大气运动方程

干空气时 的基本方 程组展开 式为
2.7 初始条件和边界条件
初始条件： 要求解上述方程组还必须给出初始条件，其 一般形式为：
u u x , y , z ,0 v v x , y , z ,0 w w x , y , z ,0 t 0时 p p x , y , z ,0 T T x , y , z , 0 x , y , z ,0
大气运动方程
硕811班 赵帅 3108009075
大气运动方程
一切天气现象都与大气运动相关，尽 管大气运动很复杂，但始终要遵循一定的 物理定律。这些物理定律的数学表达式就 构成了研究大气运动具体规律的基本方程 组。
1.作用于空气的力


空气的运动是在力的作用下产生的。作用于空 气的力有： 由于气压分布不均而产生的气压梯度力； 由于地球自转而产生的地转偏向力； 由于空气层之间、空气与地面之间存在着相对运动 而产生的摩擦力； 由于空气作曲线运动所产生的惯性离心力等； 万有引力产生的地心引力。
* GMm r * g go 2 ——海平面的地心引力（常数） a r
1.6 重力
地心引力与惯性离心力的合力，称为重力。
* * 2 g g C g R
重力具有如下性质： 1.重力的方向除赤道和极地外，均不指向地心。 由于地球为椭圆，地球上重力垂直于当地水平 面，向下。 2.重力的大小随纬度变化，极地最大，赤道最小， 一般用45纬度海平面重力值= 9.806m/s2
2.7 初始条件和边界条件
上边界条件：
连续介质假设成立极限高度可视为大气上 界。由于重力的作用，90%左右的大气质量集 中在对流层中，因此可以认为大气上界无质量 交换，上边界条件可写为：z 时， w 2 0
也有人倡导这样的上边界条件：z 时， w 0 即假定在大气上边界每单位体积中垂直运动动能趋 于零。
z
2.2 连续性方程
两种形式： ① L—观点：
：气团密度随体变化率 ：气团体积的相对变化率 质量守恒：
2.2连续性方程
②欧拉观点 ： ：固定空间密度的局地变化率
－－单位时间单位空间体积（固 定）内的质量变化
：单位时间单位空间体积内流体 质量的流出流入量
2.3 状态方程
理想气体
R是是干空气比气体常数，287J·K-1kg-1
2.2运动方程的尺度分析
u t u u x v
V
2
u y
w
u z

1 p
x
1 hP
~ 2 fw fv u
V T
VW H
L
0
L
f 0W
f 0V

V H
2
10-4
10-4
u
2 2
10-5
u
2
10-3 10-6 10-3 10-6
2
－－ms-2
1.4 惯性离心力
地球绕地轴自西向东转，一天转一周，其角速度：
2 24
小时
7 . 29 10
5
s
1
赤道处r≈6.378*106m，代入上式，得赤道处单位质量空气 微团受到的惯性离心力大小约为：0.0338m/s2
惯性离心力具有一下性质： 1. 方向垂直于地轴，指向地球外侧。 2. 大小随纬度变化：赤道最大，极地最小。 3. 地表上每个静止物均受到惯性离心力的影响。
1.3 摩擦力
两个相互接触的物体作相对运动时，接触面之间所产生的一 种阻碍物体运动的力，称为摩擦力。大气运动中所受到的摩擦力， 一般分为内摩擦力和外摩擦力两种。 内摩擦力是在速度大小不同或方向不同的相互接触的两个空 气层之间的一种相互牵制的力，它主要通过湍流交换作用使气流 速度发生改变，也称为湍流摩擦力。其数值很小，往往不予考虑。 外摩擦力是空气贴近下垫面运动时，下垫面对空气运动的阻 力。它的方向与空气运动方向相反，大小与空气运动的速度和摩 擦系数成反比，其公式为 R=-kV 其中R为摩擦力，k为摩擦系数，V为空气运动速度。
2.2 运动方程
标准坐标系的运动方程（局地直角坐标系）
dV dt 1 p 2 V g F

分量形式
du 1 p 2 sin 2 w cos Fx dt x dv 1 p －2 u sin F y y dt dw 1 p 2 u cos g Fz z dt
2.7 初始条件和边界条件
内边界与侧边界暂时省略。从数学观点来 看，要注意边界条件与方程解的适定问题。 适定问题：指给定初始边界条件下，闭合方程 组是否有解，解是否唯一，稳定，即解的适定。
单位Βιβλιοθήκη Baidu量空气微团所受的气压梯度力向量为
气压梯度力具有以下性质： 1.气压梯度力是由气压分布不均匀引起的。 2.气压梯度力的方向指向-▽P的方向，即由高压指向低压，垂 直于等压线。
1.1 气压梯度力
3. 气压梯度力的大小与气压梯度成正比，与空气的密度成反比， 即等压线越密集，气压梯度越大。在同样的气压梯度下，高 处的风就比低处的风大，因为高空的密度小。 4. 水平气压梯度力 比垂直气压梯度力小很多。
2.4 热力学方程
能量守恒定律
单位质量气团外界加热率 ＝内能变化率＋气团膨胀反抗压力作功率
2.4 热力学方程
另外一种常用表达：
→
A: 热功当量
2.5 水汽方程
水汽方程，即考虑空气中有水汽时，水汽质 量守恒定律的数学表达式，表示为
其中q为比湿(水汽饱和时用饱和比湿qb)， S为单位质量湿空气在单位时间内从外界得到的水汽量， 它包括水汽相变(水汽质量因凝结而减小，因蒸发而增加），水 汽扩散等方式传输的水汽质量．
2.6 基本方程组
从物理学的观点看，运动方程反映了大气的动力学关系， 仅用运动方程来描写大气运动是很不够的．这是因为在运动过 程中，空气的状态参数要发生变化，因而必须补充连续性方程、 状态方程和热力学方程．若考虑降水问题或其它湿大气问题， 还需加上水汽方程．这样，运动方程、连续性方程、状态方程、 热力学方程和水汽方程便构成了描写大气运动的基本方程组：
其中： u x
2

y
2

u z
2
~
V L
2

V L
2

V H
2
~
V H
2
2.2 运动方程的尺度分析
取“零级近似”， 即只保留量级最大项，得到的简化方程为
1 p
x
1 p
fv 0 fu 0 g 0
y
1 p
2. 大气运动方程组
分析了空气微团所受到的各种力后，为了从数学 上描述大气的运动，甚至预测大气的运动，都需要建 立有关大气的运动方程组。这些方程主要包括：
运动方程（Newton第二定律） 连续性方程（质量守恒定律） 状态方程（气体状态规律） 热力学方程（热力学第一定律） 水汽方程（水汽质量守恒定律）
水平方向: 100 km 相差1hpa 垂直方向: 8-10 m 相差1hpa
但由于向上的气压梯度力与向下的重力达到准静力平衡， 所以虽然垂直方向上的气压梯度力大，但运动不明显。而水 平方向上力虽小但运动明显，故大气基本上是准水平运动。
1.2 地转偏向力
空气是在转动着的地球上运动着, 当运动的空气质点依 其惯性顺着水平气压梯度力的方向运动时，对于站在地球表
任何纬度上，作用于单 位质量运动空气上的地转偏 向力为 Fc=2Vω sinψ 在南半球，由于地平面 绕垂直轴按顺时针方向转动， 因此，地转偏向力指向运动 物体的左方，其大小与北半 球同纬度上的地转偏向力相 等。
1.2 地转偏向力
地转偏向力具有如下性质：
1. 地转偏向力只是在物体相对于地面有运动时才产生，物体 处于静止状态时，不受地转偏向力的作用。 2. 在北半球地转偏向力垂直指向物体运动方向的右方，使物 体向原来运动方向的右方偏转，在南半球，则相反。 3. 地转偏向力是一个视力和假想力，它垂直于空气运动方向， 只改变空气运动的方向，不改变空气相对于地球的运动速 度。 4. 水平地转偏向力的大小同风速和所在纬度的正弦成正比。 在风速相同的情况下，它随纬度的减小而减小，到赤道上 减为零；在两极最大，等于2Vω。
1.1 气压梯度力
气压分布不均时产生气压梯度，由此使单 位质量空气所受到的力，称为气压梯度力。
气体微团体积 dxdydz 左侧压力 Pdxdz 右侧压力
气块在y方向上收到的总 压力为
除以微元体的质量
Y方向单位质量气压梯度力为
v x y z
1.1 气压梯度力
同理可证明气压梯度力在x、z方向上的分力为
其中，w和ρ不是观测值，需要通过诊断方法获得。
2.7 初始条件和边界条件
边界条件： 边界条件又分为内边界条件和外边界 条件（下、上边界条件和侧边界条 件）。对于全球大气运动，一般只需 给出上、下边界条件。 下边界条件： 地球表面（若不考虑大气的粘性，不考 虑地表起伏，空气微团只沿地表滑行） z=0时，w0=0

2.1 运动方程
大气运动方程是表示作用于空气微团上的力与其所产 生的加速度之间关系的方程。根据牛顿第二定律，物体所 受的力等于质量和加速度的乘积，即F=ma。F为所受的力， 是各个作用力的总和。单位质量空气运动方程的一般形式 为：
dV dt GAR g
式中G为气压梯度力，为A地转偏向力，为R摩擦力，g为重力。
1.5 地心引力
地心引力是万有引力的一种。
万有引力为
GMm r Fg 2 r r
* GMm r g a z 2 r
单位质量空气微团所受到的地心引力为
因为 ： 所以：
a z m 1
其中，地球半径为a，质量为M，空气微团离地高度为z，质量为m
1.4 惯性离心力
惯性离心力是物体在作曲线运动时所产生的由运动轨迹的
曲率中心沿曲率半径向外作用的力。这个力是物体为保持惯性 方向运动而产生的，因而叫惯性离心力。 惯性离心力和向心力方向相反，同运动的方向相垂直，自 曲率中心指向外缘，其大小同物体转动的角速度ω的平方和曲 率半径r的乘积成正比。对单位质量物体而言，惯性离心力C为 C=ω 2r 因ωr是物体转动的线速度V，代入上式得 C=V2/r
面的观察者看来，空气质点还受到由于地球转动而产生的，
使空气偏离气压梯度力方向的力的作用，这种力称为地转偏 向力，或者科氏力（Coriolis force) ，可表示为 在大尺度的空气运动中，地转偏向力是一个非常重要的力。
1.2 地转偏向力
如图，其中 OA=Vt，∠AOA'= Ωt 则 S=VΩ t2 根据加速度公式 S=1/2at2 因而at2=2VΩt2 a=2VΩ 对单位质量来说，偏向力 A=2VΩ 圆盘上偏向力的表达式表明，A的大 小 等于圆盘的角速度Ω与小球运动 速度V的两倍乘积。A的方向垂直于 转动轴，也垂直于相对速度，指向 其右侧。
2.6 基本方程组
若热源Q和水汽源S已知或它们能表示为V， p，ρ，T，q的函数，则上述方程组是封闭的， 它包含了七个方程（其中运动方程是矢量形式， 它可以写成三个标量方程），七个未知函数 （V的三个分量和p，ρ，T，q），若考虑干空 气，则去掉水汽方程，上述方程组仍然封闭。
2.6 基本方程组
u u u 1 p ~ u t u x v y w z x f w fv Fx v v v 1 p v t u x v y w z y fu Fy w w w 1 p ~ w u v w f u g Fz x y z z t u v w u v w ( )0 x y z x y z t P RT dT RT dP dQ CP dt P dt dt