复变函数积分计算公式..

/
f ( z )dz 0
CD
f ( z )dz f ( z )dz
f ( z )dz 0
其中，沿割线两条边上的积分值相互抵消，故： f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
2-3
不定积分
由柯西定理可知：若函数f ( z )在单通区域B 上解析，则沿B上任一路径l的积分 f ( z )dz
y
B
zn
K 1 z1
A z0 0
zK
x
于n 而且每一小段都无限缩短 时,如果这个和的极限存在,而且其 值与各个 K的选取无关,则这个和 的极限称为函数f ( z )沿曲线l从A到B 的路积分,记作： f ( z ) dz , 即 :
l

l
f ( z )dz lim f ( K ) z K z K 1
l
复变函数积分计算公式

l
f ( z )dz [u ( x, y )dx v( x, y ) dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y ) dy ]
l
该公式将复变函数的路积分转 化为两个实变函数的线积分.
一些常用的性质： (1)常数因子可以移到积分号外；
cf ( z)dz c
n K 1
n
把zK 和f ( z )都用实部和虚部表示出来： zK xK iyK , f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y) 则：

l
f ( z )dz [u ( x, y )dx v( x, y)dy]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy]

l
f ( z )dz
v u u v ( )dxdy i ( )dxdy x y x y S S u u v u 按照C R条件， ， ， x y x y 所以积分项为零。
（2）闭复通区域情形 所谓复通区域，即函数在其中某些 点处并不解析，这些点称为奇点，为 了将这些点排除在外，常做一些适当 的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带 “孔”的区域，即复通区域。
l
A
A
B B
l2
D
C
l1
D C
复通区域内虽然包含奇点，但是 已经用闭合的曲线将这些奇点挖 去，所以，原来的复通区域已经 变成了单通区域，那么按单通区 域的柯西定理有：

l
l
f ( z )dz
AB l2
f ( z )dz f ( z )dz
l1 DC
/ /
B A
/
x ( ) 1

l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
例：计算以下积分： （1）I1 Re zdz ,
L1
（2）I 2 Re zdz
L2
L2
1+i
o
L1
I1 [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
2
综上所述: (1)n=-1且不包围a点时,则 1 也可以写成 2 i
l
dz 0 z

l
dz 0 z
l
(2)n=-1且包围a点时,则 1 即 2 i
dz 2 i z

l
dz 1 z
(3)n -1,则 ( z ) dz 0
n l

l
f ( z )dz 0
证明：

l
f ( z )dz
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
l l
[u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
应用格林公式： Q P Pdx Qdy ( ) dxdy l S x y
故将回路的积分，转化成面积分：
1 也可以写成 2 i 总结起来： 1 2 i 1 2 i

l
dz 0 z (l不包围 ) (l包围 )

l
0 dz z 1
n
l
( z ) dz 0 （n -1）
2-4
柯西公式
若（ f z）在闭单通区域 B 上解析，
-
-
l为 B 的境界线， 为 B内任一点， 则有柯西公式： 1 f ( z) f ( z )= dz 2 i l z
例：计算下式积分： I (z- ) dz
l
n
分析：若l不包含点，则积分值为零，若 包含点，则当n 0时，被积函数在l所围
区域内仍解析，只有当n 0时才成为奇点， 则在圆周上，z- =Re
i
现做一圆将点包围，圆心为，半径为C，
I


l
( z ) dz
n

R e Re id
柯西定理的重要推论： f
(n)
n! 2 i
f ( ) d l ( z)n1
即解析函数可以求导任意多次。
根据柯西定理的推论： n! f ( ) (n) f d ，可有 n 1 l 2 i ( z ) n t
n
t 0
n! 2 i

l
e 1 d n 1 ( )
第二章
复变函数的积分
设在复数平面的某分段光滑曲线l上 定义了连续函数f ( z )在l上取一系列 zn (即终 点B), 把l分成 n 个小段,在每个小段
的分点z0 (即起点A)，z1 z2
zK 1 , zK 上任取一点 K ,作和:
f ( ) z
K 1 K
n
K
z K 1
柯西定理
（1）闭单通区域上的解析函数沿境界线的积 分值为零。 （2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境 界线正方向的积分和为零。 （3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆 时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时 针方向积分之和。
（1）单通区域情况 所谓单通区域，即在其中作任何简 单的闭和围线，围线内的点都属于 该区域内的点。如果f（z）在单通 区域上解析，则沿该区域内任一光 滑闭合曲线积分有：
n in C 2 n in i 0 n 1
R e d ( Re )
i
iR

2
0
e
i ( n 1)
d
I iR n 1 ei ( n 1) d 0 (n 1) (1) 0 2 I i d 2 i (n 1) (2) 0
l l
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f ( z )dz
(2)函数的和的积分等于各个函数积分的和； [ f ( z ) f ( z )] dz f ( z ) dz f ( z ) dz 1 2 1 2
l l
(3)反转积分路径，积分变号；

B
A
f ( z )dz f ( z )dz
B
A
(4)全路径上的积分等于各段上积分之和；
l
值只跟起点与终点有关,而与路径无关,因 此当起点z0固定时,这个不定积分就定义了 单值函数,记作：F ( z ) f ( )d
Z0 Z
若F ( z )在B上解析,且F ( z ) f ( z ), 则F ( z )
/
是f ( z )的一个原函数。

Z2
f ( )d F ( z2 ) F ( z1 )
l
1 xdx i 1dy i 0 0 2
1 1
I 2 [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
l
1 xdx 0 2
1
可见,复变函数的积分值 不仅和积分的起点与终点有关 ，而且与积分路径有关，可以 用柯西定理来描述积分值与路 径的关系。