含绝对值的一元一次方程解法
一元一次方程(2)——解含绝对值的一元一次方程
一元一次方程（2）——解含绝对值的一元一次方程一、含绝对值的一次方程（我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．）1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如 ax b c(a 0)型的绝对值方程的解法：①当c 0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当c 0时，原方程变为ax b0，即axb；b0，解得xa③当c 0 时，原方程变为ax b c或ax bcb或xc b c，解得xa．a（2）形如ax b cx d(ac 0)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知cx d 0 ，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d和ax b (cx d)；③分别解方程ax b cx d和ax b (cx d)；④将求得的解代入cx d 0检验，舍去不合条件的解．（3）形如ax b cx d(ac 0)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d或ax b (cx d)；②分别解方程ax b cx d和ax b (cx d)．（4）形如x a xb c(a b)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b ab；②当c a b时，此时方程无解；当c a b时，此时方程的解为ax b；当cab时，分两种情况：①当x a时，原方程的解为x ab c；②当x b时，原方程的解为2x a b c．2（5）形如axbcxdexf(ac0)型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令ax b 0，得xx1，令cxd0得x x2；②零点分段讨论：不妨设x1x2，将数轴分为三个区段，即①xx1；②x1 xx2；③xx2；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如ax b cxd ex f(a0)型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知ex f 0，求出x的取值范围；解方程并检验，舍去不符合②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程ax b ex f (cxd) 和ax b (ex f) (cxd) ；③解②中的两个绝对值方程．黑体小四黑体小四一、含绝对值的一次方程黑体小四1．含绝对值的一次方程的解法例1、（1）2x35x11 2x1 （2） 12 32x 10的解为例2、方程 3 ．2例3、解方程x 2005 2005x 2006例4、已知：当m n时，代数式m2n22n25的值互为相反数，求关于x的3和m2方程m1 x n的解．例5、（1）4x32x9 （2）x52x5例6、（1）2x13x1 （2）x1x34 （3）x 2 x 1 6 （4）2x 1 2 x 3例7、（1）2x3x14x3 （2）x33x 9x523x 5（2）3x548例8、（1）x 162（3）2x 1 1 2 （4）x 3x 1 4例9、解方程：x 2 1 2x 1例10、求方程x 3x 1 4的解．例11、当0≤x≤1时，求方程x 1 1 1 0的解例12、解方程：x 1 1 1 1 0黑体小四2．含绝对值的一次方程解的讨论例13、不解方程直接判断方程①2x 4 3 0；②3x 2 x；③x 3 3 x；④x 2 x 0无解的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例14、证明：方程x x 1 x 2 x 3只有一个解．黑体小四二、含字母系数和绝对值的一次方程黑体小四1．含字母系数和绝对值的一次方程的解法楷体五号例15、求关于x的方程1x2 3a的解．2例16、解关于 x的方程 x 1 x 5 a．例17、解方程x 3 2 k例18、求x 2 1 a 0(0 a 1)的所有解的和．楷体五号2．含字母系数和绝对值的一次方程解的讨论楷体五号例19、若关于x的方程2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解，4x 5 k 0有两个解，则m，n，k的大小关系为（）A．m n k B ．n k m C．k m n D．m k n例20、方程m 8 m 8 0的解的个数为（）A．2个B．3个C．无数个D．无数个例21、若x 2 1 a有三个整数解，求a的值．例22、设a、b为有理数，且 a 0，方程x a b 3有三个不相等的解，求b的值．例23、已知关于 x的方程kx 3 2x有一个正数解，求k的取值范围．例24、已知方程x ax 1有一个负根而没有正根，求a的取值范围．。
含有绝对值的一元一次不等式及其解法
含绝对值的一元一次不等式及其解法
教师：李劲松
Tieling teachers’ college
含有绝对值的方程
︱x︱= a (a>0)
-a 0 a
X= a 或 -a
x
由此可见，此绝对值方程表示的是： 数轴上到0点的距离为a的点的集合。
含 有 绝 对 值 的 一 元 一 次 不 等 式
sun wenjing
同学们再见！
含 有 绝 对 值 的 一 元 一 次 不 等 式
Tieling teachers’ college
Sun wenjing
解： 原不等式等价于： 解法2：原不等式可等价于： 含 有 -4<x-2<4 x-2>-4 绝 对 不等式两侧同时加上2得： x-2<4 值 -2<x<6 的 解得： x>-2 一 ∴原不等式的解集为： 元 x<6 ｛x︱ -2<x<6 ｝ 一 ∴原不等式的解集为： 次 不 ｛x︱ -2<x<6 ｝ 等 式 Sun wenjing Tieling teachers’ college
Sun wenjing
含有绝对值的不等式 小结：
︱x︱< a 的解集是：｛x︱-a<x<a｝ ︱x︱> a (a>0)的解集是： ｛x︱x< -a 或 x > a｝
含 有 绝 对 值 的 一 元 一 次 不 等 式
Tieling teachers’ college
Sun wenjing
例1 ︱x－2︱< 4
课外练习 1.已知 A x 1 x 2
B x x a 1
知识点106 含绝对值符号的一元一次方程解答题
三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。
专题：阅读型。
分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。
含绝对值的一元一次方程解法
含绝对值的一元一次方程解法引言一元一次方程是数学中常见的方程类型。
然而，当方程中含有绝对值时，解题变得更加复杂。
本文将介绍含绝对值的一元一次方程的解法，并提供简单的策略来解决这类问题。
解法步骤解含绝对值的一元一次方程可以按照以下步骤进行：1. 确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。
绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。
确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。
绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。
2. 列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。
对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。
列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。
对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。
3. 解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。
这些解将是含绝对值的方程的解。
解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。
这些解将是含绝对值的方程的解。
4. 检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。
只有满足条件的解才是方程的真正解。
检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。
只有满足条件的解才是方程的真正解。
简单示例让我们通过一个简单的示例来演示含绝对值的一元一次方程的解法。
题目：解方程 $|2x - 3| = 5$。
解方程 $|2x - 3| = 5$。
解法：1. 绝对值的取值范围为非负数，所以我们可以将方程改写为两个等式：- $2x - 3 = 5$，对应于绝对值内的表达式为正数的情况。
- $2x - 3 = -5$，对应于绝对值内的表达式为负数的情况。
2. 解第一个等式：$2x - 3 = 5$。
解得 $x = 4$。
专练：含绝对值的一元一次方程的解法
含绝对值的一元一次方程的解法之吉白夕凡创作1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变成0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变成ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． 解方程：⑴235x +=⑵21302x --=⑶200520052006x x -+-=⑷1121123x x +--+-= （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去分歧条件的解． 解方程⑴4329x x +=+⑵525x x -+=-（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． 解方程⑴23a a =-⑵2131x x -=+（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-；②当c a b <-时，此时方程无解； 当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤； 当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b cx ++=． 解方程⑴134x x -+-=⑵154x x -+-=⑶216x x -++=（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：无妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． 解方程⑴2123x x +--=⑵2134x x --+=⑶23143x x x +--=-（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：依照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．【题01】解方程93352x x x ++-=+35162x x ---=3548x -+= 【题02】解方程：2112x --=2121x x -+=+314x x -+=11110x ----= 【题03】当01x ≤≤时，求方程1110x ---=的解。
绝对值与一元一次方程(含问题详解)-
绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、•12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。
63含绝对值符号一元一次方程全部详细的答案解析
6.3含绝对值符号一元一次方程全部(详细的答案解析)一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，即未知数的最高次数为1。
而含有绝对值符号的一元一次方程可以分为两种情况：一种是绝对值内含有未知数的情况，另一种是绝对值外含有未知数的情况。
下面将详细解析这两种情况。
1. 绝对值内含有未知数的情况：这种情况下，方程的形式为 |ax + b| = c，其中a、b、c为已知数且a≠0，x为未知数。
首先，我们需要注意绝对值的定义：|m| = m (当m≥0)，|m| = -m (当m<0)。
根据这个定义，我们可以将上述方程分为两种情况来进行讨论。
情况1：ax + b ≥ 0，即ax + b的值大于等于0。
此时，方程可以简化为 ax + b = c，解得 x = (c - b) / a。
情况2：ax + b < 0，即ax + b的值小于0。
此时，方程可以简化为 -(ax + b) = c，解得 x = (b - c) / a。
因此，绝对值内含有未知数的一元一次方程的解为 x = (c - b) / a 或 x =(b - c) / a，具体取决于ax + b的值是大于等于0还是小于0。
2. 绝对值外含有未知数的情况：这种情况下，方程的形式为 a|x + b| = c，其中a、b、c为已知数且a≠0，x为未知数。
同样地，我们需要注意绝对值的定义：|m| = m (当m≥0)，|m| = -m (当m<0)。
根据这个定义，我们可以将上述方程分为两种情况来进行讨论。
情况1：x + b ≥ 0，即x + b的值大于等于0。
此时，方程可以简化为 a(x + b) = c，解得 x = (c / a) - b。
情况2：x + b < 0，即x + b的值小于0。
此时，方程可以简化为 -a(x + b) = c，解得 x = -((c / a) + b)。
因此，绝对值外含有未知数的一元一次方程的解为 x = (c / a) - b 或 x = -((c / a) + b)，具体取决于x + b的值是大于等于0还是小于0。
一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．（2014秋•新洲区期末）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10B.-8C.-10D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由题意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系数化为1得710x=．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x=-．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-．【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x-+=-．再去中括号得：1112224433x x x-+=-．移项，合并得：5111212x-=-．系数化为1，得：115x=．解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-．去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=．解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-．去中括号，得1112(1)(1)(1) 2243x x x-+--=-．移项、合并，得51(1)122x--=-．解得115x=．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭．去大括号111110 16842x----=．移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--=⎪⎝⎭．移项，得111722x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得11142x-=．移项，得1152x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程11111641 2345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642 345x⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项、合并同类项，得111162 345x⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边同乘以3，得11166 45x⎛⎫--=-⎪⎝⎭．移项、合并同类项，得1110 45x⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边同乘以4，得110 5x-=．移项，得115x=，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程4．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【答案与解析】解：原方程可化为6x﹣=，两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移项合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y =． 类型四、解含绝对值的方程 5．解方程：3|2x|-2＝0 ． 【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值．【答案与解析】 解：原方程可化为：223x =． 当x ≥0时，得223x =，解得：13x =， 当x ＜0时，得223x -=，解得：13x =-， 所以原方程的解是x ＝13或x ＝13-． 【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再根据（ax b +）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣），解之得：m=2. 类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -=【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k-≠原方程的解为：64xk=-为正整数，∴4k-应为6的正约数，即4k-可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.。
七年级培优专题：解含绝对值的一元一次方程
绝对值邂逅一次方程模型①c=+b ax 1、解方程：4x -2=333-=+x 2、244-23=x 112-x 72=+ 2122-x 3-=+711-x 2-=+3、已知关于x 的方程有两个解，求a 的取值范围。
a 43-23=+x 模型②dcx +=+b ax 1、2x 1=-x 1x 1-2+=x 2、63x 3-4+=x 5-765x x x =++1x 23=-+x多重绝对值方程怕不怕1.解方程：34-2-x =2.解方程：32-x -2=3.已知满足的x 有2个，求a 的取值范围。
a 1-2-x =多个绝对值方程怕不怕1.____x ,64x 2-x 的取值范围是则已知=++2.____,842-==++x x x 则已知3.____x ,54--3==+则已知x x 4.____x ,74--3的取值范围为则已知-=+x x5.。
____x ,74-232的取值范围是则已知=++x x 6.个。
的整数解共有_____127x 25-x 2=++7.个。
的值的个数有的整数符合_____81-2-72x x x =+含绝对值的方程组1.已知，则x=___，y=_____6y x ,12y x =+=+2.____y x ,12y -y x 10,y x x =+=+=++则3.已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则x+y=______。
4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________.5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y 的值。
6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则a 2+b 2=______数形结合突破绝对值1.已知，求y 的取值范围。
2-x 1-x +=y 2.当a 满足什么条件时，方程分别有2个解？无解？无数解？a 2-x 1-x =+3.已知，求y 的取值范围。
2-x -1-x =y 4.当a 满足什么条件时，方程分别有1个解？无解？无数解？a 2-x -1-x =5.____m m 5-x 4x 3-x 2x 1-x 的最大值为，恒成立，则若≥++++++6.____y x ,4x 3-x 2-1x y 的取值范围是可以取所有实数，则且已知+++=小结：解含绝对值的二元一次方程组时，分类讨论是万能的，但不到万不得已不要轻易用，杀敌一千自损八百。
解含绝对值的一元一次方程
解含绝对值的一元一次方程--分类讨论【知识点】
去掉绝对值符号将方程转化为两个一元一次方程去解决
x+=
243
x+=-
x+或243
24
【练习题】
1.先阅读下面的解题过程，再解决问题
解方程：|x＋3|＝2.
解：当x＋3≥0时，原方程可化为x＋3＝2，
解得x＝－1；
当x＋3＜0时，原方程可化为x＋3＝－2，
解得x＝－5.
所以原方程的解是x＝－1或x＝－5
(1)解方程：|3x－1|－5＝0
(2)探究：当b为何值时，方程|x－2|＝b，①无解；①只有一个解；①有两个解
2.若45
x-=，求x的值3.若21
x-=，求x的值4.若31
x-=，求x的值5.若76
x-=，求x的值6.若12
x-=，求x的值7.若235
x+=，求x的值
8. 若33x x +=-，求x 的值
9. 若26x x -=-，求x 的值
10. 若43x x -=-，求x 的值
11. 若15x x +=-，求x 的值
12. 若111542x x +=
-，求x 的值
13. 若()23143x x +=--+，求x 的值
答案
1.2或4
；因为|x－2|≥0，所以：①当b＜0时，方程无解；②当b＝0时，方
3
程只有一个解；③当b＞0时，方程有两个解
2.-1或9
3.1或3
4.4或2
5.1或13
6.3或-1
7.1或﹣4
8.0
9.4
10.7
2
11.2
12.24或16
3
13.24或6
5。
几种类型的一元一次方程的解法
几种类型的一元一次方程的解法 解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.一、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（ ）.（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13（D ）无解 解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，分别解得113x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（ ）.（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得： 当x a =时，||0x a -=；当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.（A ）20或－21 （B ）－20或21（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.同步练习：1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（ ）.（A ）10或25 （B ）10或－25（C ）－10或25 （D ）－10或－253.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.答案：1.x =－10；2.（C ）；3.11x = .（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+ 分析与解：（1）定零点令x ＋3＝0，x －1＝0.解得x ＝－3，x ＝1.（2）对x 的取值分段讨论以－3，1为界将数轴分为三段，即x ≤－3，－3＜x ≤1，x ＞1.（3）分别在每一段上讨论当x ≤－3时，－x －3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－5.当－3＜x ≤1时，x ＋3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－1.当x ＞1时，x ＋3－x ＋1＝x ＋1，解得x ＝3.同步练习：1.（2000年“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a+等于（ ）.（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a2.（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1答案：1.（D）；2.（C）.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8++-=a a的整数的值的个数有（）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2解：由已知知，即在数轴上表示2a的点到－7和＋1的点的距离的和等于8，所以2a表示－7到＋1之间的偶数，有－6、－4、－2、0四个.故选（B）.例 6.（1999年武汉市竞赛题）若0,0><则使a b-+-=-成立的的取值范围是_______.x a x b a b||||解：||-表示数x和b的x bx a-表示数x和a的点的距离，||点的距离，a－b表示a、b的点的距离，可知，表示x的点应位于表示a、b的两点之间.故b≤x≤a即为所求的x的取值范围.同步练习：1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6-++=x x的整数的值是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程x x-+-=：.|1||5|4答案：1.（C）；2.1≤x≤5.二、含字母系数的一元一次方程一个一元一次方程中，除了未知数以外，还有其它字母的方程叫做含有字母系数的方程，那么，这类方程怎样解呢？含字母系数的一元一次方程总可化为ax b=的形式.其方程的解由a b、的取值范围确定或对解方、的取值范围确定，当字母a b程的过程并未产生实质性的影响时，其解法同数字系数的一元一次方程一样；当字母a b、的取值范围围给出时，则需讨论解的情况.例7.解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c--=---+≠.分析：这个方程中除了字母x外，还有字母a b c、、，由于说明是关于x的方程，应视为x未知数，a b c、、为已知数，故去括号，移项，合并同类项等整理时都要以x为未知数进行.例8.解关于x的方程：.分析：这个方程仍然以x为未知数，看作已知数来解.同步练习：解关于的方程.答案：11 xa =-.。
七年级上数学期末压轴题专项复习：动点问题(pdf版)
题型一：绝对值方程教师备课提醒：由于绝对方程会以“解普通一元一次方程”为基础，所以授课老师在讲解本部分内容 时候根据班级情况复习普通的一元一次方程解法． 含绝对值的一次方程的解法⑴形如 ax + b = c (a ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：①当c < 0 时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当c = 0 时，原方程变为 ax + b = 0 ，即 ax + b = 0 ，解得 x = - b；a ③当c > 0 时，原方程变为 ax +b =c 或 ax + b = -c ，解得 x = c - b 或 x = -c - b．a a ⑵形如 ax +b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：①根据绝对值代数意义将原方程化为两个方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ；2动点问题知识互联网②分别解方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ． ⑶形如 ax + b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知cx + d ≥ 0 ，求出 x 的取值范围；②根据绝对值的代数意义将原方程化为两个方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ； ③分别解方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ； ④将求得的解代入cx + d ≥ 0 检验，舍去不合条件的解．【例题1】 ⑴若 x + 5 = 2 ，则x = ．⑵若 3x + 1 = 4 ，则 x = ．⑶解关于 x 的绝对值方程： 1 1 - 2x - 1= 1 ．3 6【解析】 ⑴ x = -3 或 x = -7 ；⑵ x = 1 或x = - 5 ；⑶ x = 9 或 x = - 5 3 4 4【例题2】 ⑴ 2x + 3 = 4 - x ；⑵ -3x + 2 = 3 + x ．【解析】 ⑴ x = 1 或 x = -7 ；⑵ x = - 1 或 x = 5 3 4 2【例题3】 ⑴若 5x + 6 = 6x - 5 ，则 x = ．⑵解方程 【解析】⑴11； 4x + 3 = 2x + 9 ． ⑵解法一：令4x + 3 = 0 得 x = - 3，将数分成两段进行讨论：4①当 x ≤- 3 时，原方程可化简为： -4x - 3 = 2x + 9 ， x = -2 在 x ≤- 3的范围内，是方程4 4 的解．②当 x >- 3 时，原方程可化简为： 4x + 3 = 2x + 9 ， x = 3 在 x >- 3的范围内，是方程的4 4 解．综上所述 x = -2 和 x = 3 是方程的解． 解法二：依据绝对值的非负性可知 2x + 9 ≥ 0 ，即 x ≥ - 9．原绝对值方程可以转化为2① 4x + 3 = 2x + 9 ，解得： x = 3 ，经检验符合题意． ②4x + 3 = -(2x + 9 ，解得 x = -2 ，经检验符合题意． 综合①②可知 x = -2 和 x = 3 是方程的解．例题赏析1. 数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值，②两点间的距离=右端点表示的数- 左端点表示的数。
9 含绝对值符号的一次方程
9含绝对值符号的一次方程y阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程.解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1.形如Iax+bI=C(C20)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax+b=c或ax+b=C2.含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.。
仲I超与求解例1方程IX—5I+2X=—5的解是.(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解.例2适当I2a+7I+I2a-1I=8的整数a的值的个数有().(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解.例3己知关于X的方程IXI=ax+1同时有一个正根和一个负根，求整数a的值.(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把X用a的代数式表示，首先确定a的取值范围.例4解下列方程：(1)∣χ-∣3x+1II=4；(天津市竞赛题) (2)Ix÷31—Iχ-1I=x÷1(北京市“迎春杯”竞赛题) (31X—11÷IX-51=4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段.例5讨论关于X的方程|x-2+|x—5=a的解的情况.(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，□与方程中常数2,5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况.因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具.能力训练A级1.若x=9是方程|』x一2|二a的解，则a=；又若当a=1时，则方程」x-2Ua3 3的解是.2.方程|』丫+2|一|2丫一3|的解是_______ ,方程3(∣x∣—1)=®+1的解是__________ .3 5 53.己知∣3990x+1995∣=1995,那么X=(北京市“迎春杯”竞赛题)4.己知∣x=x+2,那么19x"+3x+27的值为.(“希望杯”邀请赛试题)5.方程I∣∣x∣-2∣—1|=2的解是.6.满足(a—b)2+(b-a)∣a-b=ab(ab≠O)的有理数a和b,一定不满足的关系是()(A)ab<O(B)ab>O (C)a+b>O(D)a+b<O7.有理数a、b满足∣a+b∣<a-b∣,贝∣J().(A)a+b6>O(B)a+b<O (C)ab<O(D)ab>O8.若关于X的方程：2x—3∣+m=0无解，3x—4∣+n=0只有一个解，∣4χ-5；+k=0有两个解，则m、n、k的大小关系是().(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9.方程∣χ-5∣+x—5=0的解的个数为( ).(A)不确定(B)无数个(C)2个(D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)10.若关于X的方程||x一2|一1|=a有三个整数解，则a的值是().(A)O (B)2 (C)I(D)3(全国初中数学联赛试题)11.解下列方程：(1)4-2∣-x+1∣=3;2(2)∣-χ-1∣=χ-3;2(3)IX—2x÷11∣=∣x÷1∣;(五城市联赛题)(4)∣2χ-11÷∣χ-2∣=∣x+1(全国通讯赛试题)12.求关于X的方程I|x-2|—1∣-a=0(0<口<1)的所有解的和.(陕西省竞赛题)B级1.关于X的方程Ia1X=Ia+11—x的解是x=0,则a的值是；关于X的方程Ia1X=Ia+I1-X的解是X=I,则有理数a的取值范围是.2.若(Xx<10,则满足条件Ix—31的整数a的值共有——个，它们的和是(第十届“希望杯”邀请赛试题)3.若a>0,b<0,则使IX—a∣+Ix—b|=a—b成立的X的取值范围是.(武汉市选拔赛试题)\a\-\4.已知Ia+a=0且aW—1,那么段-∣=___________ .∣α+1∣5.若有理数X满足方程"一χ∣=1+∣x,那么化简Ix-I的结果是().(A)I(B)x(C)X—1(D)I—X6.适合关系式3χ-4∣+∣3x+2∣=6的整数X的值有()个.(A)O(B)I(C)2 (D)大于2的自然数7.当a>0,且∣χ-2∣+∣χ-5∣〈以时，则以下结论正确的是( ).(A)0.001<a<3 (B)0<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38.己知方程IXuaX+1有一个负根，而没有正根，那么a的取值范围是().(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>-1 (C)a≥1 (D)a<19.设a、b为有理解，且∣a∣>0,方程b∣=3有三个不相等的解，求b的值.(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10.当a满足什么条件时，关于X的方程|x-2|一∣χ-5∣=a有一解?有无数多解?无解？(江苏省竞赛题)。
文章如何解决带有绝对值的一元一次方程
文章如何解决带有绝对值的一元一次方程一元一次方程是初中数学中的重要内容，而带有绝对值的一元一次方程更是其中的一种特殊情况。
解决这类方程需要运用到绝对值的性质和一元一次方程的解法。
本文将介绍如何解决带有绝对值的一元一次方程，并给出详细的步骤和范例。
在解决带有绝对值的一元一次方程之前，首先需要了解绝对值的性质。
对于任意实数a，有|a|≥0，即绝对值为非负数。
同时，绝对值满足|a|=a，当a≥0时；|a|=-a，当a<0时。
对于形如|ax+b|=c的一元一次方程，我们可以将其拆分成以下两个情况进行讨论：1. 当ax+b≥0时，原方程可以转化为ax+b=c；2. 当ax+b<0时，原方程可以转化为-(ax+b)=c。
下面我们将通过具体的范例来展示如何解决带有绝对值的一元一次方程。
范例1：解决方程|2x+3|=7。
首先，我们根据绝对值的性质把方程拆分成两种情况：1. 当2x+3≥0时，原方程转化为2x+3=7，解得x=2；2. 当2x+3<0时，原方程转化为-(2x+3)=7，解得x=-5/2。
综上所述，方程|2x+3|=7的解集为{x=2, x=-5/2}。
范例2：解决方程|-3x-4|=5。
根据绝对值的性质，我们拆分方程为以下两种情况：1. 当-3x-4≥0时，原方程转化为-3x-4=5，解得x=-3/3=-1；2. 当-3x-4<0时，原方程转化为-(-3x-4)=5，解得x=-2/3。
综上所述，方程|-3x-4|=5的解集为{x=-1, x=-2/3}。
通过以上范例，我们可以总结出解决带有绝对值的一元一次方程的一般步骤：1. 将方程根据绝对值的性质拆分成不同情况；2. 分别求解拆分后的方程；3. 将每种情况得到的解集合并，得到原方程的解集。
当然，也有一些特殊情况需要注意：1. 若得到的解是负数，需要判断是否符合原方程中绝对值的取值范围；2. 若得到的解是零，需要检验是否满足原方程。
含绝对值符号的一元一次方程习题附答案
含绝对值符号的一元一次方程习题附答案1.已知|2-x|=4，则x的值是？解：|2-x|=4，分两种情况讨论：当2-x≥0时，有2-x=4，解得x=-2；当2-x<0时，有-(2-x)=4，解得x=-6.综上所述，x的值为-2或-6，选项C。
2.已知关于x的方程|5x-4|+a=0无解，|4x-3|+b=0有两个解，|3x-2|+c=0只有一个解，则化简|a-c|+|c-b|-|a-b|的结果是？解：首先，|5x-4|+a=0无解，说明|5x-4|≠0，即5x-4≠0，解得x≠4/5；其次，|4x-3|+b=0有两个解，说明|4x-3|=0，即4x-3=0，解得x=3/4；最后，|3x-2|+c=0只有一个解，说明|3x-2|=0，即3x-2=0，解得x=2/3.将x≠4/5，x=3/4，x=2/3代入|a-c|+|c-b|-|a-b|中，得到|a-c|+|c-b|-|a-b|=|a-0|+|0-b|-|a-b|=|a-b|-|a-b|=0，选项D。
3.方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是？解：分两种情况讨论：当x≥0时，有3x+x-2=4，解得x=1；当x<0时，有-3x+x-2=4，解得x=-2/4=-1/2.综上所述，方程|3x|+|x-2|=4的解有两个，即x=1或x=-1/2，选项C。
4.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方程|x-|=0，则m的值为？解：由于|x-|=0，说明x=0，代入方程mx+2=2(m-x)中，得到2m+2=0，解得m=-1，选项A。
5.方程|2x-6|=0的解是？解：|2x-6|=0，说明2x-6=0，解得x=3，选项A。
6.若|x-1|=3，则x=？解：分两种情况讨论：当x-1≥0时，有x-1=3，解得x=4；当x-1<0时，有-(x-1)=3，解得x=-2.综上所述，x的值为4或-2，选项C。
7.方程|2x-1|=4x+5的解是？解：分两种情况讨论：当2x-1≥0时，有2x-1=4x+5，解得x=-3；当2x-1<0时，有-(2x-1)=4x+5，解得x=3/2.综上所述，方程|2x-1|=4x+5的解为x=-3或x=3/2，选项A。
含绝对值的一元一次方程解法
(1)1x | = 7；(2) 5 | x | = 10; (3) | x | = 0; (4) | x | = -3; (5) | 3x | = 9.x -1看成一个字母y ,则原方程变为:含绝对值的一元一次方程解法、绝对值的代数和几何意义。
绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值 是零。
aa 0 用字母表示为a 0 a 0a a 0绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。
因此任何数的绝对值是非负 数。
1、求下列方程的解:解: 二、根据绝对值的意义，我们可以得到：广当a > 0时 x = ± a| x | = a y 当 a = 0 时 x = 0 当a < 0时 方程无解.(三)例1 ：解方程：(1)19 T x | = 100 -10 | x | (2)2|x| 3 3 |x| 4解: (1) 例2、思考：如何解 | x -1 | = 2 分析：用换元(整体思想)法去解决，把 | y | = 2，这个方程的解为 y = ± 2,即x -1 = ± 2，解得x = 3或x = -1.解:解方程：||2y 1| 6d ）且 (2 )解方程:例 3:解方程：| 2x -1 | -3 = 0解： 三：形如 ax b ex d 的绝对值的一元一次方程可变形为： ax b (ex ex d 0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。
例1：解方程：5x 6 6x 5练习：(1)解方程：4x 3 2 3x 4四：“零点分段法”解含多个绝对值的代数问题“零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。
例1:化简下列各式1、2x 12、x 1 x 3练习：化简：x 1 2x 1 x例2:解下列方程1、x 1 x 5 42、x 3 x 1 x 1练习：1、3x 1 2x 12、2x 1 x 2 2x 1。
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含绝对值的一元一次方程解法
形如| x | = a（a≥0）方程的解法（2课时）
一、教学目的：
1、掌握形如| x | = a（a≥0）方程的解法；
2、掌握形如| x – a | = b（b≥0）方程的解法。
二、教学重点与难点：
教学重点：解形如| x | = a（a≥0）和| x – a | = b（b≥0）的方程。
教学难点：解含绝对值方程时如何去掉绝对值。
（一）
1、绝对值的代数和几何意义。
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值
是零。
a （a > 0）
用字母表示为| a | = 0 （a = 0）
– a （a < 0）
绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。
因此任何数的绝对值是非负
数。
2、求下列方程的解：
（1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3；（5）| 3x | = 9.
解：（1）x =±7；
（2）x = ±2；
（3）x = 0；
（4）方程无解；
（5）x = ±3.
（二）根据绝对值的意义，我们可以得到：
当a > 0时x =± a
| x | = a当a = 0时x = 0
当a < 0时方程无解.
（三）
例1：解方程：
（1）19 – | x | = 100 – 10 | x |
（2）2||3
3|| 4
x
x
+
=-
解：（1）– | x | + 10 | x | = 100 – 19 （2） 2 | x | + 3 = 12 – 4 | x |
9 | x | = 81 2 | x | + 4 | x | = 12 – 3
| x | = 9 6 | x | = 9
x = ±9 | x | = 1.5
x = ±1.5
例2、思考：如何解| x – 1 | = 2
分析：用换元（整体思想）法去解决，把x – 1 看成一个字母y，则原方程变为：| y | = 2，这个方程的解为y = ±2，即x – 1 = ±2，解得x = 3或x = – 1. 解：x – 1 = 2 或x – 1 = – 2
x = 3 x = – 1
例题小结：
形如| x – a | = b（b≥0）的方程的解法：
解：x – a = b 或x – a = – b
x = a + b x = a – b
例3：解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0
解：| 2x – 1 | = 3
2x – 1 = 3 或2x – 1 = – 3
2x = 4 2x = – 2
x = 2 x = – 1
把绝对值内的式子看成一个整体，用一个字母表示的方法叫换元法，形如| mx – n | = a（m，n，a为已知数，且a ≥0）方程分为两步解
（1）先解| y | = a（a≥0）
（2）再解mx – n = y的方程
解：mx – n = ±a
mx – n = a或mx – n = – a
x = n a
m
+
x =
n a
m
-
练习：1、解方程：3
|21|6
2
y-=（y = 2.5或– 1.5）
（四）解形如| x | = a（a≥0）的方程
a > 0时，x = ±a
a = 0时，x = 0
a < 0时，方程无解
1、解形如| mx – n | = a（m，n，a为已知数，且a ≥0）的方程
mx – n = a或mx – n = – a
x = n a
m
+
x =
n a
m
-。