电工第2章 正弦交流电路
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式分别为
则u、i的相位差为
图2-3 电压与电流相位差
可见，相位差亦为它们的初相位之差，与时间无关。
2.1 正弦交流电量及基本概念
若φ = 0，即ψu =ψi，则说明电压和电流同时达到最大值,称它们 是同相位的，简称同相，如图2-4（a）所示。 若φ = π，则说明它们相位相反，简称反相，如图2-4（b）所示。
故电流i1 、i2的瞬时值表达式为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.1 复数及其运算 1.复数的表示方法
复数有多种表达形式，常见的有四种形式，现分述如下。 (1)代数式 复数A在复平面上可用 矢量表示，如图2-5所示。
从图2-5可知：
图2-5 复数的矢量表示
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2 正弦交流电的相量表示方法
(2)乘除运算 在一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成极坐标 形式进行运算。如
即两个复数相乘除，等于它们的模相乘除，幅角相加减。
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.4 已知复数A=4+j3 ，B=3+j4，试计算A+B、A-B、AB、A/B。 解：复数的加减法运算利用代数式的形式，运算较简便。
相量图如图2-8所示
注意：只有同频率的相 量，才能画在同一相量 图上。
图2-8 例2.5相量图
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
2.3.1 纯电阻电路 纯电阻电路如图2⁃9所示。 1.电压与电流的关系 (1) 瞬时值关系 对于纯电阻元件，在任 一时刻，加在电阻R两端的电压u与通过 的电流i满足欧姆定律，即
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.复数的四则运算 设有两个复数A、B，分别为
(1)加减运算 在一般情况下，复数的加减法运算应把复数写成代 数式，运算简便。
即两个复数相加减，等于它们的实 部和实部相加减，虚部和虚部相加 减。利用平行四边形法则进行运算 ，如图2-6所示
图2-6 矢量的平行四边形法则
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
(2)三角函数式
(3)指数式
(2-12)
(4)极坐标式 复数的模和幅角通常写成
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.3 现有复数A1=3+j4， A2=1045°， 求出它们的其他三种表达 式。 解：对复数A1，将代数式化为三角函数式、指数式和极坐标式， 由A1=3+j4可知a=3,b=4, 由式(2-10)可得
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
正弦量用相量表示， 在正弦交流电路的分 析中，用相量（复数 ）运算较简便。
交流电流i在T时间内，通过R产生的热量为 直流电流I在T的时间内，通过R产生的热量为
若Q1 = Q2，则有：
由上式可得：
2.1 正弦交流电量及基本概念
3.相位差 在交流电路中常引用“相位差”的概念来描述两个同频正弦量
之间的相位关系，即两个同频正弦量相位之差，用φ表示。 设同频正弦电压u和电流i，其波形图如图2-3所示，其数学表达
图2-10 纯电阻电路波形图、 相量图和瞬时功率曲线
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-wenku.baidu.com 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1 正弦交流电量及基本概念 2.1.1 正弦交流电量
交流电在工农业生产和日常生活中有着最为广泛的应用，我们所 使用的电大部分都是交流电。
图2-1 几种常见的电压和电流波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1.2 正弦交流电的三要素 对正弦量的数学描述，既可采用正弦函数（sin）也可采用余弦
(3)初相位 在式(2-1)中，(ωt+φu)称为正弦量的相位角，简称为相位。 当t = 0时的相位角ψu,称为初相角或初相位，简称为初相，单位为弧 度(rad)或度(0)，它表示正弦量的初始状态。
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.有效值 交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的。若某一交流电
流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量，与某一直流电流I通过同 一电阻在相同的时间内产生的热量相等，则称这一直流电流的数值 为该交流电流的有效值。
图2-7 电压的相量图
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.5 有两个同频率正弦电压量u1、u2,求u1+u2,并画出相量图。 已知u1=100sinωtV,u2=150sin(ωt-120°)V。 解：先将三角函数表示的正弦量用相量表示，化为复数的极坐标 式，再化为代数式，求两相量之和:
2.2 正弦交流电的相量表示方法
则u、i的相位差为
图2-3 电压与电流相位差
可见，相位差亦为它们的初相位之差，与时间无关。
2.1 正弦交流电量及基本概念
若φ = 0，即ψu =ψi，则说明电压和电流同时达到最大值,称它们 是同相位的，简称同相，如图2-4（a）所示。 若φ = π，则说明它们相位相反，简称反相，如图2-4（b）所示。
故电流i1 、i2的瞬时值表达式为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.1 复数及其运算 1.复数的表示方法
复数有多种表达形式，常见的有四种形式，现分述如下。 (1)代数式 复数A在复平面上可用 矢量表示，如图2-5所示。
从图2-5可知：
图2-5 复数的矢量表示
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2 正弦交流电的相量表示方法
(2)乘除运算 在一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成极坐标 形式进行运算。如
即两个复数相乘除，等于它们的模相乘除，幅角相加减。
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.4 已知复数A=4+j3 ，B=3+j4，试计算A+B、A-B、AB、A/B。 解：复数的加减法运算利用代数式的形式，运算较简便。
相量图如图2-8所示
注意：只有同频率的相 量，才能画在同一相量 图上。
图2-8 例2.5相量图
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
2.3.1 纯电阻电路 纯电阻电路如图2⁃9所示。 1.电压与电流的关系 (1) 瞬时值关系 对于纯电阻元件，在任 一时刻，加在电阻R两端的电压u与通过 的电流i满足欧姆定律，即
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.复数的四则运算 设有两个复数A、B，分别为
(1)加减运算 在一般情况下，复数的加减法运算应把复数写成代 数式，运算简便。
即两个复数相加减，等于它们的实 部和实部相加减，虚部和虚部相加 减。利用平行四边形法则进行运算 ，如图2-6所示
图2-6 矢量的平行四边形法则
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
(2)三角函数式
(3)指数式
(2-12)
(4)极坐标式 复数的模和幅角通常写成
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.3 现有复数A1=3+j4， A2=1045°， 求出它们的其他三种表达 式。 解：对复数A1，将代数式化为三角函数式、指数式和极坐标式， 由A1=3+j4可知a=3,b=4, 由式(2-10)可得
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
正弦量用相量表示， 在正弦交流电路的分 析中，用相量（复数 ）运算较简便。
交流电流i在T时间内，通过R产生的热量为 直流电流I在T的时间内，通过R产生的热量为
若Q1 = Q2，则有：
由上式可得：
2.1 正弦交流电量及基本概念
3.相位差 在交流电路中常引用“相位差”的概念来描述两个同频正弦量
之间的相位关系，即两个同频正弦量相位之差，用φ表示。 设同频正弦电压u和电流i，其波形图如图2-3所示，其数学表达
图2-10 纯电阻电路波形图、 相量图和瞬时功率曲线
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-wenku.baidu.com 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1 正弦交流电量及基本概念 2.1.1 正弦交流电量
交流电在工农业生产和日常生活中有着最为广泛的应用，我们所 使用的电大部分都是交流电。
图2-1 几种常见的电压和电流波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1.2 正弦交流电的三要素 对正弦量的数学描述，既可采用正弦函数（sin）也可采用余弦
(3)初相位 在式(2-1)中，(ωt+φu)称为正弦量的相位角，简称为相位。 当t = 0时的相位角ψu,称为初相角或初相位，简称为初相，单位为弧 度(rad)或度(0)，它表示正弦量的初始状态。
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.有效值 交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的。若某一交流电
流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量，与某一直流电流I通过同 一电阻在相同的时间内产生的热量相等，则称这一直流电流的数值 为该交流电流的有效值。
图2-7 电压的相量图
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.5 有两个同频率正弦电压量u1、u2,求u1+u2,并画出相量图。 已知u1=100sinωtV,u2=150sin(ωt-120°)V。 解：先将三角函数表示的正弦量用相量表示，化为复数的极坐标 式，再化为代数式，求两相量之和:
2.2 正弦交流电的相量表示方法