华东师范大学九年级下册数学知识点总结
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华师大版九年级下册数学知识点总结Jenny was compiled in January 2021华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。
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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
九年级数学下册_阶段数学重点知识点_华东师大版
b b 2 4ac 2 x (b 4ac 0) . 2a
8. 解一元二次方程的基本思路是 : 将二次方程转化为一次方程 , 通过降次求解. 我们要根据 一元二次方程的具体特点 , 灵活地运用上述四种方法 , 使解题过程简易, 避免大量的运算 . 配方法和公式法适用于所有的一元二次方程. 9. 分母中 含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程有可能产生 增根 是分式方程的一个特点, 因为在利用“去分母” 把分式方程转化为整式方程时 , 方程两边都乘以含有未知数的整式 , 而这个整式的值有可 能是零, 这种变形不满足方程的两边不能乘以零, 所以就产生了不满足原方程的根 , 称为 “增根”. 检验出增根要舍去.
是菱形. 是菱形. 是菱形.
18.中点四边形: (1)顺次连接 任意 (2)顺次连接 的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形. 的四边形各边中点所得的四边形是矩形. 的四边形各边中点所得的四边形是菱形. 的四边形各边中点所得的四边形是正方形.
对角线垂直
(3)顺次连接 对角线相等
(4)顺次连接 对角线垂直且相等
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5．(1)平行于 (2)垂直于
同一条直线 同一条直线
的两直线平行. 的两直线平行.
6．三角形的分类: (1)三角形按边的关系分类如下:
(2)三角形按角的关系分类如下: 三角形
三角形
7.三角形全等的判定: (1)边角边公理(简写成 SAS ) (2)角边角公理(简写成 ASA ) (3)边边边公理(简写成 SSS ) (4)斜边、直角边公理(简写成 HL ) 8.证明一个三角形是等腰三角形的方法: ① 有两边相等的三角形是等腰三角形. ② 等角对等边; 9.证明一个三角形是等边三角形的方法: ① 利用定义证明:证明三条边相等. ② 证明三角形三个角相等. ③ 证明它是等腰三角形并且已有一个角是 60°. 10.等腰三角形的性质定理的推论: 等腰三角形的 顶角平分线 底边中线、底边高线 11.多边形内角和公式：
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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地,形如2=++a b cy ax bx c，，是常数,0a≠的函数,叫做二次函数;这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a≠,而b c，可以为零;二次函数的定义域是全体实数;2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2;⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项;二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大,抛物线的开口越小;2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+,确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”;概括成八个字“左加右减,上加下减”; 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=，;五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，;当2b x a<-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -;2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，;当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -;七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示;二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠; ⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大;总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小; 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴;⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧;⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧;总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置;ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负;总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置; 总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的; 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法;用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便;一般来说,有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式; 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k=-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=--+;5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变;求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式;十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200axbx c a ++=≠的两根;这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >；2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <;2. 抛物线2=++的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,)c；y ax bx c3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2=++中a,b,c的符号,或由y ax bx c二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)++≠本ax bx c a身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例,揭示二次函数、Array二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少第二十七章：圆一、知识回顾圆的周长：C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr2圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=πR2-r2R 是大圆半径,r 是小圆半径 二、知识要点 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：2-32y=-2x2y=-2(x-3)1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心;连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径;圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧;2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线; 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系外离图1⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切图2⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；A相交图3⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切图4⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含图5⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； 2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论; 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等;即：在⊙O 中,∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角;圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等; 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,BD只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角; 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半;即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径;即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理; 八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角;即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点;推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心; 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个;十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角; 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ 十一、圆幂定理1相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等; 即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅2推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项; 即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图;A即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦; 如图：12O O 垂直平分AB ;即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： 1公切线长：12Rt O O C ∆中,221AB CO ==2外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 ;十四、圆内正多边形的计算 1正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；2正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::OE AE OA =3正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::2AB OB OA =.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式lO1、扇形：1弧长公式：180n Rl π=； 2扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积 2、圆柱：1A 圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=222rh r ππ+B 圆柱的体积：2V r h π=2A 圆锥侧面展开图S S S =+侧表底=2Rr r ππ+B 圆锥的体积：213V r h π= 第二十八章 样本与总体二.重点、难点： 1.重点：⑴了解普查与抽样调查的概念,并能根据实际情况确定收集数据的方式；⑵了解总体、个体、样本等概念,能够指出研究对象的总体、个体与样本；C 1D 1⑶学会用科学的随机抽样的方法,选取合适的样本进行抽样调查,用样本估计总体；⑷通过整理和分析数据,准确地作出决策;2.难点：⑴正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等,并能选择合适的样本看总体；⑵能够对数据的来源,处理数据的方法,以及由此得到的结果进行合理的分析;三.知识梳理：。
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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。
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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
华师大版九年级下册数学重点整理
华师大版九年级下册数学重点整理第一章：有理数的运算
- 有理数的加减法
- 有理数的乘除法
- 有理数的混合运算
- 有理数的绝对值
第二章：平方根与立方根
- 平方根的概念与性质
- 平方根的运算
- 立方根的概念与性质
- 立方根的运算
第三章：代数式的加减
- 代数式的加减运算
- 多项式的加减运算
- 简单的代数方程
第四章：一次函数与一次方程
- 一次函数的性质与图像
- 一次函数的斜率与截距
- 一次方程的解
- 实际问题中的一次方程
第五章：图形的平移、翻折与旋转
- 平移变换
- 翻折变换
- 旋转变换
第六章：几何体的表面积和体积
- 立体图形的表面积
- 立体图形的体积
- 空间几何体的投影
第七章：数据的收集与整理
- 调查与统计
- 数据的整理与显示
- 数据的分析与解读
第八章：概率与统计
- 随机事件与样本空间
- 事件的概率
- 统计图表的制作和分析
以上是华师大版九年级下册数学的重点整理，通过学习这些知识，你将能够更好地理解与应用数学的基本概念和运算方法。
加油！。
华师大版九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1。
二次函数基本形式:2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：3。
()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减"。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。
华师大版九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++〔a b c ，，是常数，0a ≠〕的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的构造特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞。
概括成八个字“左加右减，上加下减〞。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中。
华东师范大学九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。
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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1。
二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4。
()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移;k 值正上移,负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
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一、二次函数概念：华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数1、二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a 何何b c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b 何2、二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：c 可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2。
⑵ a 何何b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数， c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.y =ax2 +c 的性质：3.y =a (x -h)2的性质：4.y =a (x -h)2 +k 的性质：1.平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h)2 +k ，确定其顶点坐标(h何k )；三、二次函数图象的平移⑵ 保持抛物线y =ax2的形状不变，将其顶点平移到(h 何k )处，具体平移方法如下：2a ⎝ ⎭【【(k >0)【【【【(k <0)【【【 |k |【【【【 【( h >0)【【【( h <0【 【 【 |k|【【【【 【( h >0)【【【( h <0) 【 【 |k|【【【【 【( k >0)【【【( k <0)【 【 【 |k |【【【【 【( h >0)【【【( h <0)【 【 【 |k|【【【y=a (x-h )2【【(k >0)【【【(k <0)【【【 |k |【【【2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y=a (x-h )2+ky = ax 2 + bx + c 变成 y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位，y = ax 2 + bx + c 变成 y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者， ⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭，其中 h = - 何 k = 。
九年级数学下册_阶段数学重点知识点_华东师大版
1 数学重点知识点一、数与代数：1.无限不循环的小数叫做无理数. 常见无理数有三类:(1)π(2)开方开不尽的数.如,…(3)无限不循环有规律的数,如1.020020002…2.有效数字: 一个数,从左边第一个不是零的数字起到所精确的数位止,其中所有的数都是有效数字.如0.02080的有效数字有四个: 2, 0,8,03．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（a ≠0）4．一元二次方程的标准形式： ax 2+bx+c=0（a ≠0）5．一元二次方程的四种基本解法：(1)直接开平方法(2)因式分解法.(3)配方法.(4)公式法.6. 一元二次方程根的的判别式:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中, Δ=b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c＝0(a ≠0)的根的判别式.根的判别式可以直接判断一元二次方程根的情况:①当 Δ＞0 时,方程有两个不相等的实数根;②当 Δ=0 时, 方程有两个相等的实数根;③当 Δ＜0 时, 方程没有实数根.④当 Δ≥0 时,方程有两个实数根.7. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式:. 8. 解一元二次方程的基本思路是: 将二次方程转化为一次方程, 通过降次求解. 我们要根据一元二次方程的具体特点, 灵活地运用上述四种方法, 使解题过程简易, 避免大量的运算.配方法和公式法适用于所有的一元二次方程.9. 分母中 含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程有可能产生 增根 是分式方程的一个特点, 因为在利用“去分母”把分式方程转化为整式方程时, 方程两边都乘以含有未知数的整式, 而这个整式的值有可能是零, 这种变形不满足方程的两边不能乘以零, 所以就产生了不满足原方程的根, 称为“增根”. 检验出增根要舍去.23)04(2422≥--±-=ac b aac b b x210. 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”. 它的一般解法是: ⑴去分母, 方程两边都乘以 最简公分母 ;⑵解所得的 整式方程 ;⑶ 检验 , 将所得的根代入最简公分母, 若等于零, 就是增根, 应该舍去; 若不等于零, 就是原方程的根.11. 二元一次方程组的解集必须用“｛”12. “不大于”是指“≤”. “不小于”是指“≥”.13.一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况, 如图所示:⑴ x ＞a 如图1所示:⑵ x ＜a 如图2所示: 图1 图2⑶ x ≥a 如图3所示:⑷ x ≤a 如图4所示: 图3 图414.注意不等式基本性质3: 不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数 ,不等号的方向改变.即如果a ＞b,并且c ＜0,那 ac ＜bc ,. 15. 一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用 数轴 求出这些不等式的解集的公共部分, 即这个不等式组的解集. 求不等式组公共解的一般规律: 同大取大, 同小取小, 大小小大中间找, 大大小小解不了.(3)注意有时解不等式或不等式组求特殊解的情况,如求正整数解等.(4)注意不等式组的解集在数轴上表示时包含此点用实心,不含用空心.16.实际应用题注意检验解的合理性.17.数轴上的点与 实数 是一一对应的；坐标平面上的点与 有序实数对 是一一对应的。
华师大版九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零。
二次函a≠，而b c数的定义域是全体实数。
2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数的基本形式1. Array二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+的性质：y ax c3.()2y a x h =-的性质： 4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结
华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地；形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数；0a≠）的函数；叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似；二次项系数0a≠；而b c，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数；右边是关于自变量x的二次式；x的最高次数是2。
⑵a b c，，是常数；a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大；抛物线的开口越小。
y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+；确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变；将其顶点平移到()h k ，处；具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移；负左移；k 值正上移；负下移”。
概括成八个字“左加右减；上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位；c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位；c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看；()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式；后者通过配方可以得到前者；即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭；其中2424b ac b h k a a-=-=，。
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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。
五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-。
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-。
七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。
二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠。
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴。
⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧。
⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧。
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置。
ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负。
总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置。
总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。
二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。
一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+。
5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。
求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。
十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根。
这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。
2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2第二十七章：《圆》一、知识回顾圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr ²圆环面积计算方法：S=πR ²-πr ²或S=π（R ²-r ²）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O 为圆心。