弹性力学课后习题详解
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程[第四版]_课后习题解答
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弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学基础(程尧舜_同济大学出版社)课后习题解答(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】习题解答第二章2.1计算：(1)piiqqjjkδδδδ，(2)pqi ijkjke e A ，(3)ijp klpkilje e B B 。
解：(1)piiqqjjkpqqjjkpjjkpkδδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qpe e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ije e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jke a =。
证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jki e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c证：()()ij ijkk l m lmn n i j l m ijk lmk a b ec d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e【最新整理，下载后即可编辑】图2.4)(jmim jl δδ-=()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
弹性力学简明教程第四版习题详解
弹性力学简明教程（第四版）习题解答第一章【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学-04(习题答案)
∂ϕ 1 ∂2ϕ =1 σα + 2D = 0 2 2 2Acos r r ∂r + r ∂θ 2Asin α =∂2ϕ q = σ θq 2 ∂r 2A = sin α ∂ 1 ∂ϕ 2D =τ rq cot∂r r ∂θ −θ= − α
q 2A= sin α 2D = −q cot α
刚体
矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。 习题4-4 矩形薄板受纯剪，剪力集度为 ，如图所示。如果离板边较 习题 远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。 远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。 解： 由图（ ） 由图（a）给出的孔 边应力结果： 边应力结果：
q q
r
σθ = q(1− 2cos 2θ )
分析： 分析：任取一截面 ，截面弯矩为
M = Py = P⋅ r sin θ σθ = M (θ ) f1(r) = f1(r) sin θ （a） ） ϕ = f (r) sin θ
弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案
弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案1. 弹性力学简介弹性力学是物理学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和恢复力的关系。
徐芝纶是该领域的知名学者，他的教材《弹性力学》深入浅出地介绍了这一课题。
本文将针对徐芝纶教材中的课后习题提供答案，帮助读者更好地理解弹性力学。
2. 弹性力学习题及答案2.1 习题一问题：一根弹性绳两端固定，绳长为L，质量均匀分布。
若绳以角频率ω振动，求各位置的位移函数。
答案：设绳的线密度为ρ，则单位长度上的质量为ρL。
考虑到绳在振动过程中的位移函数y(x, t)，根据弦波方程得到位移函数的表达式为y(x, t) = A sin(kx - ωt)，其中A为振幅，k为波数。
对于长度为L的绳子，首先将其离散化为N个小绳段，每个小绳段的长度为Δx = L/N。
然后利用微元法，对每个小绳段的质点计算其受力和位移，最后将每个小绳段的位移函数相加即可得到整根绳子的位移函数。
2.2 习题二问题：一个长为L的均匀杆在一个端点固定，杆的质量为m，细长处密度均匀。
当该杆受到一个力F时，求其在另一端的位移和挠曲角。
答案：设该杆受到的力矩为M，由弹性力学理论可知，弯矩和曲率成正比。
具体而言，弯矩M和挠曲角θ之间的关系为M = EIθ，其中E 为材料的弹性模量，I为截面的转动惯量。
对于均匀杆，其转动惯量可以通过I = (1/3)mL²求得。
由于杆的另一端固定，所以该端点的位移为零。
3. 结语本文介绍了弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案。
弹性力学是物理学中的重要课题，对于理解和应用弹性力学理论具有重要意义。
徐芝纶的教材给出了深入浅出的讲解和习题练习，本文提供了部分习题的详细答案，希望能够帮助读者更好地掌握弹性力学的知识。
通过刷题和思考，读者可以进一步加深对弹性力学的理解，为解决实际问题提供理论支持。
弹性力学教材习题及解答讲解
1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是A。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指B。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。
2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。
试写出球体的面力边界条件。
2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。
试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。
3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。
A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。
弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学教材习题及解答
弹性⼒学教材习题及解答1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。
A. ⽵材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性⼒学的正确认识是A。
A. 计算⼒学在⼯程结构设计的中作⽤⽇益重要；B. 弹性⼒学从微分单元体⼊⼿分析弹性体，因此与材料⼒学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性⼒学的研究对象；D. 弹性⼒学理论像材料⼒学⼀样，可以没有困难的应⽤于⼯程结构分析。
c. 弹性⼒学与材料⼒学的主要不同之处在于B。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究⽅法；D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指B。
A. 材料应⼒应变关系满⾜胡克定律；B. 材料的应⼒应变关系与加载时间历史⽆关；C. 本构关系为⾮线性弹性关系；D. 应⼒应变关系满⾜线性弹性关系。
2－1. 选择题a. 所谓“应⼒状态”是指B。
A. 斜截⾯应⼒⽮量与横截⾯应⼒⽮量不同；B. ⼀点不同截⾯的应⼒随着截⾯⽅位变化⽽改变；C. 3个主应⼒作⽤平⾯相互垂直；D. 不同截⾯的应⼒不同，因此应⼒⽮量是不可确定的。
2－2. 梯形横截⾯墙体完全置于⽔中，如图所⽰。
已知⽔的⽐重为，试写出墙体横截⾯边界AA'，AB，BB’的⾯⼒边界条件。
2－3. 作⽤均匀分布载荷q的矩形横截⾯简⽀梁，如图所⽰。
根据材料⼒学分析结果，该梁横截⾯的应⼒分量为试检验上述分析结果是否满⾜平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料⽐重为γ，楔形体左侧作⽤⽐重为γ1的液体，如图所⽰。
试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所⽰。
试写出球体的⾯⼒边界条件。
2－6. 矩形横截⾯悬臂梁作⽤线性分布载荷，如图所⽰。
试根据材料⼒学应⼒解答推导挤压应⼒σy的表达式。
3－1. 选择题a. 切应⼒互等定理根据条件B 成⽴。
A. 纯剪切；B. 任意应⼒状态；C. 三向应⼒状态；D. 平⾯应⼒状态；b. 应⼒不变量说明D.。
弹性力学教材习题及解答
1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是A。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指B。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界'，，’的面力边界条件。
2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。
试写出球体的面力边界条件。
2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。
试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。
3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。
A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。
弹性力学徐芝纶课后习题及答案
弹性力学徐芝纶课后习题及答案弹性力学是固体力学的重要分支，对于工程技术领域有着广泛的应用。
徐芝纶先生所著的弹性力学教材备受推崇，而课后习题则是巩固知识、加深理解的重要环节。
下面我们将对部分典型的课后习题及其答案进行详细的探讨。
首先，来看一道关于平面应力问题的习题。
题目给出了一个矩形薄板，在其边界上受到特定的力和约束条件，要求计算板内的应力分布。
对于这道题，我们首先需要根据已知条件确定边界条件。
假设矩形薄板的长为 a，宽为 b，在 x 方向上受到均匀分布的拉力 T，在 y 方向上受到均匀分布的压力 P，并且在四个边上有相应的位移约束。
根据弹性力学的基本方程，我们可以列出平衡方程、几何方程和物理方程。
通过联立这些方程，并结合边界条件，采用适当的求解方法，如应力函数法，逐步推导出应力的表达式。
经过一系列的计算和推导，最终得到板内的应力分布为：在 x 方向上的应力σx ＝ T ／ b P y ／ b，在 y 方向上的应力σy ＝ P，剪应力τxy ＝ 0。
接下来，再看一道关于应变能的习题。
题目要求计算一个受扭转的圆柱体的应变能。
对于这道题，我们首先要了解圆柱体扭转时的应力和应变分布情况。
根据弹性力学的理论，圆柱体扭转时，横截面上只有剪应力存在，且剪应力沿半径方向呈线性分布。
然后，通过积分计算出单位体积的应变能，再乘以圆柱体的体积，即可得到整个圆柱体的应变能。
经过计算，圆柱体的应变能表达式为：U ＝π G L （R^4 r^4) ／ 8，其中 G 为剪切模量，L 为圆柱体的长度，R 为圆柱体的外半径，r 为圆柱体的内半径。
下面是一道关于应力集中的习题。
题目给出了一个带有圆孔的平板，在板的边缘受到拉伸载荷，要求分析孔边的应力集中现象。
对于这类问题，我们需要运用圣维南原理和应力集中系数的概念。
首先，根据平板的受力情况，计算出无孔时的均匀应力。
然后，通过弹性力学的理论分析，得出孔边的应力分布表达式。
经过计算，发现孔边的应力显著增大，最大应力出现在孔边的某些位置。
弹性力学 课后习题解答
1习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk ;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A ;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B 。
2.2证明：若ijji a a ，则0ijk jk e a 。
证：20ijk jkjk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a 。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,] a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()() a b c d a c b d a d b c证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c ()()()() a c b d a d b c 。
弹性力学简明教程(第四版)-课后习题解答
【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。
这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。
将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。
如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。
【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。
【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。
研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。
【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。
【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.xylOh图3-8左右边界上；当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()0y x y x f τ===右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y x y x lf τ=== 应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩xyOxf xf主矢的中心在矩下边界位置。
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第一章习题
1-1 试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体。
1．均匀的各向异性体：
如木材或竹材组成的构件。
整个物体由一种材料组成，故为均匀的。
材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。
2．非均匀的各向同性体：
实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。
设想物体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的，也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。
实际工程中的确有这种情况。
如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀。
但任取一点考察都是各向同性的。
再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。
如果忽略颗粒尺寸的影响，则为均匀的，同时也必然是各向同性的。
反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因此也必然是各向异性体。
因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。
3．非均匀的各向异性体：
如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。
物体由不同材料组成，故为非均匀。
材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。
1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体
理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。
一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。
一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。
一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能视为理想弹性体。
在岩石力学中有专门研究。
一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。
在土力学中有专门研究。
1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途
连续性假定使变量为坐标的连续函数。
完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。
均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。
各向同性使材料常数各方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。
小变形假定使几何方程为线性，
且可采用变形前的尺寸列平衡方程。
1-4 应力和面力的符号规定有什么区别试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面
力的方向。
面力的正/负总是按与坐标轴正向是/否一致来确定，与所讨论的边界面的外法线方向（可能与坐标轴正向一致或相反，或者与坐标轴呈一夹角）无关。
对于平行于坐标面的截面上的应力而言，其正负号取决于两方面，一是所讨论的截面的外法线方向是否与坐标轴正向一致（即该截面是正面还是负面），二是应力本身方向与坐标轴正向是否一致。
教材P4图1-3标出所有平行于坐标面的截面上的应力的正方向。
分别设想该图的某一面为边界面，则右面、上面、前面的面力正方向与应力正方向一致，而左面、下面、后面的面力正方向与应力正方向相反。
1-5 试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。
材力中切应力符号的规定，通常按使微元体顺/逆时针转为+/-。
弹力则规定正面上切应力与坐标轴方向一致为+、负面上切应力与坐标轴方向相反为+。
根据剪应力互等，某个坐标面内的2对切应力总是一对顺时针一对逆时针，因此按材力规定则切应力变化下标后，大小相等、符号改变，即切应力互等差一负号，而按弹力规定使切应力变化下标后，大小相等、符号不变，即切应力互等绝对成立。
1-6 试举例说明正的应力对应于正的形变。
关于本题的理解：（1）“正的应力”包括正的正应力、正的剪应力（注意“正的应力”不只等价于“正应力” ） ；（2）“正的形变”包括正的线应变、正的切应变；（3）所谓“对应”是指应力、形变下标一致的两者对应，如x σ对应x ε、yz τ对应yz γ等。
参考答案如下：
（1）说明正的正应力对应正的线应变：以图3-1(a)简单拉伸问题为例，设a >0，则
有应力解答a y 2=σ>0，x σ=0，xy τ=0。
由物理方程（2-12）得02>=E
a x ε（此外还有02<-=a E
y με，xy γ=0），即板沿y 轴伸长。
可见，拉应力（即正的正应力）对应线段的相对伸长（即正的线应变）。
从本例也可见，正应力为零时对应的线应变不一定为零，但正应力不为零时对应的线应变一定不为零，而且正负号一致。
（2）说明正的切应力对应正的切应变：以右图微元体纯剪
切问题为例，设b >0，则有y σ=0，x σ=0，b yx xy ==ττ>0。
由物
理方程（2-12）得G
b yx xy ==γγ>0（此外还有x ε=0、y ε=0）。
可见，正的切应力对应正的切应变。
这里要对切应变的几何含义加以解释。
右图为上述正的切应
力作用下的微元体变形后的图形。
注意到∠DAB 、∠DCB 处直角
x
变为锐角，与上述yx xy γγ=>0也是一致的。
但∠ABC 、∠ADC 处都是直角变为钝角，是否意味着yx xy γγ=<0并不是这样的。
实际上，yx xy γγ=>0从几何上看就是指微元体沿第一、三象限对角方向伸长，沿第二、四象限对角方向缩短的切变形，即如图所示的变形形式就是正的切应变的几何含义。
因此严格地讲，“切应变以直角变小时为正”中的“直角”应是指从一点出发沿两坐标轴正向的线段之间的直角。
按此定义，在考察图中的切变形到底是正是负，只需考察∠DAB 处的直角变化，因为点A 、B 、C 、D 中只有A 点具有从该点出发沿两坐标轴正向的线段。
1-7 试画出图1-4中的矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。
题为薄板，可认为不关心与z 下标有关的物理量，只标出与x 、y 下标有关的物理量：
容易犯的错误：1）一个边界上，面力只标出一个方向的分量，少标一个；2）只在一个边界面上标面力分量；3）正的面力分量方向标反；4）正的体力分量方向标反。
5）各微元体截面上正的应力分量标反；6）将应力分量标在物体边界面上。
1-8 试画出图1-5中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。
题为薄板，可认为不关心与z 下标有关的物理量，只标出与x 、y 下标有关的物理量。
x f y x f f
x y σ
yx σ薄板的正的体力 薄板的正的面力
微元体的正的应力
x
z y O
y f f f 薄板的正的体力 薄板的正的面力
容易犯的错误：1）一个边界上，面力只标出一个方向的分量，少标一个；2）只在一个边界面上标面力分量；3）正的面力分量方向标反；4）斜面上面力分量沿斜面和斜面法线方向标。