07-绝对值与一元一次方程专项训练(含答案)经典

凡是满足 1 ≤x≤2 的 x 值都是方程的解. 2
10.当 k<0 时,原方程无解;
当 k=0 时,原方程有两解:x=-1 或 x=-5;
当 0<k<2 时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);
当 k=2 时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1 或 x=-7 或 x=-3;
的整数 x;如果不存在,说明理由.
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【学力训练】(答案)
1.± 10 、2 或 0 2.0 或-1 3.5 7
4.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1 得 a×1≥0,即 a≥0
5.D 6.B 7.A 8.D
三、综合创新 21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求 x+y 的最大值与最小值.
(第 15 届江苏省竞赛题)
22.(1)数轴上两点表示的有理数是 a、b,求这两点之间的距离; (2)是否存在有理数 x,使│x+1│+│x-3│=x? (3)是否存在整数 x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有
(1)││3x-5│+4│=8;
(2)│4x-3│-2=3x+4;
(3)│x-│2x+1││=3;
(4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.
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10.讨论方程││x+3│-2│=k 的解的情况.
解:x=11
提示:原方程 5x+6=±(6x-5)或从 5x+6≥0、5x+6<0 讨论.
【例 2】适合│2a+7│+│2a-1│=8 的整数 a 的值的个数有( ).
A.5
B.4
C.3
D.2
(第 11 届“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷
(2)当 a=1 时,原方程解为 2≤x≤3;
(3)当 a<1 时,原方程无解.
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学力训练
一、基础夯实
1.方程 3(│x│-1)= | x | +1 的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 5
5.使方程 3│x+2│+2=0 成立的未知数 x 的值是( ).
A.-2
B.0
C. 2 3
6.方程│x-5│+x-5=0 的解的个数为(
D.不存在 ).
A.不确定 B.无数个
C.2 个 D.3 个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)
7.已知关于 x 的方程 mx+2=2(m-x)的解满足│x- 1 |-1=0,则 m 的值是( ). 2
解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性 质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.
例题求解
【例 1】方程│5x+6│=6x-5 的解是_______.(2000 年重庆市竞赛题)
思路点拨 设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.
当 a=±3 时,•方程有无穷多个解; 当 a>3 或 a<-3 时,方程无解. 21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,• 由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1 且-1≤y≤5 时,上式成立, 故当 x=-2,y=-1 时,x+y 有最小值为-3; 当 x=1,y=5 时,x+y 的最大值为 6. 22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.
【例 4】解下列方程:
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(1)│x+3│-│x-1│=x+1;
(北京市“迎春杯”竞赛题)
(2)│x-1│+│x-5│=4.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行
15.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B
19.提示:若 b+3、b-3 都是非负的,而且如果其中一个为零,则得 3 个解;
如果都不是零,则得 4 个解,故 b=3.
20.提示:由绝对值几何意义知:
当-3<a<3 时,方程有一解;
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15.若 m 是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).
A.m-2001
B.-m-2001
C.m+2001
D.-m+2001
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16.若关于 x 的方程│2x-3│+m=0 无解,│3x-4│+n=0 只有一个解,│4x-5│+•k=0 有两个
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绝对值与一元一次方程
知识纵横
绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我 们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.
解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的 方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.
当 k>2 时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).
11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.
14.7、21
提示:当 0<x<3 时,则有│x-3│=3-x=a,a 的解是 1,2;
当 3≤x<10 时,则有│x-3│=x-3=a,a 的解为 0,1,2,3,4,5,6
的解题途径.
解:选 B
提示:由已知即在数轴上表示 2a 的点到-7 与+1 的距离和等于 8,•所以 2a 表示-7 到 1
之间的偶数.
【例 3】解方程:
│x-│3x+1││=4;
(天津市竞赛题)
思路点拨 从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.
解:x=- 5 或 x= 3 提示:原方程化为 x-│3x+1=4 或 x-│3x+1│=-4 42
解,则 m、n、k 的大小关系是( ).
A.m>n>k B.n>k>m
C.k>m>n
D.m>k>n
17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6 的整数 x 的值有( )个.
A.0
B.1 C.2
D.大于 2 的自然数
18.方程│x+5│-│3x-7│=1 的解有( ).
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个
综上知原方程的解为 x=-5,-1,3.
(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数 x 的点到表示数 1 及 5 的距离和等于 4,画
出数轴易得满足条件的数为 1≤x≤5,此即为原方程的解.
【例 5】已知关于 x 的方程│x-2│+│x-3│=a,研究 a 存在的条件,对这个方程的解进
行讨论.
思路点拨 方程解的情况取决于 a 的情况,a 与方程中常数 2、3 有依存关系,这种关系
19.设 a、b 为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3 有三个不相等的解,•求 b 的值.
(“华杯赛”邀请赛试题)
20.当 a 满足什么条件时,关于 x 的方程│x-2│-│x-5│=a 有一解?有无数多个解?无解?
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9.(1)x=3 或 x= 1 ; 3
(2)x=9 或 x=- 3 ; 7
(3)x=- 4 或 x=2; 3
(4)提示:分 x<-1、-1≤x< 1 、 • 1 ≤x≤2、x≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程, 22
当考虑到 1 ≤x≤2 时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即 1=1,这是一个恒等式,说明 2
2.已知│3990x+1995│=1995,那么 x=______.
3.已知│x│=x+2,那么 19x99+3x+27 的值为________.
4.关于 x 的方程│a│x=│a+1│-x 的解是 x=0,则 a 的值是______;关于 x 的方程│a│x=
│a+1│-x 的解是 x=1,则有理数 a 的取值范围是________.
讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几
何意义迅速求解.
解:(1)提示:当 x<-3 时,原方程化为 x+3+(x-1)=x+1,得 x=-5;
当-3≤x<1 时,原方程化为 x+3+x-1=x+1,得 x=-1;
当 x≥1 时,原方程化为 x+3-(x-1)=x+1,得 x=3.
A.10 或 2 5
B.10 或- 2 5
C.-10 或 2 5
D.-10 或- 2 5
(2000 年山东省竞赛题)
8.若│2000x+2000│=20×2000,则 x 等于( ).
A.20 或-21
B.-20 或 21
C.-19 或 21
D.19 或-21
(2001 年重庆市竞赛题)
9.解下列方程:
决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴
是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.
解:提示:数轴上表示数 x 的点到数轴上表示数 2,3 的点的距离和的最小值为 1,由此可
得方程解的情况是:
(1)当 a>1 时,原方程解为 x= 5 a ; 2
二、能力拓展ຫໍສະໝຸດ Baidu
11.方程││x-2│-1│=2 的解是________.
12.若有理数 x 满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.
13.若 a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b 成立的 x 的取值范围是______.
(武汉市选拨赛试题)
14.若 0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数 a•的值共有_____•个,•它们的和是____.