复变函数积分计算公式..
复变函数积分方法总结
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点 k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
∆zk 记∆zk=
zk- zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{∆Sk}(k=1,2…,n),当
它的内部完全含于 D，z0 为 C 内的任一点，有：
f(z0)=
例题：1）
2）
解：=2π isin z|z=0=0 解： =
=2πi
| = z=-i
解析函数的高阶导数：
解析函数的导数仍是解析函数，它的 n 阶导数为
f(n)(z0)=
dz(n=1,2…)
其中 C 为 f(z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，而
Q(z0)
，则 z0 是 f(z)的一级极点，而且：
Res[f(z),z0]=
无穷远处的留数：
定义：扩充 z 平面上设 z= 为 f(z)上的孤立奇点，即 f(z)在 R< <+ 内解析，C 为圆环绕原点 z=0 的任一条正向简单闭曲线，则积分值
称为 f(z)在 z= 处的留数，记作
Res[f(z), ]=
+…]=
.
*
一个在 0< 级极点。
< 解析，同时
，则 z0 是 f(z)的 m
判断定理：（1）f(z)在 z0 的去心邻域 0<
<
，z0 是 f(z)
的 m 级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0 是 f(z)的 m 级
极点的充要条件是
=.
复变函数的积分及柯西公式
f z dz u iv dx idy
c c
udx vdy i vdx udy
c c
f x t iy t z t dt
2
三、复变函数积分的性质
(1) f ( z )dz
C Cdz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
3
2.2 柯西定理
单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域 中解析，则沿着中任何一个分段光滑的闭合围道c的积 分为：
2.1 复变函数的积分 一、积分的定义
y
C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
1
二、复变函数积分公式
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
复连通区域的柯西定理：如果函数f(z)是复连通区域中 的单值解析函数，则有：
4
2.3 不定积分
5
2.4 柯西公式
a,改记作z，积分变数用������表示，也可写作
推论： 1、模数原理：设f（z）在某闭区域上解析，则|f（z）|只 能在边界线 l 上取极大值。 2、刘维尔定理：如f（z）在全平面解析且有界，则f（z） 必为常数。
复变函数积分计算方法
一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数poisson积分公式
复变函数poisson积分公式我们要证明的是复变函数中的Poisson积分公式。
首先，我们需要了解一些基本概念和公式。
设 f(z) 是定义在圆环域 R 上的复函数，其中 R 是由圆心在原点、半径分别为 r 和 R (0 < r < R) 的两个同心圆确定的环形区域。
Poisson积分公式表述为：对于z ∈ R，有∫_0^R f(ξ)e^(−ξz)dξ = (1/2π)∫_0^(2π) f(R, θ)e^(−Rzcos(θ))dθ其中，f(R, θ) 表示 f 在以原点为圆心、R 为半径的圆周上的值，z = x + yi (x, y ∈ R)。
现在我们要来证明这个公式。
第一步，我们考虑 f(z) 在以原点为圆心、R 为半径的圆周上的值。
根据复变函数的连续性，f(z) 在这个圆周上是连续的，所以我们可以将 f(R, θ) 表示为f(Re^(iθ))。
第二步，利用极坐标与直角坐标的关系，我们知道x = Rcos(θ)，y = Rsin(θ)，所以z = x + yi = Rcos(θ) + iRsin(θ)。
因此，e^(−Rzcos(θ)) = e^(−R^2cos(θ)^2)e^(−iR^2sin(θ)cos(θ))。
第三步，利用三角函数的性质，我们知道cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)，所以e^(−iR^2sin(θ)cos(θ)) = e^(−R^2sin(2θ)/2)。
第四步，根据定积分的性质和第三步的结果，我们可以得到：∫_0^R f(ξ)e^(−ξz)dξ = (1/2π)∫_0^(2π)f(Re^(iθ))e^(−R^2cos(θ)^2)e^(−iR^2sin(θ)cos(θ))dθ。
第五步，将e^(−iR^2sin(θ)cos(θ)) 展开，得到：e^(−iR^2sin(θ)cos(θ)) = e^(−R^2sin(2θ)/2) = cos(R^2sin(2θ)/2) + i sin(R^2sin(2θ)/2)。
复变函数柯西积分公式
复变函数柯西积分公式
柯西积分，即Cauchy Integral Formula，包括复变函数的一种重要的积分公式，是复变函数理论的基础。
柯西积分的出现极大地拓展了复变函数数学研究的视野，把它带入一个完整的复变函数空间，使科学家们能够有效地描述物理和复杂体系的运作。
柯西积分可以表示为：在复平面上的无界区域Ω中，若C为边界，a则是内部点，f（z）为一个连续的复变函数，则：
$$\oint_{C} f\left(z\right)dz=2 \pi i
\sum\left(f\left(a_{k}\right)\right)$$
其中，a_{k}为区域Ω内的根，且取出其中局部极小值。
因此，柯西积分也可以表述为，当根的改变对应的复变函数的值的积分之和。
此外，当区域Ω趋近于无界时，柯西积分也可以表示为简单的复变函数积分表达式。
柯西积分是复变函数研究中的基础，它被广泛用于使函数能够有效地描述物理和复杂体系的运作，以及用于解决合理的分析表示中的无限级数的和等问题。
由于柯西积分的出现，复变函数数学研究更加深入并常常被用于数学研究以及工程中，如信号处理、电磁学、电动学和更多其他领域。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式一、复变函数的积分定义复变函数f(z)的积分定义为：∫f(z)dz = ∫[u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∫[u(x, y)dy + v(x, y)dx]其中，u(x,y)和v(x,y)为复变函数f(z)的实部和虚部分别对x和y 的偏导数。
1.第一类曲线积分公式设C是定义在[a,b]上的光滑曲线，而f(z)是C上的复变函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(z(t))z'(t)dt其中，z(t)表示C上的参数方程，z'(t)表示z(t)对t的导数。
2.第二类曲线积分公式设C是封闭的简单光滑曲线，内部有有向单位法向量n，并设f(z)是C内的解析函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = 2πi Res[f(z), a]其中，a表示C内的任意一个孤立奇点，Res[f(z), a]表示f(z)在a 处的留数。
3.圆弧积分公式对于参数方程z(t) = a + re^(it)，其中t∈[θ1, θ2]，a为圆心，r为半径，则复变函数f(z)沿圆弧C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(a + re^(it))ire^(it)dt4.辐角积分公式设f(z)是C所在区域的解析函数，它在z=a处有极点，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = i∫R[f(z) - f(a)]dz其中，C是以a为圆心的环形曲线，R是C所围成的圆环区域。
5.亚纯函数积分公式设f(z)是C所在区域的亚纯函数，它在z=a处有一级极点∫f(z)dz = 2πiI(C, a)其中，I(C,a)为C围绕a的索引。
三、复变函数积分计算技巧1.选择适当的路径进行积分，常常选择直线、弧线或封闭曲线。
2.利用柯西-黎曼条件和柯西-黎曼方程进行变量转换和求导。
3.利用留数定理计算包括奇点与不同路径的积分。
4.利用对称性和奇偶性简化积分计算。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式复变函数积分计算是复变函数理论中的重要内容之一，是对复变函数在给定路径上的定积分进行求解的过程。
复变函数的积分计算公式可以通过两种方式得到：一是基于实变函数定积分的工具，如Cauchy-Riemann方程等，通过对实变函数的求解来得到复变函数的积分计算公式；二是利用复平面上的路径积分来进行计算和推导，通过考虑路径的参数化来得到计算公式。
下面将详细介绍这两种方式。
一、基于实变函数的工具1. Cauchy-Riemann方程：设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)为实部和虚部，z=x+iy是复变量。
如果f(z)在其中一点满足Cauchy-Riemann方程，即u和v满足以下偏导数关系：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x那么f(z)在该点处解析，且在该点处的积分计算公式为：∫ f(z) dz = ∫ (u(x,y)+iv(x,y)) (dx+idy) = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)。
2.基于保守场的路径积分：设f(z)是复平面上的解析函数，且存在实部u(x,y)和虚部v(x,y)，则对于f(z)满足的路径积分公式：∫ f(z) dz = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)其中路径积分沿着点A到点B的路径P进行计算，路径P上的起点为z1，终点为z2二、利用复平面上的路径积分1. 曲线的参数化：考虑路径积分时，首先需要对路径进行参数化。
一般来说，可以将路径P表示为z(t)=x(t)+iy(t)，其中x(t)和y(t)分别是t的函数，而t属于一些区间[a,b]。
这样，路径P上的积分计算问题就转化为对参数t的积分计算问题。
2.几种常见路径的积分公式：(1)闭合路径上的积分：如果路径P是一个闭合路径，且f(z)在P内解析，那么闭合路径上的积分计算公式为：∮ f(z) dz = 0其中∮表示对路径P上的积分。
复变函数与积分变换概念公式
复变函数与积分变换概念公式一、复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，即函数的自变量和因变量均为复数。
复数可用标准形式表示为 z = x + yi，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部。
复变函数可以将一个复数映射到另一个复数，即 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u 和 v 分别表示实部和虚部。
复变函数通常具有解析性，即满足柯西-黎曼方程，即：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x复变函数的求导规则也与实变函数类似，可以通过对u和v分别对x和y求偏导得到。
复变函数的积分也可类似地进行，即将曲线积分转换为线积分，并利用格林公式等方法进行计算。
积分变换是指将一个函数通过积分的方式转换为另一个函数，常见的积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换和z变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将实函数转换为复函数的积分变换方法，可以用于求解微分方程和信号处理等问题。
拉普拉斯变换的定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中 f(t) 为已知的函数，s 为复变量。
拉普拉斯变换具有线性性质，即 L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和g(t) 分别为待变换的函数。
2.傅里叶变换傅里叶变换是一种将复函数表示为基本正弦和余弦函数的线性组合的积分变换方法，主要用于信号处理和频谱分析等领域。
傅里叶变换的定义为：F(ω) = F{f(t)} = ∫[-∞,+∞] f(t)e^(-jωt)dt其中 f(t) 为已知的函数，ω 为角频率。
傅里叶变换也具有线性性质，即 F{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和 g(t) 分别为待变换的函数。
3.z变换z变换是一种将离散信号表示为z的幂次的线性组合的积分变换方法，主要用于差分方程的求解和数字信号处理等领域。
第二章 复变函数的积分
一.复变函数的积分
(复平面的路径积分) 复平面的路径积分)
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )(z
l n →∞ k =1 k
l l
n
k
− z k −1 ) ≡ lim ∑ f (ξ k )dz k n→∞
k =1
n
∫ f (z )dz = ∫ u (x, y )dx − v(x. y )dy + i ∫ v(x, y )dx + u (x. y )dy
ez I =∫ 2 dz c ( z + 1) 2
z 2
2π i (n−1) f (ξ ) ∫ (ξ − z)n dξ = (n −1)! f (z) l
例:计算
z = a (> 1)
解:
I=∫
c1
e z /( z − i ) 2 e /( z + i) dz dz + ∫ 2 2 c2 ( z + i) ( z − i)
1
I 2 = ∫ xdz + ∫ xdz =
0
1
1+i
i
1 ∫ 0idy + ∫ xdx = 2 0 0
直线参数方程 : z = (1 + i)t或( y = x)
1
I 3 = ∫ t (1 + i )dt = 1 + i 2 0
(可见积分与路径有关)
例2
1+i
z 2 dz = ? 1)沿折线 0—1---1+i ∫
= 2π i [e z /( z + i) 2 ]′z =i + 2π i [e z /( z − i ) 2 ]′z = −i
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式1.复数复数是由实数和虚数组成的数，记作z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i2=-1。
复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即z*=a-bi。
2.复变函数复变函数是定义在复平面上的函数，即将复数作为自变量和函数值的函数。
设f(z)是复变函数，其中z=x+iy是复数，x和y是实数，则f(z)可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(xy)，其中u(xy)和v(xy)都是实函数，分别称为f(z)的实部和虚部。
3.欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要公式，它描述了复数和三角函数之间的关系。
欧拉公式可以表示为e^ix=cos(x)+isin(x)，其中e 是自然对数的底数，i是虚数单位，x是实数。
4.柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是描述复变函数的重要方程，它表明如果一个复变函数f(z)在某个区域内连续且可微分，那么它满足柯西-黎曼方程。
柯西-黎曼方程可以表示为:дu/дx=дv/дyдu/ду=-дv/дx其中u(xy)和v(xy)分别是f(z)的实部和虚部。
二、积分变换公式1.傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为频率域内的积分。
傅里叶变换可以表示为:F(w)=∫f(t)e^(-jwt)dtf(t)=1/2π∫F(w)e^(jwt)dw其中F(w)是f(t)的傅里叶变换，f(t)是函数在时间域内的表示，w是频率，j是虚数单位。
2.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种常用的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
拉普拉斯变换可以表示为:F(s)=∫f(t)e^(-st)dtf(t)=1/2πj[F(s)e^(st)ds其中F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，f(t)是函数在时间域内的表示，s是复数。
3.Z变换Z变换是一种离散的积分变换，它可以将一个离散函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
Z变换可以表示为:F(z)=∑f(n)z^(-n)f(n)=1/2πj∫F(z)z^n-1dz其中F(z)是f(n)的Z变换，f(n)是离散函数在时间域内的表示，z是复数。
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。
复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。
复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。
在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。
根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。
2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。
3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。
4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。
5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。
7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
在数学中，复变函数是研究复数平面上的函数性质的一个重要分支。
与实变函数不同的是，复变函数具有更多的性质和更复杂的变换规律。
在复变函数的研究中，积分变换公式是一个重要的工具，它可以用来计算复变函数的积分或者对其进行变换。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复数，u(x,y)和v(x,y)表示实函数。
根据柯西—黎曼方程，对于复变函数f(z)来说，它满足以下条件：u(x,y)和v(x,y)都是可微的，且满足以下偏微分方程：∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x这两个方程表明了复变函数的实部和虚部的偏导数之间的关系。
在复变函数的积分变换中，常用的方法包括柯西—黎曼积分公式和柯西—黎曼积分定理。
柯西—黎曼积分公式用于计算沿着闭合曲线的复变函数的积分，它表示为：∮f(z)dz = ∫[f(z)dz] = ∫[u(x,y)dx-v(x,y)dy] +i∫[v(x,y)dx+u(x,y)dy]其中，∮表示沿着闭合曲线的积分，[f(z)dz]表示该路径上的函数f(z)乘以微元dz的积分，u(x,y)和v(x,y)分别表示f(z)的实部和虚部。
柯西—黎曼积分定理是基于柯西—黎曼积分公式的一个重要定理，它表示了在闭合曲线内的函数积分等于该函数在闭合曲线上的积分。
根据柯西—黎曼积分定理，如果一个函数在一条围成的区域内是解析的（也就是满足柯西—黎曼方程），那么该函数在该区域内的积分等于零。
除了柯西—黎曼积分公式和柯西—黎曼积分定理，还有其他一些积分变换公式。
其中，常用的有拉普拉斯变换和傅里叶变换。
拉普拉斯变换是一种用于处理函数的积分变换方法，它将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)，其中F(s)是复平面上的一个函数。
拉普拉斯变换可以用来解决微分方程、积分方程以及控制系统的问题。
傅里叶变换是另一种常用的积分变换方法，它将一个函数f(t)转换为另一个函数F(ω)，其中F(ω)是复平面上的一个函数。
复变函数积分计算公式
∫
l
f ( z )dz =
∫ + i ∫ [v( x, y )dx + u ( x, y )dy ]
l l
[u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
应用格林公式： Q P Pdx + Qdy = ∫ ( + )dxdy ∫l S x y
故将回路的积分，转化成面积分：
∫
l
f ( z )dz
（1）单通区域情况 ） 所谓单通区域， 所谓单通区域，即在其中作任何简 单的闭和围线， 单的闭和围线，围线内的点都属于 该区域内的点。如果f（ ） 该区域内的点。如果 （z）在单通 区域上解析， 区域上解析，则沿该区域内任一光 滑闭合曲线积分有： 滑闭合曲线积分有：
∫
l
f ( z )dz = 0
证明：
∫ ∫
l
0 dz = z α 1
n
l
( z α ) dz = 0 （n ≠ -1）
2-4
柯西公式
若（z）在闭单通区域 B 上解析， f l为B的境界线，α 为B内任一点， 则有柯西公式： 1 f ( z) f ( z )= dz ∫l z α 2π i
-
-
柯西定理的重要推论： n! f (ζ ) (n) f = dζ ∫l (ζ z )n+1 2π i 即解析函数可以求导任意多次。
∫ cf ( z )dz = c ∫
l l 1 2
l
f ( z )dz f1 ( z )dz ± ∫ f 2 ( z )dz
l
(2)函数的和的积分等于各个函数积分的和；
∫ [ f ( z ) ± f ( z )]dz = ∫
l
(3)反转积分路径，积分变号；
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式柯西定理是复变函数的一个基本定理，它与实分析中的格林定理相对应。
它的表述如下：设f(z)是C上的连续函数，在C的内部点a处可导，则对于C上的任意闭合路径L，有积分公式：∮L f(z)dz = 0其中∮代表沿曲线的积分。
柯西定理揭示了一个重要性质，即在曲线内部的积分和沿曲线上的积分是等值的。
这个公式的实际应用是在计算闭合曲线围成的域内的积分时，可以通过计算沿曲线的积分来得到结果。
柯西-黎曼公式是复分析中的一个重要公式，它是柯西定理在复平面上的推广。
其表述如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在单连通域D上的全纯函数，则对于D上的任意简单闭合曲线L，有积分公式：∮L [u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∮L [v(x, y)dx + u(x, y)dy]=其中i是虚数单位。
柯西-黎曼公式是柯西定理在复平面上的推广，它关联了函数的实部和虚部，揭示了全纯函数在实轴和虚轴上的性质，是复变函数积分计算的基础。
在计算复变函数积分时，需要将积分路径表示为参数方程形式，并根据具体问题选择合适的计算方法。
常用的计算方法包括直接计算、换元法、分部积分法、留数法等。
直接计算方法是将积分路径表示为参数方程形式，然后将积分公式代入进行计算。
这种方法在积分路径较简单且函数形式简化时适用。
换元法是将积分路径用新的参数方程表示，通过变量替换将复变函数积分转化为实变函数积分。
这种方法主要用于积分路径的形式复杂且可以找到合适的变换。
分部积分法是将复变函数积分转化为求导和积分的组合运算，通过重复应用分部积分法，可以将复杂的函数逐步简化。
留数法是一种特殊的计算方法，适用于计算含有奇点的函数的积分。
留数法利用了复变函数在奇点处的局部性质，通过计算奇点处的留数来求解积分。
总之，复变函数积分的计算公式主要有柯西定理和柯西-黎曼公式，并且还需要根据具体问题选择合适的计算方法进行计算。
复变函数积分计算公式
柯西积分公式的应用非常广泛，它可以用于求解某些复杂 的积分问题，也可以用于研究复函数的性质和行为。
留数定理
留数定理是复变函数中另一个重要的定理，它给出了计算复函数在奇点附近的行为对积分的影响的方 法。
对后续学习的启示
数学分析基础
复变函数积分计算公式的学习可以为后续的数学分析、实变函数等 课程打下基础，提供必要的理论支撑。
物理与工程应用
在物理和工程领域，复变函数积分计算公式的应用可以帮助学生更 好地理解和解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
数学建模能力
通过复变函数积分计算公式的应用，可以培养学生的数学建模能力， 提高数学应用能力。
留数定理可以表示为：∫f(z)dz = 2πiRes(f,a)，其中Res(f,a)表示f(z)在点a处的留数，i是虚数单位。
留数定理的应用也非常广泛，它可以用于求解某些复杂的积分问题，也可以用于研究复函数的性质和行 为。
解析函数的积分表示
解析函数的积分表示是复变函数中一个 重要的概念，它给出了一个解析函数可 以通过对其内部进行积分来定义的方式。
解决微分方程中的初值问题
通过复变函数积分计算公式，可以解决微分方程中的初值问题，将初值条件转化为复数积分形式，再通过求解微 分方程得到初值问题的解。
04
复变函数积分计算公式的证明
柯西积分公式的证明
柯西积分公式
对于复平面上的任意点z，函数f(z)的积分形式为∫(c)f(z)dz，其中c是连接原点O和点z 的任意路径。
05
结论
柯西积分公式的应用
柯西积分公式的应用柯西积分公式是高等数学中的一个重要公式，它在复分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
柯西积分公式的应用之一是计算复变函数的积分，可以通过柯西积分公式将积分问题转化为解析函数在闭合曲线上的积分。
在本文中，我将讨论柯西积分公式的应用。
若f(z)在闭合曲线上连续，在曲线内部有一个解析函数F(z)，则有∮[f(z)/(z-a)]dz=2πiF(a)其中，∮代表沿着闭合曲线的积分，a代表曲线内部的一点，i为虚数单位。
1.计算复变函数积分：例如，要计算函数f(z)=exp(z)/z在围绕原点的单位圆上的积分，可以选择解析函数F(z)=exp(z)。
根据柯西积分公式，有∮[exp(z)/(z-a)]dz=2πiF(a)。
原函数的积分为f(z)=2πiexp(z)，即在单位圆上的积分为2πi。
2.解析函数展开：例如，要展开函数f(z)=1/(z-a)在围绕a的单位圆上的展开形式，可以选择解析函数F(z)=1、根据柯西积分公式，有∮[1/(z-a)]dz=2πiF(a)。
即展开系数为1/(2πi)。
3.复数公式中的应用：例如，可以使用柯西积分公式证明复平面上的柯西黎曼方程。
柯西黎曼方程是复变函数理论中的一个重要定理，它描述了解析函数的充要条件。
通过柯西积分公式，可以得到复平面上的全纯函数必然满足柯西黎曼方程。
此外，柯西积分公式还可以应用于解析函数的边界性质的研究，如解析函数的奇点、极点等。
综上所述，柯西积分公式在计算复变函数积分、解析函数展开和复数公式中起着重要的作用。
它不仅提供了一种计算复变函数积分的方法，还为解析函数的展开、复数公式的推导以及解析函数的边界性质研究提供了便利。
因此，柯西积分公式在数学和许多应用领域中被广泛使用。
复变函数积分计算公式
n
把zK 和f ( z )都用实部和虚部表示出来： zK xK iyK , f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y) 则：
l
f ( z )dz [u ( x, y )dx v( x, y)dy]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy]
l
f ( z )dz 0
证明：
l
f ( z )dz
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
l l
[u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
应用格林公式： Q P Pdx Qdy ( ) dxdy l S x y
故将回路的积分，转化成面积分：
例：计算下式积分： I (z- ) dz
l
n
分析：若l不包含点，则积分值为零，若 包含点，则当n 0时，被积函数在l所围
区域内仍解析，只有当n 0时才成为奇点， 则在圆周上，z- =Re
i
现做一圆将点包围，圆心为，半径为C，
I
l
( z ) dz
n
R e Re id
l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
例：计算以下积分： （1）I1 Re zdz ,
L1
（2）I 2 Re zdz
L2
L2
1+i
o
L1
I1 [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
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l
f ( z )dz 0
证明：
l
f ( z )dz
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
l l
[u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
应用格林公式： Q P Pdx Qdy ( ) dxdy l S x y
故将回路的积分，转化成面积分：
l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
例：计算以下积分： （1）I1 Re zdz ,
L1
（2）I 2 Re zdz
L2
L2
1+i
o
L1
I1 [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
第二章
复变函数的积分
设在复数平面的某分段光滑曲线l上 定义了连续函数f ( z )在l上取一系列 zn (即终 点B), 把l分成 n 个小段,在每个小段
的分点z0 (即起点A)，z1 z2
zK 1 , zK 上任取一点 K ,作和:
f ( ) z
K 1 K
n
K
z K 1
l
A
A
B B
l2
D
C
l1
D C
复通区域内虽然包含奇点，但是 已经用闭合的曲线将这些奇点挖 去，所以，原来的复通区域已经 变成了单通区域，那么按单通区 域的柯西定理有：
l
l
f ( z )dz
AB l2
f ( z )dz f ( z )dz
l1 DC
/ /
B A
/
柯西定理的重要推论： f
(n)
n! 2 i
f ( ) d l ( z)n1
即解析函数可以求导任意多次。
根据柯西定理的推论： n! f ( ) (n) f d ，可有 n 1 l 2 i ( z ) n t
n
t 0
n! 2 i
l
e 1 d n 1 ( )
l
值只跟起点与终点有关,而与路径无关,因 此当起点z0固定时,这个不定积分就定义了 单值函数,记作：F ( z ) f ( )d
Z0 Z
若F ( z )在B上解析,且F ( z ) f ( z ), 则F ( z )
/
是f ( z )的一个原函数。
Z2
f ( )d F ( z2 ) F ( z1 )
n in C 2 n in i 0 n 1
R e d ( Re )
i
iR
2
0
e
i ( n 1)
d
I iR n 1 ei ( n 1) d 0 (n 1) (1) 0 2 I i d 2 i (n 1) (2) 0
柯西定理
（1）闭单通区域上的解析函数沿境界线的积 分值为零。 （2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境 界线正方向的积分和为零。 （3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆 时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时 针方向积分之和。
（1）单通区域情况 所谓单通区域，即在其中作任何简 单的闭和围线，围线内的点都属于 该区域内的点。如果f（z）在单通 区域上解析，则沿该区域内任一光 滑闭合曲线积分有：
l l
l
f ( z )dz
(2)函数的和的积分等于各个函数积分的和； [ f ( z ) f ( z )] dz f ( z ) dz f ( z ) dz 1 2 1 2
l l
(3)反转积分路径，积分变号；
B
A
f ( z )dz f ( z )dz
B
A
(4)全路径上的积分等于各段上积分之和；
n K 1
n
把zK 和f ( z )都用实部和虚部表示出来： zK xK iyK , f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y) 则：
l
f ( z )dz [u ( x, y )dx v( x, y)dy]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy]
l
f ( z )dz
v u u v ( )dxdy i ( )dxdy x y x y S S u u v u 按照C R条件， ， ， x y x y 所以积分项为零。
（2）闭复通区域情形 所谓复通区域，即函数在其中某些 点处并不解析，这些点称为奇点，为 了将这些点排除在外，常做一些适当 的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带 “孔”的区域，即复通区域。
y
B
zn
K 1 z1
A z0 0
zK
x
于n 而且每一小段都无限缩短 时,如果这个和的极限存在,而且其 值与各个 K的选取无关,则这个和 的极限称为函数f ( z )沿曲线l从A到B 的路积分,记作： f ( z ) dz , 即 :
l
l
f ( z )dz lim f ( K ) z K z K 1
l
复变函数积分计算公式
l
f ( z )dz [u ( x, y )dx v( x, y ) dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y ) dy ]
l
该公式将复变函数的路积分转 化为两个实变函数的线积分.
一些常用的性质： (1)常数因子可以移到积分号外；
cf ( z)dz c
/
f ( z )dz 0
CD
f ( z )dz f ( z )dz
f ( z )dz 0
其中，沿割线两条边上的积分值相互抵消，故： f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
2-3
不定积分
由柯西定理可知：若函数f ( z )在单通区域B 上解析，则沿B上任一路径l的积分 f ( z )dz
例：计算下式积分： I (z- ) dz
l
n
分析：若l不包含点，则积分值为零，若 包含点，则当n 0时，被积函数在l所围
区域内仍解析，只有当n 0时才成为奇点， 则在圆周上，z- =Re
i
现做一圆将点包围，圆心为，半径为C，
I
l
( z ) dz
n
R e Re id
x ( ) 1
2
综上所述: (1)n=-1且不包围a点时,则 1 也可以写成 2 i
l
dz 0 z
l
dz 0 z
l
(2)n=-1且包围a点时,则 1 即 2 i
dz 2 i z
l
dz 1 z
(3)n -1,则 ( z ) dz 0
n l
l
1 xdx i 1dy i 0 0 2
1 1
I 2 [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
l
1 xdx 0 2
1
可见,复变函数的积分值 不仅和积分的起点与终点有关 ，而且与积分路径有关，可以 用柯西定理来描述积分值与路 径的关系。
1 也可以写成 2 i 总结起来： 1 2 i 1 2 i
l
dz 0 z (l不包围 ) (l包围 )
l
0 dz z 1
n
l
( z ) dz 0 （n -1）
2-4
柯西公式
若（ f z）在闭单通区域 B 上解析，
-
-
l为 B 的境界线， 为 B内任一点， 则有柯西公式： 1 f ( z) f ( z )= dz 2 i l z