抛物线的几何性质2

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小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、
离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
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作业
P64 A组T4,5 Ｂ组Ｔ２
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通径长为2p
y
P
O
F
x
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图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( ,0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0）
l
y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0
y
O
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y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2 x2
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l
x∈R
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
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练习:1.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为450
的直线,则被抛物线截得的弦长为
2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线,设L 交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.
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例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O D B
x
练习:P68 T3
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例4.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个 点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边 长.
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为 A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2
P越大,开口越开阔
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例题
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, 2 2)的抛物线有几条,求它的标准方程, 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为 y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
抛物线的几何性质
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类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质: (1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点.
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(4)离心率
(5)焦半径 (6)通径
始终为常数1 |PF|=x0+p/2