十二区县重点学校高三数学毕业班联考(一)文 新人教A版.doc
天津市十二区县重点高中高三毕业班联考〔一〕数 学〔文〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷〔选择题，共40分〕本卷须知：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
一、选择题〔此题共8个小题，每题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中，只有一 个是正确的〕 1.i 是虚数单位，复数31ii--= A.i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2.实数x ，y 满足条件24250,,x x y x y ⎧≥⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，那么目标函数y x z +=3的最大值为A ．7B ．8C ．10D ．113.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列〞是“2y xz =〞成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.阅读右面的程序框图，那么输出的S =A ．14B ．30C ．20D ．552log 3a =，4log 3b =， 1.21()2c =，那么它们的大小关系是A. b a c <<B.b c a <<C.c a b <<D. a b c << 6.将函数y=cos(x －56π)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得图像向左平移3π个单位，那么所得函数图像对应的解析式是 A.cos()24x y π=- B. cos(2)6y x π=- C. sin 2y x = D.2cos()23x y π=-7.函数120()()f x x x =>，假设对于任意02(,)πα∈，都有PC第11题图1402(tan )()cos ()tan f f αββπα+≥≤≤成立，那么β的取值范围是 Ａ．5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｂ．11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．50,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Ｄ. 110,,266πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8.函数5(4)4(6),()2(6)x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩(0,1)a a >≠.假设数列{}n a 满足()n a f n =且1n n a a +>*,n N ∈，那么实数a 的取值范围是Ａ．()7,8 Ｂ．[)7,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()1,8 第二卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.{||2|3}M x x =-≤，集合3=<02x N x R x ⎧-⎫∈⎨⎬+⎩⎭，那么集合=MN .10.某几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的体积为.11.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 为切点，AP 与CB 的延长线交于点P ．假设10=PA ，5=PB ，那么AB 的长为 .22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =它的一条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线交点的纵坐标为6 ，那么正数p 的值为 .2()2||1f x x x =-++，假设2(log )(3)f m f >，那么实数m 的取值范围是 .14.点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于 点Q ，那么BQ CP ⋅的最大值为 .0 40 50 60 70 80 90 100 频率 组距0.010 0.005 0.0200.025a 三.解答题：本大题6小题，共80分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值13分〕某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩〔总分值100分，成绩均为不低于40分的整数〕分成六组：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图． 〔Ⅰ〕求图中实数a 的值； 〔Ⅱ〕假设该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数； (Ⅲ)假设从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个 分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举 法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大 于10的概率. 16．〔本小题总分值13分〕 函数2()23cos 2cos 1f x x x x =-+ 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；〔Ⅱ〕在ABC ∆中，假设()22Af =,1b =，2c =，求a 的值. 17.(本小题总分值13分〕在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是,AD PC 的中点. (Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面；(Ⅲ)假设PB AD =，求二面角F BE C --的大小. 18．〔本小题总分值13分〕数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1. 〔Ⅰ〕 假设1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ； 〔Ⅱ〕假设12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和. 19．〔本小题总分值14分〕函数()ln f x x x =，2()(3)x g x x ax e =-+-⋅〔其中a 实数,e 是自然对数的底数〕． 〔Ⅰ〕当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； 〔Ⅱ〕求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 假设存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围. 20．〔本小题总分值14分〕中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . 〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，假设椭圆上一点C 满足λ=+，求实数λ天津市十二区县重点高中高三毕业班联考〔一〕数学试卷〔文科〕 评分标准一、选择题：此题共8个小题，每题5分，共40分.频率a9．{}-1<3x x ≤ ；10．π3108+； 11． 12．4；13．1(,8)8；14．229-三.解答题：本大题6小题，共80分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值13分〕某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩〔总分值100分，成绩均为不低于40分的整数〕分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．〔Ⅰ〕求图中实数a 的值；〔Ⅱ〕假设该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)假设从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率； 15．解：〔Ⅰ〕由005010210025011.....a +++++=可得003.a = …………2分〔Ⅱ〕数学成绩不低于60分的概率为:020*********.....+++=……4分 数学成绩不低于60分的人数为500085425.⨯=人 ……5分(Ⅲ)数学成绩在[)40,50的学生人数：400052.⨯=人 ……6分数学成绩在[)40,50的学生人数：40014.⨯=人 ……7分设数学成绩在[)40,50的学生为12,A A ， 数学成绩在[]90,100的学生为3456,,,A A A A …………8分 两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A454656{,},{,},{,}A A A A A A …………10分共15种； …………11分其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有{}12,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共7种， …………12分因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715…………13分 16．〔本小题总分值13分〕函数2()23cos 2cos 1f x x x x =-+〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；〔Ⅱ〕在ABC ∆中，假设()22Af =,1b =，2c =，求a 的值. 16．解：〔Ⅰ〕322()sin cos f x x x =- …………2分226sin()x π=-…………4分2T ππω== ………………5分由222262k x k πππππ-≤-≤+得，63k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).，……7分故)(x f 的单调递增区间为63,k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). ………………8分 〔Ⅱ〕22Af =(),那么2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分 又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分7a ∴=… ……………………13分 17．(本小题总分值13分〕在四棱锥P-ABCD 中，//AD BC ,AD CD ⊥,PA=PD=AD=2BC=2CD ，E,F 分别是AD,PC 的中点，(Ⅰ)求证D BE A P ⊥平面； (Ⅱ) 证明PA//BEF 平面；(Ⅲ)假设PB=AD ，求二面角F-BE-C 的大小.17．(Ⅰ) 证明:由得//ED BC ED BC =，，故BCDE 是平行四边形，所以//BE CD BE CD =，，---------1分 因为AD CD ⊥，所以BE AD ⊥, ---------2分 由PA=PD 及E 是AD 的中点，得PE AD ⊥, ---------3分 又因为BEPE E =,所以D BE A P ⊥平面. ---------4分(Ⅱ) 证明:连接AC 交EB 于G ,再连接FG ,由E 是AD 的中点及//BE CD ，知G 是BF 的中点， 又F 是PC 的中点，故//FG PA ， ---------5分 又因为,FG BEF PA BEF ⊂⊄平面平面， 所以PA//BEF 平面. ---------7分 (Ⅲ)解：设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =,那么3PF a =，又2PB AD a ==，EB CD a ==，故222PB PE BE =+即PE BE ⊥， ---------8分又因为BE AD ⊥，AD PE E =，所以BE PAD ⊥平面，得BE PA ⊥，故BE FG ⊥， ---------10分 取CD 中点H ，连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, ---------11分 综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角. ---------12分 可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====， 故=60FGH ∠,所以二面角F-BE-C 等于60 . ---------13分 18．〔本小题总分值13分〕数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.〔Ⅰ〕 假设1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ； 〔Ⅱ〕假设12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和. 18．(Ⅰ) 解：(i)11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+= ………………2分.由11n n a a n +-=+得当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++=(1)2n n +………4分 而11a =适合上式，所以(1)()2n n n a n N *+=∈.………………5分 (ii)由(i)得：12112()(1)1n a n n n n ==-++ ……………6分1231111n nS a a a a =++++ 11111112(1)2()2()2()223231n n =-+-+-++-+……………7分 122(1)11nn n =-=++ …………8分(Ⅱ)解：因为对任意的n ∈*N 有54643431n n n n n n n n b b b b b b b b +++++++====，所以数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. …………9分又数列}{n b 的前6项分别为3112232233,,,,,，且这六个数的和为8. ……………10分 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，那么，当2()n k k =∈*N 时，36123456()8n k S S k b b b b b b k ==+++++=， ……………11分当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++12313882k b b b k =+++=+ ， …………12分当1n =时3132S =所以，当n 为偶数时，34n S n =；当n 为奇数时，3542n S n =+. ……………13分19．〔本小题总分值14分〕函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅〔其中a 是实常数,e 是自然对数的底数〕．〔Ⅰ〕当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； 〔Ⅱ〕求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 假设存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.19．解：〔Ⅰ〕当5a =时2()(53)x g x x x e =-+-⋅，2()(32)x g x x x e '=-++⋅┈┈1分故切线的斜率为(1)4g e '=， ┈┈┈┈ 2分所以切线方程为：4(1)y e e x -=-，即430ex y e --=. ┈┈┈┈ 3分 〔Ⅱ〕()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e= ┈┈┈┈ 4分 ①当et 1≥时，在区间(,2)t t +上，()0f x '>，()f x 为增函数， 所以min ()()ln f x f t t t == ┈┈┈┈ 5分 ②当10t e <<时，在区间1(,)t e上()0f x '<，()f x 为减函数，┈┈┈┈ 6分 在区间1(,)e e上()0f x '>，()f x 为增函数，┈┈┈┈ 7分所以min 11()()f x f e e==-┈┈┈┈ 8分 (Ⅲ) 由()2()x g x e f x =可得223ln x x x ax =-+-32ln a x x x=++， ┈┈┈┈ 9分 令32()ln h x x x x=++， 22)1)(3(321)(x x x h -+=-+=' ┈┈┈┈ 10分┈┈┈┈ 12分1132()h e e e =+-，14()h =，32()h e e e=++12420()(h e h e e e -=-+< ┈┈┈┈ 13分∴实数a 的取值范围为342(,]e e++ ┈┈┈┈ 14分20．〔本小题总分值14分〕中心在坐标原点，焦点在x的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . 〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，点C 满足λ=+，求实数λ20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ┈┈┈┈┈┈┈ 1分由得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ，那么有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC ┈┈ 9分又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ ┈┈┈┈┈ 10分 222222221134()()1t k t t λ⇒==+++ ┈┈┈┈┈ 12分 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ┈┈┈┈┈ 13分 所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为(0)(0,2)┈┈┈┈ 14分。
天津市十二区县重点校2024届高三下学期第一次模拟考试 数学含答案
2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将答题卡交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分。
参考公式：·如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()z 1-i =1+，则z =（）A ．1i-B ．1i+C ．22i-D ．22i+2．已知,a b ∈R ，则“b a >”是“22a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能为（）A ．()sin522x xx f x -=-B ．()cos522x xx f x -=+C ．()cos522x xx f x -=-D ．()sin522x xx f x -=-4．已知函数()1x f x x e =-，若0.61212,log 29a f b f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，134c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n N ==+∈，则5a =（）A ．6B ．9C ．11D ．146．下列说法正确的是（）A ．一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17；B ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；C ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；D ．若随机变量,ξη满足32ηξ=-，则()()32D D ηξ=-．7．如图是函数()()sin 0,0,22f x K x K ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与y 轴的交点，,B C 是图象与x 轴的交点，且()0,1,D ABC -△的面积等于2π，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；B ．函数()f x 的最小正周期为2π；C ．函数()f x 的图象可由()2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；D ．函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。