【理数】2020年4月华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考理科数学试卷含答案

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2020年华附省实深中广雅四大名校四月联考(理综生物)

华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考理科综合（生物）班级：姓名：得分：题号123456答案一、选择题：本题共13小题，每小题6分,共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于细胞结构与成分的叙述，正确的是A．线粒体膜上有葡萄糖的载体，没有氧气的载体B．细胞中的色素不是分布在叶绿体中，就是分布在液泡中C．含有蛋白质的细胞器不一定含有核酸，含核酸的细胞器一定含有蛋白质D．微量元素可参与某些复杂化合物的组成，如Fe、Mg分别参与蛋白质和叶绿素的组成2．SGLT2是肾小管细胞膜上重吸收葡萄糖的一种载体蛋白，SGLT2可以与肾小管腔中葡萄糖和Na+结合，形成Na+-载体-葡萄糖复合物，将Na+顺浓度梯度运入细胞，同时将葡萄糖逆浓度梯度运入细胞，下列叙述错误的是A．氧气的含量变化会直接影响SGLT2参与的葡萄糖的运输速率B．SGLT2将肾小管腔中的葡萄糖运入细胞属于主动运输C．细胞通过SGLT2运输葡萄糖的动力来自Na+的浓度差D．肾小管细胞中SGLT2合成不足可能导致人尿液中含有葡萄糖3．蝗虫的决定为XO型，正常雄虫的体细胞中有23条染色体，仅有一条性染色体（X染色体）。

下图表示某雄虫精巢中某一细胞染色体的行为，染色体A和B为一对同源染色体。

以下叙述正确的是A．图示细胞处于减数第二次分裂后期B．若对该种蝗虫进行基因组测序，则应该测定12条染色体的DNA序列C．该细胞所处的时期染色体高度螺旋化难以解旋，细胞内不能合成新的蛋白质D．萨顿通过观察雄蝗虫体细胞和精子细胞的染色体数，提出了基因在染色体上的假说4．2017年诺贝尔生理学或医学奖颁给了美国的三位科学家，他们发现果蝇的昼夜节律与PER蛋白浓度的变化有关，右图表示PER蛋白作用部分过程，有关叙述错误的是A．PER蛋白可反馈抑制per基因的转录B．per mRNA的合成过程发生在细胞核内C．图中核糖体移动的方向是从a→bD．PER蛋白与TIM蛋白结合后穿过核膜进入细胞核5．下列关于生物变异、育种和进化的叙述，正确的是A．B基因可突变成b1、b2基因反映了基因突变的随机性B．单倍体育种中常用一定浓度的秋水仙素处理萌发的种子或幼苗C．生物产生的变异个体都属于可遗传的变异，都可以作为生物进化的原材料D．地理隔离可阻止种群间的基因交流，种群基因库的明显差异导致种群间产生生殖隔离6．右图为人体体液物质交换示意图，下列叙述正确的是A．体液①含有尿素、氨基酸、糖原、CO2等物质B．体液①和②之间进行物质交换，可以等量地相互转化C．④能回流血浆，是淋巴细胞和吞噬细胞的直接生活环境D．③若产生乳酸会引起①②④内pH剧烈变化29.（9分）如图为大蒜根尖分生组织中每个细胞核的DNA相对含量，每个点代表记录到的一个细胞。

2020年4月8日广东省华附、省实、深中、广雅高2020届高2017级高三年级四校联考理科综合试题及参考答案

A．该物质的分子式为 C10H16O2 B．该物质能发生氧化反应、还原反应、加聚反应和取代反应 C．该物质的一氯代物共有 5 种 D．该物质所有的碳原子不可能共平面
2
考联校四
10．《Journal of Energy Chemistry》报导我国科学家设计 CO2 熔盐捕获与转化装置如右图。下列有关说法正确的是
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液；必须保持答题卷的整洁。不按以上要求作答的答案无效。
D．a 点水的电离程度小于 b 点水的电离程度
二、选择题：本题共 8 小题，每小题 6 分．在每小题给出的四个选项中，第 14~18 题只有一项符合
题目要求，第 19~21 题有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选
错的得 0 分．
14．如图 1 所示某质点做直线运动的 v-t 图象为正弦图，下列说法中正确的是
图2 确的是
A．vl=v2 B．vl：v2=1：2 C．vl：v2=2：1 D．vl：v2=1：4 18．完全相同的两个小滑块甲和乙，可视为质点，分别从质量相同，底边长相同的两个斜面体顶端
由静止滑下，如图 3 所示，已知斜面倾角为α和β，且α>β，两个滑块和斜面之间的动摩擦因数相同，下滑过程中斜面体均保持静止，下列说法正确的是 A．甲滑块滑到斜面底端的速度比乙大 B．甲滑块在斜面上滑动的时间一定比乙长 C．甲滑块下滑过程中，机械能的变化量比乙大

广东省华附、省实、深中、广雅2020届高三数学下学期四校联考试题理(含解析)

广东省华附、省实、深中、广雅2020届高三数学下学期四校联考试题理（含解析）一、选择题 1.集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A. MNB. MN C. N MD.M N ⋂=∅【答案】B 【解析】【分析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解. 【详解】121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，2k Z +∈可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴MN ，故选：B【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 2.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（） A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假【答案】B 【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以2212z z a b ==+，故原命题为真；逆命题：若12=z z ，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B. 考点：命题以及命题的真假.3.已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B 【解析】【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0，即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1，故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.平面α∥β平面的一个充分条件是（） A. 存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B. 存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC. 存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD. 存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质 5.函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【详解】令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2log 3sin()2x x π=，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log ,3sin()2y x y x π==的图象，由图可得交点个数为3，所以函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是3，故选C ．6.已知函数()sin 2cos2f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在12x π=处取得最大值，则函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是（） A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 奇函数且它的图象关于x π=对称D. 偶函数且它的图象关于x π=对称【答案】A 【解析】【分析】首先根据已知可得()()2f x x θ=-，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k πθπ=--，再化简函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而求解问题.【详解】()()sin 2cos 22f x a x b x x θ=-=-，在12x π=处取得最大值，()22122k k Z ππθπ∴⨯-=+∈，则23k πθπ=--，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()232x x y f x ππ∴+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.7.已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，则{}n a 的前2019项之和为（） A. 0 B. 2019C. 4038D. 4040【答案】C 【解析】【分析】由函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图像关于2x =对称，由题意可得420164a a +=，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和.【详解】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列，可得42016120194a a a a +=+=，所以{}n a 的前2019项之和为()120192019201940328a a S +==故选：C【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n 项和，需熟记公式与性质，属于基础题.8.函数()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（）A. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,1t ∈ 所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减；故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.9.函数f (x )＝12x -的值域为( )A. [－43,43] B. [－43,0] C. [0,1] D. [0,43]【答案】C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用21x -的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.10.已知圆221x y +=，点1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（） A. 2212x y +=B. 2214x y += C. 221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D. 221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD =，从而得BC 中点的轨迹方程.【详解】设BC 中点为D ，圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==，故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=，如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <.故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.11.F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（）A.3B.3D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是 A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段【答案】A【解析】试题分析：设点到三个面的距离分别是. 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P 到侧面SBC 的距离为定值．二、填空题13.在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =，()1,1b =，则满足1a b -≤的概率是______ . 【答案】4π 【解析】【分析】由已知向量的坐标求出满足1a b -≤的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案.【详解】由(),a m n =，()1,1b =，得()1,1a b m n -=-- 由1a b -≤()()22111m n -+-≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4. 则1a b -≤的概率是4π . 故答案为：4π 【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题. 14.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，则25837a a ab b ++=+______.【答案】215【解析】【分析】由等差数列的性质，258537532a a a a b b b ++=+，结合等差数列的前n 项和公式得到9595A aB b =，在311n n A n B n +=+中取9n =即可得出答案. 【详解】数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，则258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a Ab b b b B +===+，又311n n A n B n +=+，595939114915a Ab B ⨯+∴===+，所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+.故答案为：215【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.15.已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．【答案】0.1 【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()22111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=故答案为0.116.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222b a c =+，当()tan B A -取最大值时，角A 的值为______. 【答案】6π【解析】【分析】利用正弦定理以及二倍角公式将22222b a c =+化为()2cos2cos2sin0B A A B -++=，再由两角和与差的公式将式子化为sin cos 3cos sin B A B A =，由此可得tan 3tan B A =，代入()tan B A -的展开式，利用基本不等式即可求解.【详解】由22222b a c =+，2222sin 2sin sin B A C ∴=+，()21cos21cos2sin B A A B ∴-=-++， ()2cos2cos2sin 0B A A B ∴-++=，()()()()()2cos cos sin 0B A B A B A B A A B ∴++--+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ()()()2sin 2sin sin A B A B B A ∴+=+-，()()sin 2sin A B B A ∴+=-，即sin cos 3cos sin B A B A =，tan 3tan B A ∴= ，由三角形ABC ∆为锐角三角形，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 33tan tan B A AB A B A AA A--===≤+++，当且仅当13tan tan A A =，即tan 3A =，6A π=取等号故答案为：6π【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合性比较强，属于中档题. 三、解答题17.已知数列{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）221n n b =- 【解析】【分析】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出. （Ⅱ）根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解.【详解】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，则10n n c c -+=，即1n n c c -=-.因为12a =，所以1120c a =-=，所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.（Ⅱ）由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n n b n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式，故221n nb =-. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 18.某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）∴0.06;（2）见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．则()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，∴()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．（2）日销售量不低于100枝的概率0.6P =，则()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k k P k C k ξ-==⋅⋅=，则分布列为ξ0 1 2 3 4P16625 96625 216625 216625 81625∴16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.19.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围. 【答案】（Ⅰ）//l 平面PAC ，证明见解析；（Ⅱ）,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（Ⅰ）证出//EF 平面ABC ，由线面平行的性质定理可证出//EF l ，再由线面平行的判定定理即可求解.（Ⅱ）法一：证出FBC ∠是二面角E l C --的平面角，1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠，根据ABC ∠的范围即可求解. 法二：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量与平面BCD 的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】（Ⅰ）证明如下：∵//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ∴//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ∴//l 平面PAC .（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由（Ⅰ）知，//BD AC ，而AC BC ⊥，∴BD BC ⊥. ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，∴BD ⊥平面PBC ，又∵FB ⊂平面PBC ，∴BD BF ⊥， ∴FBC ∠是二面角E l C --的平面角.1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，∴0cos 1ABC <∠<，∴tan 1FBC ∠>.∵02FBCπ<∠<，∴,42FBCππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，即二面角E l C--的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：由题意，AC BC⊥，以CA 为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设2AB=，()02BC t t=<<，则()0,,0B t，()0,0,2F，()24,,0D t t-，()0,,2BF t=-，()24,0,0BD t=-.设平面DBF的法向量为(),,m x y z=，则由m BFm BD⎧⋅=⎨⋅=⎩得22040ty zt x-+=⎧-=，取2y=得()0,2,m t=.易知平面BCD的法向量()0,0,1n=，设二面角E l C--的大小为θ，易知θ为锐角，222cos0,2441m nm n ttθ⋅⎛⎫=== ⎪⎪⋅+⎝⎭+，∴42ππθ<<，即二面角E l C--的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.20.已知椭圆C：()222210x ya ba b+=>>2，过左焦点F的直线与椭圆交于A，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，2x =-，【解析】【分析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.（Ⅱ）设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②，①-②，化简得2221222212y y b a x x --=-③又因为离心率为2，所以2212b a =.又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以1243x x +=-，1223y y +=，12121323y y x x c -=--+，代入③式，得1213324233c ⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1c =.再结合222a c b -=，解得22a =，21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =()'x y =-=，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以102l x k y ==-，所以1l ：()00002x y y x x y -=--，④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以2l ：()11x y x y+=-+，⑤ 联立④⑤，消去y ，得220000122x x x y x x +=----，又220012x y +=，所以002202x x x +⋅++=，从而可得2x =-，所以1l 与2l 的交点在定直线2x =-上.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x a x =+，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点()1,3P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）见解析，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a 的取值范围；当0a ≥时，当0a <时，分析()f x '的正负即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论a -是否在区间[]1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使()min 0f x >即可解不等式即可.（Ⅲ）法一：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，分析函数()g x 的的单调性以及()0g x =在()0,∞+上的零点即可求解；法二：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，分离参数可得12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x=+-，讨论()g x 的单调性求出函数()g x 的值域，根据值域确定2a-的范围即可求解. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()'1a x af x x x+=+=.（1）当0a ≥时，()'0f x >恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）当0a <时，令()'0f x =，得x a =-.当0x a <<-时，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()'0f x >，函数()f x 为增函数.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，()()min 11f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1,a -上为减函数，在(],2a -上为增函数，所以()()()min ln f x f a a a a =-=-+-.依题意有()()min ln 0f x a a a =-+->，解得a e >-，所以21a -<<-. （3）当2-≥a 时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以()()min 22ln 2f x f a ==+.依题意有()min 2ln 20f x a =+>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-. 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零. 另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立.当(]1,2x ∈时，ln 0x a x +>恒成立ln x a x ⇔>-恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln x m x x =-，则()21ln '0ln x m x x -=>，易知()ln xm x x=-在(]1,2上单调递增，所以()m x 最大值为()22ln 2m =-，此时应有2ln 2a >-.综上，a 的取值范围是2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅲ）设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01ak x =+，切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.① 令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，则()()22111'a x a x x x g x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.专业文档可修改欢迎下载（1）当0a <时，在区间()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增；在区间()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为()120g =-<.故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式.因此当0a <时，切线的条数为0.（2）当0a >时，在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 单调递减，在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()120g =-<. 取211a x e e +=>，则()2211121120a a g x a e ae a ----⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭. 故()g x 在()1,+∞上存在唯一零点. 取2121a x e e--=<，则()22112211224a a g x a e ae a a ++⎛⎫=--+--=-- ⎪⎝⎭21221a a e a +⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. 设()211t t a=+>，()2t u t e t =-，则()'2t u t e =-. 当1t >时，()'220t u t e e =->->恒成立.所以()u t 在()1,+∞单调递增，()()120u t u e >=->恒成立.所以()20g x >.故()g x 在()0,1上存在唯一零点.因此当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线.（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点()1,3P 的切线.综上所述，当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点()1,3P 的切线.专业文档可修改欢迎下载另解：设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01a k x =+，切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 当0a =时，020-=无解.当0a ≠时，12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x =+-，则()21'x g x x-=，易知当01x <<时，()21'0x g x x -=<；当1x >时，()21'0x g x x-=>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.又()10g =，且()()0lim lim x x g x g x →→+∞==+∞，故当20a ->时有两条切线，当20a -<时无切线，即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线.综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.22.已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）. (Ⅰ)求证：OB OC OA +=；(Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】试题分析： (Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值．试题解析：（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，. 所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．23.已知函数()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)若()13f <，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2a f -，由(1)22af -≥可得实数a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由可得，，①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴；③ 当时，不等式化为，解得，∴.综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式()2f x ≥恒成立，∴，即，解得或．∴ 实数的取值范围是.。

2020年广东华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考理科数学试卷与答案

n
项和分别为 An 和 Bn ，且
An = 3n +1 ，则 Bn n +1
a2 + a5 + a8 = ***． b3 + b7
15. 已知随机变量 X~B(2，p)，Y~N(2，σ2)，若 P(X≥1) = 0.64，P(0<Y<2) = p，则 P(Y>4) = ***．
16. 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， 2= b2 2a2 + c2 ，当 tan ( B − A) 取最
第一部分选择题 (共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
集合 M
= x
x
=k 2
−
1 4
,
k
∈
Z
，
N
= x
x
=k + 4
1 2
,
k
∈
Z
，则（***）
A． M = N
B．M ⊂≠ N
C．N ⊂≠ M
A.
奇函数且它的图象关于点
π 2
,
0
对称
B.
偶函数且它的图象关于点
π 2
,
0
对称
C. 奇函数且它的图象关于 x = π 对称
D. 偶函数且它的图象关于 x = π 对称
7. 已知函数 f ( x) 的图象连续且在 (2, +∞) 上单调，又函数=y f ( x + 2) 的图象关于 y 轴对称，
号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位

2020届华附、省实、广雅、深校四校联考理综生物

• B．细胞中的色素不是分布在叶绿体中，就是分布在液泡中
• C．含有蛋白质的细胞器不一定含有核酸，含核酸的细胞器一定 • 含有蛋白质含核酸细胞器，线粒体、叶绿体、核糖体 C正确
• D．微量元素可参与某些复杂化合物的组成，如Fe、Mg分别参
• 与蛋白质和叶绿素的组大量元素：C、H、O、N、P、S、K、Ca Mg、微量元素：Fe、Mn、Zn、Cu、Be、Mo、Cl、Ni、 D错误
果蝇基因组测序测多少条染色体？3+X+Y 人类呢？22＋X+Y
• 3．蝗虫的决定为XO型，正常雄虫的体细胞中有23条染色体，仅有一条性 • 染色体（X染色体）。下图表示某雄虫精巢中某一细胞染色体的行叙述正确的是
• A．图示细胞处于减数第二次分裂后期有同源非减II A错 11+X B对
C • 6．右图为人体体液物质交换示意图，下列叙述正确的是
• A．体液①含有尿素、氨基酸、糖原、CO2等物质 ①血浆中为营养物质和代谢废物，不会有大分子糖原 A错误
• B．体液①和②之间进行物质交换，可以等量地相互转化 • ①→② 为血浆→组织液血浆流入组织液大于组织液流入血浆 B错 • C．④能回流血浆，是淋巴细胞和吞噬细胞的直接生活环境
• （1）图中__分__裂__间__或__a_时__期___2_分____期的细胞数量较多，ef段核 • DNA相对含量减半的原因是_核__膜__重__新__形__成__（__形__成__两__个__细__胞__核__）_。
D 蛋白作用部分过程，有关叙述错误的是
• A．PER蛋白可反馈抑制per基因的转录从题中可以看出来，存在这负反馈调节 A正确
• B．per mRNA的合成过程发生在细胞核内
mRNA合成为转录过程，发生在细胞核中 B正确

2020届华中师大附中高三第四次联考数学(理)试题

2020届华中师大附中高三第四次联考数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数满足，则在复平面内的对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合，则=A. B. C. D.3.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则A. 127B. 64C. 63D. 324.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则5.若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为A. 40B. 30C. 20D. 156.已知随机变量服从正态分布且,则A. B. C. D.7.函数的零点一定位于区间A. B. C. D.8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则A. 23B. 32C. 35D. 389.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A. B. C. D.10.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为A.64B. 68C. 72D. 13311.将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则的最小正值为A. B. C. D.12.在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值．其中真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 0第II卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考(理数)

（Ⅰ）求在未来的 4 天中，有 2 天的日销售量低于 100 枝且另外 2 天不低于 150 枝的概率；
（Ⅱ）用表示在未来的 4 天日销售量不低于 100 枝的天
数，求随机变量的分布列和数学期望.
19. （本小题满分 12 分）
如图， AB 是圆 O的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ，B的点，直线 PC 平面 ABC ，E，F分别是PA， PC 的中点.
a sin2x
b cos2x （ a ， b 为常数， a
0 ， x R ）在
处取得最大值，
x
12
则函数
y fx
是（***）
3
A. 奇函数且它的图象关于点 , 0 对称
B. 偶函数且它的图象关于点 , 0 对称
2
C. 奇函数且它的图象关于 x
对称
7. 已知函数 f x 的图象连续且在 2,
2
D. 偶函数且它的图象关于 x
BF (0, t,2),BD ( 4 t ,0,0)
2
.
…………6 分
设平面 DBF 的法向量为 m
(x, y,z) ，
ty 2z 0
m BF 0
则由
得
2
，取
得
．
y
m BD 0
tx
4
0
2
m
(0,2,t)
易知平面 BCD 的法向量 n (0,0,1)， …………8 分设二面角 E l C 的大小为，易知为锐角．
EF l //
．
……………3 分
而 l 平面 PAC,EF 平面 PAC ，
l//平面 PAC
．
……………………4 分
……12 分

华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题与答案

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足(1)1+=−i z i ，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且（（+⊥−a b a b )23)，则向量a 与向量b 的夹角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π345.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.213 B.72C. √ 3D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（） A ．+R S R(1cos )B ．−R S R (1cos )C ．2sin R S RD ．sin R S R7.若（（ac e c b −=−=1)1)ln 1则a ，b ，c 的大小关系为（） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列a n {}的前n 项和S n ，且a a a n a n n n n =++−−−1882111，n n N ≥∈+(2,)，若a =11，则 A ．S <<2024523 B ．S <<2024252C ．S <<2024322 D ． S <<2024132二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则a a b b +<+1log log (1)10. 已知圆C 1：x y +=221，圆C 2：−++=x y r (3)(4)222r >0（），P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为x y −−=6810C .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则∠APB 不可能等于 π2 11.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x y −=2241，则此双曲线的渐近线方程为．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为． 15.已知函数f x x =−ωπ2()sin (3)(ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数f x x x =−−+−2()43和函数()ln()=−g x ax axe x 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

(附加20套期末模拟试卷)广东省华附、省实、广雅、深中四校2020届高三上学期期末联考数学理试题(含答案)

直线 l 与抛物线 C 围成的平面区域的面积为 S ,
则 p ______ ， S
.
x 1, 0 x 1
_俯视图
13.
已知函数
f (x)
2x
1,x 1 2
，若 a b 0 ，且 f (a) f (b) ，则 bf (a) 的取值范围
是
.
选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第 14 题记分）.
（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为 a, b ，求随机变量 a b 的分布列与数学期望 E .
18.（本小题满分 14 分）
如图，四边形 ABCD是正方形， EA 平面 ABCD ，
P
EA PD ， AD PD 2EA， F ， G ， H 分别
为 PB ， EB ， PC 的中点．
（1）求证： FG 平面 PED ；
3
5π
x
12
② f (x) tan x ；③ f (x) x sin x.其中图像能等分圆 C 面积的函数
有
A． 3 个
B. 2 个
C. 1 个
5. (x 1 )12 展开式中的常数项为 3x
A． 220
B． 220
C图所示的程序框图，输出的 S 值为
A． 2
B. 1
C. 0
D. 1
D. 0 个
开始
T=0,S=1
S=S -T
是
T≥0
T=T+S
否
输出S
结束
7.
已知数列 an 满足： a1
1 , 对于任意的 n N ， 7
an1
7 2
an (1
an ), 则 a1413

广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学(理)试题(带答案解析)

广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 2．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-2 3．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r ，则C 的离心率是（）A B ．3 C D ．24．函数()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知圆221x y +=，点()1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D ．221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭ 6．函数f (x )＝√1−x 2−1x−2的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0]C ．[0,1]D ．[0,43] 7．集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅ 8．平面α∥β平面的一个充分条件是（）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α9．已知函数()sin 2cos2f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在12x π=处取得最大值，则函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（） A ．奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．奇函数且它的图象关于x π=对称 D ．偶函数且它的图象关于x π=对称 10．已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，则{}n a 的前2019项之和为（）A ．0B ．2019C ．4038D ．404011．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题13．已知数列{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1233721n n n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式. 14．已知函数()ln f x x a x =+，a R ∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点()1,3P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 16．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.18．已知函数()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)若()13f <，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）.(Ⅰ)求证：OB OC OA +；(Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.三、填空题20．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222b a c =+，当()tan B A -取最大值时，角A 的值为______.21．在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =v ，()1,1b =v ，则满足1a b -≤v v 的概率是______ .22．已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．23．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，则25837a a ab b ++=+______.参考答案1．B【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以12z z ==，故原命题为真；逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.考点：命题以及命题的真假.2．B【解析】【分析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r ),=0，即()2·20a a b +=v v v 即a r g b r=﹣2 ∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=v v v =﹣1，故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．3．A【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．4．B【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化为()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得 ()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,1t ∈ 所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减；【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.5．D【解析】【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD =，从而得BC 中点的轨迹方程.【详解】设BC 中点为D ，Q 圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=o ，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==，故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=，如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <. 故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.6．C令x =cosθ,θ∈[0,π]，则f(x)=g(θ)=sinθ−1cosθ−2的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点M(cosθ,sinθ)与点A(2,1)连线的斜率k ，由图象，得0≤k ≤1，即函数f(x)的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用√1−x 2的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sinθ−1cosθ−2的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.7．B【解析】【分析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解.【详解】 121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 2k Z +∈Q 可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴M N ，故选：B【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 8．D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质 9．A 【解析】【分析】首先根据已知可得()()2f x x θ=-，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k πθπ=--，再化简函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而求解问题. 【详解】Q ()()sin 2cos 22f x a x b x x θ=-=-，在12x π=处取得最大值，()22122k k Z ππθπ∴⨯-=+∈，则23k πθπ=--，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()232x x y f x ππ∴+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故选：A 【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题. 10．C 【解析】【分析】由函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图像关于2x =对称，由题意可得420164a a +=，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和. 【详解】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列，可得42016120194a a a a +=+=，所以{}n a 的前2019项之和为()120192019201940328a a S +==故选：C 【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n 项和，需熟记公式与性质，属于基础题. 11．C 【解析】【分析】【详解】令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2log 3sin()2x x π=，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log ,3sin()2y x y x π==的图象，由图可得交点个数为3，所以函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是3，故选C ． 12．A 【解析】试题分析：设点到三个面的距离分别是. 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P 到侧面SBC 的距离为定值．13．（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）221n nb =- 【解析】【分析】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出. （Ⅱ）根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥L ，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解. 【详解】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，则10n n c c -+=，即1n n c c -=-. 因为12a =，所以1120c a =-=，所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.（Ⅱ）由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥L ，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n nb n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式，故221n n b =-. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 14．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）见解析，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a 的取值范围；当0a ≥时，当0a <时，分析()f x '的正负即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论a -是否在区间[]1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使()min 0f x >即可解不等式即可.（Ⅲ）法一：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，分析函数()g x 的的单调性以及()0g x =在()0,∞+上的零点即可求解；法二：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，分离参数可得12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x=+-，讨论()g x 的单调性求出函数()g x 的值域，根据值域确定2a-的范围即可求解. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()'1a x af x x x+=+=. （1）当0a ≥时，()'0f x >恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）当0a <时，令()'0f x =，得x a =-.当0x a <<-时，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()'0f x >，函数()f x 为增函数.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，()()min 11f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1,a -上为减函数，在(],2a -上为增函数，所以()()()min ln f x f a a a a =-=-+-.依题意有()()min ln 0f x a a a =-+->，解得a e >-，所以21a -<<-. （3）当2-≥a 时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以()()min 22ln 2f x f a ==+.依题意有()min 2ln 20f x a =+>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-. 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零. 另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立.当(]1,2x ∈时，ln 0x a x +>恒成立ln x a x ⇔>-恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln x m x x =-，则()21ln '0ln x m x x -=>，易知()ln xm x x=-在(]1,2上单调递增，所以()m x 最大值为()22ln 2m =-，此时应有2ln 2a >-. 综上，a 的取值范围是2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01ak x =+，切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.① 令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，则()()22111'a x a x x x g x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （1）当0a <时，在区间()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增；在区间()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为()120g =-<. 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时，切线的条数为0.（2）当0a >时，在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 单调递减，在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()120g =-<.取211ax e e +=>，则()2211121120a a g x a eae a ----⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭. 故()g x 在()1,+∞上存在唯一零点.取2121ax ee --=<，则()22112211224a a g x a e ae a a ++⎛⎫=--+--=-- ⎪⎝⎭21221a a e a +⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.设()211t t a=+>，()2t u t e t =-，则()'2t u t e =-. 当1t >时，()'220tu t e e =->->恒成立.所以()u t 在()1,+∞单调递增，()()120u t u e >=->恒成立. 所以()20g x >.故()g x 在()0,1上存在唯一零点.因此当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线.（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点()1,3P 的切线. 综上所述，当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点()1,3P 的切线.另解：设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01a k x =+，切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 当0a =时，020-=无解. 当0a ≠时，12ln 1x x a+-=-，令()1ln 1x g x x =+-，则()21'x g x x-=，易知当01x <<时，()21'0x g x x -=<；当1x >时，()21'0x g x x-=>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.又()10g =，且()()0lim lim x x g x g x →→+∞==+∞，故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线，即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. 综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.15．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，2x =-，【解析】【分析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.（Ⅱ）设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②， ①-②，化简得2221222212y y b a x x --=-③又因为离心率为2，所以2212b a =.又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以1243x x +=-，1223y y +=，12121323y y x x c -=--+，代入③式，得1213324233c ⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1c =.再结合222a c b -=，解得22a =，21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =()'x y =-=，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以102l x k y ==-，所以1l ：()00002x y y x x y -=--，④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以2l ：()11x y x y +=-+o o，⑤ 联立④⑤，消去y ，得220000122x x x y x x +=----，又220012x y +=，所以002202x x x +⋅++=，从而可得2x =-，所以1l 与2l 的交点在定直线2x =-上. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题. 16．（1）∴0.06;（2）见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．则()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，∴()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．（2）日销售量不低于100枝的概率0.6P =，则()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k k P k C k ξ-==⋅⋅=，则分布列为∴16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.17．（Ⅰ）//l 平面PAC ，证明见解析；（Ⅱ）,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（Ⅰ）证出//EF 平面ABC ，由线面平行的性质定理可证出//EF l ，再由线面平行的判定定理即可求解.（Ⅱ）法一：证出FBC ∠是二面角E l C --的平面角，1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠，根据ABC ∠的范围即可求解. 法二：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量与平面BCD 的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】（Ⅰ）证明如下：∵//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ∴//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ∴//l 平面PAC .（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由（Ⅰ）知，//BD AC ，而AC BC ⊥，∴BD BC ⊥. ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，∴BD ⊥平面PBC ，又∵FB ⊂平面PBC ，∴BD BF ⊥， ∴FBC ∠是二面角E l C --的平面角.1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，∴0cos 1ABC <∠<，∴tan 1FBC ∠>.∵02FBC π<∠<，∴,42FBC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 解法二：由题意，AC BC ⊥，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，()02BC t t =<<，则()0,,0B t ，()0,0,2F，),0Dt ，()0,,2BF t =-u u u r，)BD =u u u r .设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v得20ty z -+=⎧=，取2y =得()0,2,m t =u r . 易知平面BCD 的法向量()0,0,1n =r，设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角，cos m n m n θ⋅⎛=== ⋅⎝⎭u r r u r r ， ∴42ππθ<<，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.18．(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2af -，由(1)22a f -≥可得实数a 的取值范围．（Ⅰ）由可得，， ①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴； ③ 当时，不等式化为，解得， ∴.综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式()2f x ≥恒成立，∴，即，解得或．∴ 实数的取值范围是.19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值．（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，.所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．20．6π 【解析】【分析】利用正弦定理以及二倍角公式将22222b a c =+化为()2cos2cos2sin0B A A B -++=，再由两角和与差的公式将式子化为sin cos 3cos sin B A B A =，由此可得tan 3tan B A =，代入()tan B A -的展开式，利用基本不等式即可求解. 【详解】由22222b a c =+，2222sin 2sin sin B A C ∴=+，()21cos21cos2sin B A A B ∴-=-++， ()2cos2cos2sin 0B A A B ∴-++=，()()()()()2cos cos sin 0B A B A B A B A A B ∴++--+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2sin 2sin sin A B A B B A ∴+=+-，()()sin 2sin A B B A ∴+=-，即sin cos 3cos sin B A B A =，tan 3tan B A ∴= ，由三角形ABC ∆为锐角三角形，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan B A AB A B A AA A--===≤+++，当且仅当13tan tan A A =，即tan A =，6A π=取等号故答案为：6π【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合性比较强，属于中档题. 21．4π【解析】【分析】由已知向量的坐标求出满足1a b -≤r r的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案. 【详解】由(),a m n =r ，()1,1b =r，得()1,1a b m n -=--r r由1a b -≤r r1≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4.则1a b -≤r r 的概率是4π .故答案为：4π【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题. 22．0.1 【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()22111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=故答案为：0.1 23．215【解析】【分析】由等差数列的性质，258537532a a a a b b b ++=+，结合等差数列的前n 项和公式得到9595A a B b =，在311n n A n B n +=+中取9n =即可得出答案. 【详解】Q 数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，则258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a A b b b b B +===+，又311n n A n B n +=+，595939114915a A b B ⨯+∴===+，所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+. 故答案为：215【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.。

华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考(理综)含参考答案

2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液；必须保持答题卷的整洁。不按以上要求作答的答案无效。
可能用到的原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 Cu 64
第一部分选择题（共 126 分）
一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分,共 78 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞结构与成分的叙述，正确的是 A．线粒体膜上有葡萄糖的载体，没有氧气的载体 B．细胞中的色素不是分布在叶绿体中，就是分布在液泡中 C．含有蛋白质的细胞器不一定含有核酸，含核酸的细胞器一定含有蛋白质 D．微量元素可参与某些复杂化合物的组成，如 Fe、Mg 分别参与蛋白质和叶绿素的组成
B．该物质能发生氧化反应、还原反应、加聚反应和取代反应 C．该物质的一氯代物共有 5 种 D．该物质所有的碳原子不可能共平面
2
10．《Journal of Energy Chemistry》报导我国科学
家设计 CO2 熔盐捕获与转化装置如右图。下列有关说法正确的是
A．b 为正极
B．熔盐可用 KOH 溶液代替 C．d 极电极反应式为 CO32－+4e－= C+3O2－ D．转移 lmol 电子可捕获 CO2 5.6L 11．短周期元素 X、Y、Z、M 的原子序数依次增
大，其中 X、Y、Z 三种元素中，可形成含二
种元素的 10 电子微粒 m、n、p、q，且有反应 m+n 化物为无机含氧酸中的最强酸。则下列说法正确是

最新广东省华附、省实、广雅、深中四校高三上学期期末联考数学理试题(含答案)

20xx 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学命题学校：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．若集合{}21,A m =，{}2,4B =，则“2m =”是“{}4A B =”的A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件 2. 若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则 A ．b c a >>B ． b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>3．函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的部分图象如图所示，则()f x =A π)6x -B. π)3x -C. π)3x +D. π)6x +4．已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个5. 12(x 展开式中的常数项为 A ．220 B ．220- C ．1320 D ．1320- 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．2- B. 1- C. 0 D. 1 7. 已知数列{}n a 满足：11,7a =对于任意的n *∈N ， 17(1),2n n n a a a +=-则14131314a a -= A ．27- B. 27 C. 37- D. 378．点O 是平面α内的定点,点(A 与点O 不同)的“对偶点”A '是指：点A '在射线OA 上且1OA OA'⋅=厘米2.若平面α内不同四点,,,P Q R S 在某不过点O 的直线l 上,则它们相应的“对偶点”,,,P Q R S ''''在A ．一个过点O 的圆上B ．一个不过点O 的圆上C ．一条过点O 的直线上D ．一条不过点O 的直线上第二部分非选择题（110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．10. 若向量(1,2),(4,)BA CA x ==，且BA 与CA 的夹角为0,︒则BC = . 11. 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 .12. 已知直线:l x p =过抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 与抛物线C 围成的平面区域的面积为,S 则p =______ ，S =._俯视图 _侧视图 _正视图H PGF ED CBA13. 已知函数1,01()12,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 .选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）. 14．（几何证明选讲选做题）如图，过点C 作ABC 的外接圆O 的切线交BA的延长线于点D .若CD = 2AB AC ==，则BC = .15．(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系O ρθ(0,02π)ρθ≥≤<中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的极坐标为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)在ABC 中,三个内角,,A B C 所对的边分别为,a ,.b c222)2b c a bc +-=，2B A =.(1) 求tan A ；(2) 设ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-求m n ⋅的值.17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ18.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ， DEA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 记11()2(2),.n n n n f n a S n S a n *++=-+∈N（1）若数列{}n a 是首项与公差均为1的等差数列，求(2014)f ；（2）若121,2,a a ==且数列{}{}212,n n a a -均是公比为4的等比数列，求证：对任意正整数n ，()0.f n ≥20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点F及直线:0l x y +=，曲线1C 是满足下列两个条件的动点(,)P x y的轨迹：①,PF =其中d 是P 到直线l 的距离；②00.225x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩(1) 求曲线1C 的方程;(2) 若存在直线m 与曲线1C 、椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C 离心率e 的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数22()en nxx x a f x --=，其中,,N R n a *∈∈e 是自然对数的底数. （1）求函数12()()()g x f x f x =-的零点；（2）若对任意,N n *∈()n f x 均有两个极值点，一个在区间(1,4)内，另一个在区间[]1,4外，求a 的取值范围；（3）已知,,,N k m k m *∈<且函数()k f x 在R 上是单调函数，探究函数()m f x 的单调性.20xx 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考参考答案与评分标准理科数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．【解析】{}244 2.A B m m =⇔=⇔=±2. 【解析】0.50221,>= πππ0log 1log 3log π1,=<<=222πlog sinlog 10.5<= 3．【解析】由图知()f x 在5π12x =，且最小正周期T 满足 35ππ+.4123T =故A =32π3π,2,4ωω⨯==5π)12θ⨯+=5πsin()1,6θ+= 5πππ2π,2π,623k k k θθ+=+=-∈Z .所以π()(2).3x f x -=或由5(π)12f =π()(2).3x f x -=4．【解析】圆O 关于原点O 对称. 函数3y x =与函数tan y x =是定义域上的奇函数，其图像关于原点对称, 能等分圆O 面积；而sin y x x =是R 上的偶函数，其图像关于y 轴对称，且当01x <≤时sin 0,x x >不能等分圆O 面积 5. 【解析】12(x -展开式中的通项为 41212311212((1)(0,1,2,,12).k k k k k kk T C x C x k --+==-=1k T +为常数项的充要条件是9.k =常数项91012220.T C =-=- 6．【解析】0,11,01,1T S T S T S ==⇒==⇒==- 0,11,0.T S T S ⇒==-⇒=-=7. 【解析】11,7a =234716373467613,,,.277727772777a a a =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯= 由数学归纳法可证明:当n 为大于1的奇数时, 67n a =；当n 为正偶数时, 3.7n a =故14131314a a -=3.78．【解析】过O 作与直线l 垂直的直线,m 以O 为原点，直线m 为x 轴，单位为1厘米，建立平面直角平面坐标系. 设直线1:(0)l x a a =≠,01(,)P y a是直线l 上任意一点,它的“对偶点”为(,)P x y ',则存在0,λ>使得OP OP λ'=,即01,x y y a λλ==,又01xOP OP OP OP y y a''⋅=⋅=+=,消去λ,得220x y ax +-=.故,,,P Q R S ''''在过点O 的圆22:0x y ax +-=上.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 15 10. (3,6)-- 11. 8 12. 81,.313. 3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭14. 15. ).4π 9. 【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510350=⨯. 10. 【解析】由BA 与CA 的夹角为0,︒知8x =,(3,6).BC BA AC BA CA =+=-=--A11. 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积为11(24)428.32V =⨯+⨯⨯= 12. 【解析】抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ,知1p =.311202824.33S dx x ==⨯=⎰ 13. 【解析】如图,()f x 在[)0,1,[)1,+∞上均单调递增, 由0a b >≥及()()f a f b =知11.2a b ≥>≥()()(1)b f a bf b b b ⋅==+的取值范围113(1),(11),2.224⎡⎫⎡⎫++=⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭14. 【解析】由2()CD DA DB DA DA AB =⨯=⨯+知2230D A D A +-=，解得1, 3.DA DB ==由DAC DCB 得AC CD BC BD =，即AC BDBC CD⨯== 15. 【解析】如图，在极坐标系(0,02π)O ρθρθ≥≤<中，设(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点为(,),B ρθ则2OA AB ==，且.OA AB ⊥ 从而π,4OB AOB =∠=即πππ.244ρθ==-= 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在ABC 中,三个内角,,A B C 所对的边分别为,a ,.b c222)2b c a bc +-=，2B A =.(2) 求tan A ；(2) 设ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-求m n ⋅的值. 解： (1)2223()2,b c a bc +-=222cos 2b c a A bc +-∴== …………………………………………2分0π,A <<sinA ∴== …………………………………………… 4分 sintan cos AA A== ………………………………………………………6分 (2)(解法一)ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-ππ2sin()sin()144m n B B ∴⋅=-+- ……………………… 7分2sin )(cos sin )122B B B B =⨯-⨯+- 22cos sin 1B B =-- ………………………………………… 9分 22sin .B =- ……………………………………………… 10分2B A =,sin sin 22sin cos 3B A A A ∴===16.9m n ⋅=- …………12分 (2)(解法二)ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-ππ2s i n ()s i n ()144m n B B ∴⋅=-+- ……………………… 7分πππ2cos ()sin()1244B B ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦ππ2cos()sin()144B B =++-πsin(2)12B =+-cos21B =- ………………………………………………………9分22sin .B =- ……………………………………………………… 10分2B A =,sin sin 22sin cos 3B A A A ∴===16.9m n ⋅=- …………12分 (2)(解法三)2B A =,sin sin 22sin cos 3B A A A ∴===21cos cos 212sin .3B A A ==-=- ………………………9分π4(2sin(),1)sin ),1)(,1),43m B B B ∴=-=-=- ……10分π(sin(),1)cos ),1)1).4n B B B =+-=+-=- …11分44161.369m n +∴⋅=--=- ………………………12分 17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ 解：（1）21()42P A ==， ……………………………………………………………2分 04113441111511()1()1()()()()1.22221616P B P B C C ⎡⎤=-=-+=-=⎢⎥⎣⎦………… 5分（2）,,a b ξ的可能取值如下左表所示：i - i 2- 2i - 1 1 2 2i 1 1 2 22- 2 2 4 4H PGFED C22244……………………………………………………………6分由表可知：418141(1),(2),(4).164162164P =P =P =ξξξ====== ………………9分所以随机变量X 的分布列为（如上右表） …………………………………… 10分所以1119()124.4244E =ξ⨯+⨯+⨯= ………………………………………………12分18.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EAPD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小. (1）证明：F ,G 分别为PB ，BE 的中点，FG∴PE . …………………………………1分又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ， …………………………………3分FG∴平面PED . ……………………………………………………………5分（2）解:EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，PD ∴⊥平面.ABCD,AD CD ⊂平面,ABCD PD AD ∴⊥，PD CD ⊥.四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥.以D 为原点,分别以直线,,DA DC DP 为x 轴, y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 1.EA = ……………………………………7分2AD PD EA ==,D ∴()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ,(2,2,2)PB =-,(0,2,2)PC =-.F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，F ∴()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1),1(1,0,)2GF =-,1(2,0,).2GH =- …… ………8分（解法一)设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则110GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,QPHGFE D CBA即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令11y =，得1(0,1,0)=n . …… …………………10分设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则2200PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n . …… …………………12分所以12cos ,n n =1212⋅⋅n n n n=2. ……………………………………………13分所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）. …………14分（解法二)(0,1,1)(2,0,0)0DH BC ⋅=⋅-=，(0,1,1)(0,2,2)0DH PC ⋅=⋅-=,DH ∴是平面PBC 一个法向量. …… ……………… …………………10分(0,2,0)(1,0,0)0DC FH ⋅=⋅-=，1(0,2,0)(1,0,)02DC FG ⋅=⋅-=,DC ∴是平面平面FGH 一个法向量. …… ……………… …………………12分cos ,22DH DC DH DC DH DC⋅===⋅ ……… … …………………13分 ∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）. … …………14分（解法三) 延长AE 到,Q 使得,AE EQ =连,.PQ BQ2PD EA AQ ==，EA PD ，∴四边形ADPQ 是平行四边形，.PQAD 四边形ABCD 是正方形，,.BCAD PQBC ∴ F ，H分别为PB ，PC 的中点，,.FHBC FHPQ ∴FH ⊄平面PED ，PQ ⊂平面PED ， FH∴平面PED . ………7分,,FHFG F FH FG =⊂平面,ADPQ ∴平面FGH平面.ADPQ ………9分故平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角与二面角D PQ C --相等. … …10分,PQ CD PQ PD ⊥⊥,,,PD CD D PD DC =⊂平面,PDC PQ ∴⊥平面.PDCPC ⊂平面,,PDC PQ PC ∴⊥DPC ∠是二面角D PQ C --的平面角. …12分,,45.AD PD AD PD DPC =⊥∴∠=︒ … …………13分 ∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）. … …………14分19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 记11()2(2),.n n n n f n a S n S a n *++=-+∈N（1）若数列{}n a 是首项与公差均为1的等差数列，求(2014)f ；（2）若121,2,a a ==且数列{}{}212,n n a a -均是公比为4的等比数列，求证：对任意正整数n ，()0.f n ≥解：（1）数列{}n a 是首项与公差均为1的等差数列， ………………………………1分∴,N n *∀∈1(1),1,.2n n n n n a n a n S ++==+=………………………………3分 11()2(2)n n n n f n a S n S a ++=-+(1)(1)2(1)2(1)22n n n n n n n ++⎡⎤=+⨯-⨯++⎢⎥⎣⎦22(1)(1)0.n n n n =+-+= ……………………………5分故(2014)0.f = ………………………………………………………6分（2）由题意,n *∀∈N 12221142,n n n a ---=⨯= ………………………………………7分 1212242.n n n a --=⨯= ……………………………………8分故12.n n a -= …………………………………………………9分,n *∀∈N 1122,21,12nnn n n a S +-===--11()2(2)n n n n f n a S n S a ++=-+1112(21)(222)2(232)2.n n n n n n n n n +++=---+=--+ ……………………10分（证法一）当1n =时，(1)0f =； ……………………………11分当2n ≥时，[]1124(11)41(1)4n n n n +-=⨯+≥+-=， ……………………………12分1()2(232)22(432)22(2)220.n n n n f n n n n n n n n n +=--+≥--+=-+≥>…………………………………………………………………………………………13分故对任意正整数n ，()0.f n > ………………………………………………………14分（证法二）,n *∀∈N (1)()f n f n +-1212(235)222(232)2n n n n n n n n +++⎡⎤⎡⎤=--++---+⎣⎦⎣⎦2122(235)(232)2n n n n n ++⎡⎤=-----+⎣⎦2(6238) 2.n n n =⨯--+ ……………………………11分012(11)1n n n n C C n =+≥+=+，,(1)()2(6638)22(32)2220N n n n n f n f n n n n *∴∀∈+-≥+--+=-+≥+>，数列{}()f n 是递增数列. ………………………………………………………12分2(1)2(232)20,f =--+= ……………………… …………………………13分,()0.N n f n *∴∀∈≥ ……………………………………………………………………14分20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点F及直线:0l x y +=，曲线1C 是满足下列两个条件的动点(,)P x y的轨迹：①,PF =其中d 是P 到直线l 的距离；②0.225x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩(1) 求曲线1C 的方程；(2) 若存在直线m 与曲线1C 、椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C 离心率e 的取值范围.解：（1）PF ==d =， ………………………………………………………2分由①,PF =得：2222)42)2x y x y x y xy x y +-++=++-++，即 1.xy = ……………………………………………………………4分将1xy =代入②得：1150,0,2x x x x >>+<，解得：12.2x << 所以曲线1C 的方程为：1y x =1(2).2x << ………………………………6分（2）(解法一)由题意，直线m 与曲线1C 相切，设切点为1(,)M t t ， 12.2t <<则直线m 的方程为2111()()()y x t x t x t t x t'-=⨯-=--=，即212.y x t t =-+ ……………………………………………………7分将212y x t t=-+代入椭圆2C 的方程222222b x a y a b +=，并整理得：242222222()4(4)0.b t a x a tx a b t t +-+-=由题意，直线m 与椭圆2C 相切于点1(,)M t t，则4222422222242224164()(4)4(4)0a t a b t a b t t a b t a t b t ∆=-+-=-+=，即22424.a b t t += ……………………………………………………………9分又222211,t a b t += 即242222.b t a a b t += 联解得：22222,2.b a t t== ………10分由12,2t <<及22a b >得1 2.t << 故2222411a b e a t -==-， ……………………………………………………12分得2150,16e <<又01,e <<故0e << 所以椭圆2C 离心率e的取值范围是(0,………………………………14分（2）(解法二)设直线m 与曲线111:(2)2C y x x =<<、椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>> 均相切于同一点1(,),M t t则22221 1.t a b t += …………………………………………………7分由1y x =知21y x'=-; 由22221(0)x y y a b +=>知y =2222.xb x y a y -'===- 故2224221,.1b t a b t t a t-=-= …………………………………………………9分联解222222411t a b t a b t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22222,2.b a t t == ……………………………………………10分由12,2t <<及22a b >得1 2.t << 故2222411a b e a t-==-， ……………………………………………………12分得2150,16e <<又01,e <<故0e << 所以椭圆2C 离心率e的取值范围是(0, ………………………………14分 21. （本小题满分14分）已知函数22()en nxx x a f x --=，其中,,N R n a *∈∈e 是自然对数的底数.（1）求函数12()()()g x f x f x =-的零点；（2）若对任意,N n *∈()n f x 均有两个极值点，一个在区间(1,4)内，另一个在区间[]1,4外，求a 的取值范围；（3）已知,,,N k m k m *∈<且函数()k f x 在R 上是单调函数，探究函数()m f x 的单调性.解：（1）222122222(2)(e 1)()()()e e ex x x xx x a x x a x x a g x f x f x -------=-=-=， 44a ∆=+① 当1a <-时，0,∆<函数()g x 有1个零点：10.x = ………………………1分 ② 当1a =-时，0,∆=函数()g x 有2个零点：120, 1.x x == ……………………2分 ③ 当0a =时，0,∆>函数()g x 有两个零点：120, 2.x x == ……………………3分 ④ 当1,0a a >-≠时，0,∆>函数()g x 有三个零点：1230,11x x x === …………………………………………4分（2）222(22)e (2)e 2(1)2().e enx nx n nx nxx n x x a nx n x a n f x -----+++⋅-'== …………5分设2()2(1)2n g x nx n x a n =-+++⋅-，()n g x 的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意,N n *∈()0n g x =有两个不等实数根12,x x ，且()[]121,4,1,4.x x ∈∉则对任意,N n *∈(1)(4)0n n g g <,即6(1)(8)0n a n a n ⎡⎤⋅+⋅⋅--<⎢⎥⎣⎦, ………………7分又任意,N n *∈68n-关于n 递增,681n ->-,故min 61(8),186 2.a a n-<<--<<-=所以a 的取值范围是()1,2.- ……………………………………………9分（3）由(2)知, 存在,R x ∈22(1)2()0ek kxkx k x a k f x -+++⋅-'=<，又函数()k f x 在R 上是单调函数，故函数()k f x 在R 上是单调减函数, ……………………………………10分从而2224(1)4(2)4(1)0,k k k ka k a k ∆=++-=++≤即21(1).a k≤-+……11分所以2222222214()4(1)41(1).m k m m m a m m k k -⎡⎤∆=++≤+-+=⎢⎥⎣⎦由,,,N k m k m *∈<知0.m ∆< …………………………………………13分即对任意,R x ∈22(1)2()0e k kxkx k x a k f x -+++⋅-'=< 故函数()m f x 在R 上是减函数. …………………………………………14分。

2020年4月8日广东省华附、省实、深中、广雅高2020届高2017级高三年级四校联考理科综合试题

华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考理科综合本试卷分选择题和非选择题两部分,共14 页,满分300分,考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前,考生务必用2B 铅笔在“准考证号”处填涂准考证号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、班级、考场号、座位号、准考证号填写在答题卷指定区域内。

2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液；必须保持答题卷的整洁。

不按以上要求作答的答案无效。

可能用到的原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 Cu 64第一部分选择题(共126 分)一、选择题：本题共13小题,每小题6分,共78分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.下列关于细胞结构与成分的叙述,正确的是A.线粒体膜上有葡萄糖的载体,没有氧气的载体B.细胞中的色素不是分布在叶绿体中,就是分布在液泡中C.含有蛋白质的细胞器不一定含有核酸,含核酸的细胞器一定含有蛋白质D.微量元素可参与某些复杂化合物的组成,如Fe、Mg分别参与蛋白质和叶绿素的组成2.SGLT2是肾小管细胞膜上重吸收葡萄糖的一种载体蛋白,SGLT2可以与肾小管腔中葡萄糖和Na+结合,形成Na+-载体-葡萄糖复合物,将Na+顺浓度梯度运入细胞,同时将葡萄糖逆浓度梯度运入细胞,下列叙述错误的是A.氧气的含量变化会直接影响SGLT2参与的葡萄糖的运输速率B.SGLT2将肾小管腔中的葡萄糖运入细胞属于主动运输C.细胞通过SGLT2运输葡萄糖的动力来自Na+的浓度差D.肾小管细胞中SGLT2合成不足可能导致人尿液中含有葡萄糖3．蝗虫的决定为XO型,正常雄虫的体细胞中有23条染色体,仅有一条性染色体(X染色体)。