2703数学软件mathematics计算函数积分.
用Mathematica做函数计算
3.2 Mathematica的内部函数
Mathematica中所有基本函数都已定义，
此外还有许多函数，列表如下：
函数名
输入格式
函数名
输入格式
三角函数 与 反三角函数
双曲函数 与 反双曲函数 指数函数
sinx cosx tanx cotx secx cscx sinhx coshx tanhx
Sin[x] Cos[x] Tan[x] Cot[x] Sec[x] Csc[x]
f (1), f (2), f (0)
x 2 y 2 1 其它
ex a
x
Exp[x] a^x
Sqrt[x] Abs[x]
ln x
log a x
max{a,b,c} min{a,b,c}
其它
x
x
3.3 自定义函数
Mathematic允许用户使用自己定义的函数， 定义方法有 3.3.1初等函数 例 f x_ := x^3 + Exp x
f 3
@ D @ D @ D
3.1 四则运算与运算次序
Mathematica中常用的数学常数有
π e
用Pi表示 用E表示 用Infinity表示 Mathematica中的变量名用字母或数字组成， 第１个字母用小写． 例如data1,list2,等等. 变量的赋值用＂＝＂．例data=25
3.1 四则运算与运算次序
在Mathematica中变量如果赋了值，在以后 的表达式中一直以该值出现，这一点常常 被初学者忽略，造成计算结果出错。 例如 x = Pi 3;
这里“Map”命令表示将 函数用于后面的表列， 运行后得到一组同心圆。
图3.3.1
3.4 Mathematica中的特殊函数
mathematica 积分过程
mathematica 积分过程
Mathematica是一种数学软件，可以用它进行符号计算、数值计算、数据可视化等。
在Mathematica中，可以使用Integrate函数对函数进行积分。
例如，要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以使用Integrate[f[x], {x, a, b}]。
Mathematica 会自动计算出结果。
下面是一个示例：
假设要计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
可以在Mathematica中输入以下命令：
```mathematica
f[x_] := x^2
Integrate[f[x], {x, 0, 1}]
```
Mathematica会输出结果1/3，表示函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分为1/3。
除了定积分，Mathematica还支持多重积分、不定积分、数值积分等。
如果需要对更复杂的函数进行积分，可以使用Mathematica中的其他函数和方法，如NIntegrate（数值积分函数）以及对积分变量的约束条件等。
Mathematica
数学软件Mathematica简介Mathematica的基本操作Mathematica软件是一个将符号运算、数值计算和图形显示结合在一起的数学软件．符号运算：可计算函数的极限、导数、不定积分、求微分方程的通解等．数值计算：可计算函数值、积分值、微分方程的数值解等。
绘图功能：Mathematica具有强大的绘图功能，几乎可以绘出所有常见的一元、二元函数的图形．一.Mathematica的启动与退出系统安装好以后，既可以通过双击桌面快捷方式启动，也可以单击“开始――程序――Mathematica4.1――Mathematica4.1”来启动。
上面是主菜单，下面左边空白区是主工作窗口，可键入命令，右边是工具栏，提供特殊格式和字符．在Mathematic主工作窗口可键入指令，然后同时按下Shift+Enter，就可得到结果．其中In[1]为第一输入行的标志，Out[1]为第一输出行的标志，它们均为计算机自动生成．关闭Mathematic窗口即可退出系统，如果需要将运算的结果保存，可在“File”中单击“Save”．二、常用函数、常数、括号和逻辑运算1、常用函数（1）平方根函数Sqrt[x]（2）指数函数Exp[x]（3）对数函数Log[x] ，Log[a,x]（4）三角函数Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x]（5）反三角函数 ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x],ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x] 2、Mathematic中的常数（1）虚数单位I（2）自然对数的底E（3）圆周率Pi（4）角度1度Degree3、Mathematic中的括号（1）表示分组的圆括号（）（2）表示函数的方括号[ ]（3）表示集合的花括号｛｝三、数值计算在Mathematic中，算术运算的输入方式可以有以下三种：（1）In[]:=expr（2）In[]:=N[expr]（3）In[]:=N[expr,n]注意 Mathematic中，+、﹣、×、÷、b a分别用+、﹣、*、/、a^b表示，其中*可用空格代替．四、方程与方程组的解法在Mathematic中，解方程（组）的基本格式为：Solve[eqns,vars]其中，eqns可以是单个方程，用exp＝＝0的形式表示；也可以是方程组，方程组写成用大括号括起来的中间逗号分割的若干个单个方程的集合．vars 为未知元表.例2 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+xy y x 14322 In[1]:=Solve[{x^2/3+y^2/4==1,y==x},{x,y}]Out[1]= {{x →-273,y →-273},{x →273,y →273}}五、Mathematic 的绘图1、作二维曲线（1）Plot[{1f ,2f …},{x,a,b}]（2）ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,a,b}]（3）ContourPlot[{[]{}{}d c y b a x y x f ,,,,,,,}] 例3 作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1sin 2x x x f 的图形 In[1]:f[x_]=Sin[x^2]/(x+1)Plot[f[x],{x,0,2Pi}] Out[1]=xx +1]sin[2Out[2]= -Graphics-2、作三维曲面（1）Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y ，c,d}]（2）ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b},{v,c,d}]例5 作22x y z -=的图形．In[2]=Plot3D[y^2-x^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]Out[2]= -SurfaceGraphics-用Mathematic 解决高等数学问题一．求极限在Mathematic 系统中，求()ax x f →lim 的格式为：Limit[a x x f →],[]其中a 既可以是常数，也可以是无穷大，其中＋Infinity 表示正无穷，－Infinity 表示负无穷．1.求632lim 2-+∞→x x x In[1]:=Limit[Sqrt[x^2+2]/(3x-6),x->Infinity] Out[1]=31- 2．求220sin lim xx x → In[2]:=Limit[Sin[x]^2/x^2,x->0]Out[2]=13．求xx x ln lim 0+→ In[3]:=Limit[Log[x]/x,x->0,Direction->-1]Out[3]= -∞二、求导数或微分1、D[},{),(n x x f ]，其中n 为求导的阶数，若省略则系统默认为一阶2、Dt []][x f （求微分）(1) 求函数sinx 的导数In[1]:=D[Sin[x],x]Out[1]=Cos[x](2) 求函数e x sinx 的2阶导数In[2]:=D[Exp[x]*Sin[x],{x,2}]Out[2]=2e x Cos[x](3)求yz xy x ++32的全微分 In[3]:=Dt[x^2+x*y^3+y*z,Constants->{z}]Out[3]=2Dt[x,Constants{z}]+y3Dt[x,Constants{z}]+3xy2Dt[y,Constants{z}]+zDt[y, Constants →{z}]如果y 是x 的函数，那么y 被看成是常数In[4]:=Dt[x^2+x*y[x]+y[x]*z]Out[4]=2xDt[x]+Dt[x]y[x]+Dt[z]y[x]+xDt[x]y ′[x]+zDt[x] y ′[x]三、求极值1、求函数的极小值在Mathematic 系统中，求)(x f 的极小值的格式为：(1)FindMinimum[[]},{,0x x x f ] （从给定点0x 附近求()x f 的极小值）(2)FindMinimum [[]]}},{,{,10x x x x f （当()x f 不可微时，以此在0x 、0x 附近求极小值）2、求函数的极大值因为函数()x f 与－()x f 的图像关于轴是对称的，当()x f 取得极大值时，－()x f 取得极小值，因此仍然可以用Findminimum 函数求函数的极大值，其格式为：（1）FindMinimum[[]},{,0x x x f ]（2）FindMinimum [[]]}},{,{,10x x x x f设在0x 附近－()x f 取得的极小值为M ，则()x f 在0x 的极大值为－M 。
Mathematica数学入门教程【12】-积分
Mathematica数学入门教程【12】-积分
在本教程中可以学会在 Mathematica 下怎样用 Wolfram 语言来解决典型的数学问题, 从基本的算术计算到微积分, 涵盖了从 K12 到大学及其以后科学研究各个阶段内容.
通过学习本教程, 学生在数学的各个层次都可以掌握相关如何用Wolfram 语言进行计算, 绘制图形和制作演示文档, 以此来锻炼在未来职场中所需的计算思维和能力.
译自: FAST INTRODUCTION FOR MATH STUDENTS 英文教程
好了, 现在让我们在下一篇的Mathematica快速数学入门课堂再见. 这里感谢各位每一位看到这里的老师和朋友!
Thank You, Everyone! Happy Weekend!
图片设计: 新浪账号@神烦咕
本入门教程全部内容:
1 - 指令的输入
2 - 分数与小数
3 - 变量和函数
4 - 代数
5 - 2D绘图
6 - 几何绘图
7 - 三角学
8 - 极坐标
9 - 指数函数和对数
10 - 极限
11 - 微分
12 - 积分
13 - 序列
14 - 求和
15 - 级数
16 - 更多2D绘图
17 - 3D绘图
18 - 多元微积分
19 - 矢量分析和可视化
20 - 微分方程
21 - 复分析
22 - 矩阵和线性代数
23 - 离散数学
24 - 概率
25 - 统计
26 - 数据图和最佳拟合曲线
27 - 群论
28 - 数学智力题
29 - 互动模式
30 - 数学排版
31 - 笔记本文档
32 - 云部署。
Mathematica软件定积分以及相关应用问题
实习六 定积分以及相关应用问题实习目的1.掌握用Mathematica 求定积分2.用定积分求面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。
实习作业1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx ex x 211)5cos(3⎰-; 输入：Integrate[3Cos[5x]/Exp[2x],{x,-1,1}]输出：(2)dx xx ⎰sin ; 输入：Integrate[Sin[x]/x,x]输出：SinIntegral[x] (3)dx xsin 35120+⎰π; 输入：Integrate[1/(5+3Sin[x]),{x,0,2Pi}]输出：2 (4) dx x a x a2220-⎰;输入：Integrate[x^2*Sqrt[a^2-x^2],{x,0,a}]输出：(5) dx x ba )log(⎰输入：Integrate[Log[x],{x,a,b}]输出：2. (1)dx x ⎰+1)(sin 310;输入：NIntegrate[Sqrt[Sin[x]^3+1],{x,0,1}]输出：1.08268(2)dx xx sin 0⎰π输入：NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]输出：1.851943. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x ex f x ，求dx x f )1(20-⎰输入：4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.矩形法输入：Clear y ,x,s1,n,b,a ;n 40;a 0;b 1;y x _ : 2x ^23;s1 b a n Sum y a i b a n , i ,0,n 1 N;s2 b a n Sum y a i b a n , i ,1,n Print "s1 ",s1"s2 ",s2 输出：s1= 1.32177 s2= 1.32632梯形法输入：Clear y ,x,a,b,ss3,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;ss3 Sum y a ib a n , i ,1 s3 y a 2y b 2ss3 b a Print "s3 ",s3 输出：s3= 1.32409输入;Clear y ,,x,a,b,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;m 10;ss1 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss1 2y 22y 4¡2y n 2 ss2 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss2 2y 12y 3¡2y n 1 s4 N y a y b ss12ss2 b a 3 n ,2 Print "s4 ",s4输出：s4= 1.3240274507181334834 5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.输入：Plot[{x^2,Sqrt[x],-Sqrt[x]},{x,0,1.5}]输出：输入：Solve[{y-x^2==0,x-y^2==0},{x,y}]输出：x 0,y 0 , x 1, x 1 1 3,y 1 x 1 2 3,y1 输入：Integrate[-x^2+Sqrt[x],{x,0,1}]输出： 3 6. 求半径为r 的圆的周长.输入：v=D[r*Sin[t],t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x t a y , )20(π≤≤t 的全长. 输入：u=D[a*Cos[t]^3,t];v=D[a*Sin[t]^3,t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.令a=b=1输入：ParametricPlot[{Cos[t]+1,Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] 输出：Graphics输入：x[t_]:=a*Cos[t]+b;y[t_]:=a*Sin[t];dx=D[x[t],t];V=Integrate[Pi*(y[t])^2 *dx,{t,0,Pi}]输出：。
如何利用mathematica求微分变换
如何利用Mathematica求微分变换？zwfnepu一、有积分变换也应该有微分变换众所周知，对方程进行数学变换是求解复杂微分方程的很好方法，其中积分变换就是其中一种常用的数学变换工具。
最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。
由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。
是否存在一个与积分变换相反的数学变换？大家都知道，积分与微分是正逆数学过程。
显然，有积分变换也应该有微分变换。
积分变换和微分变换那个更容易？学过微积分的人都知道，求一个函数的微分易，求一个函数的积分难，且有些函数的显式积分并不存在，因此可以断定的是，微分变换一定比积分变换更容易上手，且实用范围更广泛。
然而如何构建一个与积分变换相反的数学变换？在这方面，我国学者赵家奎做出了杰出的贡献，1988年赵家奎出版了专著《微分变换及其在电路中的应用》[ 1]，该书得到国内外学者的广泛引用，遗憾的是都将赵家奎翻译为Zhou,JK[ 2]. 初步判定这应该是不熟悉普通话的华人，比如香港人、新加坡人翻译的。
目前微分变换在结构动力学、固体导热、流体力学得到了应用[ 3- 6]。
二、如何利用Mathematica求微分变换的解答微分变换中T方程都是类似数组的代数方程。
那么如何利用Mathematica求T方程的解答？注意到如下数组的构建和运算（1）数组的构建（2）数组的运算参考文献[ 1]赵家奎. 微分变换及其在电路中的应用[M] . 武汉: 华中理工大学出版社, 1988.[ 2] Zhou JK (1986) Differential transformation and its application for electrical circuits. Huazhong University Press, Wuhan[3] MalikM, AllaliM. Characteristic equations of rectangular plates by differential transformation[ J] . Journal of Sound and Vibration,2000, 233( 2) : 359- 366.[ 4] Ho S H, Chen C K. Free vibration analysis of non- homogeneous rectangular membranes using a hybrid method[ J] . Journal of Sound an d Vibration, 2000, 233( 3) : 547- 555.[ 5]Abazari R, Borhanifar A (2010) Numerical study of Burgers an d coupled Bur gers’ equations by differential transformation method. Comput Math Appl 59:2711–2722[ 6]Allahviranloo T, Kiani NA (2009) Solving fuzzy differential equations by differential transformation method. Inf Sci 179:956–966。
用Mathematica求重积分以及相关的应用
§5 用Mathematica 求重积分以及相关的应用5.1 常用的重积分运算函数ParametricPlot [{x[t],y[t],{t,a,b}}: 作二维参数方程的图形。
Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]: 作),(y x f z =的图形。
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。
Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]: 计算累次积分。
例5.1 计算下列重积分：1.dxdy y y x x R)3(323⎰⎰++, 其中R=[0,1]×[0,1]. 解 In[1]:= Integrate[x^3+3x^2y+y^3,{x,0,1},{y,0,1}]Out[1]= 12.⎰⎰+=Raypx e z (p,q 是常数), 其中R=[0,a]×[0,a]. 解 In[1]:= Integrate[E^(p*x+q*y),{x,0,a},{y,0,a}]Out[1]= pqe e pq e aq ap aq )1(1+-++- 3.dxdy y x R⎰⎰+||, 其中R=[-1,1]×[-1,1].解 In[1]:= Integrate[Abs[x+y],{x,0,Pi},{y,0,Pi}]Out[1]= 3π4.dxdydz zxy V⎰⎰⎰+)(2,其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1].解 In[1]:= Integrate[x*y+z^2,{x,-2,5},{y,-3,3},{z,0,1}]Out[1]= 14例5.2 计算下列重积分：1. 求二重积分dxdy y x D22，其中是D 由直线x=2,y=x 和xy=1双曲线所 围成。
解 先画出被积区域D 的图形:In[1]:= Clear[t1,t2];a=ParametricPlot[{2,y},{y,0,3},DisplayFunxtion->Identity]; b=Plot[{y=x,y=1/x},PlotRange->{0,3},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->Indentity];Show[a,b, PlotRange->{0,2.5},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->$DisplayFunction];Out[1]= -Graphics-再求出D 的边界曲线的交点:In[2]:= Solve[x-2= =0,y-x= =0,{x,y}]Solve[x-2= =0,x*y-1= =0,{x,y}]Solve[x*y-1= =0,y-x= =0,{x,y}]Out[2]= {{x->2,y->2}} {{x->21,y->2}} {{x->-1,y->-1},{x->1,y->1}}最后计算积分: In[3]:= Clear[y];Integrate[x^2/y^2,{x,1,2},{y,1/x,x}]Out[3]= 492. 求二重积分dxdy x D⎰⎰，其中D 是x y x ≤+22.解 先画出被积区域}|),{(22x y x y x D ≤+=的图形: In[1]:=ParametricPlot[{(1/2)*Sin[t]+1/2,(1/2)*Cos[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]Out[1]= -Graphics-计算积分:In[2]:= Integrate[Sqrt[x],{x,0,1},{y,0,Sqrt[x-x^2]}]Out[2]=1543.求三重积分Vdadydzzxy32，其中V是由曲面z=xy,平面y=x，x=1，z=0所围成。
数学软件Mathematica的应用
数学软件Mathematica的应用一、数学软件Mathematica简介★ Mathematica是由美国Wolfram公司研究开发的一款著名的数学软件；★ Mathematica能够完成符号运算、数学图形的绘制等，功能非常强大；★ Mathematica能够做精确计算；★ Mathematica的界面操作非常友好；★ Mathematica是数学建模常用的数学软件之一。
二、利用模板进行微积分运算File（文件）→Palettes（模板）→BasicInput（基本输入）File（文件）→Palettes（模板）→BasicCalculations（基本计算）三、Mathematica中一些常用的函数（1）数学常数（2）数学函数（3）数值函数（4）表操作函数（5）代数函数（6）微积分运算函数（7）作图函数（8）数值分析函数下面是其常用的几种形式：（9）编程相关在Mathematica中，一个逻辑表达式的值有三个：真（True）、假（False）和“非真非假”。
条件控制函数If（1）If语句的结构与一般的程序设计语言中的If的结构类似。
它有三种情况： If[逻辑表达式，表达式1]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，表达式1的值就是整个If结构的值；If[逻辑表达式，表达式1，表达式2]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，为假时则计算表达式2； If[逻辑表达式，表达式1，表达式2，表达式3]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，为假时则计算表达式2，其它情况则计算表达式3。
循环控制语句Mathematica 中有3种描述循环的语句，它们是Do,While 和For 语句。
下面是其一般形式：For[初值，条件，修正，循环体] While[条件，循环体] Do[循环体，{循环范围}]四、结合图形进行分析1．作出函数xx f y 1sin )(==在区间]1,1[-上的图像，观察当0→x 时函数的变化情况；作出函数xx x f y 1sin )(==在区间]1,1[-上的图像，观察当0→x 时函数的变化情况；2．作出双曲抛物面xy z =的图形； 3．作weierstracs 函数)13cos(21)(1x x f n n nπ∑∞==（处处连续但处处不可导）的图像；4x ∈(-5,5), y ∈(-5,5)内的所有根；五、验证与探索1．x sin 的泰勒级数 2．x sin 的无穷乘积猜想六、算法与程序1．分形图（迭代）2．将矩阵化为行最简形（步骤）七、实际问题的Mathematica 求解1．椭圆弧长的计算问题计算椭圆βα≤≤⎩⎨⎧==t t b y ta x ,sin cos 的弧长及近似值。
Mathematica软件使用入门讲解
Mathematica软件使用入门目录第一章基本知识与基本操作 (3)1.1 Mathematica的基本语法特征 (3)1.2 Mathematica的启动、基本操作 (4)1.3 操作小技巧 (7)1.4 数值计算 (8)1.5 赋值与替换 (9)1.6 自定义函数 (10)1.7 方程与方程组解 (11)1.8 解不等式与不等式组 (12)1.9 由递推式求数列的通项公式 (13)1.10 作函数图像 (14)第二章运用Mathematica实现高等数学中的基本运算 (16)2.1 求极限运算 (16)2.2 求导数与微分 (18)2.3 求不定积分 (25)2.4 求定积分 (25)第三章实验练习题 (28)Mathematica是当今世界上最为流行的计算机代数系统之一．Mathematica系统是美国物理学家Stephen.Wolfram领导的一个小组开发的,后来他们成立了Wolfram研究公司．1987年推出了系统的1.0版；现在的最新版本是8.0版．Mathematica可以做：●符号计算和数值计算问题,如：能做多项式的计算、因式分解和展开等；●做各种有理式计算，求多项式、有理式方程和超越方程的精确解和近似解；●做向量、矩阵的各种计算；●求极限、导数、积分，做幂级数展开，求解某些微分方程等；●做任意位数的整数或分子分母为任意大整数的有理数的精确计算，做具有任意位精度的数值（实、复数值）的计算．●可以很方便地画出用各种方式表示的一元和二元函数的图形,通过图形,可以立即形象地掌握函数的某些特性，而这些特性一般是很难从函数的符号表达式中看清楚．第一章 基本知识与基本操作1.1 Mathematica 的基本语法特征使用Mathematica ，一定要牢牢记住：● Mathematica 中大写小写是有区别的，如Name 、name 、NAME 等是不同的变量名或函数名；● 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出， 内部函数一般写全称， 而且一定是以大写英文字母开头， 如Sin[x], Cos[z]等；● 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 , 2 Sin[x]＝2* Sin[x] ● 乘幂可以用“^”表示，如x^0.5 表示： Tan[x]^y 表示： ● 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头． ● 当你赋予变量任何一个值，除非你：明显地改变该值或 使用Clear[变量名] 或 使用“变量名=.”取消该值，否则它将始终保持原值不变．● 一定要注意四种括号的用法：0.5x yTan[x]( )：表示项的结合顺序，如： (x+(y^x+1/(2x)))；[ ]：表示函数，如：Log[x], Sin[x]；{ }：表示一个“表”(即是一组数字、或任意表达式、或函数等的一个有序集合)，如：{2x,Sin[12 Pi]，A，1}, {1+A,y*x，1，2}；[[ ]]：双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如：a； {3,5,7}[[2]]=5．a[[2,3]]表示：23●Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）．●当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果．●Mathematica命令中的标点符号必须是英文的．1.2 Mathematica的启动、基本操作1.2.1 启动“Mathematica”：在windows操作系统中安装了Mathematica后，与其他的常用软件一样，可从“开始”→“程序”→“Mathematica5” Mathematica的主窗口并出现第一个notebook窗口（Untitled-1）:1.2.2 简单使用：例1.1 计算＋33的值①在“Ｕntitled－１”窗口中输入：329/412+3^3②按下“Shift＋Enter”（或数字键盘上的Enter键）,就得到计算结果：其中“In[1]:=”是Mathematica自动加上的，表示第一个输入；“Out[1]:=”表示第一个输出．一般地：In[n]:= 表示第n个输入Out[n]:=表示第n个输出．注意：“In[n]:=”自动加上的，不能人工输入!1.2.3 保存结果：保存方法同一般的Windows软件：“文件”→“保存”⇒“另存为”窗口→在“查找范围”内找到目标文件夹→输入文件名（比如输入“1”）→“”．Mathematica 4或Mathematica 5的文件的后缀是“nb”，当输入“1”时，即产生文件“1.nb”．1.2.4打开文件1.nb启动Mathematica →“文件”→“打开”⇒打开”窗口：→在“查找范围”内找到文件“1.nb”→“”即可．1.2.5 退出Mathematica ：与一般应用软件一样，单击右上方的“ ”按钮（或用菜单：“文件”→“退出”）．1.3 操作小技巧1.3.1 Ctrl+K 的用途如果只知道命令的首写字母， 可在输入该首写字母（要大写），再按下“Ctrl+K ”组合键， 则所有以该字母为首的命令都列出来，只要用鼠标双击命令名就输入了该命令． 1.3.2 使用前面已有的结果 举例如下：例1.2 做如下操作：① 输入：Integrate[x^2*(11-Sin[x]),{x,-1,1}]按：“Shift ＋Enter ”； ② 输入：%＋１，按：“Shift ＋Enter ”； ③ 输入：%＋１，按：“Shift ＋Enter ”； ④ 输入：%1＋1，按：“Shift ＋Enter ”； ⑤ 输入：%3＋1，按：“Shift ＋Enter ”， 计算结果如下：Integrate[f,x]是求：()f x dx ⎰ Integrate[f,{x,xmin,xmax}]是求：maxmin()x x f x dx ⎰可见，“％”表示前一个计算结果；“％n”表示第n个计算结果.1.3.3删除行：见下图示1.4 数值计算请看下例：只要选定且删除此即可系统默认的计算结果,是精确的．N[]，取近似值函数，默认输出6位有效数字．N[]，取近似值函数，指定输出3位有效数字．1.5 赋值与替换X=. 或Clear[x] 清除赋给x的值expr/.{x->xval,y->yval} 用xval、yval分别替换expr中的x、y．例1.3输入：x=3；y=4；w=x+y 计算输入：Clear[x,y]；计算输入：z=(x+y)^2 计算输入：z/.x->5 计算输入：Clear[x,y]；计算输入：u=x+y 计算将(x+y)^2赋给z清除变量的定义和值变量替换：用5代替表达式z中的变量变量替换：输入：u/.{x->5,y->6} 计算 计算结果如下：1.6 自定义函数用户可以自行定义函数，一个函数一旦被定义好之后就可以象系的内部函数一样使用．例1.4 如要定义函数f(x)=x 2＋3x-2只要键入：f[x_]:=x^2+3x-2即可．又如要定义分段函数2+1 < 0()= 2sin 0x x g x x x ⎧⎨≥⎩“:=”是定义符．左边f 是函数名,方括号内x 是自变量，其后的下划线“_”不能少．右边是函数的表达式．可键入：g[x_]:= Which[x<0,x^2+1,x>=0,2Sin[x]]或g[x_]:=If[x<0,x^2+1,2Sin[x]]请见以下计算结果：1.7 方程与方程组解例1.5 ① 解方程:0652=+-x x输入：Solve[x^2-5x+6==0,x]即可．② 解方程组 输入：Solve[{x+y==1,3x^2-y^2==0},{x,y}] 即可（结果见下图）．Solve 是解方程或方程组的函数．其格式为：Solve[eqns,vars]其中方程用exp==0的形式（其中exp 为未知元的表达式，“= =”必须是2个等号）；方程列表 2213x y x y +=⎧⎨-=⎩未知数列表1.8 解不等式与不等式组例1.6 ① 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<--0101222x x x输入: <<Algebra`InequalitySolve`InequalitySolve[{x^2-5x-6<0,x^2-1>0}, x]即可．② 解不等式3)3(12>--x x输入： <<Algebra`InequalitySolve`即可（结果见下图）不等式列表 变量列表加载解不等式的程序包，这是必须的，可谓是固定的格式， “< ”为键盘上的小于号, “`”为数字键1的左侧的Algebra —— 代数类InequalitySolve —— 解不等式程序包绝对值函数注： Mathematica 系统有内部函数.还有一些系统扩展的功能但不是作为内部函数的、以文件的形式存储在磁盘上的文件，要使用它们，必须用一定的方式来调用这些文件，这些文件我们称之为程序包. 调用方式之一如上所述：<<Algebra`InequalitySolve`或用：Needs["Algebra`InequalitySolve`"]1.9 由递推式求数列的通项公式例1.7 设 求数列的通项公式只要输入：<<DiscreteMath`RSolve` RSolve[{a[n]==n ＊a[n-1], a[1]==1}, a[n], n]即可（结果见下图）11,1,n n a na a -==函数名 递推关系 初始条件调用程序包 类名，此处是函数类 函数类中的这个函数离散类 离散类中的这个函数1.10 作函数图像例1.8在同一坐标系中作出2-1y x 和y=sinx在[－2,2]内的图像．输入： Plot[{x^2-1,Sin[x]},{x,-2,2}] 结果见下图例1.9作出sinxcosy的三维图形输入：Plot3D[Sin[x]*Cos[y],{x,－2Pi,2Pi},{y,－即可（结果见下图）增加取样点提高光滑度第二章 运用Mathematica 实现高等数学中的基本运算极限、导数和积分是高等数学中的主要概念和基本运算，如果你在科研中遇到较复杂的求极限、求导数或求积分问题，Mathematica 可以帮你快速解决这些问题。
Mathematica求不定积分与函数图
§4 Mathematica 求不定积分与函数作图4.1 求不定积分1 用Mathematica 求不定积分有两种方式(1) 用命令Integrate[f,x] （*其中x 为积分变量*）(2) 直接用工具栏输入不定积分⎰f(x)dx 。
计算不定积分⎰+dx x x 2411。
解 方法一：⎰+=dx x x In 2411:]1[231)3231(]1[x x xOut ++-= 方法二： ),11(Integrate :]2[24x x x In +=231)3231(]2[x x xOut ++-= 2 除了指定的积分变量之外，其它所有符号都被作为常数处理计算不定积分dx c bx ax )(2++⎰。
解 ⎰++=dx c x b x a In )**(:]3[232]3[22ax bx cx Out ++= 3 积分变量不一定是单个的符号变量，也可以是一个函数，在例中，积分变量是x sin 。
计算不定积分⎰x d x sin )log(sin 2。
解 ⎰=][Sin ]][Sin [Log :]4[2x d x In][S in ]][S in [Log ][S in 2]4[2x x x Out +-=4 Integrate 命令也能在复数平面上进行积分运算计算不定积分⎰dx e Ix x )sinh(。
解 ⎰=dx x x I In ][Exp *]*[Sinh :]5[=]5[Out i ])[Sin 21][Cos 21(x e x e x x +-5 Integrate 命令在处理积分运算时会做两个假设。
第一个假设已经在例4.2中提到，即Mathematica 假设除了积分变量之外其它符号都被作为常数处理。
第二个假设是Mathematica 求得的积分结果是一个通式(generic form)，积分结果可能在某些点不成立，这时Mathematica 会告诉⎰)()(x d x f 的标准结果，并且假设这一结果在哪些点不成立。
数学软件Mathematica的应用
数学软件Mathematica的应用一、数学软件Mathematica简介★ Mathematica是由美国Wolfram公司研究开发的一款着名的数学软件；★ Mathematica能够完成符号运算、数学图形的绘制等，功能非常强大；★ Mathematica能够做精确计算；★ Mathematica的界面操作非常友好；★ Mathematica是数学建模常用的数学软件之一。
二、利用模板进行微积分运算File（文件）→Palettes（模板）→BasicInput（基本输入）File（文件）→Palettes（模板）→BasicCalculations（基本计算）三、Mathematica中一些常用的函数（1（2（3（（5（6（8）数值分析函数在Mathematica中，一个逻辑表达式的值有三个：真（True）、假（False）和“非真非假”。
条件控制函数If（1）If语句的结构与一般的程序设计语言中的If的结构类似。
它有三种情况： If[逻辑表达式，表达式1]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，表达式1的值就是整个If结构的值；If[逻辑表达式，表达式1，表达式2]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，为假时则计算表达式2；If[逻辑表达式，表达式1，表达式2，表达式3]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，为假时则计算表达式2，其它情况则计算表达式3。
循环控制语句Mathematica中有3种描述循环的语句，它们是Do,While和For语句。
下面是其一般形式：For[初值，条件，修正，循环体]While[条件，循环体]Do[循环体，{循环范围}]四、结合图形进行分析1．作出函数xx f y 1sin )(==在区间]1,1[-上的图像，观察当0→x 时函数的变化情况；作出函数xx x f y 1sin )(==在区间]1,1[-上的图像，观察当0→x 时函数的变化情况；2．作出双曲抛物面xy z =的图形； 3．作weierstracs 函数)13cos(21)(1x x f nn nπ∑∞==（处处连续但处处不可导）的图像；4x ∈(-5,5), y ∈(-5,5)内的所有根；五、验证与探索1．x sin 的泰勒级数2．x sin 的无穷乘积猜想六、算法与程序1．分形图（迭代）2．将矩阵化为行最简形（步骤）七、实际问题的Mathematica 求解1．椭圆弧长的计算问题计算椭圆βα≤≤⎩⎨⎧==t t b y ta x ,sin cos 的弧长及近似值。
2 如何用Mathematica做微积分(1)
i j 的3行4列的矩阵.
第2讲用Mathematica做微积分—— Mathematica基本操作
STEPHEN WOLFRAM
第2讲用Mathematica做微积分——问题引入
STEPHEN WOLFRAM
“科学史上最为重要的一部著作”
第2讲用Mathematica做微积分——问题引入
“新技术带来科学发展的新领域，就像望远镜技术带来现 代天文学，而显微镜技术带来现代生物学。”
第2讲用Mathematica做微积分——问题引入
第2讲用Mathematica做微积分—— Mathematica基本操作
Mathematica中的数 Mathematica中的数设置有整数、有理数，实数、复数类型。 除一些特定常数外，其他数的表示与传统描述的方式基本相同。 常用的数学常数有： 圆周率 角度1度 自然常数 无穷大 虚数单位 用Pi或用π表示 1Degree表示，如30Degree表示30° 用E表示，E表示2.71828… Infinity或∞，表示+∞ ，负无穷大-∞ I表示 ．用于构造复数，如2+3I
第2讲用Mathematica做微积分—— Mathematica基本操作
第2讲用Mathematica做微积分—— Mathematica基本操作
执行：【Shift】+【Enter】
第2讲用Mathematica做微积分—— Mathematica基本操作
执行：【Shift】+【Enter】
n2 n 2 例5利用Mathematica软件写出数列 2 前10项和 3 n 2n 4
元素 aij
i j 的3行4列的矩阵.
第2讲用Mathematica做微积分—— Mathematica基本操作
Mathematica 导数、积分、方程等的数值计算
第4章导数、积分、方程等的数值计算在上一章的符号运算中已经指出，有些数学问题的解可以用一个解析式（数学公式）精确地表示出来，而另一些问题则不能。
遇到这种情况时，人们常会转而去求它的近似数值解，所谓近似数值解是指按照某种逼近思路，推导出相应的迭代公式，当给定一个适当的初始值（或称初始点）后，由迭代公式就可产生一系列的近似解（点），从而一步一步的去逼近原问题的精确解（点）。
在迭代过程中所有的计算（按迭代公式）都是对具体数值进行的，或者说计算的主要对象是具体的数值（主要是实数）。
4.1 函数值与导数值的计算4.1.1函数值的计算在Mathematica系统里,计算函数值的过程同数学里的情况基本相似｡Note：先定义函数表达式，再作变量替换。
4.1.2导数值的计算Note：先定义函数表达式，再求导函数，最后作变量替换。
4.2定积分与重积分的数值计算4.2.1定积分的数值计算在Mathematica系统中为我们提供的对定积分进行近似数值计算的函数是NIntegrate,它的调用格式如下:NIntegrate[f(x),{x,a,b}]式中f(x)为被积分函数,x为积分变量,a为积分下限,b为积分上限,有时a可取到-∞,b可取到+∞｡4.2.2 重积分的数值计算1.矩形区域G:a≤x≤b,c≤y≤d上的二重积分Note:先对y积分，再对x积分。
2.一般（有界）区域Ｇ上的二重积分NIntegrate[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1[x],y2[x]}] OrNIntegrate[f[x,y],{y,y1,y2},{x,x1[y],x2[y]}] Zhou er3.一般区域上的多重积分4.3方程的近似根牛顿迭代法的几何解释在0x 处作曲线的切线, 切线方程为 y = f (0x )+f ’ (0x ) (x -0x ). 令y =0,可得切线与x 轴的交点横坐标 1x =0x -)(' )(00x f x f , 这就是牛顿法的迭代公式. 因此, 牛顿法又称"切线法".分析法（零点存在定理）图形法随机生点法4.4常微分方程数值解4.5 偏微分方程求解（略）。
Mathematic教程
(2)求微分：dy=f(x)dx
命令形式：Dt[f]
功能: 对函数f(x)求微分df
例 求y=sinx2的微分dy.
In[20]:=Dt[Sin[x^2]]
Out[20]=2xCos[x2]Dt[x]
3、求不定积分与定积分
（1）求不定积分 命令形式:Integrate[f, x] 1 dx 例 计算 2 2 sin xcos x In[21]:=Integrate[1/(Sin[x]^2 Cos[x]^2),x] Out[21]=-Cot[x]+Tan[x] （2）计算定积分 命令形式1: Integrate[f[x],{x,xmin,xmax}] 功能:计算定积分 xmin，xmax表示积分下限和上限。 命令形式2: NIntegrate[f[x],{x,xmin,xmax}] 功能: 计算定积分的数值积分，xmin，xmax必须 是数字,不能是字母。
7、初等代数运算
(1)多项式运算与因式分解 Expand[多项式] 将多项式按升幂展开 Factor[多项式] 将多项式进行因式分解 Simplify[多项式] 将多项式化为最简形式 Collect[多项式,x] 将多项式按x的同次幂合并形式展开
例1 设q=(1+2x-y)2，将q展开. In[6]:=q=Expand[(1+2*x-y)^2] Out[6]=1+4x+4x2-2y-4xy+y2 例2 将多项式120-46x-19x2+4x3+x4分解因式. In[7]:=Factor[120-46*x-19*x^2+4*x^3+x^4] Out[7]=(-3+x)(-2+x)(4+x)(5+x)
Mathematica 之 “数值积分方法”
自适应求积
例如：在整个最初区间上使用求积法则;
如果误差要求达不到，将区间二分割，在每一个子区间上应用求
积法则。 如果两个子段上的误差之和仍达不到要求，将误差最大的区间进 一步二分割，在每一个子区间上应用求积法则。 直到误差要求最终达到。
自适应求积
在被积函数变化最迅速的区域取样最密集。
这样一种自适应策略构成了大多数积分子程序的基础。
n 1
2h ( 2h) 5 ( 4 ) S n ( f ) ( f ( x2i ) f ( x2i 1 ) f ( x2i 2 )) f ( i ) 2880 i 0 6 m 1 m 1 h m1 (2h)5 ( 4) f (a) 4 f ( x2i 1 ) 2 f ( x2i ) f (b) f (i ) 3 i 0 i 1 i 0 2880
事实上，由积分中值定理可求得梯形求积公式的截断误差：
f ' ' ( ) b R1 ( x a)( x b)dx a 2! f ' ' ( ) (b a)3 , a b 12
辛普生求积公式的截断误差
由积分中值定理可求得辛普生求积公式的截断误差：
2
R2
f
( 4)
i 1
n
f ( xi 1 ) f ( xi ) 2
复化梯形积分公式
做等距节点
ba h , xi a ih, i 0, , n n
xi1
xi
h h3 f ( x) ( f ( xi ) f ( xi 1 )) f ' ' (i ) 2 12
n 1
h h3 Tn ( f ) ( f ( xi ) f ( xi 1 )) f ' ' ( i ) 12 i 0 2 n 1 1 1 n 1 h 3 h f (a) f ( xi ) f (b) f ' ' ( i ) 2 i 1 2 i 0 12
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例题：
计算下列定积分：
(1) 1 x2dx 0
11
(2) 11 x2 dx
4
(4)
1
dx
a
(5)
a2 x2 dx
0 2x 1
0
(3) 11dx
2 x
1
(6)0 arcsin xdx
例题：
(1) 1 x2dx
解： 0
11
(2) 11 x2 dx
1 1
(3) dx
(1) x ln xdx (2) ex sin xdx
(3) tan x5 sec x5dx (4) 1 dx
x2 a2
1
(5) x
dx x2 9
x2
(6) (x2 2x 2)2 dx
例题：
解：1.打开Mathematica，新建文档 2.输入指令： 3.shift+enter 输出结果
2 x
例题：
41
(4)
dx
解： 0 2x 1
a
(5)
a2 x2 dx
0
1
(6)0 arcsin xdx
思考题：
计算下列不定积分和定积分：
（1） cos(3x)cos(2x)dx
ln 2
（2） 0
ex 1dx
谢谢
(1) x ln xdx (2) ex sin xdx
(3) tan x5 sec x5dx (4) 1 dx
x2 a2
1
(5)
x
dx x2 9
x2
(6) (x2 2x 2)2 dx
03求定积分
求定积分，命令语法格式: Integrate[f, {x, Subscript[x, min], Subscript[x, max]}]
例题：
计算下列不定积分：
(1) x ln xdx
(2) ex sin xdx (3) tan x5 sec x5dx
(4)
1 dx (5)
x2 a2
x
1 dx (6) x2 9
x2 (x2 2x 2)2 dx
例题：
解：1.打开Mathematica，新建文档 2.输入Integrate[x Log[x], x] Integrate[E^x Sin[x], x]
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数学软件 Mathematica 计算函数的积分
目录
01
引言
02
求不定积分
03
求定积分
01引言
我们学习函数积分计算时，常常头疼于抽象的公式和繁琐的 计算方法。用Mathematica会让问题变得简单一些吗？
02求不定积分
求不定积分，命令语法格式:
Integrate[f,x]
计算不定积分 fdx ，或利用工具栏按钮
输入被积函数
和积分变量，来求函数的不定积分。
说明：1.命令 Integrate主要用于计算被积函数是初等函数的不定积分。
2.Mathematica只给出被积函数的一个原函数，不加常数C。
3.对于在函数中出现的除积分变量外的参数，在计算中统统 当做常数处理，需注意的是该参数与积分变量之间要空一格。
计算定积分 xmax fdx 或利用工具按钮 xmin
输入被积函数
和积分变量，来求函数的定积分。对于“积不出来”的被积函数 ，
Integrate[ ]不能给出定积分的结果，这时Mathematica可以给出
定积分的数值解，其语法如下：
NIntegrate[f,{x,Subscript[x, min],Subscript[x, max]}]
Integrate[Tan[x]^5 Sec[x]^5, x]
\[Integral]1/Sqrt[x^2 + a^2] \[DifferentialD]x \[Integral]1/(x Sqrt[x^2 + 9]) \[DifferentialD]x
\[Integral]x^2/(x^2 - 2 x + 2)^2 \[DifferentialD]x