静力学学生版

物理竞赛《静力学》专题补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。

一、力学中常见的三种力1.重力、重心①重心的定义：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

②重心与质心不一定重合。

如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合(g 随高度变化，重力不同)。

如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。

以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：（0.5-x ）2G =(x +0.25)2G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m.2.巴普斯定理：①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。

如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ， 绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π34R x = ②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。

如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得πR x 2= 1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。

（2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的41，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。

2. 完全相同的4块砖，每块砖的长都为0.3m ，叠放在水平桌面上，如图所示。

求它的最大跨度（即桌边P 点离最上面一块砖右边的Q 点的水平距离）。

3. 一薄壁圆柱形烧杯,半径为R ,质量为m ,重心位于中心线上,离杯底的高度为H ,今将水慢慢注入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为ρ)2.弹力、弹簧的弹力（F =kx ,或F =-kx ）（1）两弹簧串联总伸长x ，F =？由x 1+x 2=x ,k 1x 1=k 2x 2，得2112k k x k x +=,所以kx k k x k k x k F =+===212122. （2）并联时F =(k 1+k 2)x .(3)把劲度系数为k 的弹簧均分为10段，每段劲度系数k '=?(10k )4. 一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆上。

一个劲度系数为k ，自然长度为L （L <2R ）的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为:. （答案：GkR kL 22cos 1--） 3.摩擦力（1）摩擦力的方向：①静摩擦力的方向：跟运动状态与外力有关。

②滑动摩擦力的方向：跟相对运动方向相反。

5. 如图所示,在倾角θ=300的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G ,现用与斜面底边平行的水平作用力F (F =G /2)推物体,物体恰好在斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 .6. 如图所示，一个质量m =20kg 的钢件，架在两根完全相同的、平行的直圆柱上。

钢件的重心与两柱等距。

两柱的轴线在同一水平面内。

圆柱的半径r =0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。

两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度ω=40rad/s ，若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件作速度为v =0.050m/s 的匀速运动，求推力的大小。

设钢件左右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。

（2）摩擦角:f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角ϕ=tan -1f /N =tan -1μ。

摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，ϕ是一定的。

7. 水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?8. 将质量为M 的小车沿倾角为α,动摩擦因数为μ的斜面匀速拉上,求拉力的方向与斜面夹角θ为多大时,拉力最小?最小的拉力为多大?二、物体的平衡1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平衡力(2)三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。

①确定墙壁或天花板对杆的弹力方向？②若墙壁与杆间动摩擦因数为μ，物体只能挂在什么范围？9.如图所示,质量为M的杆AB静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为α.则容器面对杆A点的作用力F为多大?2.力矩和力矩平衡:M=FL(1)力矩的平衡条件:对任意点∑=0M∑=0M也常用来受力分析，如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则下面的球受到几个力作用?对球心,根据力矩平衡可知，下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法。

又如板与墙之间夹一球，两边的摩擦力大小相等，若μ相同，对球心有∑=0M得板对球的弹力大，可判断沿墙滑动，沿板滚动。

10.如图所示，质量为M的立方块和质量为m的圆柱体置于倾角为α的固定斜面上，立方体和圆柱体与斜面间的动摩擦因数都为μ，立方体与圆柱体之间摩擦不计。

求当平行于斜面的作用力F多大时，立方体和圆柱体沿斜面向上匀速运动。

11.将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC与水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为370.求：(1)绳子的张力.(2)斜面对球的摩擦力和弹力.12.一根质量均匀的米尺AB用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,则此砝码距A点的距离应为多少?13.两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A、B,静止时如图所示,已知绳长OB=2OA,两球的质量关系是M A=2M B,α=450,求θ.14.水平路面上有一根弯成直角的铁条ABC,AB段和BC段的长度相等,质量分别是M1和M2,通过系在角顶B的绳子用平行于路面的力匀速地拉铁条,如图所示,求绳子必须与AB成多大的角.(2)二力杆：两端受力的杆，力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡)。

15.如图所示，每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处与地面间的动摩擦因数分别为μA=0.2，μB=0.6，C点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。

16.如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90︒，且C端正好在A 端的正下方。

（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。

（2）如果AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。

3.物体的平衡条件：F=0；M=017.质量为m的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A、B之间,已知绳的悬挂点处的切线与水平面夹角为α,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力.18.如图所示,质量为m的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数为μ.则当斜面倾角α大于时,无论水平推力F多大,物体不可能沿斜面向上运动19.有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为θ(如图所示).一切摩擦均不计,求BC绳的张力.20.一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数分别为μ1、μ2。

求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。

三、平衡的种类1.平衡的种类:稳定平衡；随遇平衡；不稳定平衡。

2.判断平衡种类的方法：力矩比较；支持面判断；重心升降。

21. 粗细均匀、长为L 、密度为ρ的木杆,下端用细线系在容器底下,然后在容器中逐渐加水(水的密度为ρ',ρ'>ρ),则木杆浸没水中的长度至少为多少时，木杆才能竖直.22. 边长为a 的均匀立方体,平衡地放在一个半径为r 的圆柱面顶部,如图所示,假定静摩擦力很大,足以阻止立方体下滑,试证明物体的稳定平衡的条件为r >a /2.23. 如图所示，一个左右完全对称的熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a 、b ，且长轴的长度为c ，蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳定平衡，若要使蛋的尖端在一半球形的碗内处于稳定平衡，半球形碗的半径应满足什么条件？四、流体静力学：1、流体对接触面的压力与接触面垂直。

2、浮力的大小等于上下压力差。

如：大气压强为P 气体对半球面的压力F =πPR 2（不是2πPR 2）。

24. 如图所示,有一质量为m 、半径为r 的半球放在盛有密度为ρ的液体的容器底部,它与容器底部紧密接触(即半球表面与容器底面间无液体),液体的深度为H .求半球对容器底部的压力.25. 如图所示,质量为m 的碗反扣在装满水的较大密闭容器底部.碗外形是半径为R 、高也为R 的圆柱,碗内是一个半径同样是R 的半球空穴而成碗.在碗内装满水银.现将水从容器底部的出口慢慢抽出.求：（1）水面的高度H 等于多少时,碗内水银开始从碗口下边流出.（2）容器内的水全部抽出时，碗内的水银高度h 为多少。

(已知：水银的密度为ρ1,水的密度为ρ2,高为H 、半径为R 的的球缺体积为)3(2H R H V -=π，不计水蒸汽压力)26. 在圆椎形筒内盛有两种密度分别为ρ1和ρ2的液体,(ρ1<ρ2),如图所示.当这两种液体均匀混合后,液体对筒底的压强怎样变化?(与原来比较)五、综合题例27. 一支蜡烛浮在水面上,且始终保持竖直,露在水面上部分的长度为h .已知水的密度为ρ,蜡烛的密度为ρ'(且ρ'<ρ),点燃蜡烛,蜡烛的长度每秒缩短a ,从开始点燃蜡烛到火焰熄灭的时间是 .28. 一条轻绳跨过同一高度的两轻滑轮,两端分别拴上质量为4Kg 和2Kg 的物体,两滑轮间的一段绳子上挂第三个物体,如图所示.试问：(1)这个物体的质量小于何值时,三个物体平衡将破坏?(2)这个物体的质量大于何值时,三个物体平衡将破坏?不考虑滑轮的质量和摩擦.29. 如图所示,均匀杆的A 端用铰链与墙连接,杆可绕A 点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB 杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少?30. 半径为R 质量为M 1的均匀圆球与一质量为M 2的重物分别用细绳AD 和AC E 悬挂于同一点A ,并处于平衡,如图所示.已知悬点A 到球心的距为L ,不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦,求悬挂圆球的绳AD 与竖直方向AB 的夹角θ.31. 有一水果店,所用的秤是吊盘式杆秤,量程为10Kg.现有一较大的西瓜,超过此秤的量程.店员A 找到另一秤砣,与此秤的秤砣完全相同,把它与原秤砣结在一起进行称量,平衡时双砣位于6.5Kg 刻度处.他将此读数乘以2得13Kg,作为此西瓜的质量,卖给顾客.店员B 对这种称量结果表示怀疑,为了检验,他取另一西瓜,用单秤砣正常称量得8Kg,用店员A 的双秤砣法称量,得读数为3Kg,乘以2后得6Kg.这证明了店员A 的办法是不可靠的.试问,店员A 卖给顾客的那个西瓜的实际质量是多少?32. 半径为R 的钢性光滑球固定在桌面上,有一个质量为m 的均匀弹性绳圈,自然长度为2πa (a =2R ).现将绳圈从球面的正上方轻放到球面上,并使它保持水平,静止套在球面上,这时绳圈的半径增为b (b =2a ),求绳圈的倔强系数.33.半径为r,质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上,两两接触.用一个圆柱形刚性圆筒(上、下均无盖)将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值,使得各球间以及球与筒壁之间保持接触,但互相无作用力.现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球,放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为 =15/3(约等于0.775).问R取何值时,用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来?。