2020年高考文科数学二轮复习：专题三 第二讲 数列的综合应用

2020年高考文科数学二轮复习：

专题三 第二讲 数列的综合应用

一、选择题

1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3

＝( ) A ．2

B ．4

C ．5

D.52 解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2

n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7a 3＝22＝4，故选B. 答案：B

2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( )

A ．22

B ．21

C ．24

D ．23

解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23

的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473

>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23.

答案：D

3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧

2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16

B ．20

C ．33

D ．120

解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.

答案：C

4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )

A ．3×44

B ．3×44＋1

C ．44

D ．44＋1

解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)，

两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ，

即a n ＋1a n

＝4(n ≥2)， 所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝

a 2·44＝3×44.

答案：A

5．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( )

A ．0

B ．100

C ．5 050

D ．10 200

解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100

＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002

＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)

＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2

＝5 050. 答案：C

6．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 015＝( )

A.12 014

B.2 0142 015 C ．－2 0142 015

D.12 015 解析：∵a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1－1a n

＝1， 又∵a 1＝1，∴1a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是以首项为1，公差为1的等差数列， ∴1a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴1a 2 015

＝2 015， ∴a 2 015＝12 015

.故选D. 答案：D

7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π2

＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )

A ．－30

B ．－60

C ．90

D ．120 解析：由题意可得，当n ＝4k －3(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －3＝1；当n ＝4k －2(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －2＝6－8k ；当n ＝4k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －1＝1；当n ＝4k (k ∈N *)时，a n ＝a 4k ＝8k . ∴a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝8，∴S 60＝8×15＝120.

答案：D

8．已知S n 是非零数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝2a n －1，则S 2 017等于( )

A ．1－22 016

B ．22 017－1

C ．22 016－1

D ．1－22 017