2019-2020年高中数学 1.2《极坐标系》教案 新人教A版选修4-4
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 一 2. 圆的参数方程 Word版含答案
2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cosωt ＝x r，sinωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝rcosωt y ＝rsinωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋Rcos θy ＝y0＋Rsin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤25.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－25.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a|2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0， 即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x21－y21＝cos 2θ，y ＝x1y1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组错误!解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
高中数学 1.2《极坐标系》教案 新人教A版选修4-4
极坐标系【基础知识导学】1． 极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。
2． 平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。
3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。
4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5． 极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。
（2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。
【知识迷航指南】【例1】 在极坐标系中，描出点)3,2(πM ，并写出点M 的统一极坐标。
【点评】点)3,2(πM 的统一极坐标表示式为)32,2(ππ+k ，如果允许0<ρ，还可以表示X为)3)12(,2(ππ++-k 。
【例2】已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=65π 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1)43πθ=,()R ∈ρ (2)θθρcos 2sin +=【解】(1)根据极坐标的定义,因为x y xy -==即,43tan π,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的ρ不恒为0,用ρ同乘方程的两边得:θρθρρcos 2sin 2+=化为直角坐标方程为,222x y y x +=+即45)21()1(22=-+-y x ,这是以(1,21)为圆心,半径为25的圆. 【点评】①若没有R ∈ρ这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法. 【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，)2,4(π-D ，求它们的直角坐标。
高中数学1.2.2极坐标与直角坐标的互化教案新人教版选修4_4
课题：2、极坐标与直角坐标的互化教学目的：知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
3互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.三．举例应用：例1．（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标变式训练在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离 例2.若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.(1) 已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标, (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2))4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3.在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A . 求A,B 中点的极坐标.变式训练在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.判断P N M ,,三点是否在一条直线上.四、巩固与练习：课后练习五、小 结：本节课学习了以下内容：1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；2．互换的公式；3．互换的基本方法。
2019-2020学年高中数学《4.1.2 极坐标系(2)》教案 新人教A版选修4-4.doc
2019-2020学年高中数学《4.1.2 极坐标系（2）》教案 新人教A 版选修4-4 教学目标：1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式；2．会实现极坐标和直角坐标之间的互化．教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解．教学难点：互化关系式的掌握．教学过程：一、问题情境：1．导入练习：在极坐标系中描出下列各点：(3,)6A π，(2,)2B π，(1,)2C -π，(3,)4D -π，3(2,)4E π，5(2,)4F -π，11(2,)4G π． 2．问题：极坐标系是怎样定义的？极坐标系与直角坐标系有何异同?二、新知探究：思考：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示?探究结果：在直角坐标系中，以原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并且两种坐标系中取相同的长度单位．点M 的直角坐标为，设点M 的极坐标为(ρ,θ)2==ρ，tan ==θ三、建构数学直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{cos sin x y =ρθ=ρθ 222tan x y y x ⎧ρ=+⎪⎨θ=⎪⎩(0)x ≠ 说明1．上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式．2．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2．3．互化公式的三个前提条件（1） 极点与直角坐标系的原点重合；（2） 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；（3） 两种坐标系的单位长度相同．四、数学应用：例1 把下列点的极坐标化成直角坐标： ⑴M )32,8(π， ⑵N 7(6,)4π变式训练：在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离．例2 以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系．把下列点的极坐标化成直角坐标：⑴P ，⑵Q (，⑶R变式训练：把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2)：)4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3 在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A ．求A,B 中点的极坐标．变式训练：在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -． 判断P N M ,,三点是否在一条直线上．五、课堂练习：1．若点P 的极坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛67,6π，则将它化为直角坐标是___________． 2．若点P 的直角坐标是)5,5(-，则将它化为极坐标是___________．3．将下列各点的极坐标化为直角坐标：()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6,3,27,6,0,12,4,10,3,8ππππE D C B A ，)135,5(︒--F ．4．将下列各点的直角坐标化为极坐标：),6,0(),0,4(),3,33(),35,5(),2,2(E D C B A ---)3,3(--F ．5．在极坐标系中，已知三点)6,32(),0,2(,3,2ππP N M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-． （1）将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上．6．在直角坐标系中，已知两点)2,2(),3,1(---Q P ，O 为原点．（1）将P ，Q 两点的直角坐标化为极坐标；（2）求△POQ 的面积．7．在极坐标系中，已知△ABC 三个顶点的极坐标为A(2，10°)，B(－4，220°)，C(3，100°)，（1）求△ABC 的面积;（2）求△ABC 的AB 边上的高．六、回顾小结：掌握极坐标和直角坐标的互化七、课后作业：。
《极坐标系》教案
《极坐标系的概念》教学设计教材版本：人民教育出版社数学A版选修4-4《坐标系与参数方程》一、教材分析极坐标系是高中教材人教A版选修4-4第一讲第一节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并表示点的极坐标。
为后面学习直角坐标与极坐标的互化，简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。
二、学情分析通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解；极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。
三、教学设计原则及策略激发学生的兴趣，充分调动其积极性，让他们真正参与到教学活动中来。
此外，该节课的核心在于自主探究出极坐标系建立的顺其自然和合理性，并熟悉，初步会应用。
基于以上认识，我根据学生的认知特点和接受水平，对教材进行了一些处理，先从实际例子、生活常识出发，抛出问题，让学生自主探究，过程中加以指导，最终完成整节课的教学。
四、教学目标1、知识与技能：利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的极坐标；理解点的极坐标的不惟一性。
2、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。
②通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。
3、情感态度与价值观：用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感觉数学源于生活用于生活。
采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。
五、教学重、难点1．重点：运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。
2．难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一）的理解六、教学方法问题探究法、讲解示范法七、教学媒体设计本节课涉及的知识点少且简单，就一个极坐标系的建立，但为了能更好的完成自主探究和节约时间，故本节课采取用多媒体课件进行辅助展示，师生共同合作交流来突出重点、突破难点。
新人教版高中数学选修4-4《极坐标与参数方程》优质教案
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。
1.2.1《极坐标系的概念》课件(新人教选修4-4).
C(3, )
2
F (4, )
第15页，共43页。
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第16页，共43页。
要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标
[3]点的极坐标的统一表达式。
第17页，共43页。
本节课总结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么 意思？
有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确 定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
第21页，共43页。
五、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
想一想？
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
第13页，共43页。
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他 4
表达式。
O 思：这些极坐标之间有何异同？
就叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极 点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
第11页，共43页。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》课件2
2 ＋ y2 x ρ ＝________
2
y tan θ ＝x（x≠0）
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限
取最小正角．
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名师点睛
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置． 2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的 位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角． 平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐 标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点 (ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
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(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离 极径 ，记为ρ；以极轴Ox |OM|叫做点M的_____
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
(ρ，θ) 叫做点M的极坐标，记 极角 ，记为θ.有序数对_________ M的_____ M(ρ，θ) 为___________ ．
极角θ在后，不能把顺序搞错了． (2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除
极点外，点的极坐标是唯一确定的．
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【变式1】 写出下列各点的极坐标．
解
π A(4，0)，B1， 3
2 13 5 C3， π ，D4， π ，E2， π ， ， 3 12 4
对应关系？
定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯 一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一 对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
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2019-2020年高中数学 1.2《极坐标系》教案 新人教A 版选修4-4
【基础知识导学】
1． 极坐标系和点的极坐标
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M 在极点时，它的极坐标可以取任意值。
2． 平面直角坐标与极坐标的区别
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标
不是一一对应的。
3． 极坐标系中，点M 的极坐标统一表达式。
4． 如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
5． 极坐标与直角坐标的互化
（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两
种坐标系中取相同的长度单位。
（2） 互化公式，⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。
【知识迷航指南】
【例1】 在极坐标系中，描出点，并写出点M 的统一极坐标。
【点评】点的统一极坐标表示式为，如果允许，还可以表示为。
【例2】已知两点的极坐标，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.
解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB 为等边三角形,所以
|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=
【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.
【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.
(1),(
(2)
X
【解】(1)根据极坐标的定义,因为,所以方程表示直线.
(2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:
化为直角坐标方程为即,这是以(1,)为圆心,半径为的圆.
【点评】①若没有这一条件,则方程表示一条射线.
②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.
【解题能力测试】
1．已知点的极坐标分别为，，，，求它们的直角坐标。
1． 已知点的直角坐标分别为)32,2(),3
5,0(),3,3(---C B A ，求它们的极坐标。
3．已知点M 的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（ ）
4．点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为（ ）
【潜能强化训练】
1．在极坐标中，若等边∆ABC 的两个顶点是、，那么顶点C 的坐标可能是（ ）
2．在极坐标系内，点关于直线的对称点坐标为（ ）
A （3，0）
3．若是极坐标系中的一点，则).3
5,2()..38,2()..32,2(πππ-M R Q 四点中与P 重合的点有（ ） A ．1个 B 2个 C 3个 D 4个
4．极坐标方程表示的曲线是（ ）
A 余弦曲线
B 两条相交直线
C 一条射线
D 两条射线
5．极坐标系中，点A 的极坐标是，则 （1）点A 关于极轴对称的点是_______.
(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是___.
(3) 点A 关于直线的对称点的极坐标是________.(规定:
【知识要点归纳】
(1)要注意直角坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对是一一对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对不是一一对应的,只有在规定,)的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多和表示形式.
(2)直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提.若要判断曲线的形状,可先将极坐标方程化为
直角坐标方程,再判断.
二、坐标系
〔解题能力测试〕
1． A （ (((0,4)B C D --
2． 34))(4,).623
A B C π
ππ 3、A 、4、C 〔潜能强化训练〕
1、B
2、D
3、C
4、D 5（1） （2） （3）。