生活中的数学初探数学建模

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你能当大预言家吗？
建立人口增长模型，用表1的数据预报2010年美国的人 口，并进行模型检验.下表是1790——1990年美国每隔 十年的人口记录： 表1 美国人口统计数据(百万人)
年份 人口(百万) 1790 3.9 1800 5.3 1810 7.2 1820 9.6 1830 12.9 1840 17.1 1850 23.2 1860 31.4
增Hale Waihona Puke Baidu率
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
50
100
150 200 人口数量（百万人）
250
300
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实验数据和模拟值的对照
年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 实验数据 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 模拟值 3.9 5.1489 6.7905 8.9434 11.757 15.421 20.163 26.258 34.019 43.783 55.878 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 实验数据 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4 模拟值 70.57 87.981 108 130.19 153.75 177.59 200.45 221.21 239.06 253.64 265.03
什么是数学建模
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时， 人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出 简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数 学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是 数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解 释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学 模型的全过程就称为数学建模。 数学建模也称数学实验，是一种数学的思考方法， 是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立 能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数 学手段。
年份
人口(百万) 年份 人口(百万)
1870
38.6 1950 150.7
1880
50.2 1960 179.3
1890
62.9 1970 204.0
1900
76.0 1980 226.5
1910
92.0 1990 251.4
1920
106.5 2000 281.4
1930
123.2
1940
131.7
T C (T0 C)ekt
其中室温为C，人体常温即初始提问为T0， 死亡后第t小时尸体温度为T，k为可求常数.
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如何建模
建模过程
可设正常人 体温为37℃ 假设案发之 后没有外界环 境对尸体温度 产生客观影响
使用冷却定 律作理论依据 来帮助计算 列出相应适 用的数学方程
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分析过程
Ti 1 C (Ti C)e
kt
Ti表示经过第i小时尸体的温度，借助计算机的计 算我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸 体温度状况：
凌晨到早上6点尸温的变化 t 0 1 2 3 4 5 6
T 37.000 33.333 30.333 27.887 25.889 24.258 22.926
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年增长率的散点图
美国人口数量增长率与人口数量的关系图 0.4 0.35
0.3
0.25
增长率
0.2
0.15
0.1
0.05
0
50
100 150 200 人口数量（万人）
250
300
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拟合一次函数的效果图
增长率与人口数量的一次函数拟合效果图 0.4 数据点 拟合一次函数 0.35
0.3
0.25
分析过程
kt 由公式 T C (T0 C)e 根据题意，可将 T=23℃,C=17℃,To=26℃,t=2 代入上式，可求得常数
1 23 17 1 2 k ln ln 2 26 17 2 3
故可建立差分方程：
Ti 1 C (Ti C)e
kt
100
50
0 1750
1800
1850 年份
1900
1950
2000
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数据处理
由实验数据散点图知，美国人口数量xk随着 时间而增加。为了找到增长率变化的数量 规律，我们用前差公式定义美国人口数量 在第k个十年的增长率，即
x k 1 x k rk xk
从表格中22个数据我们应该得到21个增长率 rk(k=1,2,…21)，将它们也画成散点图.
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建模过程
数据处理
拟合函数
计算结果
通过使用散 点图，用点 将数据在 图象上描绘 出来，观察 变化
可以借助计 算机软件等 手段找到满 足接近图 象散点的函 数，将其表 达式求出来
利用拟合 出来的函 数计算相 应的结果
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描绘散点图
美国人口统计数据散点图 300
250
200
人数（百万人）
150
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描点作出温度与时间的关系图
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结果分析
t 0 1 2 3 4 5 6
T 37.000 33.333 30.333 27.887 25.889 24.258 22.926
由上述数据，当受害者死亡接近4小时时，尸温 接近26℃，而警方于6时测得尸温为26℃。而当 受害者死亡接近6小时时测得尸温约为23℃也与 题目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为 凌晨2点。
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数学在各领域中的地位
生物 物理
化学 数学
经济
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数学建模
能用数学解决的问题
数学理论的加工
物理
生化
经济
心理
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今天我们要说什么
1
如果你是警察或 侦探，在到达案 发现场时你能推 测死者的死亡时 间吗？
2
如果你知道某个 国家近百年来人 口的数量，你能 猜测它未来十年 后的人口数量吗？
3
生物世界复杂多 变，一种生物的 生存有许多因素 在左右着它，能 否用你的数学头 脑，来理性分析 呢？
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目
1
2 3
录
死亡时间推测问题
人口增长猜测问题
山猫数量随条件变化问题
4
利用Excel作简单图象的介绍
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你能推算出案发时间吗？
某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6 时到达现场后测得尸温26℃，室温17℃， 2小时后尸温下降了3℃，试根据冷却定律 建立差分方程，估计凶杀案发生的时间. 冷却定律为