二次函数的综合应用

二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程

1.已知抛物线与x轴没有交点．

(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

2.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

考点二：二次函数与最大问题

3、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点. （1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明：（其中是原点）；

（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请

求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

5、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的

周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形

6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）.

⑴求抛物线的解析式;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.

7、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）求b ，c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：

①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．

8如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．

9．如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C ．

（1）求∠ACB 的度数；

（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

10如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

11在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()40A -，

，()04B -，，()20C ，三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB △的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点P Q B O ，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

12如图，在平面直角坐标系中，直线

y=

x+2交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线

y=x 2+bx+c 的图象过点E （﹣1，0），并与直线相交于A 、B 两点．

（1）求抛物线的解析式（关系式）；

（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标；

（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．