李代数模表示中若干问题的研究

李代数模表示中若干问题的研究

【摘要】：本文研究李代数模表示理论中的相关问题.主要考虑了素特征的代数闭合域上阶化Cartan型李代数不可约模的确定、Verma模的支柱簇的确定,以及秩一的基本Cartan型李代数幂零轨道的具体构造与几何信息,并由此给出更一般W系列Cartan型李代数幂零轨道的基本性质与特征.同时,就一般限制李代数的表示,本文从包络代数的本原理想角度,给出了一些新的结论.具体如下：1.设R=21(m；n)是一个除幂代数,L=X(m;n),X∈{W,S,H)是特征p0的代数封闭域F上的阶化Cartan型李代数系列中的广义JacobsonWitt代数或特殊代数或哈密尔顿代数.在广义限制李代数意义下,L的任一单模都唯一对应于一个(广义)特征函数χ.当χ的高度ht(χ)min{pni-pni-1|i=1,…，m}-2+δxw时,通过引进“修正”的诱导模结构,从而赋予诱导模一个所谓的e-模结构,进而决定了对应于x的单模.本文将Skryabin引入的关于广义Jacobson-Witt代数的一类所谓的范畴C的表示建立在更加自然的广义限制李代数意义下的诱导模的结构上。由此建立的平台适用于所有四个系列的Cartan型李代数.(1)由此,我们能够证明在非例外情形下,所有具有上述高度限制条件的χ-约化不可约模都是从不可约L0-子模诱导上来的.而例外情形只在χ的高度小于1时才可能发生.在这些例外情形,不可约模的决定主要由沈光宇、胡乃红等完成.当htt(χ)=-1时,沈光宇在[66]中决定了W，S,H型代数的例外单模,胡乃红在[25]中决定了K型代数的例外单模.当x的高度为0且X=W,S时,木文借助“修

正”的诱导模复形具体构造了例外单模,给出了它们的维数.而对于χ的高度为0,X=H的情形,濮燕敏和蒋志洪在[59]中决定了例外单模.对于K型,我们也可引进范畴e以及“修正”的诱导表示.但是不像其他三类Cartan型李代数,我们没能严格证明“修正”的诱导模落在范畴C里这一断言,因为K型代数的阶化结构不是从广义Jacobson-Witt代数的阶化结构继承下来的.然而通过一些具体的计算,我们猜想此断言成立.平行于其他三类Cartan型李代数,我们进而猜想当p-特征函数χ的高度小于min{pni-pni-1|i=1,…,m)-2时,K型代数的所有非例外单模都是“修正”的诱导模.根据张朝文的工作[100],此猜想在限制K型代数情形下是成立的(在此需要特别说明：每个型的不可约表示的构造需要分别处理。尚无法找到统一的公理化办法).2.决定了特征p3的代数封闭域上秩一的基本Cartan型李代数Witt代数在自同构群作用下的幂零轨道.对比于典型李代数情形下幂零轨道个数的有限性,在Witt代数情形下,有无限个幂零轨道.给出了所有幂零轨道的代表元以及每个轨道的维数.我们同时也得到Jacobson-Witt代数有无限个幂零轨道.对于其他Cartan型李代数,我们猜想有类似的结论.3.研究了Cartan型李代数的支柱簇.对于小Verma模以及具有半单特征的一类模的支柱簇给出了一些描述.4.给出了有限维限制李代数的任一不可约模所对应的“中心特征”理想在包络代数中所生成的理想的余维数的一个估计.刻画了最大维数的单模所对应的本原理想.在简约代数群G的李代数情形下,对一类所谓的G-不变的理想给了‘些刻画.【关键词】：广义限制李代数Cartan型李代数X-约化包络代数广义X-约化包络代数例外权

范畴(?)幂零轨道支柱簇本原理想

【学位授予单位】：华东师范大学

【学位级别】：博士

【学位授予年份】：2010

【分类号】：O152.5

【目录】：中文摘要6-8英文摘要8-13引言13-180.1记号与约定130.2研究背景与本文内容安排13-18第一章代数闭域上阶化Cartan型李代数的模表示18-711.1阶化Cartan型李代数和广义限制李代数19-271.2广义Jacobson-Witt代数W(m;n)的表示27-471.3哈密尔顿代数的表示47-631.4”修正”诱导模的理解与Contact代数的表示63-71第二章Witt 代数的幂零轨道71-812.1Witt代数的结构71-752.2Witt代数W_1的幂零轨道75-782.3Witt代数W_1的幂零轨道的拓扑维数78-802.4Jacobson-Witt代数的幂零轨道的一点注记80-81第三章Cartan型李代数的支柱簇81-903.1支柱簇的基本概念81-863.2限制Cartan型李代数的支柱簇86-873.3一类具有半单特征函数的模的支柱簇87-90第四章限制李代数包络代数的本原理想90-974.1最大维数单模对应的本原理想90-954.2简约李代数包络代数中的理想95-97附录:特殊代数S(m;n)的表示97-1181.1S(m;n)的本原p包络97-981.2范畴(?)和微分算子无关性98-991.3范畴(?)中的子模和同态像99-1051.4S(m;n)