考研数学高等数学习题集及其答案
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设Ik=∫0kπsinxdx(k=1，2，3)，则有A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2 ＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1 ＜I3正确答案：D解析：本题主要考查定积分几何意义，曲线y=sinx如上图，而在(0，+∞)单调增且大于1，则曲线y=sinx如下图．该曲线与x轴围成三块域面积分别为S1，S2，S3，由定积分几何意义知=S1+(S3一S2)＞S1=I1则I2＜I1＜I3故应选(D)．2．设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt，则A．x=π是函数F(x)的跳跃间断点．B．x=π是函数F(x)的可去间断点．C．F(x)在x=π处连续但不可导．D．F(x)在x=π处可导．正确答案：C解析：3．设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则A．α＜一2．B．α＞2．C．一2＜α＜0．D．0＜α＜2．正确答案：D解析：则敛，则a+1＞1，即a＞0，故0＜a＜2．4．下列反常积分中收敛的是A．B．C．D．正确答案：D解析：∫2+∞=∫2+∞xe一xdx=一∫2+∞xde一x=一xe一x|2+∞+∫2+∞e 一xdx=一e一x|2+∞=e一2则该反常积分收敛，故应选(D)．5．知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是A．B．C．D．正确答案：D解析：则C1=一1+C2．令C1=C，则C2=1+C故应选(D)．6．反常积分的敛散性为A．①收敛，②收敛．B．①收敛，②发散．C．①发散，②收敛．D．①发散，②发散．正确答案：B解析：=一(0一1)=1则该反常积分收敛．则该反常积分发散，故应选(B)．填空题7．曲线y=∫0xtantdt(0≤x≤)的弧长s=________．正确答案：解析：8．设函数f(x)=λ＞0，则∫一∞+∞xf(x)dx=________．正确答案：解析：∫一∞+∞xf(x)dx=λ∫0+∞dx=一∫0+∞xde一λx= 一xeλx|0+∞+∫0+∞e一λxdx9．=________．正确答案：解析：这是一个n项和的极限，提出一个的因子知，原式为一个积分和式10．设函数f(x)=∫一1x则y=f(x)的反函数x=f一1(y)在y=0处的导数|y=0=________．正确答案：解析：由f(x)=∫一1x知，当f(x)=0时，x=一1，又11．设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是________．正确答案：解析：由线所围图形面积为12．∫一∞1=________．正确答案：解析：13．一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x) =一x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=________．正确答案：解析：质心的横坐标为14．设函数f(x)连续，φ(x)=x(t)dt，若φ(1)=1，φ’(1)=5，则f(1)=________．正确答案：2．解析：φ(x)=f(t)dt，由φ(1)=1知∫01f(t)dt=1，又φ’(x)=f(t)dt+2x2f(x2)由φ’(1)=5知5=∫01f(t)dt+2f(1)=1+2f(1)则f(1)=2．15．极限=________．正确答案：sin1 一cos1．解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二-高等数学(三)1_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二-高等数学(三)1(总分180, 做题时间90分钟)一、填空题1.函数的单调减少区间是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1[解析] 由f(x)的分段表示知，f(x)分别在(-1，0)和[0，+∞)连续，又因，即f(x)在x=0也是左连续的，故f(x)在(-1，+∞)上连续．计算f(x)的导函数，得引入函数g(x)=x-(1+x)ln(1+x)，不难发现g(0)=0，且g'(x)=-ln(1+x)＞0，当-1＜x＜0时成立，这表明当-1＜x＜0时g(x)＜g(0)=0成立，由此可得当-1＜x＜0时f'(x)＜0也成立．由f(x)在(-1，0]连续，且f'(x)＜0在(-1，0)成立知f(x)在(-1，0]单调减少；同理，由f(x)在[0，+∞)连续，且f'(x)=-1＜0在(0，+∞)成立知f(x)在[0，+∞)也单调减少．综合即得 f(x)的单调减少区间为(-1，+∞)．2.函数在区间(0，+∞)上的最大值为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:[解析] 因为故函数f(x)在点处取得它在(0，+∞)上的最大值，且最大值为3.若方程x3-6x2-15x+a=0恰有三个实根，则a的取值范围是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:-8＜a＜100[解析] 把方程改写成f(x)=a的形式，其中函数f(x)=15x+6x2-x3．由于f'(x)=15+12x-3x2=3(5-x)(1+x)，于是列表讨论可得且从而，当-8＜a＜100时直线y=a与曲线y=f(x)恰有三个交点，即原方程恰有三个实根．二、选择题1.下列四个命题中正确的是(A) 设x0∈(a，b)，函数f'(x)满足f'(x)＞0(0＜x＜x)和f'(x)＜0(x＜x＜b)，则f(x)在点x=x处取得它在(a，b)上的最大值．(B) 设f(x)在点x=x取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数f(x)在(x0-δ，x)中单调增加，在(x，x+δ)中单调减少．(C) 设f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则x=0必是f(x)的一个极值点．(D) 设f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则f'(0)=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 因为f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数，故f'(x)在(-a，a)内必为奇函数，即∈(-a，a)有f'(-x)=-f'(x)．特别对x=0有f'(0)=-f'(0)f'(0)=0．故应选(D)．其他三个命题均不正确．(A)不正确：条件中缺f(x)在x=x处连续．例如：尽管f'(x)=1当-1＜x＜0成立，f'(x)=-1当0＜x＜1成立，但当0＜|x|＜1时都有f(0)=-1＜f(x)．这表明f(0)并不是f(x)在(-1，1)上的最大值．(B)不正确：函数f(x)在x=x0取极值与它在x=x两侧附近单调并无必然联系．例如：因，故f(0)是f(x)的极大值，但由此可见，无论取正数δ多么小，在(-δ，0)与(0，δ)中导函数f'(x)总要无穷多次变号，即f(x)不可能在这样的区间中单调．(C)也不正确：考察函数尽管f(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，但无论δ是多么小的正数，在区间(-δ，δ)中f(x)总要变号，即f(0)不是f(x)的极值，亦即点x=0不是f(x)的极值点．2.已知函数f(x)当x＞0时满足f"(x)+3[f'(x)]2=xlnx，且f'(1)=0，则(A) f(1)是函数f(x)的极大值．(B) f(1)是函数f(x)的极小值．(C) (1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点．(D) f(1)不是函数f(x)的极值，(1，f(1))也不是曲线y=f(x)的拐点．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 由题设知f"(x)=xlnx-3[f'(x)]2(x＞0)，这表明f"(x)在x＞0时存在，于是f'(x)在x＞0连续．由上式即知f"(x)在x＞0时连续．利用洛必达法则，可得由极限的保号性质知，f"(x)在x=1的某空心邻域中与x-1同号，即在此邻域中当x＜1与x＞1时f"(x)反号．从而(1，f(1))是连续曲线y=f(x)的拐点．故应选(C)．3.设函数f(x)在(-∞，+∞)连续，其导函数f'(x)的图形如图(1)所示，则(A) 函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y=f(x)有一个拐点．(B) 函数f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y=f(x)有一个拐点．(C) 函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y=f(x)有两个拐点．(D) 函数f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y=f(x)有两个拐点．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 由图(1)知函数f(x)有三个驻点a，b，d，其导函数f'(x)有一个驻点c，如图(2)．列表讨论函数f(x)的单调性与极值，可得x (-∞，a) a (a，0) 0 (0，b) b (b，d) d (d，+∞) f' + 0 - * - 0 + 0 -f ↑极大值↓↓极小值↑极大值↓由此可见，函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，于是可排除(B)与(D)．又由导函数f'(x)的图形知，在区间(-∞，0)内f'(x)单调减少，在区间(0，c]上f'(x)单调增加，在区间[c，+∞)上f'(x)单调减少．由于曲线y=f(x)是连续曲线，故曲线y=f(x)在(-∞，0]是凸弧，在[0，c]是凹弧，在[c，+∞)又是凸弧，这表明曲线y=f(x)有两个拐点．综合可知，应选(C)．三、解答题1.设，求y'．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 因为．又因为，于是所以2.设函数y=y(x)由方程组确定，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将两式分别求微分，得从而再求导即得3.设y=y(x)是由确定的隐函数，求y'(0)和y"(0)的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 在方程中令x=0可得将方程两边对x求导数，得 (*)将x=0,y(0)=e2代入，有将(*)式两边再对x求导数，得将x=0，y(0)=e2和y'(0)=e-e4代入，有4.设函数f具有二阶导数，且f'≠1．求由方程x2e y=e f(y)确定的隐函数y=y(x)的一、二阶导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将原方程两边取对数，可得与原方程等价的方程2ln|x|+y=f(y) 将新方程两边对x求导数，得(*)可解出将(*)式两边再对x求导数，又得于是，可解出5.设y=y(x)是由方程确定的隐函数，求y'．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将方程两边对x求导数，利用变上限定积分求导公式得可解出6.设证明：f(x)在(-∞，+∞)上可导，并求f'(x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 由初等函数的连续性及f(x)的定义知，f(x)分别在(-∞，1]和(1，+∞)连续，且于是f(x)在点x=1还是右连续的，故f(x)在(-∞，+∞)上连续．由于函数2x-2+π在x=1连续，从而f(x)也可以写成于是f(x)在(-∞，1)内可导，在x=1左导数存在，且同样，f(x)在(1，+∞)内可导，在x=1右导数存在，且(1)=f'+(1)=2，故f(x)在x=1可导，且 f'(1)=2．因为f'-综合得设函数f(x)与g(x)都可导，且F(x)=g(x)|f(x)|，求证：SSS_TEXT_QUSTI7.当f(x0)≠0时，F(x)在点x=x处必可导；该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当f(x0)≠0时，由f(x)的连续性知：存在δ＞0，使得当|x-x|＜δ时f(x)与f(x0)同号．若f(x)＞0，则当|x-x|＜6时有F(x)=g(x)|f(x)|=g(x)f(x)，从而F(x)在x=x处可导，且F'(x)=g(x)f'(x)+g'(x)f(x)．类似可证当f(x0)＜0时F(x)也在x=x处可导．SSS_TEXT_QUSTI8.当f(x0)=0时，F(x)在点x=x处可导的充分必要条件是f'(x)g(x)=0．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当(x0)=0时，F(x)7=g(x)|f(x)|=0，从而F(x)在点x=x处的左导数与右导数分别是故当f(x0)=0时，|F(x)|在点x=x处可导的充分必要条件为此外，不难发现，此时F(x)=g(x)|f(x)|在点x=x0处的导数F'(x)=0．9.设讨论f(x)在点x=0处的可导性；如果可导，求出f'(0)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 根据定义，计算极限利用当y→0时的等价无穷小关系ln(1+y)～y和e y-1～y以及洛必达法则可得由于上述极限存在，故f(x)在x=0处可导，且．10.求摆线的曲率半径．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 因为故摆线的曲率半径11.求下列函数的n阶导数：(Ⅰ) y=in(6x2+7x-3)，(n≥1)；(Ⅱ)y=sin2(2x)，(n≥1)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:因为 6x2+7x-3=(3x-1)(2x+3)，所以故其中0!=1．(Ⅱ) 因为，所以12.如图7-1，设曲线段L是抛物线y=6-2x2在第一象限内的部分．在L上求一点M，使过M点L的切线AB与两坐标轴和L所围图形的面积为最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 设曲线L上点M的坐标为(x，6-2x2)，则L在该点的切线方程为Y=6-2x2-4x(X-x)，令y=0，可得点A的横坐标为，令X=0可得点B的纵坐标为b=2(3+x2)，从而所求图形的面积为由于为一常数，可见S与ab将在同一点处取得最小值．记，不难得出故当x=1时面积S最小，即所求点M为(1，4)．13.设函数f(x)满足f(0)=0，f"(x)＜0在(0，+∞)成立，求证：对任何x1＞x2＞0有x 1f(x2)＞x2(x1)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析]可见只需证g'(x)＜0在(0，+∞)成立．[证明]当x＞0时g'(x)与同号．由拉格朗日中值定理知，，使再用一次拉格朗日中值定理，可得(其中ξ＜η＜x)，即g'(x)＜0当x＞0时成立．从而有g(x2)＞g(x1)，故原不等式成立．14.求证：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 令，只需证明当x＞0时f(x)＞0成立．由于f(0)=0，且在f'(x)的分子中5x2+3x(e2x-1)＞0当x＞0时成立，而分母e2x+x＞0当x ＞0时也成立，故若g(x)=1+2xe2x-e2x＞0当x＞0时还成立，即得f'(x)＞0当x ＞0时成立，于是f(x)当x≥0时单调增加当x＞0时f(x)＞f(0)=0成立，即不等式成立得证．由于g(0)=0，g'(x)=4xe2x＞0()成立，故g(x)在x≥0单调增加，即g(x)＞g(0)=0当x＞0时成立．综合即得原不等式在x＞0成立．15.证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥2(x-1)2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 注意到当x=1时原不等式两端相等，而当x＞l时原不等式，当0＜x＜1时原不等式，故作辅助函数有F(1)=0，求导数可得从而，当0＜x＜1时由F(x)单调增加得F(x)＜F(1)=0，当x＞1时由F(x)单调增加得F(x)＞F(1)=0，即要证的不等式成立．16.证明不等式(a+b)e a+b<ae2a+be2b当b＞a＞0时成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证法一] 不等式可改写为ae a(e b-e a)＜be b(e b-e a)，因b＞a＞0时e b＞e a，从而又可改写为等价形式ae a＜be b．把b改写为x，引入函数f(x)=xe x，即需证f(x)＞f(a)当x＞a＞0时成立．因为f'(x)=(x+1)e x＞0当x＞0时成立，从而f(x)在区间[a，+∞)(a＞0)上单调增加，故当x＞a时f(x)＞f(a)成立，即原不等式成立．[证法二] 引入函数g(x)=xe2x，则原不等式可改写成当y=g(x)在区间[a，b]上是凹弧时，显然上式成立(如图8-1)．注意g"(x)=4(1+x)e2x＞0(x＞0)，这表明当b＞a＞0时曲线y=g(x)在[a，b]上确为凹弧，故原不等式成立．17.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，0＜f'(x)＜1(0＜x ＜1)．求证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析一] 为利用函数的单调性来证明本题，可引入辅助函数，于是本题结论与F(1)＞0等价．注意F(0)=0，故只需证明F(x)在[0，1]单调增加．[证明一] 引入辅助函数，则F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，[分析二]由题设知当x∈(0，1]时f(x)＞0，从而若引入辅助函数，则F(0)=G(0)=0，从而进一步有[证明二]令，由柯西中值定理即得存在ξ∈(0，1)使得再令，于是再用柯西中值定理可知存在η∈(0，ξ)使得设函数f(x)在[0，+∞)有连续的一阶导数，在(0，+∞)二阶可导，且f(0)=f'(0)=0，又当x＞0时满足不等式求证：当x＞0时f(x)＜x2成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析与证明] 由题设知，当x＞0时其中ln(1+x)＜x(x＞0)，这是因为：记g(x)=x-ln(1+x)(x≥0)，则(x＞0)，故g(x)在[0，+∞)单调增加，从而g(x)＞g(0)=0(x＞0)．方法1°由麦克劳林公式可得方法2°令F(x)=x2-f(x)，19.设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，．求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=-k．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 这是讨论导函数在某点取定值的问题，可化归导函数零点的存在性问题．g这启示我们检验函数F(x)=f(x)+kx是否在区间[0，1]或它的某一子区间[α，β]上满足罗尔定理的全部条件．注意F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且从而即F(0)是和F(1)的一个中间值，由F(x)的连续性和有界闭区间上连续函数的性质知，c∈(，1)，使F(c)=F(0)，由此可见在闭区间[0，c]上对F(x)应用罗尔定理即可得出要证明的结论．[证明] 令F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F'(x)=f'(x)+k，F(0)=1，，F(1)=1+k，即．由闭区间上连续函数的中间值定理知，存在使F(c)=F(0)，从而F(x)在区间[0，c]上满足罗尔定理的条件，故存在使F'(ξ)=f'(ξ)+k=0，即f'(ξ)=-k 成立．20.设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间，上f(x)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点f，使f"(ξ)＜0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 由题设知，可在[a，c]上和[c，b]上分别对f(x)用罗尔定理，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)，使f'(α)=f'(β)=0，但f(x)在[α，β]上不恒等于常数，从而f'(x)≠0．这表明g(x)=f'(x)在[α，β]上可导，不恒等于常数且g(α)=g(β)=0．为证明本题的结论，只需证明在(α，β)内至少存在一点ξ，使g'(ξ)＜0即可．[证明]由题设知f(x)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)，使f'(α)=f'(β)=0．令g(x)=f'(x)，由题设及上面所得结果知g(x)是在[α，β]上可导但不恒等于常数的函数，且g(α)=g(β)=0．若使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(x)可得：使否则，必上把拉格朗日定理用于g(x)也可得：使综合即得，在(α，β)内即在(a，b)内至少存在一点f，使g'(ξ)=f"(ξ)＜0．21.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 因ξ∈(0，1)，故其中p(x)＞0，若函数p(x)还满足时成立，则要证的结论[p(x)f(x)]'在(0，1)内有零点．这启发我们考虑辅助函数F(x)=p(x)f(x)，其中p(x)满足可取lnp(x)=2x+lnx，即 p(x)=xe2x．由题设知F(x)=xe2x f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=e2f(1)=0，即F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F'(ξ)=(e2ξ+2(e2ξ)f(ξ)+ξe2ξf'(ξ)=e2ξ[(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)]=0，从而(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)=0．22.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 由于题设条件中出现了函数，可首先研究的性质．显然，在[0，1]上可导，且与本题要证的结果对比，只需证明．为此，还需知道在[0，1]上某两点处的函数值相等．注意，由题设和积分中值定理知其中．从而，是合适的辅助函数．[证明] 令上可导，且，．又由题设和积分中值定理知，存在，使得从而函数上满足罗尔定理的全部条件，所以，使得23.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0．求证，，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 把要证的结论改写成，并分别把两端看成对适当函数应用柯西中值定理与拉格朗日中值定理的结果．[证明] 记g(x)=lnx，由柯西中值定理知，，使得由拉格朗日中值定理知，，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，代入即得设函数f(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f'(a)f'(b)＞0．求证：SSS_TEXT_QUSTI24.该题您未回答:х该问题分值: 5答案:要证引入辅助函数F(x)=e-x(x)，由题设知F(x)在[a，b]上可导，且F(a)=e-a(a)=0，F(b)=e-b(b)=0，由罗尔定理即知使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=f(ξ)成立．SSS_TEXT_QUSTI25.该题您未回答:х该问题分值: 5答案:要证为证明上述结论，引入辅助函数G(x)=e x[f'(x)-f(x)]，由题设可知G(a)=ea[f'(a)-f(a)]=e a f'(a)，G(b)=e b[f'(b)-f(b)]=e b f'(b)，于是G(a)G(b)=e a+b f'(a)f'(b)＞0，即G(a)与G(b)必同时为正，或同时为负，而由(Ⅰ)知∈(a，b)使G(ξ)=eξ[f'(ξ)-f(ξ)]=0．这样一来，当G(a)与G(b)同为负数时，G(x)在[a，b]上的最大值必在(a，b)内某点处取得，记G(x)在(a，b)内的最大值点为x=η，则必有G'(η)=0f"(η)=f(η)成立．反之，当G(a)与G(b)同为正数时，G(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内某点处取得，记G(x)在(a，b)内的最小值点为x=η，则必有G'(η)=0成立．26.求ln(1+x-x2)的带皮亚诺余项的麦克劳林公式到x4项．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 把ln(1+x)的麦克劳林公式中的x换为x-x2，可得注意代入即得27.求极限．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 得用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可得把它们与代入要求的极限即有28.确定常数a和b的值，使当x→0时是x的5阶无穷小量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 利用，可得不难看出应当设1-a-b=0与同时成立，由此可解得，并且得到29.设函数f(x)在x=0的某邻域中二次可导，，求f(0)，f'(0)与f"(0)的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 利用sinx和f(x)的麦克劳林公式代入可得移项即得 (*)由此可得因为若2+f(0)≠0，对任何f'(0)，(*)式左端都是无穷大量，从而导致矛盾，这表明必有2+f(0)=0，即f(0)=-2．从而(*)式又可改写同理，若f'(0)≠0，则上式左端是无穷大量，同样导致矛盾，这表明必有f'(0)=0．故上面的式子其实就是综合得30.设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f'(0)=f'(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得在公式中取，利用题设可得把函数f(x)在x=1展开成泰勒公式，得在公式中取，利用题设可得两式相减消去未知的函数值即得从而，在ξ1和ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数值不小于4，把该点取为2，就有ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．31.设f(x)在(-∞，+∞)上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b是两个正的常数，求证：有SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 与h＞0有两式相减可得在上式两端取绝对值并放大右端即知，有令，则g(h)在(-∞，+∞)上可导，且这表明函数时取得它在h＞0的最小值即成立．32.设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，对成立．求证：f'(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析与证明] 将f(x+1)与f(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得①②为估计|f'(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得于是即|f'(x)在(-∞，+∞)有界．为估计|f"(x)|的大小，由①+②就有于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．33.设函数f(x)在[a，b]上具有三阶连续导数，求证：存在ξ∈(a，b)使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 在带拉格朗日余项的泰勒公式中分别取x=b与x=a，并取，可得将两式相减就有当时取ξ=ξ1(或ξ=ξ2)，否则由f…(z)的连续性知存在ξ∈(ξ2，ξ1)使得=，代入即得存在使得1。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则ξ2／x2=( )A．1。
B．2／3。
C．1／2。
D．1／3。
正确答案：D解析：故选D。
知识模块：函数、极限与连续2．设an=3／2∫0n／(n+1)xn－1dx，则极限nan等于( )A．(1+e)3／2+1。
B．(1+e－1)3／2－1。
C．(1+e－1)3／2+1。
D．(1+e)3／2－1。
正确答案：B解析：因为=1／n(1+xn)3／2|0n／(n+1)=1／n{[1+()n]3／2－1}，所以=(1+e －1)3／2－1。
知识模块：函数、极限与连续3．A．∫12ln2xdx。
B．2∫12lnxdx。
C．2∫12ln(1+x)dx。
D．∫12ln2(1+x)dx。
正确答案：B解析：由题干可知，=2∫01ln(1+x)dx2∫12lntdt=2∫12lnxdx。
故选B。
知识模块：函数、极限与连续4．A．∫01dx∫0xdy。
B．∫01dx∫0xdy。
C．∫01dx∫01dy。
D．∫01dx∫01dy。
正确答案：D解析：=∫01dx∫01dy。
知识模块：函数、极限与连续填空题5．正确答案：－1／6解析：方法一：本题为0／0未定型极限的求解，利用洛必达法则即可。
方法二：泰勒公式。
知识模块：函数、极限与连续6．正确答案：解析：由于因此原式=eln2／2= 知识模块：函数、极限与连续7．正确答案：e1／2解析：因此原式=e1／2。
知识模块：函数、极限与连续8．正确答案：解析：知识模块：函数、极限与连续9．正确答案：π／4解析：=arctanx|01=π／4。
知识模块：函数、极限与连续10．正确答案：sin1－cos1解析：由定积分的定义=∫01xsinxdx=sin1－cos1。
考研必备——《高等数学》第六版课后全部答案(第四章)
(3) ∫ 1 dx ;
x
解
∫
1 x
dx =
∫
−1
x2
dx =
−
1 1 +1
− 1 +1
x2
+C
=2
x +C .
2
(4) ∫ x 2 3 xdx ;
解
∫x23
7
xdx = ∫ x 3 dx =
1
7 +1
x3
+C =
3
7 +1
10
x33
x +C
.
3
(5)
∫
1 x2
x
dx
;
解
∫
1 x2
x
dx
=
∫
x
−
5 2
4. 证明函数 1 e 2x , ex s hx和ex ch x 都是 e x 的原函数.
2
chx −shx
证明
ex chx −shx
=
ex
ex +e−x − ex
−e−x
=
ex e−x
= e2x
.
2
2
因为 (1 e2x)′ = e2x , 2
所以
1 2
e2x
是
ex chx −shx
的原函数.
因为
(e x s h x ) ′ = e x s h x + e x c h x = e x ( s h x + c h x )
dx
;
解
∫
ex
1 +e−x
dx
=∫
e x dx = e2x +1
∫
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数y=C1ex+C2e一2x+xex满足的一个微分方程是A．y”一y’一2y=3xex．B．y”一y’一2y=3ex．C．y”+y’一2y=3xex．D．y”+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：由y=C1ex+C2e一2x+xex知，齐次方程的两个特征根分别为1和一2，所以只有(C)和(D)可能是正确的选项，将y=xex代入(D)中方程知其满足该方程，则应选(D)．2．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(p一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故应选(D)．3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1+μy2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，则(λy1+py2)’+p(x) (λy1+μy2)=q(x)即λ(y1+p(x)y1)+μ(y2’+p(x)y2)=q(x)λq(x)+μp(x)=q(x)λ+μ=1由于λy1一μy2为方程y’+p(x)y=0的解，则(λy1一μy2)’+p(x) (λy1一μy2)=0λ(y1’+p(x)y1)一μ(y2’+p(x)y2)=0λq(x)一μq(x)=0λ一μ=0由(1)式和(2)式解得λ=μ=．4．微分方程y”一λ2y=eλx+e一λx(λ＞0)的特解形式为A．a(eλx+e一λx)．B．ax(eλx+ e一λx)．C．x(aeλx+be一λx)．D．x2(aeλx+be一λx)．正确答案：C解析：方程y”一λ2y=0的特征方程为r2一λ2=1r1=λ，r2=一λ方程y”一λ2y=eλx的特解形式为ax eλx方程y”一λ2y=e一λx的特解形式为bx e一λx则原方程的特解形式为y=x(axeλx+bxe一λx)故应选(C)．填空题5．微分方程y’=的通解是________．正确答案：y=Cxe一x．解析：由则ln|y|= ln|x|一x=ln|x|+ln e一x= ln(|x| e一x)y=Cxe一x．6．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+ C2e3x设非齐方程特解为=Ae2x，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．7．微分方程(y+x2e一x)dx一xdy=0的通解是y=________．正确答案：y=x(C一e一x)．解析：方程(y+x2e一x)dx一xdy=0可改写为=x[∫e一xdx+C]=x(一e一x+C)=x(C一x).8．3阶常系数线性齐次微分方程y”‘一2y”+y’一2y=0的通解为y=________．正确答案：y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx.解析：方程y”‘一2y”+ y’一2y=0的特征方程为r3—2r2+r一2=0即r2(r 一2)+(r一2)=0(r一2)(r2+1)=0r1=2，r2，3=±l’则原方程通解为y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx．9．微分方程y’+y=e一xcosx满足条件y(0)=0的解为y=________．正确答案：e一x sinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e一∫dx[∫e一xcosx．e∫dxdx+C]=e 一x[∫cosxdx+C]=e一x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e一xsinx．10．微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=________．正确答案：解析：由ydx+(x一3y2)dy=0得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y=1时，x=1，解得C=0，故x=y2．y=．11．已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y’|x=0=1的解为y=________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x解析：由题设知y1一y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+ C2e3x—xe2x．12．设函数y=y(x)是微分方程y”+y’一2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=________．正确答案：2ex+e一2x．解析：原方程的特征方程为λ2+λ一2=0特征根为λ1=1，λ2=一2原方程的通解为y=C1ex+ C2e一2x由y(0)=3，y’(0)=0得则C1= 2，C2=1，y =2ex+e 一2x．13．以y=x2一ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为________．正确答案：y’一y=2x一x2解析：设所求的一阶非齐次线性方程为y’+p(x)y=q(x)则y=x2与y=x2一ex 的差ex应是方程y’+p(x)y=0的解，将y=ex代入以上方程得p(x)=一1，再把y=x2代入方程y’一y=q(x)得q(x)=2x一x2，则所求方程为y’一y=2x一x2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(14年)下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．D．正确答案：C解析：知识模块：高等数学2．(14年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(x，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故(D)．知识模块：高等数学3．(15年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x) 存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号．因此不是拐点．而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故(C)．知识模块：高等数学4．(16年)已知函数f(x)=，n=1，2，…，则A．x=0是f(x)的第一类间断点．B．x=0是f(x)的第二类间断点．C．f(x)在x=0处连续但不可导．D．f(x)在x=0处可导．正确答案：D解析：f-’(0)=1，由夹逼原理知即f+’(0)=1．故f(x)在x=0处可导，(D)．知识模块：高等数学5．(87年)求正的常数a与b，使等式正确答案：洛必达法则知由于上式右端分子极限为零，而原式极限为1，则b=1．从而有则a=4．涉及知识点：高等数学6．(87年)设f(x)为已知连续函数，I=f(x)dx，其中s＞0，t＞0．则I的值A．依赖于s和t．B．依赖于s，t，x．C．依赖于t和x，不依赖于5．D．依赖于s，不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以(D)．知识模块：高等数学7．(90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=，则F’(x)等于A．一e-xf(e-x)一f(x)B．一e-xf(e-x)+f(x)C．e-xf(e-x)一f(x)D．e-xf(e-x)+f(x)正确答案：A解析：由F(x)=可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故(A)．知识模块：高等数学8．(93年)设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．知识模块：高等数学9．(93年)双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为A．B．C．D．正确答案：A解析：设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则所求面积为所以(A)．知识模块：高等数学10．(94年)设M=则有A．N＜P＜M．B．M＜P＜N．C．N＜M＜P．D．P＜M＜N．正确答案：D解析：由被积函数的奇偶性可知M=0因此P＜M＜N，故(D)．知识模块：高等数学11．(96年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：F(x)=x2∫0xf(t)dt—∫0xt2f(t)dtF’(x)=2x[f(t)dt+x2f(x)一x2f(x)=2x∫0xf(t)dt由于=f’(0)≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以(C)．知识模块：高等数学填空题12．(14年)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x—1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1 知识模块：高等数学13．(16年)设函数f(x)=arctanx一且f’”(0)=1，则a=_____．正确答案：解析：知识模块：高等数学14．(87年)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成的平面图形的面积是_______．正确答案：解析：令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则所求面积为S=∫1elnxdx+∫ee+1(e+1-xdx= 知识模块：高等数学15．(88年)设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________．正确答案：解析：等式f(t)dt=x两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得知识模块：高等数学16．(89年)设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，则f(x)=_______．正确答案：x一1．解析：令∫01f(t)dt=a，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入∫01f(t)dt=a，得∫01(t+2a)dt=a，即则f(x)=x一1 知识模块：高等数学17．(93年)函数F(x)=的单调减少区间为_______．正确答案：解析：则F(x)单调减少区间为知识模块：高等数学18．(95年)正确答案：解析：所以知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编24(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编24(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(89年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1一c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1—y3)+C2(y2—y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1一y3)+B(y2—y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0.因此y1—y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3是原方程通解．知识模块：高等数学2．(91年)若连续函数f(x)满足关系式f(x)=+ln2，则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式f(x)=+ln2两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2．故f(x)=e2xln2 知识模块：高等数学3．(93年)设曲线积分∫L[f(x)一ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：f’(x)+f(x)=ex 知识模块：高等数学4．(98年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量．且当△x→0时，α是△x 的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2πB．πC．D．正确答案：D解析：由于，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，由微分的定义可知两边积分得ln|y|=arctanx+C1，y=Cearetanx由y(0)=π知，C=π，于是知识模块：高等数学填空题5．(92年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得y=e-∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]=e-∫tanxdx[∫cosx.e∫tanxdxdx+C]=cosx(x+C) 知识模块：高等数学6．(96年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为_____．正确答案：y=ex(C1cosx+C2sinx+1)解析：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1,2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 知识模块：高等数学7．(99年)y”一4y=e2x的通解为y=________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+解析：特征方程为λ2一4=0，则λ1=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为知识模块：高等数学8．(00年)微分方程xy”+3y’=0的通解为_______．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’,代入原方程得知识模块：高等数学9．(01年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为________．正确答案：y”一2y’+2y=0．解析：所求方程的特征根为λ1,2=1+i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：高等数学10．(02年)微分方程yy”+y’2=0满足初始条件的特解是_______．正确答案：y2=x+1或解析：知识模块：高等数学11．(04年)欧拉方程(x＞0)的通解为______．正确答案：解析：令x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：高等数学12．(05年)微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解为______．正确答案：解析：方程xy’+2y=xlnx是一阶线性方程，方程两端同除以x得：则通解为知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一高等数学-试卷11_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（高等数学）-试卷11(总分62, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设，则g[f(x)]为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2.当x→0时，变量是SSS_SINGLE_SELA 无穷小．B 无穷大．C 有界的，但不是无穷小．D 无界的，但不是无穷大．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D3.设数列xn 与yn满足，则下列断言正确的是SSS_SINGLE_SELA若xn 发散，则yn必发散．B若xn 无界，则yn必无界．C若xn 有界，则yn必为无穷小．D若为无穷小，则yn必为无穷小．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D4.设f(x)=2 x +3 x一2，则当x→0时SSS_SINGLE_SELA f(x)与x是等价无穷小．B f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C f(x)是比x较高阶的无穷小．D f(x)是比x较低阶的无穷小．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B5.设x→0时，e tanx一e x是与x n同阶的无穷小，则n为SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C6.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[g(x)一φ(x)]=0，则SSS_SINGLE_SELA 存在且一定等于零．B 存在但不一定为零．C 一定不存在．D 不一定存在．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D7.设函数在(一∞，+∞)内连续，且=0，则常数a，b满足SSS_SINGLE_SELA a＜0，b＜0．B a＞0，b＞0．C a≤0，b＞0．D a≥0，b＜0．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D8.设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则SSS_SINGLE_SELA φ[f(x)]必有间断点．B[φ(x)] 2必有间断点．C f[φ(x)]必有间断点．D 必有间断点．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D9.设函数f(x)=，讨论函数f(x)的间断点，其结论为SSS_SINGLE_SELA 不存在间断点．B 存在间断点x=1．C 存在间断点x=0．D 存在间断点x=一1．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B2. 填空题1.已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x 2，则φ(x)=___________的定义域为_____________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：arcsin(1一x 2 )，2.=__________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.设函数f(x)=a x (a＞0，a≠1)，则=_____________.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：4.=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5.=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：26.若f(x)=____________在(一∞，+∞)上连续，则a=___________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：一23. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(94年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以D．知识模块：高等数学2．(96年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：高等数学3．(97年)二元函数f(x，y)=在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得fy’(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：高等数学4．(01年)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3，fy’(0，0)=1，则A．dz|(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为{3．1，1}．C．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，3}．D．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{3，0，1}．正确答案：C解析：则该曲线在(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，fx’(0，0)}={1，0，3} 知识模块：高等数学5．(02年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故A．知识模块：高等数学6．(03年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．则f(x，y)一xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x,得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故(A)．知识模块：高等数学7．(05年)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x-y)+∫x-yx+yφ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(x)=x2，ψ(x)≡0，则u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2从而则(A)(C)(D)均不正确，故(B)．知识模块：高等数学8．(05年)设有三元方程xy—zlny+exx=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，Fx’(0，1，1)=2≠0，Fy’(0,1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故(D)．知识模块：高等数学9．(06年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。
考研高数基础练习题及答案解析
考研高数基础练习题及答案解析一、选择题：1、首先讨论间断点：1°当分母2?e?0时，x?2x2，且limf??，此为无穷间断点；2ln2x?ln2x?0?2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。
x?0?再讨论渐近线：1°如上面所讨论的，limf??，则x?x?2ln22为垂直渐近线； ln22°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。
xx当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。
2、f?|x4?x|sgn?|x|sgn?|x|。
可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文：f|??|，当xi?yj时为可导点，否则为不可导点。
注意不可导点只与绝对值内的点有关。
?x,x?0?设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是? ,x?0?0x?0123limf?f?0，故f在x?0处连续。
f’?limx?0f?f?0，故f在x?0处一阶可导。
x?0当x?0时，f’????x12x’‘223?ln?lnlnxsgnx?12，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。
?23x?0ln|x|ln|x|f’’?limx?0f’?f’??，故f在x?0处不二阶可导。
x?0abx?0对?a,b?0，limxln|x|?0。
这是我们反复强调的重要结论。
3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内可积；1???sin,x?0对，首先假设该函数存在原函数F??，但对任意常数C，都无x?,x?0? C法满足F’?limx?011F?F1?0，故该函数不存在原函数。
另一方面，?2cosdx?1xx?0x111?2?2cosdx??2sin，该结果无意义，故该函数在[?1,1]内不可积。
0xxx011对，x?0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。
另一方面，?1arctan1dx和x??1arctan1dx都有意义，故该函数在[?1,1]内可积。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．一2f’(0).B．一f’(0).C．f’(0).D．0正确答案：B解析：2．函数f(x)=ln|(x一1)（x一2)(x一3)|的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11＞0，则该方程有两个实根，f(x)有两个驻点．3．曲线y=渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由于=1，则该曲线有水平渐近线y=1．又=∞，则x=1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)．4．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…（enx一n），其中n为正整数，则f’(0)= A．（一1)n一1（n一1）!．B．（一1）n（n一1）!．C．（一1）n1n!．D．（一1）nn!．正确答案：A解析：排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．5．设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定，则A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：由方程cos(xy)+lny一x=1知，当x=0时，y=1，即f(0)=1，以上方程两端对x求导得将x=0，y=1代入上式得y’|x=0=1，即f’(0)=1，6．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sinD．y=x2+sin正确答案：C解析：由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x，故应选(C)．7．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(z)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 故应选(D)．8．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：故应选(C)．9．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)= arctanx，及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D)．10．设函数f(x)=(α＞0，β＞0)．若f’(x)在x=0处连续，则A．α一β＞1．B．0＜α一β≤1．C．α一β＞2．D．0＜α一β≤2．正确答案：A解析：f一’(0)=0，f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1＞0，即α＞1．此时，α＞1，f+’(0)=0，f’(0)=0．当x＞0时，f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0，当且仅当α一β一1＞0．则α一β＞1．故应选(A)．11．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x)存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故应选(C)．12．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．正确答案：B解析：x1，x3，x5为驻点，而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号，则为极值点，在x5两侧一阶导数f’(x)不变号，则不是极值点，在x2处一阶导数不存在，但在x2两侧f’(x)不变号，则不是极值点．在x2处二阶导数不存在，在x4和x5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)．13．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正确答案：A解析：由函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)可知，在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处有公共切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某邻域内三条曲线如图所示，故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A)．填空题14．曲线y=的渐近线方程为________．正确答案：y=2x．解析：显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x．15．函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．正确答案：一2n(n一1)!.解析：利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16．已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽ω以3 cm/s的速率增加，则当l=12 cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为________．正确答案：3．解析：设l=x(t)，ω=y(t)，其对角线长为z(t)，则z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12，y(t)=5，x’(t)=2，y’(t)=3，z(t)==13代入上式得z’(t)=3．17．设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则|x=0=________．正确答案：1．解析：在方程x2一y+1=ey中令x=0，得y=0，该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0，上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0，y=0，y’(0)代入上式得y”(0)=1．18．曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．正确答案：(一1，0)．解析：由y=x2+x得，y’=2x+1，y”=2，代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1，又x＜0，则x=一1，这时y=0，故所求点的坐标为(一1，0)．19．曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________．正确答案：y+x=解析：而t=1时，x=则t=1处的法线方程为20．设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x 一1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1．解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1．21．曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程是________．正确答案：解析：22．=________．正确答案：48．解析：23．函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________．正确答案：n(n一1)(ln2)n一2．解析：24．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．正确答案：5．2n一1．解析：等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x)，f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n＞2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n＞2)= 2n一2．10=2n一1．5.26．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．正确答案：解析：由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研高数2试题及答案
考研高数2试题及答案模拟试题：考研高等数学（二）一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) = -f(x)的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 设函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x + 5在点（2，12）处的切线斜率为（）A. -3B. 0C. 3D. 64. 设数列{an}是等差数列，且a3 + a7 + a11 = 27，a4 + a8 > 0，a10 < 0，则此等差数列的公差d为（）A. -1B. 1D. 25. 函数f(x) = ln(x^2 - 4x + 3)的值域是（）A. (-∞, 0)B. RC. (0, +∞)D. [0, +∞)6. 设函数F(x) = ∫(0, x) f(t) dt，则F(x)是f(x)的一个（）A. 原函数B. 导数C. 定积分D. 微分7. 曲线y^2 = 4x与直线x = 2y联立后，它们的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 无穷多8. 已知某工厂生产函数为Q = K^(1/3)L^(2/3)，其中K是资本，L是劳动。
若劳动增加20%，资本不变，则产量增加（）A. 少于20%B. 20%C. 多于20%D. 40%9. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=1) = λ。
则λ的值为（）A. 1C. 3D. 410. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的通解是（）A. y = e^(t) + e^(2t)B. y = e^(t) + e^(-t)C. y = e^(t) + e^(3t)D. y = e^(t) + e^(t/2)答案：1. C2. A3. B4. A5. D6. A7. C8. A9. B10. B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 2]上的最大值为M，则M = ____。
高等数学历年考研真题十二套含答案
1. 求 lim
x ® 0
10. 设 f ( x ) = lim
n ® ¥
( n - 1 ) x , 则 f ( x ) 的间断点为 x = _________ . 04数二考研题 2 nx + 1 cos x 是等价无
05数二考研题
[
2 + e 1/ x sin x + . x 1 + e 4/ x
5. 设 f ( 0 ) = 0 , 则 f ( x ) 在点 x = 0 可导的充要条件为 : (A) lim
0 h ®
15. 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 - xe y 确定 , 则 dy dx
1
h 2
1
1 f ( - cos h ) 存在 ;
x ) g ( x ) - f ( x ) g ¢( x ) < 0 , 3. 设 f ( x ) , g ( x ) 是恒大于零的可导函数 , 且 f ¢(
则当 a < x < b 时有 ( ).
00数二考研题
a , b 的值 .
2 ln b - ln a 1 a < < 11. 设 0 < a < b , 证明不等式 2 . a + b 2 b - a ab
01数二考研题
(A) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第一类间断点 ; (B) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (C) x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (D) x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点 . 13. lim
(word完整版)考研专项练习高等数学--习题集.docx
第一章 函数·极限·连续一. 填空题1. 已知 f ( x)sin x, f [ ( x)] 1 x 2 , 则 (x)__________, 定义域为 ___________.1 xax2．设 limate tdt , 则 a = ________.xx3. lim12n222=________.nnn 1 nn 2nn n1 | x | 1 4. 已知函数 f (x)| x | 1 0, 则 f[f(x)] _______.5.lim ( n3 nnn ) =_______.n6. 设当 x0 时, f (x)ex1ax为 x 的 3 阶无穷小 , 则 a _____, b ______ .1 bx7.lim cot x1 1=______.sin x xx 08. 已知 limn 1990A (0), 则 A = ______, k = _______.n k(n 1) kn二. 选择题1. 设 f(x)和 (x)在 (－ , + )内有定义 , f(x)为连续函数 , 且 f(x) 0, (x)有间断点 , 则(a) [ f(x)]必有间断点(b) [(x)]2必有间断点(c) f [(x)] 必有间断点 (d)( x)必有间断点f ( x)2. 设函数 f ( x) x tan xe sin x , 则 f(x) 是(a) 偶函数(b) 无界函数 (c) 周期函数(d) 单调函数3. 函数 f ( x)| x | sin( x 2) 在下列哪个区间内有界x( x 1)( x 2)2(a) ( － 1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)1时, 函数x 21 4. 当 x1e x 1 的极限x 15. 极限lim352n12 的值是122222n2( n1)n23(a) 0(b) 1(c) 2(d)不存在( x1)95 ( ax1)56. 设lim2508 ,则a的值为x( x1)(a) 1(b) 2(c) 58(d) 均不对7.设lim ( x 1)( x 2)( x3)( x 4)( x 5)x(3x2), 则,的数值为(a)= 1,1(b)= 5,1(c)1(d) 均不对=== 5, =33358. 设f ( x) 2x3x 2 ,则当x0 时(a) f(x) 是 x 的等价无穷小(b) f(x) 是 x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x) 比 x 较低价无穷小(d) f(x) 比 x 较高价无穷小9.设lim (1 x)(12x)(13x)a 6 ,则a的值为x 0x(a)－1(b) 1(c) 2(d) 310. 设lim a tan x b(1 cos x)22，其中 a2c20 ,则必有x 0cln( 1 2x) d(1 e x)(a) b = 4d(b) b = － 4d(c) a = 4c(d) a =－4c三. 计算题1.求下列极限1(1)lim (x e x ) xx(2)lim (sin2cos1) x x x x1tan x1 lim x3(3)x 01sin x2.求下列极限(1)lim ln(1 3x1)(2) lim1 cot2 x x 0x 23. 求下列极限 (1) limn(n n 1)nln n1 e nx (2)lim nx n 1 eannn b(3) lim, 其中 a > 0, b > 0n22(1 cosx)x 0x 2 4.f (x) 1x1 x2 dt x 0x costf (x) 在x0 的 性与可 性 .5. 求下列函数的 断点并判 型1(1) f ( x)2 x 112 x 1x(2 x)x2 cos x(2) f (x)1sinx 021xx sin 1x 06. 函数 f ( x)xxe x在 x = 0 的 性 .7. f(x) 在 [a, b] 上 , 且 a < x 1 < x 2 < ⋯ < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, ⋯ , n) 任意正数 , 在 (a, b) 内至少存在一个, 使f ( )c 1 f (x 1 ) c 2 f ( x 2 )c ncn .c 1 c 28. f(x) 在 [a, b]上 , 且 f(a) < a, f(b) > b, 在 (a, b)内至少存在一个 , 使 f( ) = .9. 设 f(x) 在 [0, 1] 上连续 , 且 0 f(x) 1, 试证在 [0, 1] 内至少存在一个, 使 f( ) = .10. 设 f(x), g(x) 在[a, b] 上连续 , 且 f(a) < g(a), f(b) > g(b),试证在(a, b)内至少存在一个, 使f( ) = g( ).11.证明方程x5－3x－2 = 0 在(1, 2) 内至少有一个实根 .12. 设 f(x) 在 x = 0 的某领域内二阶可导, 且lim sin 3x f ( x)0 ,求f (0), f ' (0), f ' '(0)及limf (x)3 x3x2x2.x 0x 0第二章导数与微分一. 填空题1 . 设lim f ( x0k x) f ( x0 )1f '( x0 ) ,则 k = ________.x0x32.设函数 y = y(x) 由方程e xy cos(xy)0确定 ,则 dy______.dx3.已知 f(－ x) =－f(x), 且f ' (x0 )k ,则 f ' ( x0 )______.4.设 f(x) 可导 ,f ( x0m x) f (x0n x)_______.则 limxx05. f ( x)1x ,则 f ( n ) ( x) = _______.1x6.已知df11, 则f '1_______. dx x2x27.设 f 为可导函数 ,y sin{ f [sindy_______.f ( x)]} ,则dx8.设 y = f(x) 由方程e2 x y cos( xy )e1所确定 , 则曲线 y = f(x) 在点 (0, 1)处的法线方程为 _______.二. 选择题1.已知函数 f(x) 具有任意阶导数 , 且f ' (x)[ f (x)] 2,则当 n 为大于 2 的正整数时 , f(x) 的 n 阶导数是(a) n![ f ( x)]n1(b)n[ f ( x)] n 1(c)[ f (x)] 2n(d)n![ f ( x)] 2n2.设函数对任意x 均满足 f(1 + x) = af(x),且 f ' (0)b,其中 a, b 为非零常数 , 则(a) f(x) 在 x = 1处不可导(b) f(x) 在 x = 1处可导 ,且 f ' (1) a(c) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1) b(d) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1)ab3.设 f ( x)3x3x 2| x |,则使 f ( n)(0) 存在的最高阶导数n 为(a) 0(b) 1(c) 2(d) 34.设函数 y = f(x) 在点 x 0处可导 , 当自变量 x 由 x 0增加到 x0 +y dyx 时 , 记 y 为 f(x) 的增量 , dy 为 f(x) 的微分 , lim等于x 0xx2 sin 1x05. 设f ( x)x x0ax b在 x = 0 处可导 , 则(a) a = 1, b = 0(b) a = 0, b 为任意常数(c) a = 0, b = 0(d) a = 1, b 为任意常数三. 计算题1.y ln[cos( 103x 2 )]，求 y'2. 已知 f(u) 可导 ,y f [ln( x a x2 )]，求 y'3.已知y e t 2dt x2costdt sin y2,求 y' .004.设 y 为 x 的函数是由方程ln x 2y2arctan y确定的 , 求y' . x四. 已知当 x0 时, f( x) 有定义且二阶可导 ,问 a, b, c 为何值时F ( x)f ( x)x0二阶可导 . ax2bx c x0五. 已知f ( x)x 2，求 f(n ) ( 0) .1x2六. 设y xln x ,求f( n) (1) .第三章一元函数积分学 (不定积分 )一. 求下列不定积分 : 1.1 2 ln 1 xdx 1 x 1 x1 1 x 1 x 1 x 1 1 22.x 1 x 2arctandx arctand arctanx 2arctanc1 x1 x1 1 x3.cos x sin x1 1 sin x dx(1 cos x)21 cos x4.dx x( x 8 1)1 111 sin x(1 sin x cosx)(sin x cosx)5．dx 222dx1 sin x cosx1 sin x cosx二. 求下列不定积分 :dx1.( x 1)2 x 2 2 x 2dx 2.x 4 1 x 23.dx1) 1 x 2(2x 2x 2dx 4.(a > 0)a 2 x 25.(1 x 2 ) 3 dx6.x 21dxx 4x 17.dxx2x21三. 求下列不定积分:e3x e xdx 1.e2xe4 x1dx2.2x (1 4 x)四. 求下列不定积分:x51.( x2)100dxdx2.x 1 x4五. 求下列不定积分:1.x cos2 xdx2.sec3 xdx3.(ln x)3dxx 24.cos(ln x)dxx cos4x1x cos4x1x1x sin 2x1sin 2xdx5.2dxx2dx xd sin 2sin 3 x8sin3 3 x828282cos221x sin 2 x1sin 2 x d x1x sin2x1cotxc824228242六. 求下列不定积分 :x ln( x1x 2 )2.x arctan x dx1x23.arctan e x dxe2 x七.x ln(1x 2 ) 3x0设 f ( x)22x 3)e x x, 求 f (x)dx .( x0八.设 f ' (e x ) a sin x b cos x, (a, b为不同时为零的常数), 求 f(x).九. 求下列不定积分:1.3x23x (2x3)dx32.(3x 22x5) 2(3x1) dx3.ln( x 1 x2 )dx1x2xdx4.(1 x2x21) ln(1x 21)十. 求下列不定积分:x arctan x1.(1x2)dx2.arcsinxdx 1 xarcsinx1x2 3.2dxx1x 2arctan x4.2(1x 2dxx)十一 . 求下列不定积分: 1.x34x 2 dxx2a22.x3.e x (1e x ) dx1e2 x4.xxdx (a > 0) 2a x十二 . 求下列不定积分:dx1.sin x 1cos x2.2sin x2dxcos x3.sin x cos x dxsin x cos x十三 . 求下列不定积分:x1.dx1 x x2.e x 1dxe x 13.x 1arctan x 1 dxx第三章一元函数积分学 (定积分 )b0 ,则f(x) 0.一．若 f(x) 在[a， b]上连续 , 证明 : 对于任意选定的连续函数(x), 均有f (x) ( x)dxa二. 设为任意实数 , 证明 :I21dx=21.0 1(tan x)0 1dx (cot x)4三．已知 f(x) 在 [0， 1]上连续 , 对任意 x, y 都有 |f(x) － f(y)| < M|x－y|, 证明f ( x)dx1n f k M1n k n2n01四.设 In4 tan n xdx , n为大于1的正整数,证明:1I n1.02(n1)2(n1)五. 设 f(x) 在[0, 1] 连续 , 且单调减少 , f(x) > 0,证明:对于满足0 << < 1 的任何, , 有f ( x)dx f ( x)dx六. 设 f(x) 在[a, b] 上二阶可导 , 且 f ' ' ( x) < 0,证明 :b f (x)dx (b a) fa ba2七. 设 f(x) 在[0, 1] 上连续 , 且单调不增 , 证明 : 任给 (0, 1), 有1 f ( x)dxf ( x)dx八. 设 f(x) 在[a, b] 上连续 ,f ' ( x) 在 [a, b]内存在而且可积 , f(a) = f(b) = 0, 试证 :| f ( x) |1b2 | f ' (x) | dx , (a < x < b)a九. 设 f(x) 在[0, 1] 上具有二阶连续导数f ' ' ( x) , 且 f (0) f (1) 0， f ( x) 0 , 试证 :1f ' ' ( x)dx 4f ( x)十. 设 f(x) 在[0, 1] 上有一阶连续导数 , 且 f(1) －f(0) = 1,试证 :1 2dx 1[ f ' (x)] 022十一 . 设函数 f(x) 在 [0, 2] 上连续 , 且f (x)dx = 0,xf ( x)dx = a > 0. 证明 :[0, 2], 使 |f( )| a.0 0第三章一元函数积分学(广义积分 )一. 计算下列广义积分:x2edx(1)10 (e x1)31(2)0( x21)( x24)dx(3)dx3 (1 x2 ) 21(4)sin(ln x)dx11dx (5)2 x x21 (6)arctan x3dx(1 x2 ) 2第四章 微分中值定理一. 设函数 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上可微 , 对于 [0, 1] 上每一个 x, 函数 f(x) 的值都在开区间(0, 1)内 , 且 f ' ( x) 1, 证明 : 在 (0, 1)内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x.1f ( x) dxf (0) . 证明 : 在(0, 1)内存在一个, 使 f ' ( ) 0 .二. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上连续 , (0, 1) 内可导 , 且 3 2 3三．设函数 f(x) 在[1, 2] 上有二阶导数 , 且 f(1) = f(2) = 0,又 F(x) =(x － 1)2f(x), 证明 : 在(1, 2)内至少存在一个 , 使 F ' ' ( ) 0 .四. 设 f(x)在 [0, x](x > 0) 上连续 , 在 (0, x)内可导 , 且 f(0) = 0, 试证 : 在(0, x) 内存在一个, 使f ( x) (1 ) ln(1 x) f ' ( ) .五. 设 f(x)在 [a, b]上可导 , 且 ab > 0, 试证 : 存在一个 (a, b), 使1b n a n [nf ( ) f '()] n 1f (b)b a f (a)六. 设函数 f(x), g(x), h(x)在 [a, b] 上连续 , 在(a, b)内可导 , 证明 :存在一个(a, b), 使f (a) g(a) h(a)f (b)g( b) h(b) 0f ' ( )g' ( )h' ( )七. 设 f(x)在 [x1, x2] 上二阶可导 , 且 0< x1 < x2 , 证明 : 在( x1 , x2)内至少存在一个, 使1e x1e x2 e x1e x2 f ( x1 )f ( ) f ' ( )f ( x2 )八. 若 x1x2 > 0, 证明 : 存在一个(x1, x2)或( x2, x1 ), 使x1e x2x2 e x1(1)e (x1x2 )九 .设f(x), g( x) 在 [a, b] 上连续 ,在(a,b) 内可导 ,且f( a) = f(b) = 0, g(x)0,试证:至少存在一个(a, b),使f ' ( ) g( ) g' ( ) f ( )十. 设 f(x) 在 [a, b] 上连续(0 a b) ,在(a, b)内可导,证明在(a, b)存在,2f ' ()使 f ' ( )ab.第五章一元微积分的应用一. 选择题1. 设 f(x) 在 (－, + )内可导 , 且对任意x1, x2 , x1 > x2时, 都有 f(x 1) > f(x 2), 则(a) 对任意 x, f '( x) 0(b) 对任意 x, f '( x)0(c) 函数 f( － x)单调增加(d) 函数－ f(－ x)单调增加1x 2x 1的渐近线有2. 曲线y e x2arctan( x 1)( x2)(a) 1 条(b) 2 条(c) 3 条(d) 4 条3. 设 f(x) 在 [－ , + ] 上连续 , 当 a 为何值时 , F (a)[ f (x) a cosnx ]2 dx 的值为极小值.(a) f ( x) cos nxdx(b)(c)2(d)f ( x) cosnxdx4. 函数 y = f(x)具有下列特征 :1f ( x) cosnxdx 1f ( x) cosnxdx 2f(0) = 1; f ' (0)0 ,当x0 时, f '( x)0x00 ; f '' ( x)x, 则其图形00(a)(b)(c)(d)11115. 设三次函数y f ( x) ax3bx 2cx d ,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于 y 轴对称(b) 关于原点对称(c) 关于直线 y = x 轴对称(d) 以上均错6.曲线 y x( x 1)(2 x) 与x轴所围图形面积可表示为21)( 2x)dx11)( 2x) dx21)( 2x)dx(a)x( x(b)x( x x( x00111)( 2x)dx21)(2x)dx21)(2x)dx(c)x(x x(x(d)x( x010二. 填空题x11. 函数F ( x)2dt (x > 0)的单调减少区间______.1t2. 曲线y x3x 与其在x13. 二椭圆x2y 21,x2y 21( a > b > 0)之间的图形的面积______. a2b2b2 a 24. x2+ y2= a2绕 x =－b(b > a > 0) 旋转所成旋转体体积_______.(5) 求心脏线= 4(1+cos ) 和直线= 0, =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.2三. 证明题xtf (t )dt0 时函数( x)01. 设 f(x) 为连续正值函数 , 证明当 x单调增加 .xf (t )dt2. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内f ' ' ( x)f ( x) f (a)0 ,证明 ( x)在 (a, b)内单增 .x a3. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内可导且f ' ( x)0 ,求证:F ( x)1xf (t )dt 在(a, b)内也 F ' ( x) 0 . x a a4. 设 f(x)在[ a, b] 上连续 , 且 f(x) > 0,又 F ( x)x x 1f ( t)dt dt .证明:a b f ( t)i. F ' ( x) 2, ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根.5. 明方程tan x 1 x 在(0, 1)内有唯一根.6.a1, a2, ⋯ , a n n 个数 , 并足a1a2(1) n 1a n0 .明:方程32n1a1 cos x a2 cos3x a n cos(2n1) x0在 (0,2) 内至少有一根 .四. 算1. 在直 x－y + 1=0 与抛物y x24x 5 的交点上引抛物的法, 求由两法及接两交点的弦所成的三角形的面.22f (x)] 2 dx 最小的直方程.2. 求通点 (1, 1)的直 y = f(x)中 , 使得[ x3. 求函数f ( x)x2(2 t)e t dt 的最大与最小. 04. 已知 (x－ b)2 + y2 = a2, 其中 b > a > 0, 求此 y 旋所构成的旋体体和表面.第六章多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面 4 条性质( I ) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处连续;( II ) f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续; ( I II) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处可微;( IV ) f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在;若用 P Q 表示可由性质P推出性质Q,则有( A ) ( C )(II )(III )( I )(III )(IV )( I )( B )( D )( III )(II )( I )(III )(I )( IV )xy2,( x, y)(0,0)二. 二元函数f ( x, y)x2y0) 处在点 (0, 0,(x, y)(0,0)( A ) 连续 , 偏导数存在 ;( B ) 连续 , 偏导数不存在 ; ( C ) 不连续 , 偏导数存在 ;( D ) 不连续 , 偏导数不存在 .三. 设 f, g 为连续可微函数 , u f ( x, xy)， v g( x xy) ,求uv . x x四. 设x2z2y z, 其中为可微函数 , 求z .y y五. 设u f ( x, y, z)，又 y(x, t )， t( x, z)，求u. x六. 求下列方程所确定函数的全微分:1. f ( x y, y z, z x)0，求 dz ;2.z f ( xz， z y)，求 dz .七. 设z f ( e x sin y, x2y 2 ) ,其中f具有二阶连续偏导数, 求 2z.x y八.已知 z f (2 x, x )，求 zxx ' '， z yy ' ' . y九. 已知z f (xln,)' ' ,zxy' ' ,zyy' '.y x y ，求 z xx十. 设y y( x)， zx y z z20确定 , 求dy dz z(x)，由y2z z30， .x dx dx十一 . 设z xf (y)(y)，求 x2 2 z2xy 2 z y 2 2 zx x x 2x y y22十二 . 设z f [ x2y, ( xy)] ,其中f(u, v)具有二阶连续偏导数,(u) 二阶可导,求z. x y十三 . 设F ( x, y(x), z(x))P( x, y(x)) Q ( x, y( x)) z( x) ,其中出现的函数都是连续可微的F d F , 试计算.第七章二重积分一. 比较积分值的大小:1. 设I1D 结论正确的是x y x y 3xy{( x, y) | (x 1)2( y1)22},则下列dxdy, I2dxdy, I 3dxdy 其中D4D4D4( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C )I 1I 3I 2( D )I 3I 2I 12.设 I ie ( x2y2) dxdy, i1, 2，3, 其中 :D1{( x, y) | x 2y2r 2 } , D2{( x, y) | x2y 22r 2 } ,D iD 3{( x, y) | | x |r , | y |r } 则下列结论正确的是( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 13.设I1cos x 2y2,I 2cos(x 2y2 ), I 3cos(x 2y 2 ) 2其中 D{( x, y) | x2y 21} ,则下列D D D结论正确的是( A ) I1I 2I 3( B ) I2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 1二. 将二重积分I f ( x, y)d 化为累次积分(两种形式),其中D给定如下:D1. D: 由y28x 与 x28 y 所围之区域.2. D: 由 x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0 及 x －2y + 7 = 0 所围之区域 .3. D: 由x2y 2 1 , y x 及 x > 0 所围之区域 .4. D: 由 |x| + |y| 1 所围之区域 .三.改变下列积分次序 :a a2x21.dx a2x 2 f ( x, y)dy2a1x 233xf (x, y) dy2.dx0f (x, y)dy dx201002x 2f ( x, y)dy12x23.dxx dxxf ( x, y) dy10四. 将二重积分I f ( x, y)d 化为极坐标形式的累次积分, 其中 :D1.D: a2x2 +y 2b2 , y0, (b > a > 0)2.D: x 2+y2y, x03.D: 0x +y1, 0 x1五. 求解下列二重积分:2x 1.dx1x sinx42dy dx2y2xxsin dy1y 2 x2. dx e 2 dy003.y dxdy , D:由y = x4－x3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形Dx 64.xydxdy , D: y x及1 x2+ y22 x2y2D六. 计算下列二重积分 :x222y 21.yx 1 .1dxdy , D:22 Da b a b2.ln( x2y 2 )dxdy , D:2x 2y 21 , 并求上述二重积分当0 时的极限 .Dax f ' ( y)3.dxdy(a x)( x y)1 x 2y 24.2 2 dxdy , D: x 2 + y 2 1, x 0, y 0. D1 x y2七. 求证 :f ( xy)dxdy ln 2 f ( u) du , 其中 D 是由 xy = 1, xy = 2, y = x 及 y = 4x(x > 0, y > 0) 所围成之区域 .1Df ( x y)dxdy2 2f (u)du八 . 求证 :2 u x 2y 2121x2y 21t 2e2 dxdy a九 . 设 f(t)是半径为 t 的圆周长 , 试证 : f (t) e 2 dt2x 2 y2 a220m y n dxdy 0十 . 设 m, n 均为正整数 , 其中至少有一个是奇数, 证明xx 2y2 a2十一.设平面区域 D {( x, y) | x 3y 1, 1 x 1}, f (x) 是定义在 [ a, a] (a1) 上的任意连续函数试求: I 2 y[( x 1) f ( x) (x1) f ( x)] dxdyDLy x 3第八章无穷级数一. 填空题x 1n a n1(1) 设有级数a n, 若lim2a n 1, 则该级数的收敛半径为 ______.n 1n3(2) 幂级数n n3)n x2n 1的收敛半径为 ______.n 1 2((3) 幂级数x n的收敛区间为 ______. n 1n 1(4) 幂级数x n 1的收敛区间为 ______. n 1 n2n(5)幂级数(n1)x n的和函数为______.n1二. 单项选择题(1)设 a n0(n1,2,)，且a n收敛,常数(0,) ,则级数( 1)n (n tan ) a2 nn 12n 1n(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C)发散(D) 收敛性与有关(2)设 u n( 1)n ln(11) ,则n(A)u n与u n2都收敛. (B)u n与u n2都发散. (C)u n收敛,而u n2发散. (D)u n发散,u n2收敛.n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1(3)下列各选项正确的是(A) 若u n2与v n2都收敛 , 则(u n v n ) 2收敛n 1n 1n 1(B) 若| u n v n | 收敛,则u n2与v n2都收敛n 1n 1n 1u n 1(C) 若正项级数发散 ,则u nn 1n(D) 若级数u n收敛,且 u n v n ( n 1,2, ) ,则级数v n收敛.sin n1(4) 设为常数 , 则级数nn 1 n2(A)绝对收敛 . (B) 发散 . (C) 条件收敛 . (D) 敛散性与取值有关 .三. 判断下列级数的敛散性:11(1)sinn 1 ln( n 2)n(2)1( a 0) n 1 ( a n 1)( a n)( a n 1)3n n!(3)n 1 n nn2(4)n 1 ( n 1 / n) n( n! )2(5)n1 ( 2n)!(6)(1ln n)nn 1n四. 判断下列级数的敛散性n(1)( 1)n 2n1n 13n1(2)( 1)n n1n 1(n 1) n 1 1(3)sin( n)n 1n(4)( 1)n 1 tan1n 1n n五. 求下列级数的收敛域:( x2x1)n (1)n 1n( n1) (2)( 1)n x2 n 1n 12n 1 (3)2n 1 x2 n 1n 12n( x1)2 n(4)n 1n 9n六. 求下列级数的和:(1)( 1)n 1 x2 n 12n 1n 1(2)n(n 1)xn 1( x1)n (3)n 1n2nn七. 把下列级数展成x 的幂级数 :(1) f ( x)1ln1x1arctan x 21x2x ln(1x)(2) f ( x)x dx第九章常微分方程及差分方程简介一. 填空题1. 微分方程y' y tan x cos x 的通解为_________.2.微分方程 ydx( x24x)dy0的通解为 ________.3.微分方程 y' 'y 2 x 的通解为________.4.微分方程 y' ' 2 y' 2 y e x的通解为________.5.已知曲线 y f ( x) 过点(0,1),且其上任一点 (x, y) 处的切线斜率为x ln(1x2 ) ,则 f ( x) =_______.2二. 单项选择题2 x 1. 若函数 f (x) 满足关系式 f ( x)tf ( )dt ln 2 ,则 f (x) 等于(A)e x ln 2(B)e2 x ln 2(C)e x ln 2(D)e2 x ln 22.微分方程 y' 'y e x1的一个特解应具有形式(式中 a、 b 为常数 )(A)ae x b(B)axe x b (C) ae x bx(D) axe x bx三. 解下列微分方程:dy3( x 1) 2 (1 y 2 )1. dxy| x 012. (1y2 )dx x(1 x) ydy0dy13.1dx x y四. 解下列微分方程:yy1. y' e xx2.xdy ydx x2y 2 dxy y3. ( x y cos )dx x cos dy0x x五. 解下列微分方程:1.y' y cos x e sin x1x2.x2 y' y x2 e x3.xy' ln x y ax(ln x1)4.y' sin x cos x y sin3 x0六. 解下列微分方程:1.y' y tan x sec x， y(0)02.y' y cos x sin x cos x， y(0)13.y' x sin 2 y xe x2 cos2 y， y( 0)4七. 解下列方程 :1.y' ' 2 2 y' 2 y02.y' ' 2 y' 3y03.y' ' 2 y' 3y0八. 解下列方程 :x 23 )e2x 1. y' ' 4 y' 4y (1 x2.y' ' 3 y' 2y cos 2x3.y' ' 2 y' y5xe x4. 2 y' ' 2 y' 3 y x22x 15.y' ' y' x21第十章函数方程与不等式证明11aa n 1a n一. 证明不等式ln a( n 1) 21 1n 1 a n. (a > 1, n 1)n 2二. 若 a0, b 0, 0 < p < 1, 证明( ab) p a p b p三. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上有连续导数 , 满足 0f ' ( x) 1且 f (0)0. 求证1 213( x)dxf ( x)dxf四. 求证| a |p | b |p 21 p (| a | | b |) p , (0 < p < 1).五. 求证 : 若 x + y + z = 6,则 x2y 2 z 2 12 , (x 0, y 0, z0).六.证明 : 1 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上2 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上f ' ' ( x) 0，则 (b a) f ( a) f ( x) dx (b a)f (a)f (b)ba2f ' ' ( x) 0 ，则 ( b a) f (b) f ( x)dx ( b a) f (a) f (b)ba2x1x2x n x12x22x n2七. 证明 : 1n nx1x2x n nx1 x2x n2n八. 设f ' ' ( x)c[ a, b] , 且f (a)f (b) 0, 求证f (x) dx(b a) 3ba12a x b九. 若 f ' ( x) 在 [0, 2 ] 上连续 , 且 f ' (x)2 2[ f (2 ) f (0)]0, n(正整数 )有f ( x) sin nxdxn十. 设在 [a, b] 上 f ' ' ( x) 0 , a < x 1 < x 2 < b, 0 << 1, 试证 :f ( x 1 ) (1 ) f ( x 2 ) f [ x 1 (1) x 2 ]第十一章微积分在经济中的应用一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为 x 时的边际成本函数为 C ' 40 20 x3x 2, 边际收益为R'32 10x ,试求: ( 1 )总利润函数 ; ( 2 ) 使总利润最大的产量 .二. 设某商品的需求量Q 是单价 P(单位 : 元 )的函数 : Q = 12000 －80P; 商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数 : C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税 2 元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.三. 一商家销售某种商品的价格满足关系P = 7－ 0.2x(万元 / 吨), x 为销售量 ( 单位 :吨 ), 商品的成本函数C3x 1(万元). (1)若每销售一吨商品政府要征税 t ( 万元 ), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时 , 政府税收总额最大 .四 . 设某企业每月需要使用某种零件2400 件 , 每件成本为150 元, 每年库存费为成本的 6 , 每次订货费为100 元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).。
考研高数试题及答案
考研高数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_5。
A. 17B. 15C. 13D. 11答案：A4. 设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(-1)。
A. 4B. 2C. 0D. 1答案：A5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=______。
答案：3x^2-12x+117. 计算定积分∫(0,2) (x^2-2x+1) dx=______。
答案：48. 设数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=a_n+n，求a_5=______。
答案：159. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(1)=______。
答案：-110. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e三、解答题（每题10分，共60分）11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
当x<1或x>11/3时，f'(x)>0；当1<x<11/3时，f'(x)<0。
因此，x=1是极大值点，x=11/3是极小值点。
12. 计算定积分∫(1,3) (2x-1)/(x+1) dx。
答案：首先进行积分，∫(2x-1)/(x+1) dx = ∫(2-2/(x+1)) dx = 2x - 2ln|x+1| + C。
高等数学考研复习试题及答案
高等数学考研复习题与答案一、填空题1．设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于对称。
2．若⎩⎨⎧<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(πy . 3． 极限limsinsin x x x x→=021。
4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____,=b _____。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂=。
7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为和。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f .11.=⎰xdx x 2sin 2.12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π. 13．若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则_________=k 。
14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )14(22 15.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Dfdxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为____. 17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值围是.18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x . 19. 方程01122=-+-ydy xdx 的通解为20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为.21.当n=_________时，方程n y x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编31(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编31(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，则f(xy)dxdy等于( ) A．∫－11dxf(xy)dy。
B．2∫02dyf(xy)dx。
C．∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)dr。
D．∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr。
正确答案：D解析：积分区域如图所示。
在直角坐标系下，故应排除A，B。
在极坐标系下，则f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr，故应选D。
知识模块：二重积分2．设f(x，y)为连续函数，则∫0π／4dθ∫01f(rcosθ，rsinθ)rdr等于( ) A．B．C．D．正确答案：C解析：先还原出积分区域，由于r的取值范围为0到1，可知积分区域在圆x2+y2=1的内部；又由于θ的取值范围为0到π／4，可知积分区域为x的正半轴和射线θ=π／4之间的部分。
如图所示：由积分区域的形状可知，应该先对x 积分，可得原式=f(x，y)dx。
知识模块：二重积分3．设函数f连续，若F(u，v)=dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则=( )A．vf(u2)。
B．v／uf(u2)。
C．vf(u)。
D．v／uf(u)。
正确答案：A解析：图中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤v，1≤r≤u。
因此可知F(u，v)=dxdy=∫0vdθ∫1uf(r2)／rrdr=v∫1uf(r2)dr，根据变限积分求导可得=vf(u2)。
知识模块：二重积分4．设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，y=x围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则f(x，y)dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：先作出积分区域的图形，如下图：可知θ的取值范围为π／4≤θ≤π／3，r的取值范围为，另外需要注意极坐标和直角坐标之间的变换公式为dxdy=rdθdr。