电工第2章 正弦交流电路
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电工学-正弦交流电路
O
f 而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故
XL 与 f 的关系 可视为开路。
2.3.3 电容元件的交流电路
1. 电压电流关系 i
+
u
C
–
i
u Um sint i Im sin( t 90 )
+j •
u
I
波 形O 图
电流超前电压 90 电压与电流大小关系 电压与电流相量式
t
U XCI U jXC I
2.1 正弦电压与电流 I, U
直流电路在稳定状态下电流、电压的大
小和方向是不随时间变化的，如图所示。
正弦电压和电流是按正弦规律周期性
变化的，其波形如图示。
O u, i
t
电路图上所标的方向是指它们的参考
方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于的参考方向与实际方
+
向相反，所以为负值。
实
i
O i
t
际 方
第 2 章 正弦交流电路
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应 用更为广泛。
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。
本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
•
UL
为正
时电路 中电压 电流相 量图
•
• UL UC
•
U
•
UR
•
UC
的大小和正负由
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工电子技术第2章
第2章 正弦交流电路
在交流电路中，因各电流和电压多 +j A 为同一频率的正弦量，故可用有向线段 b r 来表示正弦量的最大值(有效值) Im 、 ψ Um(I、U)和初相ψ ，称为正弦量的相量。 O a +1 在正弦量的大写字母上打“•”表示，如 图2-5 有向线段的表示正弦量 幅值电流、电压相量用 I m、 m表示，有 U • U 效值电流、电压相量用 I 、 表示。将电 U • 路中各电压、电流的相量画在同一坐标 φ I ψ 中，这样的图形称为相量图。 ψ 同频率的u和i可用图2-6相量图表示。 图2-6 u和i的相量图 即 超前 Iφ°，I或 U滞后φ°。 U
第2章 正弦交流电路
2.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电压和电流的大小和方向都按正弦规律 作周期性变化，波形如图2-1a。
u U m s in ( t u ) i I m s in ( t i )
(2-1)
为便于分析，在电路中电压参考方向用“+”、“–” 标出，电流参考方向用实线箭头表示；电压、电流实 际方向用虚线箭头表示如图2-1b、c所示
第2章 正弦交流电路
u Im O φ Ψu Ψi i Um
u
i
t
T
图2-2 u和i相位不等的正弦量波形图
当φ=0º 时，称u、I同相；当φ=180º 时，称u比i反相； 当φ=±90º 时，称u与i正交 。 u i u i
u i
ui
u
i
t
u
i
O a) 同相
t O
b) 反相
O c)正交
t
图2-3 正弦量的同相、反相和正交
第2章 正弦交流电路
04电工(第2章交流2RLC串联电路,交流电路分析,功率因数提高)
消耗有功功率为： P PR UI cos
当U、P 一定时 cos
I
供电线路功耗
希望将cos 提高
供电局一般要求用户的cos >0.85 ，否则受处罚
常用电路的功率因数
纯电阻电路
纯电感电路或 纯电容电路
cos 1 ( 0) cos 0 ( 90)
R-L-C串联电路
电动机 空载 满载
0 cos 1
第4讲
第2章 正弦交流电路
2.4 正弦交流电路的分析计算 2.5 正弦交流电路的功率
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编
海南风光
本课内容
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦电压与电流 2.1.1正弦量的参考方向和电源模型 2.1.1 周期、频率和角频率 2.1.2 相位、初相位和相位差 2.1.3 最大值和有效值
例3（教材例2.20）
已知： R1 、R2、R3 、R4 、L、C、u、i、，求支路电流i1、 i2 、i3 。
A
A
R1 i1 R2 i2 R3 i3 R4
R1
I1 R2
I2 R3
I3 R4
u
+
L
+ C uS
相量模型
i
-
U
-
+
+
jX L
jX
US
C-
I
B
B
结点电位法
U I
VA 1
R1 1
1
R1 R2 jX L R3 jX C
i 2I sint
u 2U sin(t )
UIZ
Z
R2
X
2 L
i
+
+
电路 第二章 正弦交流电路(1)
11
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
《电工与电子技术基础》第2章正弦交流电路习题解答
（2） I = I1 − I 2 = 8 + 6 （A）
（3） I =
I12
+
I
2 2
=
82 + 62 = 10 （A）
（4）设 I1 = 8/ 0° （A）则 I2 = 6/ 60° （A）
I = I1 + I2 = 8/ 0° + 6/ 60° = 12.2/ 25.3° （A）
I = 12.2 （A）
已知它们的电压分别为
u1
=
60
sin
⎛ ⎜⎝
314t
−
π 6
⎞ ⎟⎠
V， u2
=
80
sin
⎛ ⎜⎝
314t
+
π 3
⎞ ⎟⎠
V，求总电压
u
的瞬时值
表达式，并说明 u、u1、u2 三者的相位关系。
解：(1)最大值为 10（V），角频率为 100 π rad/s，初相角为-60°。 （2）U1m = 60/− 30° （V）U2m = 80/ 60° （V） 则Um = U1m + U2m = 60/− 30° + 80/ 60° = 100/ 23.1° （V） u = 100sin(314t + 23.1°) （V）u 滞后 u2，而超前 u1。
U R = IR
U = U R + UC
U
2
=
U
2 R
+
U
2 C
U = I X C
所以 （1）、（2）、（3）、（5）、（7）、（8）均是错的，（4）、（6）是对的。
2.13 题 2.13 图所示正弦交流电路中，已知 U=100V，UR=60V，试用相量图求电压 UL。
（3） I =
I12
+
I
2 2
=
82 + 62 = 10 （A）
（4）设 I1 = 8/ 0° （A）则 I2 = 6/ 60° （A）
I = I1 + I2 = 8/ 0° + 6/ 60° = 12.2/ 25.3° （A）
I = 12.2 （A）
已知它们的电压分别为
u1
=
60
sin
⎛ ⎜⎝
314t
−
π 6
⎞ ⎟⎠
V， u2
=
80
sin
⎛ ⎜⎝
314t
+
π 3
⎞ ⎟⎠
V，求总电压
u
的瞬时值
表达式，并说明 u、u1、u2 三者的相位关系。
解：(1)最大值为 10（V），角频率为 100 π rad/s，初相角为-60°。 （2）U1m = 60/− 30° （V）U2m = 80/ 60° （V） 则Um = U1m + U2m = 60/− 30° + 80/ 60° = 100/ 23.1° （V） u = 100sin(314t + 23.1°) （V）u 滞后 u2，而超前 u1。
U R = IR
U = U R + UC
U
2
=
U
2 R
+
U
2 C
U = I X C
所以 （1）、（2）、（3）、（5）、（7）、（8）均是错的，（4）、（6）是对的。
2.13 题 2.13 图所示正弦交流电路中，已知 U=100V，UR=60V，试用相量图求电压 UL。
2015第2章电工电子学
知识点及重点
1、正弦交流电的三要素、相位差、有效值和相量表示 法。 2、掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法
3、掌握有功功率、功率因数、无功功率和视在功率的 概念和计算方法。
4、提高功率因数的方法及意义 5、正弦交流电路串联谐振和并联谐振的条件。
2
第2章 正弦交流电路 2.1 正弦交流电的基本概念
15
2.2.2 正弦量的相量表示
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2I sin (t )
相量为有 效值相量
2Ie
jt
j(t )
2 Ie e
复常数
j
jt
2 Ie
I I i
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
i(t ) 包含了三要素：I、 、 ，相量包含了I ,
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念
2.2 正弦交流电的相量表示法 2.3 单一参数的正弦交流电路
2.4 正弦交流电路的分析 2.4.1基尔霍夫定律的相量形式 2.4.2正弦交流电路的串联电路 2.4.3正弦交流电路的电压、电流分析 2.5 正弦交流电路的功率
2.6 电路的谐振
1
第2章 正弦交流电路
24
2.3.2 电感元件的正弦交流电路
（2）.波形图及相量图：
uL O
pL i
2
UL
t
电压超前电 流900
I
i
电感电压与电流波形为同频率，电感的电压相 位要比电流的相位超前。
25 返回 上一节 下一节 上一页 下一页
2.3.2 电感元件的正弦交流电路
2.功率关系 u i (1) 瞬时功率 p=ui = Umcosωt Im sinωt O ωt = U I sin 2ωt 2 3 2 (2) 平均功率 ( 有功功率) 2 p 1 T P = T ∫ p0 dt = 0 (3) 无功功率 O ωt Q = U I = XLI2 3 2 2 2 2 = U (var) 发出 XL 发出 结论：纯电感不消耗能量， 取用 取用 只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。26
1、正弦交流电的三要素、相位差、有效值和相量表示 法。 2、掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法
3、掌握有功功率、功率因数、无功功率和视在功率的 概念和计算方法。
4、提高功率因数的方法及意义 5、正弦交流电路串联谐振和并联谐振的条件。
2
第2章 正弦交流电路 2.1 正弦交流电的基本概念
15
2.2.2 正弦量的相量表示
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2I sin (t )
相量为有 效值相量
2Ie
jt
j(t )
2 Ie e
复常数
j
jt
2 Ie
I I i
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
i(t ) 包含了三要素：I、 、 ，相量包含了I ,
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念
2.2 正弦交流电的相量表示法 2.3 单一参数的正弦交流电路
2.4 正弦交流电路的分析 2.4.1基尔霍夫定律的相量形式 2.4.2正弦交流电路的串联电路 2.4.3正弦交流电路的电压、电流分析 2.5 正弦交流电路的功率
2.6 电路的谐振
1
第2章 正弦交流电路
24
2.3.2 电感元件的正弦交流电路
（2）.波形图及相量图：
uL O
pL i
2
UL
t
电压超前电 流900
I
i
电感电压与电流波形为同频率，电感的电压相 位要比电流的相位超前。
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2.3.2 电感元件的正弦交流电路
2.功率关系 u i (1) 瞬时功率 p=ui = Umcosωt Im sinωt O ωt = U I sin 2ωt 2 3 2 (2) 平均功率 ( 有功功率) 2 p 1 T P = T ∫ p0 dt = 0 (3) 无功功率 O ωt Q = U I = XLI2 3 2 2 2 2 = U (var) 发出 XL 发出 结论：纯电感不消耗能量， 取用 取用 只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。26
电工学第二章
当电容两端的电压增大时，电场能量增大，在 此过程中，电容从电源取用电能转换为电场能量； 当电容两端的电压减小时，电场能量减小，电容释 放能量，电场能量转换为电能。可见电容器是一种 储能元件。
4.电容器的主要参数
（1）标称电容量 电容器的外壳上标出的电容量值称为标称电容量。
（2）允许偏差 电容器的允许偏差常用的有±2%、±5%、±10%、
用介电常数较大的物质作为电容器的电介质 可显著增大电容，而且能做成很小的极板间隔，因 而应用很广。
任何两个导体之间都存在着电容。
3. 电容器的充电和放电
（1）电容器的充电 当开关S置于A端，电源E通过电阻R 对电容器C开始充电。起初，充电电流 较大，但随着电容器C 两端电荷的不断积累，形成的电压 越来越高，它阻碍了电源 对电容器的充电，使充电电流越来越小，当电容器两端电压 达到了最大值E时，则不再变化，电流为零。故在直流稳态电 路中，电容相当于开路，这就是电容的隔直作用。
检测电感器
电感器的直流电阻很小，通常只有几欧或 几十欧，线径越细，圈数越多，电阻值越大。 一般情况下用万用表R×1电阻挡测量，只要能 测出电阻值，即可认为电感器是正常的；如果 测量结果为无穷大，说明电感器已经开路。
§2-3纯电阻、纯电感、纯电容交流电路
一、纯电阻交流电路
交流电路中如果只考虑电阻的作用，这种电 路称为纯电阻电路。
电容量也简称电容。
它只与电容器的极板正对面积、极板间距离 以及极板间电介质的特性有关；而与外加电压的 大小，电容器带电多少等外部条件无关。
C S
d
式中S、d、C的单位分别是m2、m、F，介电常 数ε的单位是F/m。
真空中的介电常数ε0≈8.86×10-12F/m ，某种介 质的介电常数ε与ε0之比，称该介质的相对介电常 数，用εr表示 。
4.电容器的主要参数
（1）标称电容量 电容器的外壳上标出的电容量值称为标称电容量。
（2）允许偏差 电容器的允许偏差常用的有±2%、±5%、±10%、
用介电常数较大的物质作为电容器的电介质 可显著增大电容，而且能做成很小的极板间隔，因 而应用很广。
任何两个导体之间都存在着电容。
3. 电容器的充电和放电
（1）电容器的充电 当开关S置于A端，电源E通过电阻R 对电容器C开始充电。起初，充电电流 较大，但随着电容器C 两端电荷的不断积累，形成的电压 越来越高，它阻碍了电源 对电容器的充电，使充电电流越来越小，当电容器两端电压 达到了最大值E时，则不再变化，电流为零。故在直流稳态电 路中，电容相当于开路，这就是电容的隔直作用。
检测电感器
电感器的直流电阻很小，通常只有几欧或 几十欧，线径越细，圈数越多，电阻值越大。 一般情况下用万用表R×1电阻挡测量，只要能 测出电阻值，即可认为电感器是正常的；如果 测量结果为无穷大，说明电感器已经开路。
§2-3纯电阻、纯电感、纯电容交流电路
一、纯电阻交流电路
交流电路中如果只考虑电阻的作用，这种电 路称为纯电阻电路。
电容量也简称电容。
它只与电容器的极板正对面积、极板间距离 以及极板间电介质的特性有关；而与外加电压的 大小，电容器带电多少等外部条件无关。
C S
d
式中S、d、C的单位分别是m2、m、F，介电常 数ε的单位是F/m。
真空中的介电常数ε0≈8.86×10-12F/m ，某种介 质的介电常数ε与ε0之比，称该介质的相对介电常 数，用εr表示 。
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函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
正弦量用相量表示， 在正弦交流电路的分 析中，用相量（复数 ）运算较简便。
2.2 正弦交流电的相量表示方法
(2)乘除运算 在一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成极坐标 形式进行运算。如
即两个复数相乘除，等于它们的模相乘除，幅角相加减。
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.4 已知复数A=4+j3 ，B=3+j4，试计算A+B、A-B、AB、A/B。 解：复数的加减法运算利用代数式的形式，运算较简便。
故电流i1 、i2的瞬时值表达式为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.1 复数及其运算 1.复数的表示方法
复数有多种表达形式，常见的有四种形式，现分述如下。 (1)代数式 复数A在复平面上可用 矢量表示，如图2-5所示。
从图2-5可知：
图2-5 复数的矢量表示
Байду номын сангаас
2.2 正弦交流电的相量表示方法
(3)初相位 在式(2-1)中，(ωt+φu)称为正弦量的相位角，简称为相位。 当t = 0时的相位角ψu,称为初相角或初相位，简称为初相，单位为弧 度(rad)或度(0)，它表示正弦量的初始状态。
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.有效值 交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的。若某一交流电
流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量，与某一直流电流I通过同 一电阻在相同的时间内产生的热量相等，则称这一直流电流的数值 为该交流电流的有效值。
(2)三角函数式
(3)指数式
(2-12)
(4)极坐标式 复数的模和幅角通常写成
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.3 现有复数A1=3+j4， A2=1045°， 求出它们的其他三种表达 式。 解：对复数A1，将代数式化为三角函数式、指数式和极坐标式， 由A1=3+j4可知a=3,b=4, 由式(2-10)可得
交流电流i在T时间内，通过R产生的热量为 直流电流I在T的时间内，通过R产生的热量为
若Q1 = Q2，则有：
由上式可得：
2.1 正弦交流电量及基本概念
3.相位差 在交流电路中常引用“相位差”的概念来描述两个同频正弦量
之间的相位关系，即两个同频正弦量相位之差，用φ表示。 设同频正弦电压u和电流i，其波形图如图2-3所示，其数学表达
相量图如图2-8所示
注意：只有同频率的相 量，才能画在同一相量 图上。
图2-8 例2.5相量图
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
2.3.1 纯电阻电路 纯电阻电路如图2⁃9所示。 1.电压与电流的关系 (1) 瞬时值关系 对于纯电阻元件，在任 一时刻，加在电阻R两端的电压u与通过 的电流i满足欧姆定律，即
式分别为
则u、i的相位差为
图2-3 电压与电流相位差
可见，相位差亦为它们的初相位之差，与时间无关。
2.1 正弦交流电量及基本概念
若φ = 0，即ψu =ψi，则说明电压和电流同时达到最大值,称它们 是同相位的，简称同相，如图2-4（a）所示。 若φ = π，则说明它们相位相反，简称反相，如图2-4（b）所示。
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1 正弦交流电量及基本概念 2.1.1 正弦交流电量
交流电在工农业生产和日常生活中有着最为广泛的应用，我们所 使用的电大部分都是交流电。
图2-1 几种常见的电压和电流波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1.2 正弦交流电的三要素 对正弦量的数学描述，既可采用正弦函数（sin）也可采用余弦
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.复数的四则运算 设有两个复数A、B，分别为
(1)加减运算 在一般情况下，复数的加减法运算应把复数写成代 数式，运算简便。
即两个复数相加减，等于它们的实 部和实部相加减，虚部和虚部相加 减。利用平行四边形法则进行运算 ，如图2-6所示
图2-6 矢量的平行四边形法则
图2-10 纯电阻电路波形图、 相量图和瞬时功率曲线
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
图2-7 电压的相量图
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.5 有两个同频率正弦电压量u1、u2,求u1+u2,并画出相量图。 已知u1=100sinωtV,u2=150sin(ωt-120°)V。 解：先将三角函数表示的正弦量用相量表示，化为复数的极坐标 式，再化为代数式，求两相量之和:
2.2 正弦交流电的相量表示方法
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
正弦量用相量表示， 在正弦交流电路的分 析中，用相量（复数 ）运算较简便。
2.2 正弦交流电的相量表示方法
(2)乘除运算 在一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成极坐标 形式进行运算。如
即两个复数相乘除，等于它们的模相乘除，幅角相加减。
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.4 已知复数A=4+j3 ，B=3+j4，试计算A+B、A-B、AB、A/B。 解：复数的加减法运算利用代数式的形式，运算较简便。
故电流i1 、i2的瞬时值表达式为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.1 复数及其运算 1.复数的表示方法
复数有多种表达形式，常见的有四种形式，现分述如下。 (1)代数式 复数A在复平面上可用 矢量表示，如图2-5所示。
从图2-5可知：
图2-5 复数的矢量表示
Байду номын сангаас
2.2 正弦交流电的相量表示方法
(3)初相位 在式(2-1)中，(ωt+φu)称为正弦量的相位角，简称为相位。 当t = 0时的相位角ψu,称为初相角或初相位，简称为初相，单位为弧 度(rad)或度(0)，它表示正弦量的初始状态。
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.有效值 交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的。若某一交流电
流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量，与某一直流电流I通过同 一电阻在相同的时间内产生的热量相等，则称这一直流电流的数值 为该交流电流的有效值。
(2)三角函数式
(3)指数式
(2-12)
(4)极坐标式 复数的模和幅角通常写成
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.3 现有复数A1=3+j4， A2=1045°， 求出它们的其他三种表达 式。 解：对复数A1，将代数式化为三角函数式、指数式和极坐标式， 由A1=3+j4可知a=3,b=4, 由式(2-10)可得
交流电流i在T时间内，通过R产生的热量为 直流电流I在T的时间内，通过R产生的热量为
若Q1 = Q2，则有：
由上式可得：
2.1 正弦交流电量及基本概念
3.相位差 在交流电路中常引用“相位差”的概念来描述两个同频正弦量
之间的相位关系，即两个同频正弦量相位之差，用φ表示。 设同频正弦电压u和电流i，其波形图如图2-3所示，其数学表达
相量图如图2-8所示
注意：只有同频率的相 量，才能画在同一相量 图上。
图2-8 例2.5相量图
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
2.3.1 纯电阻电路 纯电阻电路如图2⁃9所示。 1.电压与电流的关系 (1) 瞬时值关系 对于纯电阻元件，在任 一时刻，加在电阻R两端的电压u与通过 的电流i满足欧姆定律，即
式分别为
则u、i的相位差为
图2-3 电压与电流相位差
可见，相位差亦为它们的初相位之差，与时间无关。
2.1 正弦交流电量及基本概念
若φ = 0，即ψu =ψi，则说明电压和电流同时达到最大值,称它们 是同相位的，简称同相，如图2-4（a）所示。 若φ = π，则说明它们相位相反，简称反相，如图2-4（b）所示。
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1 正弦交流电量及基本概念 2.1.1 正弦交流电量
交流电在工农业生产和日常生活中有着最为广泛的应用，我们所 使用的电大部分都是交流电。
图2-1 几种常见的电压和电流波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1.2 正弦交流电的三要素 对正弦量的数学描述，既可采用正弦函数（sin）也可采用余弦
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.复数的四则运算 设有两个复数A、B，分别为
(1)加减运算 在一般情况下，复数的加减法运算应把复数写成代 数式，运算简便。
即两个复数相加减，等于它们的实 部和实部相加减，虚部和虚部相加 减。利用平行四边形法则进行运算 ，如图2-6所示
图2-6 矢量的平行四边形法则
图2-10 纯电阻电路波形图、 相量图和瞬时功率曲线
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
图2-7 电压的相量图
2.2 正弦交流电的相量表示方法
例2.5 有两个同频率正弦电压量u1、u2,求u1+u2,并画出相量图。 已知u1=100sinωtV,u2=150sin(ωt-120°)V。 解：先将三角函数表示的正弦量用相量表示，化为复数的极坐标 式，再化为代数式，求两相量之和:
2.2 正弦交流电的相量表示方法