大学 物理学 版 马文蔚 答案上下册三章

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律

3-1质量为m 的物体，由水平面上点O 以初速为0v 抛出，0v 与水平面成仰角α。若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O 到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。

分析：重力是恒力，因此，求其在一段时间内的冲量时，只需求出时间间隔即可。由抛体运动规律可知，物体到达最高点的时间

g

v t αsin 01=∆，物体从出发到落回至同一水平

面所需的时间是到达最

高点时间的两倍。这样，

按冲量的定义即可求出

结果。另一种解的方法是根据过程的始、末动量，由动量定理求出。

解1：物体从出发到达最高点所需的时间为

g v t αsin 01=∆

则物体落回地面的时间为

g v t t αsin 22012=∆=∆

于是，在相应的过程中重力的冲量分别为

j j F I αsin d 0111

mv t mg t t -=∆-==⎰∆，j j F I αsin 2d 0222

mv t mg t t -=∆-==⎰∆ 3-2如图所示，在水平地面上，有一横截面2

m 20.0=S 的直角弯管，管中有流速为1s m 0.3-⋅=v 的水通过，

求弯管所受力的大小和方向。

解：在t ∆时间内，从管一端流入

（或流出）水的质量为

t vS m ∆=∆ρ,弯曲部分AB 的水

的动量的增量则为

()()A B A B v v t vS v v m p -∆=-∆=∆ρ

依据动量定理p I ∆=，得到管壁对这部分水的平均冲力()A B v v I F -=∆=Sv t

ρ

从而可得水流对管壁作用

力的大小为：N 105.2232⨯-=-=-='Sv F F ρ 作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。

3-3 A 、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递kg 50的重物，结果是A 船停了下来，而B 船以

1s m 4.3-⋅的速度继续向前驶去。A 、B 两船原有

质量分别为kg 105.03⨯和kg 100.13

⨯，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)

题3.3分析：由于两船横向传递的速度可略去不计，则对搬出重物后的船A 与从船B 搬入的重物所组成的系统I 来讲，在水平方向上无外力作用，因此，它们相互作用的过程中应满足动量守恒；同样，对搬出重物后的船B 与从船A 搬入的重物所组成的系统II 亦是这样。由此，分别列出系统I 、II 的动量守恒方程即可解出结果。

解：设A 、B 两船原有的速度分别以v A 、v B 表示，传递重物后船的速度分别以v A 、v B 表示，被搬运重物的质量以m 表示。分别对上述系统I 、II 应用动量守

恒定律，则有

()A A B A A v m mv v m m '=+- （1），

()B

B A B B v m mv v m m '=+-（2） 由题意知'

0A V =，'13.4B V m s -=可解得

()()12A B B B A s m 40.0-⋅-=---'-=m

m m m m v m m v ， ()()()12B A B B A B s m 6.3-⋅=---'-=m m m m m v m m m v

也可以选择不同的系统，例如，把A 、B 两船（包括传递的物体在内）视为系统，同样能满足动量守恒，也可以列出相应的方程求解。

3-4 一链条，总长为l ，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为a ，如图 所示。假定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边时的速度。

解：选取桌边的坐标原点，向下为x 轴正向，向下dx 元功为

m dW xgdx gxdx l

ρ== 其中x 为下垂端的坐标。链条刚离开桌面时

22()2l l

a a m m W dW g xdx g l a l l ===-⎰⎰， 因为212

kb ka W E E mv =-= 所以，)(22

a a l l g v -=， 所以)(22a l l

g v -= 3-5 一物体在介质中按规律3ct x =作直线运动，c 为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由00=x 运动到l x =时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k ）

解：由运动学方程3ct x =，可得物体的速度

23d d ct t

x v ==,按题意及上述关系，物体所受阻力的大小为3/43/242299x kc t kc kv F ===,则阻力的功为:

3/73/203/43/200727d 9d 180cos d l

kc

x x kc x F W l l l -=-==⋅=⎰⎰⎰ x F 3-6一人从10.00m 深的井中提水，起始桶中装有10.00kg 的水，由于水桶漏水，每升高1.00m 要漏去0.20kg 的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。

解：水桶在匀速上提过程中，a = 0，拉力与水桶重力平衡，有0=+P F

在图示所取坐标下，水桶重力随位置的变化关系为

agy mg P -=

其中a = 0.2 kg/m ，人对水桶的拉力的功为()J 882d d m 100m

100=-=⋅=⎰⎰y agy mg W y F

3-7如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为m '，从与水平成倾角 0.30=α斜面上的点A 由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的25.0倍，矿车下滑距离l 时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A 再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的

质量之比应为多大？