机器人学之齐次变换
机器人学技术基础课程-位姿描述和齐次变换
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
归纳总结机器人的坐标变换的类型
归纳总结机器人的坐标变换的类型摘要：一、机器人坐标变换的重要性二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换2.旋转矩阵变换3.线性变换4.非线性变换三、各类坐标变换的应用场景四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用五、总结与展望正文：一、机器人坐标变换的重要性在机器人技术中，坐标变换起着至关重要的作用。
它为机器人编程和控制提供了方便，使得机器人在执行任务时能够准确地定位和执行相应的操作。
坐标变换是将机器人从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程，它有助于实现机器人末端执行器在不同坐标系下的定位和运动控制。
二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换：齐次变换是一种将机器人从源坐标系变换到目标坐标系的方法，它通过一个4x4的齐次矩阵实现。
齐次变换可以保持机器人的姿态不变，仅改变其位置。
2.旋转矩阵变换：旋转矩阵变换主要用于将机器人的姿态从源坐标系变换到目标坐标系。
通过旋转矩阵，可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的旋转。
3.线性变换：线性变换是将机器人从一个坐标系变换到另一个坐标系的一种方法，它包括平移和缩放两个过程。
线性变换可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的位置和尺寸变化。
4.非线性变换：非线性变换是指在变换过程中，机器人坐标系之间的转换关系不是线性的。
非线性变换通常用于处理机器人运动过程中的摩擦力、弹簧力等非线性因素。
三、各类坐标变换的应用场景各类坐标变换在机器人技术中有着广泛的应用。
例如，在工业机器人中，齐次变换和旋转矩阵变换用于实现机器人末端执行器的定位和姿态控制；线性变换则用于处理机器人末端执行器在不同坐标系下的尺寸变化。
在机器人导航和路径规划中，非线性变换有助于解决机器人运动过程中的非线性约束。
四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用坐标变换在机器人编程与控制中起到了关键作用。
通过对机器人进行坐标变换，可以使机器人更好地适应不同的工作环境，提高其在各种任务中的性能。
同时，坐标变换为机器人编程提供了便利，使得开发者可以更轻松地编写机器人控制程序，降低机器人编程的难度。
机器人技术 二、齐次坐标变换
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐 标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这 一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表 示； • 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
机器人技术 数学基础-位姿描述与齐次变换
nx ox ax Px
Fobject
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
Py
Pz 1
二、刚体位姿的数学描述
2. 约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知， 该矩阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由 度）就足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互 独立的，而是有约束的，约束条件为：
(O')
y
Pxyz Px ix Py jy Pz kz Puvw Pxyz u
x
三、刚体位姿的坐标变换
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz 中的位置
Puvw Pu iu Pv jv Pw kw
已知：
z w
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成
a= x , b= y , c= z ，w为比例系数 w ww
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
x
V
y z
x
y
z
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
wT 作为通用比例因子，它可取任意正值，但
w
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
一、点、向量和坐标系的齐次表示
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的 方向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
机器人位姿描述基本术语
4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具 有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。 操作臂的组成部分之一。
手Z 腕
X
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
• (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的 X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系{A’} 、 {0 1 1 1
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
0
1
1
上海电机学院 机械学院
• 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
上海电机学院 机
械学院
旋转算子
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
0
cos
0
0 0 1 0
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
B C
R
0
B
pC 1
0
复合变换可解释为：
(1)CAT 和 CBT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。
举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法
举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法齐次变换矩阵用于描述刚体在空间中的位姿（位置和方向）。
在机器人正运动学问题中，运用齐次变换矩阵可以求解机器人末端执行器的位姿。
我们以一个简单的2R（两个旋转关节）机械臂为例进行说明。
假设2R机械臂有两个关节q1和q2，臂长分别为L1和L2。
我们的目标是求解两个关节角度q1和q2下，末端执行器的位置坐标(x, y)和方向theta。
首先，我们需确定两个坐标系。
通常将基坐标系（frame0）放在第一个关节处，frame1放在第二个关节处，frame2放在末端执行器处。
然后，我们需要分别计算从frame0到frame1的齐次变换矩阵T01和从frame1到frame2的齐次变换矩阵T12。
T01表示frame1相对于frame0的位姿，其旋转角度为q1，平移距离为L1。
矩阵形式如下：```T01 = | cos(q1) -sin(q1) 0 L1*cos(q1) || sin(q1) cos(q1) 0 L1*sin(q1) || 0 0 1 0 || 0 0 0 1 |```同理，T12表示frame2相对于frame1的位姿，其旋转角度为q2，平移距离为L2。
矩阵形式如下：```T12 = | cos(q2) -sin(q2) 0 L2*cos(q2) || sin(q2) cos(q2) 0 L2*sin(q2) || 0 0 1 0 || 0 0 0 1 |```接下来，我们需要计算从frame0到frame2的齐次变换矩阵T02。
通过矩阵乘法，我们可以得到：```T02 = T01 * T12```最后，我们从T02矩阵中提取机器人末端执行器的位置和方向。
位置坐标(x, y)就是T02矩阵中的平移部分，即：```x = T02[0][3]y = T02[1][3]```方向theta可以通过以下公式计算：```theta = atan2(T02[1][0], T02[0][0])```所以，通过齐次变换矩阵，我们可以求解出机器人末端执行器的位置和方向，从而解决2R机械臂的正运动学问题。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
上海电机学院 机械学院
❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1，T 将此点绕Z轴 旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0Leabharlann 1000 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
cos
Rot(
z,
)
sin 0
0
sin cos
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
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CAT ABT CBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对 ｛A｝的描述为 ABT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 CBT ，则
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
c os
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
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绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
工业机器人 齐次变换 常考例题与答案
3-1.点矢量v 为]00.3000.2000.10[T，相对参考系作如下齐次坐标变换：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10000.9000.1000.0000.00.3000.0866.0500.00.11000.0500.0866.0 写出变换后点矢量v 的表达式，并说明是什么性质的变换，写出其经平移坐标变换和旋转变换后的其次坐标变换矩阵（即写出旋转算子Rot 及平移算子Trans ）。
解：v ，=Av=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10000.9000.1000.0000.00.3000.0866.0500.00.11000.0500.0866.0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100.3000.2000.10=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡13932.1966.9 属于复合变换：旋转算子Rot （Z ， ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000010000866.05.0005.0866.0 平移算子Trans （11.0，-3.0，9.0）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000.91000.30100.110013-2 . 有一旋转变换，先绕固定坐标系Z 0 轴转 ，再绕其X 0轴转 ，最后绕其Y 0轴转 ，试求该齐次坐标变换矩阵。
解：齐次坐标变换矩阵R=Rot(Y ， ）Rot （X ， ）Rot(Z ， ） =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100010000707.0707.000707.0707.010000866.05.0005.0866.000001100005.00866.000100866.005.0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10000433.0436.0436.005.0612.0612.00750.0047.0660.0 3-3. 坐标系{B}起初与固定坐标系{O}相重合，现坐标系{B}绕Z B 旋转 ，然后绕旋转后的动坐标系的X B 轴旋转 ，试写出该坐标系{B}的起始矩阵表达式和最后矩阵表达式。
机器人学_第3章_齐次变换
3.2 点向量的描述（Notation of point vectors ）
点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空
（3.16）
坐标系首先绕参考坐标系 z 轴旋转90°，然后绕 y 轴旋转 90°，最后平移 4i－3j+7k， 如图3.9所示。如果以相反次序从左到右来进行这些操作：首先对坐标平移4i―3j+7k，然 后将它绕当前坐标系的 y 轴旋转 90°，此时当前坐标系的 y 轴与参考坐标系的 y 轴是相同 的。然后再绕着新坐标系（当前的）坐标系的 z 轴旋转90°，所得结果与前面的方法相同 。
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans (4, －3, 7) w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图3.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
u•
图3.8 Trans(4, -3, 7)Rot(y, 90°) Rot(z, 90°)
的向量得到的。这些方向向量相应于变换矩阵的前三列（见式（3.15））。
可见，H变换矩阵描述了一个坐标系绕原参考坐标系旋转和对参考坐标系
平移的三个轴的方向和原点的位置（见图3.9）。如图3.10所示，当对一个
向量 n 进行式（3.15）给出的 H 变换时，原向量 n 可以被认为是在新坐标
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。
相对于固定坐标系，轴相 X 轴 当 v轴 ， 于 相 Y 轴 对 w 轴 ， 于 相 Z 轴
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v ```
7
o′ u ```
w ```
o(o′ ) v y
u x
o(o′ ) u′ y
o
x
x w″
u″ y
-3 oy
4 x
解2：用计算的方法
根据定义1，我们有： T Trans(4 , 3, 7) R(y, 90 ) R(Z,90 )
0 0 1 4
1 0 0 3 0 1 0 7
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
P'''
0
1
0
01
机器人模型与控制-0前言1齐次变换
复合映射：平移+旋转 变换通式： 为旋转变换 为平移变换 定义过度坐标系{C}：方向与{A}相同，原点与{B}重合。
旋转运动算子
表示绕过{A}原点的K轴旋转θ角
一般运动算子
先旋转后平移时
先平移后旋转时
说明：当刚体{B}的初始方位与{A}重合时， ，进而 ，也可写成 ，可以理解为坐标系由{A}开始运动到{B}的算子；从结果上看，是坐标系{B}相对于{A}的位姿描述。
PART ONE
1. 齐次变换与刚体位姿描述
什么是齐次变换？ 描述坐标系与坐标系之间姿态（角度）关系 和位置关系的数学工具； 是以矩阵形式表达的； 也可以理解为旋转变换矩阵（表达姿态）的扩展。
01
机器人是多刚体系统
02
（机械臂是多个连杆（刚体）由关节连接而成的）
03
在每个刚体上定义一个坐标系；
齐次变换矩阵可表示点在不同坐标系间的映射
是坐标平移和坐标旋转的复合映射，可分解为两矩阵相乘
平移变换矩阵
旋转变换矩阵
其中
得到
说明：
完全由矢量 决定
完全由矩阵 决定，表示绕过原点的K轴旋转θ角
1.4 运动算子
平移运动算子
AP为移动矢量
变换矩阵相乘的运算
例：
或者，相对于动坐标系先移动 ，再依次绕Y、Z轴分别旋转90。
坐标系{B}是经过三次变换得到的：首先绕{A}的Z轴转90，再绕{A}的Y轴转90，最后相对于{A}移动
02-课件：2.4 机器人的齐次变换
利用齐次矩阵表示旋转加平移变换把上述两种变换结合起来用齐次矩阵表示，这时的齐次变换矩阵就是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==10000cos sin 00sin cos 000011000100010001),(),,(θθθθθc b a X Rot c b a Trans H ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000cos sin 0sin cos 0001c b a θθθθ可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵和表示平移的列阵 确实是分离的。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos z z z z θθθθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1c b a 注意，一般情况下)90,()90,()90,()90,(0000X Rot Y Rot Y Rot X Rot ≠利用齐次矩阵表示手的转动和移动手的转动可以表示为绕X 轴的侧摆 , 绕Y 轴的俯仰和绕 Z 轴横滚 ， 依次构成的复合转动 ，采用简化符号 ， 则有),(x X Rot Φ),(y Y Rot Φ),(z Z Rot Φ),,(x y z RPY ΦΦΦsin cos,==s c ),(),(),(),,(x y z X Y Z X Rot Y Rot Z Rot RPY ΦΦΦ=ΦΦΦ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦ-Φ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ-ΦΦ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦ-Φ=100000000001100000001000100001000000xx x x y y y y z z z z c s s c c s s c c s s c⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦΦΦ-ΦΦ-ΦΦΦΦΦ+ΦΦΦΦΦΦΦ+ΦΦΦΦΦ-ΦΦΦΦΦ=1000000xz xy y x z x y z x z x y z y z x z x y z x z x y z y z c c s c s s c c s s c c s s s c s s s c s c c s s s c c c ),(),(),(),,(x y z X Y Z X Rot Y Rot Z Rot RPY ΦΦΦ=ΦΦΦ上式表示了手的转动运动。
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kA
O
pBo
kB yA
{ A i B , A jB , A k B }
坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：
A B
R { i B , jB , k B }
A A A
xA
2018/10/22
iA
jA
机电学院机械电子工程系
23
南京航空航天大学
2.2 刚体位姿描述
姿态矩阵（旋转矩阵）
刚体B与坐标系{B}固接
机电学院机械电子工程系
r22
r32
2018/10/22 25
南京航空航天大学
2.2 刚体位姿描述
位置与姿态的表示
相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位可以由 位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标系{A}中的位姿利用坐标 系{B}描述。
{B}
当表示位置时 当表示方位时
2018/10/22 18
南京航空航天大学
2.1 齐次坐标
点的齐次坐标
直角坐标系{A}, P点的齐次坐标： zA
xA y A p A zA 1
Ap
p
oA
xA
yA
几个特定意义的齐次坐标：
• • • • [0, 0, 0, n]T — 坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 [1 0 0 0]T — 指向无穷远处的OX轴 [0 1 0 0]T — 指向无穷远处的OY轴 [0 0 1 0]T — 指向无穷远处的OZ轴
R1
22
南京航空航天大学
2.2 刚体位姿描述
方位描述
利用固定于物体的坐标系描述方位 (orientation)。方位又称为姿态 (pose)。 在刚体B上设置直角坐标系 {B}，利用与{B}的坐标轴平行的 三个单位矢量表示B的姿态。
坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：
zA
iB
jB
A
感知系统
手 部
腕 部
臂 部
肩 部
电 驱 动 装 置
处 理 器
内 部 传 感 器
外 部 传 感 器
机电学院机械电子工程系
2018/10/22
1
南京航空航天大学
1.3 机器人的组成和构型
一、执行机构 包括：手部、腕部、臂部、肩部和基座等。相当于人的肢体。 二、驱动装置 包括：驱动源、传动机构等。相当于人的肌肉、筋络。 三、感知反馈系统 包括：内部信息传感器，检测位置、速度等信息；外部信息传感器，检测 机器人所处的环境信息。相当于人的感官和神经。 四、控制系统 包括：处理器及关节伺服控制器等，进行任务及信息处理，并给出控制信 号。相当于人的大脑和小脑。
内部传感器（位形检测）
控制系统
处理器 1 关节控制器 驱动 装置 执行 机构 工作对象
外部传感器（环境检测）
机电学院机械电子工程系
2018/10/22 2
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1.3 机器人的组成和构型 机器人的执行机构的驱动方式
• 液压式
具有大的抓举能力，结构紧凑，动作平稳，耐冲击；但要求液压 元件有较高的制造精度，密封性能。
1、直角坐标型 (3P) 结构、控制算法简单，定位精度高；但工作空间较小， 占地面积大，惯性大，灵活性差。
机电学院机械电子工程系
2018/10/22
4
南京航空航天大学
1.3 机器人的组成和构型
2、圆柱坐标型 (R2P)
结构简单紧凑，运动直观，其运动耦合性较弱，控制也较 简单，运动灵活性稍好。但自身占据空间也较大，但转动 惯量较大，定位精度相对较低。
圆柱坐标型机器人模型 机电学院机械电子工程系
Verstran 机器人
2018/10/22
Verstran 机器人
5
南京航空航天大学
1.3 机器人的组成和构型
3、极坐标型（也称球面坐标型）(2RP) 有较大的作业空间，结构紧凑较复杂，定位精度较低。
极坐标型机器人模型 机电学院机械电子工程系
2018/10/22
小 结
主要内容
机器人学是一门迅速发展的综合性的前沿学科。它综合运用了机构学
、机械
设计、自动控制 、计算机技术 、传感技术、力学 、电气液压传动、人工智能等 学科的最新成就。其特点之一是综合、交叉，涉及的领域广泛；另一特点是发展 迅速、日新月异，尚待研究的问题层出不穷。
机器人、机器人学的定义 机器人的分类 机器人的组成和构型方式及特点 机器人的规格指标
2018/10/22 20
南京航空航天大学
2.2 刚体位姿描述
位置描述
A
pBo 坐标系{B}原点在{A}坐标系中的位置。
zA
xB yB
BO
xBo A PBo A yBo A zB o
A
zB
A
pBo
O
yA
xA
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2.1 齐次坐标
位置描述：位置矢量(position vector)
空间任意一点 p 的位置可表示为：
矩阵表示
x p y z
z
p (x,y,z) o
y
矢量和表示
p xi yj zk
x
矢量的模
p x 2 y 2 z 2 ，单位矢量 p 1
i B A jB 0
jB A k B 0
B A
k B Ai B 0
A B
旋转变换的逆等于其转置
A
A 1 A T R B R B R ,
R 1
xB A y B r11r12 r21r22 r31r32 i j k A A xB y B r11 r21 r31 (r21r32 r22r31 )i (r12r31 r11r32 ) j (r11r22 r12r21 )k r12
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2.1 齐次坐标
点的齐次坐标
• 一般来说，n 维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一 个特定的投影附加于 n 维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的 特定坐标 — 比例系数。
P ai b j ck
列矩阵
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
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目 录
第二章 位姿描述和齐次变换
2.1 齐次坐标
2.2
2.3 2.4
刚体位姿描述
齐次坐标变换与变换矩阵 齐次变换矩阵运算
2.5
2.6
变换方程
欧拉角与RPY角
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引 言
n
机器人（机械手）末端执行器相对于固 定参考坐标系的空间几何描述（即机器 人的运动学问题）是机器人动力学分析 和轨迹控制等相关研究的基础 机器人的运动学即是研究机器人手臂末 端执行器位置和姿态与关节变量空间之 间的关系
Unimate 机器人
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1.3 机器人的组成和构型
4、关节坐标型 (3R) 对作业的适应性好，工作空间大，工作灵活，结构紧凑， 通用性强，但坐标计算和控制较复杂，难以达到高精度。
关节型机器人模型 机电学院机械电子工程系
关节型搬运机器人
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关节型焊接机器人
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A B
R 表示刚体B相对于坐标系{A}的姿态。
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2.2 刚体位姿描述
姿态矩阵（旋转矩阵）
旋转矩阵中的9个元素只有3个独立变量，它满足正交条件
A
A
iB AiB 1
A
A
jB A jB 1 A k B A k B 1
A
六轮漫游机器人
仿鱼机器人 机电学院机械电子工程系
仿鸟机器人
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1.4 机器人的规格指标
自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般 等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其 作业任务。 负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承 载的负荷重量。
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1.4 机器人的规格指标
控制模式 引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软 件编程模式；自主模式。 运动速度 单关节速度；合成速度。 其它动态特性 如稳定性、柔顺性等。
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2018/10/2212南京航空航天源自学1.3 机器人的组成和构型
5、平面关节型 (Selective Compliance Assembly Robot Arm ，简称SCARA) 仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。运动灵活 性更好，速度快，定位精度高，铅垂平面刚性好，适于装 配作业。
SCARA型装配机器人 机电学院机械电子工程系
• 气动式
气源方便，动作迅速，结构简单，造价较低；但难以进行速度控 制，抓紧能力较低。
• 电动式
电源方便，响应快，驱动力较大，可以采用多种灵活的控制方案。
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1.3 机器人的组成和构型 机器人的构型
最常见的构型是用其坐标特性来描述的。
一、工业机器人 （操作臂 /工业机械手/机械臂/操作手）