高三数学选填题专项训练3
高考数学选择填空小题训练60套(中)(21-40)
高考数学选择填空小题训练60套（中）（21-40）高三数学小题训练（21）1．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0 B ．12 C ．1 D ．22．若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则yx的取值范围是（ ）A.（0，2） B.（0，2） C.(2,+∞) D.[2，+∞) 3．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．94.若(m 2－m )+(m 2－3m +2)i 是纯虚数，则实数m 的值为A.1 B.1或2 C.0 D.－1，1，25.复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（C ）A.ａ≠2或ａ≠1B.ａ≠2且ａ≠1C.ａ＝2或ａ＝0D.ａ＝0高三数学小题训练（22）1.已知复数12z i =+，21z i =-，则在12z z z =⋅复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i 112=（ ）（A ） i (B) -i(C) 1 (D) -13、已知 βα, 是方程 x 2 + x + 1 = 0 的两根，则 2009α+2009β = 。
4．复数z 满足方程z + |z | = 2 + i , 求 z 。
5.复数iz -=11的模| Z |等于_______，共轭复数为_______高三数学小题训练（23）1．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖2．已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m m αβ∥，∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ）A ．AB m ∥ B ．AC m ⊥ C ．AB β∥ D ．AC β⊥ 3．已知直线m,n 和平面βα,满足βαα⊥⊥⊥,,m n m ,则 ( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n4．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是（ ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直5．右上图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π高三数学小题训练（24）1．正四棱锥的侧棱长为32，底面对角线长与侧棱长相等，则该棱锥的体积为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．182． 设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥， B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥ C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，3．对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得 ( )（A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥4．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△CHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）5．若一个球的体积为，则它的表面积为 ．（球表面积公式24R S π=）高三数学小题训练（25）1． 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2_______。
高三数学填空题专项练习(含答案解析)
1．O是锐角△ABC所在平面内的一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的心．2.对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值l做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则﹣﹣的上确界为．3．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy中，动点P的轨迹方程是．4．设函数f（x）=a1+a2x+a3x2+…+a n x n﹣1，f（0）=，数列{a n}满足f（1）=n2•a n，则数列{a n}的通项=．5．函数f（x）是奇函数，且在[﹣1，1]是单调增函数，又f（﹣1）=﹣1，则满足f（x）≤t2+2at+1对所有的x∈[﹣1，1]及a∈[﹣1，1]都成立的t的范围是．6．已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是．7．已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为．8．（5分）已知5×5数字方阵：中，，则=．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈，则满足f（x0）＞f（）的x0的取值范围为．10．（5分）甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有公里．11．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x ﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=．12．（5分）设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点M，使=0，O为坐标原点，且|MF1|=|MF2|，则该双曲线的离心率为．13．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．14．（5分）设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足=•+（P与A不重合）．Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC．有下列命题：①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；②若QA=QP，则；③若QA＞QP，∠BAC=90°，则；④若QA＞QP，则P在△ABC内部的概率为（S△ABC，S⊙O分别表示△ABC与⊙O的面积）．其中不正确的命题有（写出所有不正确命题的序号）．参考答案解：∵=∴=+）++﹣=a=时取等号．﹣的上确界是﹣]=x，x=，=××…××，=××…××，，．解：∵，，），M22，∴2∴∴，在公里，时，函数取极大值≤4，共线，∴=0|=a=e==+1解：∵+∴+=== =解：∵=•+∴﹣=•），∴|c•cos的中点，∴∴，故②。
2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编-圆锥曲线1-3
数学名校选填压轴题好题-圆锥曲线一、单选题1．已知直线2140ax by -+=平分圆2242110C x y x y +---=：的面积，过圆外一点()P a b ，向圆做切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【解析】圆2242110C x y x y +---=：化为标准方程为()()222116x y -+-=，所以圆心()21C ，，半径4r =， 因为直线2140ax by -+=平分圆2242110C x y x y +---=：的面积，所以圆心()21C ，在直线2140ax by -+=上，故22140a b -+=， 即7=+b a ，在Rt PQC 中，()()222222116PQ PC r a b =-=-+--()()()2222261628242216a a a a a =-++-=++=++，当2a =-时，2PQ 最小为16，PQ 最小为4． 故选：A ．2．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ）A ．()1,2B ．()1,4C ．)2D ．)4【答案】B【解析】设双曲线的半焦距为()0c c ＞， 离心率为e ， 由214OQ OF =，则154QF c =，234QF c =，因为PQ 是12F PF ∠的平分线， 所以12:5:3PF PF =, 又因为122PF PF a -=， 所以125,3PF a PF a ==，所以53222a a c a c +>⎧⎨<⎩，解得14c a <<，即14e <<，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4). 故选：B3．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15BCD【答案】C【解析】设2F B m =,则23AF m =,124AB AF m ==. 由椭圆的定义可知1225BF BF a m +==,所以25m a =,所以265AF a =,145AF a =.在△ABF 1中,22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF A a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⨯⨯. 所以在△AF 1F 2中,2221212122cos F F AF AF AF AF A =+-,即22224441425554a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：22225c e a ==,所以e =故选：C4．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线2C ：()220y px p =>有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线2C 相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线1C 的离心率为e ，则2e =（ ）A B C D 【答案】B【解析】根据题意，作图如下：因为双曲线1C 和抛物线2C 共焦点，故可得2224p a b +=，又(),0F c 到b y xa =的距离db ==，即AF b =，又A 为BF 中点，则2BF b =， 设点(),B x y ，则22p b x =+，解得22p x b =-；由2224p a b +=可得OA a =， 则由等面积可知：1122BF OA OF y ⨯⨯=⨯⨯，解得4ab y p =，则42,2p ab B b p ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则2,A A ab x b y p ==，又点A 在渐近线b y x a=上，即22b ab a p =，即22a pb =，又22244p a b =+，联立得42240a a b b --=，即222210b a a b -+=，解得22b a =故2221b e a =+. 故选：B.5．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）直线10x y -+=经过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若2FC AC =，则该椭圆的离心率是（ ）A B C ．2 D 1【答案】A【解析】由题意可知，点(),0F c -在直线10x y -+=上，即10c -=，可得1c =， 直线10x y -+=交y 轴于点()0,1C ，设点(),A m n ，()1,1FC =，(),1AC m n =--， 由2FC AC =可得()21211m n -=⎧⎨-=⎩，解得1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0E，则AE =又AF =2a AE AF ∴=+=，因此，该椭圆的离心率为4228c e a ====. 故选：A.6．（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）己知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为（ ） A ．2 BC1D1【答案】A【解析】如下图示，因为1F A AB =，120F B F B ⋅=，O 是12F F 中点， 所以A 是1F B 中点且12F B F B ⊥，则1OA F B ⊥，1OF OBc ，因为直线OA 是双曲线22221x y a b-=的渐近线，所以OA b k a=-，1F B a k b =，直线1F B 的方程为()ay x c b =+，联立()ay x c b b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，则()()4222222222222||a c a b c OB c b a b a =+=--，整理得223b a =， 因为222c a b -=，所以224a c =，2ce a==. 故选：A7．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）已知(),0F c （其中0c >）是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点.圆22220x y cx b +-+=与双曲线的一条渐近线l 交于A B 、两点.已知l 的倾斜角为30︒.则tan AFB ∠=（ ） A．B．C．-D．-【答案】C【解析】如图所示：22220x y cx b +-+=，化为()22222x c y c b a -+=-=， 因为渐近线l 的倾斜角为30︒，所以tan 30ba==圆心(),0F c 到直线b y x a =的距离为：d b =， 又AF BF a ==，所以11cos 22b AFB AFB a ∠==∠=则1tan 2AFB ∠=所以212tan 2tan 111tan 2AFBAFB AFB ∠∠===---∠ 故选：C二、多选题8．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点()1,M m 到点F 的距离是2，P 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，则（ ） A．m =B ．若直线AB 过点F ，则3OA OB ⋅=- C ．若直线AB 过点F ，则PA FAPB FB = D ．若直线AB 过点P ，则2AF BF PF +>【答案】BCD 【解析】由题意得122p+=，则2p =，故抛物线C 的方程为24y x =， 将()1,M m 代入抛物线的方程，得24m =，解得2m =±， 所以A 不正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，易知直线AB 的斜率不为零，当直线AB 过点()1,0F 时， 可设直线AB 的方程为1x ty =+，与抛物线方程联立，得241y xx ty ⎧=⎨=+⎩，化简得：2440y ty --=，则124y y =-，124y y t +=，所以221212116y y x x ==，所以1212143OA OB x x y y ⋅=+=-=-，所以B 正确；易知()1,0P -，则由选项B 得121211PA PB y yk k x x +=+++ ()()()()()()()()()122112211212122222880111111y ty y ty ty y y y t tx x x x x x +++++-+====++++++，所以直线PF 平分APB ∠，所以PA FAPB FB=， 选项C 正确；因为直线AB 过点()1,0P -，且斜率不为零，所以设直线AB 的方程为1x ty =-，与抛物线方程联立， 易得124y y ，所以121=x x ．因为1>0x ，20x >，且12x x ≠，所以121124AF BF x x +=+++>=，又2PF =，所以2AF BF PF +>，所以D 正确． 故选：BCD ．9．（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）已知椭圆C ：221169x y +=的左，右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上的动点（P 不在x 轴上），则（ ） A ．椭圆C 的焦点在x 轴上 B ．△PF 1F 2的周长为C ．|PF 1|的取值范围为[94，4）D ．tan△F 1PF 2的最大值为【答案】ABD【解析】对于A ，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在x 轴上，故A 正确；对于B，因为c =12PF F △的周长为228a c +=+，故B 正确；对于C ，因为P 不在x 轴上，所以1a c PF a c -<<+，所以1PF的取值范围为(4，故C 不正确；对于D ，设椭圆的上顶点为B ，则121202F PF F BF π∠∠<，所以12tan F PF ∠的最大值为12tan F BF ∠.设2OBF ∠α=，则tan α=，且122F BF ∠α=，而22tan tan21tan ααα==-所以12tan F PF ∠的最大值为故D 正确. 故选：ABD.10．（2022·广东广州·高三开学考试）已知抛物线22y px =上的四点()2,2A ，B ，C ，P ，直线AB ，AC 是圆()22:21M x y -+=的两条切线，直线PQ 、PR 与圆M 分别切于点Q 、R ，则下列说法正确的有（ ）A ．当劣弧QR 的弧长最短时，1cos 3QPR ∠=-B ．当劣弧QR 的弧长最短时，1cos 3QPR ∠=C ．直线BC 的方程为210x y ++=D ．直线BC 的方程为3640x y ++=【答案】BD【解析】由已知得抛物线22y px =过点()2,2A ，即2222p =⨯，所以1p =， 即抛物线为22y x =， 对于AB 选项，如图所示，设点200,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭当劣弧QR 的弧长最短时，QMR ∠最小，又QMR QOR π∠+∠=，所以QPR ∠最大，即cos QPR ∠最小，又222cos cos 212sin 12MQ QPR QPM QPM PM∠=∠=-∠=-⋅，又圆()22:21M x y -+=，所以圆心()2,0M ，半径1r QM ==，22cos 1QPR PM∠=-，又()222222000122324y PM y y ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当202y =时，2PM 取最小值为3，此时cos QPR ∠最小为21133-=， 所以A 选项错误，B 选项正确；对于CD 选项，设过点A 作圆M 切线的方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，所以1d r ===，解得k =则直线AB的方程为：)22y x --，即2y =-， 直线AC的方程为：)22y x -=-，即2y =+， 联立直线AB与抛物线222y y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩，得240y y =，故24B y -，2B y，823B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得823C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以2212BCk ⎫⎛⎫-⎪ ⎪==-⎝⎭⎝⎭，直线BC的方程为18223y x ⎡⎤⎫⎛-=--⎢⎥⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即3640x y ++=，所以C 选项错误，D 选项正确； 故选：BD.11．已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为1A ，2A ，点P ，Q 是双曲线C 上关于原点对称的两点（异于顶点），直线1PA ，2PA ，1QA 的斜率分别为1PA k ，2PA k ，1QA k ，若1234PA PA k k ⋅=，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为34y x B ．双曲线CC ．11PA QA k k ⋅为定值D ．12tan A PA ∠的取值范围为()0,∞+【答案】BCD【解析】设(),P x y ，则22221x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1,0A a -，()2,0A a ，故1222222222221PA PA x b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===+---，依题意有2234b a =，所以b a =所以双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=，离心率e ==，故选项A 错误，选项B 正确； 因为点P ，Q 关于原点对称，所以四边形12A PA Q 为平行四边形，即有12A Q A P k k =， 所以111234A P A Q A P A P k k k k ⋅=⋅=，故C 正确； 设1PA 的倾斜角为α，2PA 的倾斜角为β，由题意可得3tan tan 4αβ⋅=， 则12A PA αβ∠=-，根据对称性不妨设P 在x 轴上方，则，则12A PA βα∠=-，则()()212212tan tan 443tan tan 1tan tan 774PA PA PA PA A PA k k k k βαβααβ⎛⎫-∠=-==-=-⎪ ⎪+⋅⎝⎭， 因为P 在x轴上方，则2PA k >20PA k <<， 函数()34f x x x =-在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 所以()12tan 0,A PA ∠∈+∞，故D 正确. 故选：BCD.12．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）下列命题中正确的是（ ） A ．双曲线221x y -=与直线20x y +-=有且只有一个公共点 B ．平面内满足)(20PA PB a a -=>的动点P 的轨迹为双曲线 C ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >D ．过给定圆上一定点A 作圆的动弦AB ，则弦AB 的中点P 的轨迹为椭圆 【答案】AC【解析】对于A ，解方程组22120x y x y ⎧-=⎨+-=⎩，得唯一解5434x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以曲线221x y -=与直线20x y +-=有且只有一个公共点，所以A 对；对于B ，当||2AB a =时，满足||||||2PA PB a -=的动点P 的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B 错；对于C ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，40t -<且104t t ->⇔>，所以C 对；对于D ，举反例，不妨设圆的方程为222x y R +=，定点(,0)A R ，动点(,)P x y ，则(2,20)B x R y --在圆上，222(2)(20)x R y R -+-=在，222()()22R Rx y -+=，点P 轨迹是圆，而不是椭圆，所以D 错．故选：AC ．13．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若1AB =，则3AOB π∠=B ．若点O 到直线AB 的距离为12，则AB =C ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为D ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为4【答案】AD【解析】对于A ，若1AB =，则可知点O 到AB 3AOB π∠=，故A 正确；对于B ，若点O 到直线AB 的距离为12，则可知2AB ，从而得AB B 错误；对于C ，D ()()1122,,,A x y B x y 两点到直线10x y +-=的距离之和，又AOB 90∠=，所以三角形AOB 是等腰直角三角形，设M 是AB 的中点，则OM AB ⊥，且2OM OA ==M 在以O 点为圆心，半径为2的圆上，,A B 两点到直线10x y +-=的距离之和为AB 的中点M 到直线10x y +-=的距离的两倍.点()0,0O 到直线10x y +-==，所以点M 到直线10x y +-=+=因此112211x y x y +-++-的最大值为4.从而可知C 错误，D 正确.. 故选：AD.14．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（ ） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O【答案】ABD【解析】对于A ：由椭圆22:1(2)2x y C a a +=>，所以3a =，故A 正确；对于B ：设()()()()()11221122,,,,,,1,1,1,1,A x y B x y Q m n AP x y PB x y ∴=--=--1122(,),(,)AQ m x n y QB x m y n =--=--，由,AP PB AQ QB λλ==-，得()()()121212121,11,1,,x x x x x x m m x x m λλλλλλ⎧+=+-=-⎧⎪∴⎨⎨-=--=--⎪⎩⎩两式相乘得()2222121x x m λλ-=-，同理可得()()22222222221122121,1323232x y x y m n y y n λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-∴+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知0λ>且1λ≠，否则与AQ QB λ=-矛盾，1,32m n ∴+=∴动点Q 的轨迹方程为132yx +=，即直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，OQ ∴min故C 错误，D 正确. 故选：ABD.15．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线22:124y C x -=的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上的一点，且12PF PF ⊥，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±B ．12PF F 内切圆的半径为2C ．1212PF PF +=D ．点P 到x 轴的距离为245【答案】ABD【解析】由双曲线C 的方程22124y x -=，得1a =，b =5c =，所以双曲线C 的渐近线方程为y =±，A 正确；因为12PF PF ⊥，122PF PF -=，12210F F c ==，所以2212122100PF PF F F +==，22212121212224PF PF PF PF F F PF PF +-=-=，解得1248PF PF =，故1214PF PF +==，C 错误；12PF F △内切圆的半径为121222PF PF F F +-=， B 正确；设点P 到x 轴的距离为d ，由12PF F △的面积为12242PF PF =，可得12242F F d =，解得245d =. 故选：ABD ．16．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于,A B 两点（其中A 在B 的上方），O 为坐标原点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线,,OA OB l 于点,,P Q N .则（ ）A ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为B ．PM NQ =C ．若,P Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB 的斜率为D ．若,P Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有PQ OQ >【答案】ABC 【解析】抛物线焦点为()1,0F ，设直线AB 方程为()1y k x =-，0k >，()()1122,,,A x y B x y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=， 由韦达定理可知，212224k x x k ++=，121=x x ，因为2AF FB =，则可得2AF FB =, 且()111,AF x y =--，()221,FB x y =-， 所以12122x x -=-，即21230x x +-=， 且121=x x ，12x x > 解得12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得1225422x x k+==+，所以k =±0k >所以k =A 正确, 又因为122212M x x x k+==+，()21M M y k x k =-=，故直线MN 方程为2y x=， 又因为,,O P A 共线，所以11P P x y x y =，21111111222P P x y x y y x y ky ky k====，同理可得22Q y x k=， 12222M P Q y y y x x k k k ++===，222211M N P Q x x x x k k+=+-==+， 所以，M P Q N x x x x -=-,即PM NQ =，故B 正确. 若,P Q 是线段MN 的三等分点，则13PQ MN =, 12221212112233y y k k k -⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212413k y y k+-=，又1242M y y y k+==，， ()()()22121212121114y y k x x k x x x x =--=--+=-，12y y ∴-=()2413k k +，解得k =()0k >，故C 正确.由()2222240k x k x k -++=，得1,2x =即2x =()221y k x =-=，22Q y x k ==2Q M y y k ==，所以OQ ==122y y PQ k -==所以()222245241k k OQ PQ k+-+-=()413k +=，当k >OQ PQ >,故D 错误.故选:ABC.17．（2022·湖北·高三阶段练习）[多选题]已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BCD【解析】易知点F 的坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 错误；根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时，212116x x p =-=-，选项B 正确； 若MF NF λ=，则MN 过点F ，则MN 的最小值即抛物线通径的长， 为2p ，即12，选项C 正确，抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，过点M ，N ，P 分别作准线的垂线MM '，NN '，PP '垂足分别为M '，N '，P '，所以MM MF '=，NN NF =． 所以32MM NN MF NF '+=+='， 所以线段324MM NN PP +''=='， 所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为13158488PP '-=-=，选项D 正确．故选：BCD18．（2022·湖北·高三阶段练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +--=，则（ ）A ．直线l 与蒙日圆相切B ．C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为(3bD ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b 【答案】AC【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x a =±、y b =±， 所以，点(),a b ±±在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为2222x y a b +=+，因为2c e a ===，可得222a b =.对于A 选项，蒙日圆圆心到直线l 的距离为22d =所以，直线l 与蒙日圆相切，A 对；对于B 选项，C 的蒙日圆的方程为2222232x a b y a ==++，B 错；对于C 选项，由椭圆的定义可得122AF AF a +==，则21AF AF =-，所以，21d F d AF A =--+，因为c b ==，直线l 的方程为30x b -=，点()1,0F b -到直线l 的距离为d '=，所以，(213d A b d AF d F '=+-=-≥-，当且仅当1AF l ⊥时，等号成立，C 对；对于D 选项，若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的四个顶点都在蒙日圆上，所以，()222212MN MH b +==，所以，矩形MNGH 的面积为22262MN MHS MN MH b +=⋅≤=，D 错.故选：AC.19．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的虚轴长为2，12,F F 为其左右焦点，,,P Q R 是双曲线上的三点，过P 作C 的切线交其渐近线于,A B 两点.已知12PF F △的内心I 到y 轴的距离为1.下列说法正确的是（ ） A ．2ABF 外心M 的轨迹是一条直线B ．当a 变化时，AOB 外心的轨迹方程为22222(1)4a x a y ++=C ．当P 变化时，存在,Q R 使得PQR 的垂心在C 的渐近线上D ．若,,X Y Z 分别是,,PQ QR PR 中点，则XYZ 的外接圆过定点 【答案】AD【解析】因为已知12PF F △的内心I 到y 轴的距离为1，双曲线2222:1(,0)x yC a b a b-=>的虚轴长为2，所以12PF F △的内心I 横坐标01200012221x a PF PF x c c x x a =⇒=-=+--===｜｜｜｜｜（）｜｜｜，，双曲线方程：221x y -=，())12,F F ，渐近线y x =±.设()()()()()0011223344,,,,,,,,,P x y A x y B x y Q x y R x y . 当点()00,P x y 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上时：设直线y kx m =+与双曲线()222210,0x ya b a b-=>>交两点()()1122,,,x y x y ''''2222220b x a y a b y kx m⎧--=⎨=+⎩ 22222222()2()0b a k x a kmx a m b ⇒---+= ()222224222222222222212222212122220Δ44()()4()0222b a k k m a b a k a m b a b b a k m a km x x b a k b m y y k x x m b a k ''''''⎧-≠⎪=+-+=-+>⎪⎪⎨+=-⎪⎪⎪+=++=-⎩当直线与双曲线相切时2222Δ00b a k m =⇔-+=，此时切点()00,Q x y 满足：22212020222012022022b x x a km a km x y m mx b y y b m b y k m m y a ''''⎧⎧+=-===-⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨+⎪⎪===-=⎪⎪-⎩⎩ 切线22000222001x b x x y y b y kx m y x y a y a a=+⇔=-⇔-= 设直线y kx m =+与渐近线22220x y a b-=交两点()()3344,,,A x y B x y '''''' 22220b x a y y kx m⎧-=⎨=+⎩ 2222222()20b a k x a kmx a m ⇒---= 23412022234120222a km x x x x x b a k y y y y y''''''''⎧+==+=⎪-⎨⎪+=+=⎩ 切点()00,Q x y 正是线段AB 的中点， △2020ABb x k a y =；线段AB 中垂线是()200020a y y y x xb x -=--. 中垂线与y 轴交于点，且TA TB =.20022002001a b x x y yx bx ay a bb ab y x y a bx ay ⎧⎧=-=⎪⎪-⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩-⎩可设220000,a b ab A bx ay bx ay ⎛⎫⎪--⎝⎭一方面，()22200AF ab k a b c bx ay =--；另一方面，线段2AF 中点是220000,22222a b c ab W bx ay bx ay ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭ ()()220422200000223200002222222WTy c ab ab c bx y ay bx ay bk a b c a b cb bx ay bx ay ----==+-+-()()()()()2422242222000000222324220000002222AF WTab c bx y ay a b c abx y a y ab k k a b c bx ay a b cb bx ay a b c bx ay ----⋅=⋅=--+--- 考虑到()()22422242200000220a b c abx y a y a b c bx ay ⎡⎤⎡⎤--+--=⎣⎦⎣⎦△2221AF WT k k AF WT TA TF ⋅=-⇔⊥⇔=2TA TB TF ==，点T 确系2ABF 之外心M ！其轨迹是直线0x =.选项A 正确！依（1）设2200000000,;,a a a a A B x ay x ay x ay x ay ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭线段OA OB 、中点是2200000000,,22222222a a a ax ay x ay x ay x ay ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭、线段OA 中垂线是200002222a a y a x x ay x ay ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，即20012a x ay y x a +-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 线段OB 中垂线是200002222a a y a x x ay x ay ⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭，即20012a x ay y x a ++=⎛⎫- ⎪⎝⎭ △()()2200001122a a x ay x ay y y x x a a ++⋅=+-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2222220022214a x a y a y x a +=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即OAB 外心的轨迹方程为()22222214a y x a a+-=.故选项B 错！（3）对PQR 来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是(),u u ，进而0343403434u y y y x xu x x x y y -+-=-=--+- 化简得()()()()()()()()030304400404033044334433x y y x x y x y x x y y x x y y u x y x y x y x y ++++-+==++++-+()()()()()()()()()()()()030304400303344304043443443344003300x y y x x y x y x y y x x y x y x y y x x y x y u x y x y x y x y x y x y +++++++++===+++++++++()()()()()()()()()()()()404030300303434334340404443300443300x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y u x y x y x y x y x y x y +-++-++-+===+-++-++-+()()()()()()()()044034430404344304043300330033x y x y x y x y x y y x x y x y x y y x u x y x y x y x y x y +-+++++===+-+++++△0440********334400x y x y x y x y x y x y u x y x y x y +++===+++把044033033044x y x y x y u x y x y x y u +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩代入()()()()404030304433x x y y x x y y u x y x y +-+=+-+并化简得：()()()0033440x y x y x y ⎡⎤----=⎣⎦考虑到()00,P x y 不在渐近线上得()000x y -≠，故3344x y x y -=-△34341QR y y k x x -==-，这不可能！垂心不能在y x =上，同理不能在y x =-上，选项C 错误； （4）设()0303343440400,0,,,,,,222222x x y y x x y y x x y y O X Y Z ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23434234342040420404tan tan 1QR PR QR PRQR PR k k ZXY R k k x x x x b k a y y y y x xx x b k a y y y y -⎧∠=∠=⎪+⋅⎪⎪++⎪=⋅=⎨++⎪⎪++⎪=*=++⎪⎩()()()()()()()()34043404043434043404340434043404tan 1x x x x x x y y x x y y y y y y ZXY x x x x y y y y x x x x y y y y ++-++-++++∠==++++++++⋅++()()()()()()()()34040434********3404340434043404tan 11OY OZ OY OZy y y y x x y y x x y y k k x x x x ZOY y y y y k k y y y y x x x x x x x x ++-++-++-++∠===+++⋅++++++⋅++tan tan 0,,,ZXY ZOY ZXY ZOY O Z X Y π∠+∠=⇔∠+∠=⇔共圆！XYZ 的外接圆过定点原点，选项D 对. 故选：AD20．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ） A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC【解析】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2y x y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +， 直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2yx 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-， 显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确； B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x -⇒= 因此正三角形PAB所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PA PBx x x xx x k kx x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ==，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k ==+，因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确；D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC21．（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 为坐标原点，一条平行于x 轴的光线1l 从点(5,2)M 射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线2l 射出，经过点N ．下列说法正确的是（ ） A ．若2p =，则||4AB = B ．若2p =，则MB 平分ABN ∠ C ．若4p =，则||8AB =D ．若4p =，延长AO 交直线2x =-于点D ，则D ，B ，N 三点共线【答案】ABD【解析】若2p =，则抛物线2:4C y x =，(1,2)A ，C 的焦点为(1,0)F ，直线AF 的方程为：1x =，可得(1,2)B -，||4AB =，选项A 正确；2p =时，因为||514||AM AB =-==，所以AMB ABM ∠=∠，又AMBN ，所以∠∠=AMB MBN ，所以MB 平分ABN ∠，选项B 正确；若4p =，则抛物线2:8C y x =，1(2A ，2)，C 的焦点为(2,0)F ，直线AF 的方程为4(2)3y x =--，联立抛物线方程求解可得8(8,)B -，所以25||2AB =，选项C 不正确； 若4p =，则抛物线2:8C y x =，1(2A ，2)，延长AO 交直线2x =-于点D ，则(2,8)D --，由C 选项可知8(8,)B -，所以D ，B ，N 三点共线，故D 正确.故选：ABD ．三、填空题22．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使得122π3F PF ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是________．【答案】 【解析】由椭圆的定义可知：122PF PF a +=， 在△12PF F 中，由余弦定理得：()2222221122121121121222221124222os 221c F P F P F P F P F F F P F P F F b F P F P F PF F P F P F P F P F P F P +-⋅-+--⋅∠====-⋅⋅⋅，所以2214F P F P b ⋅=，又()1212224F P F P F P F P a +⋅≤=，即224b a ≤，当且仅当21F P F P =时等号成立，故22244a c a -≤，所以2234a c ≤，234e ≥，解得：e ∈.故答案为： 23．已知C ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为 ____． 【答案】210x y ++=【解析】C ：222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=，则圆心()11C ，，半径2r =． 因为四边形MACB的面积2?2CAMS SCA AM AM ====要使四边形MACB 面积最小，则需CM 最小，此时CM 与直线l 垂直， 直线CM 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得()0,1M -．则CM则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=．故答案为：210x y ++=.24．（2022·广东·高三开学考试）已知双曲线22:143x y C -=，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，M 是双曲线C 右支上一点，l 是12F MF ∠的平分线，过2F 作l 的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程为_______． 【答案】224(0)x y x +=>【解析】延长2F P ，交1F M 于Q ，因为2PMF PMQ ∠=∠，2MPF MPQ ∠=∠，MP MP =，所以2MPF MPQ ≌△△，所以2MF MQ =，所以1112QF MF MQ MF MF =-=-，因为M 是双曲线C 右支上一点，所以124QF a ==， 又因为P 是2QF 的中点，O 是12F F 的中点，所以1122PO QF ==， 所以P 的轨迹是以O 为圆心，半径为2的圆的一部分， 所以点P 的轨迹方程为224(0)x y x +=>． 故答案为：224(0)x y x +=>.25．已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3FA AB =，则双曲线C 的渐近线的方程为______． 【答案】43y x =±【解析】设C 的左焦点为1F ，连接1F B ，过1F 作1F D FB ⊥于D ，易知：1//F D OA ，在曲线C 中，易知：FA b =，则2DB b =，则D 为线段FB 的中点．又4FB b =，1422FB b a c =-=，即2c a b +=，得4()c a c a +=-，则53c a =， 又222c a b =+，得43b a =，渐近线方程为43y x =±．故答案为：43y x =±26．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆2242200x y x y +-+-=相交于A ，C ，B ，D 四点，M 为弦AB 的中点，有下列结论：①弦AC 长度的最小值为②线段BO 长度的最大值为10 ③点M 的轨迹是一个圆；④四边形ABCD 面积的取值范围为⎡⎤⎣⎦．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①③④【解析】由题设22(2)(1)25x y -++=，则圆心(2,1)-，半径=5r ，由圆的性质知：当圆心与直线AC AC 长度的最小，此时||2AC ==①正确；BO 长度最大，则圆心与,B O 共线且在它们中间，此时||5BO r =②错误； 若,,,M H G F 分别是,,,AB BC CD AD 的中点，则////MF HG BD 且||||||2BD MF HG ==，////MH FG AC 且||||||2AC MH FG ==， 又AC BD ⊥，易知：MHGF 为矩形，而22222||||||||||4BD AC FH MF MH +=+=，若圆心(2,1)-到直线,AC BD 的距离12,d d ∈且22125d d +=，所以222212||||2255044BD AC d d +++=⨯=，则22||||454BD AC +=，故||FH =所以M 在以||FH =,HF MG 交点为圆心的圆上，③正确；由上分析：||AC =||BD =1||||2ABCD S AC BD =，所以ABCD S ==令22215[0,5]t d d ==-∈，则ABCD S ==当52t =，即12d d ==时，max ()45ABCD S =；当0=t 或5，即120,d d ==或120d d =时，min ()ABCD S =所以ABCD S ∈，④正确； 故答案为：①③④27．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=．若已知△ABC 内接于椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且坐标原点O 为△ABC 的重心，过A ，B ，C 分别作椭圆E 的切线，切线分别相交于点D ，E ，F ，则DEFABCS S =______． 【答案】4【解析】若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则,,AB BC AC 的中点1212(,)22x x y y G ++、2323(,)22x x y y H ++、1313(,)22x x y y I ++， 由O 为△ABC 的重心，则OG OC k k =、OH OA k k =、OI OB k k =， 所以312123y y y x x x +=+、231231y y y x x x +=+、132132y y yx x x +=+，可得133132232112x y x y x y x y x y x y -=-=-， 由题设，过,,A B C 切线分别为11221x x y ya b +=、22221x x y y a b +=、33221x x y y a b +=， 所以22122121122112()()(,)a y y b x x D x y x y x y x y ----，22311313311331()()(,)a y y b x x E x y x y x y x y ----，22233232233223()()(,)a y y b x x F x y x y x y x y ----， 所以222312312211213313223()()()0a y y a y y a y y x y x y x y x y x y x y ---++=---，同理222133221211213313223()()()0b x x b x x b x x x y x y x y x y x y x y ---++=---，即△DEF 重心也为O ，又2211221x y a b +=、2222221x y a b +=、2233221x y a b+=，可得22321212221213()()b x y y b x x x x a y y a y -+=-=--+、22313122231312()()y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+、22323212232321()()y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+， 所以22233212222133()()()()ODOC a y y b x x b k k a y y a b x x -=-=-⨯-==-，同理可得OE OB k k =、OF OA k k =，所以,,D O C 、,,E O B 、,,F O A 共线， 综上，,,C B A 分别是,,EF DF DE 的中点，则4DEF ABCSS=28．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F ､，过1F 作圆222:O x y a +=的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若2BC CF =，则双曲线的离心率为___________.【解析】因为2BC CF =，122CF CF a -=， 所以12BF a =，又1,OB a OF c ==， △222245c a a a =+=，即ce a==29．（2022·山东·模拟预测）已知双曲线2222Ω:1(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F P 为Ω上一点，M 为12PF F △的内心，直线PM 与x 轴正半轴交于点H ，2||3aOH =，且213PF PF =，则Ω的渐近线方程为________．【答案】y x = 【解析】因为PH 经过12PF F △的内心，根据内角平分线定理可知：11222324333e 23233ac F H PF c a a HF PF c a c ++===⇒=⇒=--，所以Ω的渐近线方程为：y x =．故答案为：y =四、双空题30．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知抛物线方程28y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：()F P Q PFd =.已知点(P -，则()d P =___________；设点()(),02P t t ->，若()40d P PF k -->恒成立，则k 的取值范围为___________.【答案】4 (),4-∞【解析】如下图所示，过点Q 作抛物线准线的垂线QE ，垂足为点E ，设PFO θ∠=，则θ为锐角，设抛物线28y x =的准线与x 轴的交点为M ，则4MF =， 由抛物线的定义可知QF QE =，4cos cos MF PF θθ==，cos QE QF PQ PF QF θ==-， 所以，1cos cos PFQF θθ+=，当点P 的坐标为(-时，12PF ==，则1cos 3MF PF θ==， 此时()1cos 4cos PFd F P Q θθ+===；当点()(),02P t t ->时，若()40d P PF k -->恒成立，则()4k d P PF <-，()()41cos 444cos cos d P PF θθθ+-=-=，4k ∴<. 故答案为：4；(),4-∞.31．（2022·湖北·高三开学考试）已知抛物线()2:20C y px p =>的准线l 与x 轴的交点为H ，抛物线C 的焦点为F ，过点H 的直线与抛物线C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，4BF AF =，则21x x =________；若AB 的中点到准线l 的距离为254，则p =_________. 【答案】 16 4【解析】由题可知,02p H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线:2p AB x ty =-，代入抛物线方程可得， 2220y pty p -+=，则212y y p =， 因为4BF AF =，所以214y y =，又221212,22y y x x p p ==， △2222112162y x p y x p==，22221212121644y y p x x x p ===， △12,28p x x p ==， 又AB 的中点到准线l 的距离为254， △1225224x x p ++=，即12252x x p ++=， △25282p p p ++=，即4p =. 故答案为：16；4.32．（2022·湖南·的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆22:1(100)10x y E m m +=>>是“黄金椭圆”，则m =___________，若“黄金椭圆”2222:1(0)x y C a b a b +=>>两个焦点分别为()1,0F c -、2(,0)(0)F c c >，P 为椭圆C 上的异于顶点的任意一点，点M 是12PF F △的内心，连接PM 并延长交12F F 于点N ，则||||PM MN =___________． 【答案】5【解析】由题，e ==，所以5m =．如图，连接12,MF MF ，设12PF F △内切圆半径为r ， 则121212111222PF F PF r PF r F F r S ++=，即121(22)2PF F a c r S +=， 121211222MF F F F r S c r ==⋅⋅， △1212PF F MF F S PN a c c S MN +==， △c MN PN a c=+ △1c PM PN PN a c a c a ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，△a PM a a c cMN ca c+====+故答案为：5．。
高三数学选择题专题训练(17套)含答案
（每个专题时间：35分钟，满分：60分）1．函数y =的定义域是（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）A ．2 BC ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C． D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．127．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。
那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．712012． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是A ．258B ．234C ．222D ．2101．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅2．︒+︒15cot 15tan 的值是（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．32 B ．33 C ．22 D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．216．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ） ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A ．arcsin 63 B ．arccos 63C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4] 时，f(x)= x －2，则 （ ） A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元专题训练（三）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 2．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =（ ）A ．[)(]3,21,2-- B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= （ ）A ．12-B ．14- C ．14 D ．134．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n5．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ． 0.1808C ． 0.5632D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A ．23 B ． 76 C ． 45 D ． 568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ） A ． 6 B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（ ） A ． 4 B ． 12 C ．2 D ． 1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是 （ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ） A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( )A ． 第四象限B ． 第三象限C ．第二象限D ． 第一象限1．设集合P={1A ．{1，2} B ． {3，4} C ． {1} D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时 7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两 点(-1，0)和(0，1)，则（ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分 别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17 D．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个人数(人)时间(小时)专题训练（五）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对于10<<a ，给出下列四个不等式，其中成立的是( )① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a 111++<④aaaa 111++>A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④3．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于（ ） A ．6 B ．225 C ．1 D ．5 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p --- 6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量ξ的概率分布如下：则==)10(ξP ( )A ．932 B ．103 C ．93 D ．103 9．已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A ．26 B ．23 C ．3D ．210．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )A ．π68B ．π664C ．π224D ．π27211．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( )A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐， 并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( )A ．234B ．346C ．350D ．3631．设集合U A ．{2} B ．{2，3} C ．{3} D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（ ） A ．7 B ．10C ．13D ．44．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是 （ ）A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x y C ．)1(22<-=x x x y D ．)1(22≥-=x x x y5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（ ） A ．57B ．51C ．27 D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ） A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+31．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（ ） A ．{2|-<x x } B ．{3|>x x } C ．{21|<<-x x } D ． {32|<<x x }2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ ） A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7．函数xe y -=的图象（ ） A ．与xe y =的图象 关于y 轴对称B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与xe y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |=（ ） A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个专题训练（八）1、设集合22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、函数sin 2xy =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3、记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ） A ． 2 B ． 2-C ． 3D ． 1- 4、等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ． 120C ．168D ． 1925、圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A ． 20x +-=B ． 40x +-=C ． 40x -+=D ． 20x +=6、61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-7、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，） 8、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．D ． 549、不等式113x <+<的解集为（ ）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4- C ． ()4,0- D ． ()()4,20,2--10、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ． 3D ．11、在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ． 32D ．12、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种1．设集合U={1U A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ． {0，1，3，4，5}2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ） A ．)0(ln 2>=x x y B ．)0)(2ln(>=x x y C ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（ ） A ．26 B ． 6C ．66 D ．36 4． 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y x D ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+1．设集合A ．PQ P = B ．P Q 包含Q C ．P Q Q = D ． P Q 真包含于P2． 不等式21≥-xx 的解集为（ ） A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件 4．若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=b （ ） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
导数选填题-【2023高考必备】2013-2022十年高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
16．(2022新高考全国I卷·第12题)已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则()
A． B． C． D．
17．(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数 ，则()
A． 有两个极值点B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
18．(2022年全国乙卷理科·第16题)已知 和 分别是函数 ( 且 )的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题03导数选填题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·第6题)当 时，函数 取得最大值 ，则 ()
A B． C． D．1
2．(2022新高考全国I卷·第7题)设 ，则()
A． B． C． D．
3．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点 可以作曲线 的两条切线，则()
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
22．(2021年高考全国甲卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为__________．
23．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为．
24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
14．(2013高考数学新课标2理科·第10题)已知函数 ，下列结论中错误的是()
A．
B．函数 的图象是中心对称图形
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点，则
15．(2013高考数学新课标1理科·第11题)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围是()
新高考数学选填压轴题(三)与答案
2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(三)一、单选题1.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与抛物线C 2：y 2=2px p >0 有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线C 2相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线C 1的离心率为e ，则e 2=( )A.3+12B.5+12C.5+13D.5+232.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对任意的x 1，x 2∈0，+∞) ，且x 1≠x 2，都有x 1f x 1 -x 2f x 2x 1-x 2<0成立，则不等式mf m -2m -1 f 2m -1 >0的解集为( )A.13，1 B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,13∪1,+∞ 3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋯，(其中x ∈R ，n ∈N *，n !=1×2×3×⋯×n ⋅0!=1)，现用上述公式求1-12!+14!-16!+⋯+-1 n -112n -2 !+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )A.sin30∘B.sin33∘C.sin36∘D.sin39∘4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )A.288B.336C.576D.16805.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=xe x -2a (ln x +x )有两个零点，则a 的最小整数值为( )A.0B.1C.2D.36.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,π3单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )A.32,2B.1,32C.32,52D.0,327.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x -y +1=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若FC=2AC ，则该椭圆的离心率是( )A.10-22B.3-12C.22-2D.2-18.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB ，OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足OE =12ED ，则EO ⋅EA的值为( )A.-328B.-121C.-29D.-2219.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数f x =e x -2x 图象在点x 0,f x 0 处的切线方程为y =kx +b ，则k -b 的最小值为( )A.-2B.-2+1eC.-1eD.-2-1e10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R 的函数f x 满足：∀x ∈R ，f 4+x +f -x =0，f 1+x 为偶函数，f 1 =1，则f 2023 =( )A.1B.-1C.2D.-311.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF -A B C D E F 的三个顶点A ,C ,E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M -ABF ,O -BCD ,N -DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )A.tan θ=33tan54∘44 B.sin θ=33tan54∘44 C.cos θ=33tan54∘44D.tan θ=3tan54∘44 12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021ln a =a +m ，2021ln b =b +m ，其中a ≠b ，若ab <λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.2021e 2,+∞B.20212,+∞C.20212,+∞D.2021e 2,+∞试卷第1页，共3页13.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A =AB ，F 1B ⋅F 2B=0，则C 的离心率为( )A.2B.5C.3+1D.5+114.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数f x =cos 2ωx 2+32sin ωx -12ω>0,x ∈R .若函数f x 在区间π,2π 内没有零点，则ω的取值范围是A.0,512B.0,512 ∪56,1112 C.0,56D.0,512 ∪56,111215.(2022·湖南·高三开学考试)已知a =2,b =513,c =(2+e )1e ，则a ,b ,c 的大小关系为( )A.b <c <aB.c <b <aC.b <a <cD.c <a <b16.(2022·湖北·高三开学考试)已知a ,b ,c 均为不等于1的正实数，且ln c =a ln b ,ln a =b ln c ，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c >a >bB.b >c >aC.a >b >cD.a >c >b17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设f x 是定义在R 上的连续的函数f x 的导函数，f x -f x +2e x <0(e 为自然对数的底数)，且f 2 =4e 2，则不等式f x >2xe x 的解集为( )A.-2,0 ∪2,+∞B.e ,+∞C.2,+∞D.-∞,-2 ∪2,+∞18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αe α-3=1，βln β-1 =e 4，其中e 是自然对数的底数，则αβ的值为( )A.e 3B.2e 3C.2e 4D.e 419.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知F c ,0 (其中c >0)是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦点.圆x 2+y 2-2cx +b 2=0与双曲线的一条渐近线l 交于A 、B 两点.已知l 的倾斜角为30°.则tan ∠AFB =( )A.-2B.-3C.-22D.-2320.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +3，则满足f x +f 3-2x <6的x 的取值范围是( )A.3,+∞ B.1,+∞ C.-∞,3D.-∞,1 二、多选题21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f x =log 2x ,(0<x <2)x 2-8x +13,x ≥2，若f x =a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A.0<a <1B.x 1+2x 2∈22,92C.x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212D.2x 1+x 2∈22,322.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则( )A.当P 在平面BCC 1B 1上运动时，四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是π3，π2C.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+42D.若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是523.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =12z ，则( )A.1x +1y =1zB.6z <3x <4yC.xy <4z 2D.x +y >4z24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )A.函数y =x -[x ]在区间[k ,k +1)(k ∈Z )上单调递增B.若函数f (x )=sin xe x -e -x，则y =[f (x )]的值域为{0}C.若函数f (x )=|1+sin2x -1-sin2x |，则y =[f (x )]的值域为{0,1}D.x ∈R ，x ≥[x ]+125.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f (x )是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令x n =f (x n -1)(n =1，2，3，⋯)，若存在正整数k 使得x k =x 0，且当0<j <k 时，x j ≠x 0，则称x 0是f (x )的一个周期为k 的周期点.若f (x )=2x ，x <122(1-x )，x ≥12，下列各值是f (x )周期为1的周期点的有( )A.0 B.13 C.23D.126.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)在数列a n 中，对于任意的n ∈N *都有a n >0，且a 2n +1-a n +1=a n ，则下列结论正确的是( )A.对于任意的n ≥2，都有a n >1B.对于任意的a 1>0，数列a n 不可能为常数列C.若0<a 1<2，则数列a n 为递增数列D.若a 1>2，则当n ≥2时，2<a n <a 127.(2022·山东·模拟预测)已知点P 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上运动，点Q 是CD 的中点，点P 满足PQ ⊥AC 1，下列结论正确的是( )A.点P 的轨迹的周长为32B.点P 的轨迹的周长为62C.三棱锥P -BCQ 的体积的最大值为43D.三棱锥P -BCQ 的体积的最大值为2328.(2022·山东·模拟预测)正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或试卷第1页，共3页测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f (x )=2sin x +sin2x ，则下列叙述不正确的是( )A.f (x )在[0,2π)内有5个零点B.f (x )的最大值为3C.(2π,0)是f (x )的一个对称中心D.当x ∈0,π2时，f (x )单调递增29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=e x ,x ≥0-x 2-4x ,x <0，方程f 2(x )-t ⋅f (x )=0有四个实数根x 1,x 2,x 3,x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，下列说法正确的是( )A.x 1x 4∈(-6ln2,0]B.x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围为[-8,-8+2ln2)C.t 的取值范围为[1,4)D.x 2x 3的最大值为430.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：y =x 2上两个不同点A ,B 横坐标分别为x 1，x 2，以A ,B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有( )A.若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B.若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为334C.若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D.一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积S =|x 1-x 2|2431.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数f (x )=x ln x ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是( )A.x 2f x 1 <x 1f x 2B.x 1+f x 1 <x 2+f x 2C.f x 1 -f x 2 x 1-x 2<0D.当ln x >-1时，x 1f x 1 +x 2f x 2 >2x 2f x 132.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a ，b 为正实数，且ab =32a +b -42，则2a +b 的取值可以为( )A.1B.4C.9D.3233.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )A.log 23<log 49B.log 23<lg15C.log 812>log 1215D.log 812>log 63634.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x ln (1+x )，则( )A.f (x )在(0,+∞)单调递增B.f (x )有两个零点C.曲线y =f (x )在点-12,f -12处切线的斜率为-1-ln2D.f (x )是偶函数35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f x =x ln x,x>00,x=012f x+1,x<0，则下列说法正确的有( )A.当x∈-3,-2时，f x =18x+3ln x+3B.若不等式f x -mx-m<0至少有3个正整数解，则m>ln3C.过点A-e-2,0作函数y=f x x>0图象的切线有且只有一条D.设实数a>0，若对任意的x≥e，不等式f x ≥a x e a x恒成立，则a的最大值是e36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M(5,2)射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点N．下列说法正确的是( )A.若p=2，则|AB|=4B.若p=2，则MB平分∠ABNC.若p=4，则|AB|=8D.若p=4，延长AO交直线x=-2于点D，则D，B，N三点共线37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x1，x2，x3为函数f(x)=a x-x2的零点，x1<x2<x3，下列结论中正确的是( )A.x1>-1B.x1+x2<0C.若2x2=x1+x3，则x3x2=2+1 D.a的取值范围是1,e2e38.(2022·湖北·高三开学考试)关于函数f x =ae x+sin x,x∈-π,π，下列结论中正确的有( )A.当a=-1时，f x 的图象与x轴相切B.若f x 在-π,π上有且只有一个零点，则满足条件的a的值有3个C.存在a，使得f x 存在三个极值点D.当a=1时，f x 存在唯一极小值点x0，且-1<f x0<039.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知函数f x =xx-1,x<15ln xx,x≥1，下列选项正确的是( )A.函数f x 的单调减区间为-∞,1、e,+∞B.函数f x 的值域为-∞,1C.若关于x的方程f2x -a f x=0有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是5e,+∞D.若关于x的方程f2x -a f x=0有5个不相等的实数根，则实数a的取值范围是1,5 e试卷第1页，共3页40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f (x )=sin 4x +π3 +cos 4x -π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的最大值为2B.f (x )在-π8,π12上单调递增C.f (x )在[0,π]上有4个零点D.把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象关于直线x =-π8对称41.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f 2x +1 的图像关于直线x =1对称，函数y =f x +1 关于点1,0 对称，则下列说法正确的是( )A.f 1-x =f 1+x B.f x 的周期为4C.f 1 =0D.f x =f 32-x 三、填空题42.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f x =x -2a e x+2a 2-4.若f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，则实数a 的值为___________.43.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)空间四面体ABCD 中，∠ACD =60∘，二面角A -CD -B 的大小为45∘，在平面ABC 内过点B 作AC 的垂线l ，则l 与平面BCD 所成的最大角的正弦值___________.44.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)函数f (x )=a x +2bx +e 2，其中a ，b 为实数，且a ∈(0,1).已知对任意b >4e 2，函数f (x )有两个不同零点，a 的取值范围为___________________.45.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知平面向量a ，b和单位向量e 1 ，e 2 满足e 1 =-e 2 ，a -e 1 +e 2 =3a +e 1 -e 2 ，b =λa +μe 1 ，2λ+μ=2，当a变化时，b 的最小值为m ，则m 的最大值为__________.46.(2022·山东·模拟预测)已知双曲线Ω:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,P 为Ω上一点，M为△PF 1F 2的内心，直线PM 与x 轴正半轴交于点H ，|OH |=2a3，且PF 1 =3PF 2 ，则Ω的渐近线方程为________．47.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)在平面四边形ABCD 中，AB =CD =1，BC =2，AD =2，∠ABC =90°，将△ABC 沿AC 折成三棱锥，当三棱锥B -ACD 的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．48.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知数列a n 中，a 1=32，且满足a n =12a n -1+12n n ≥2,n ∈N *，若对于任意n ∈N *，都有λn ≥a n 成立，则实数λ的最小值是_________.49.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数y =e -2x +1的图象与函数y =ln -x -1 -32的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．50.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a ln 2x +1 有两个不同的极值点x 1、x 2，且x 1<x 2，则实数a 的取值范围是___________.51.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为△ABC 的外心，且有AB +BC =233AC ，sin C (cos A -3)+cos A sin A =0，若AO =xAB +yAC ，x ,y ∈R ，则x -2y =________．52.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)如图，正方形ABCD 的边长为10米，以点A 为顶点，引出放射角为π6的阴影部分的区域，其中∠EAB =x ，π12≤x ≤π4，记AE ，AF 的长度之和为f x ．则f x 的最大值为___________．53.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知a =2ln4，b =ln3ln2，c =32，则a 、b 、c 的大小关系是___________(用>连接).54.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 为棱D 1C 1上一动点，点F 为棱BB 1上一动点，且满足EF =2，则三棱锥B 1-EFC 1的体积取最大值时，三棱锥B 1-EFC 1外接球的表面积为___________.四、双空题55.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)定义离心率是5-12的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E :x 210+y 2m=1(10>m >0)是“黄金椭圆”，则m =___________，若“黄金椭圆”C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两个焦点分别为F 1-c ,0 、F 2(c ,0)(c >0)，P 为椭圆C 上的异于顶点的任意一点，点M 是△PF 1F 2的内心，连接PM 并延长交F 1F 2于点N ，则|PM ||MN |=___________．试卷第1页，共3页新高考数学选填压轴题(三)一、单选题1.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与抛物线C 2：y 2=2px p >0 有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线C 2相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线C 1的离心率为e ，则e 2=( )A.3+12B.5+12C.5+13D.5+23【答案】B 【解析】根据题意，作图如下：因为双曲线C 1和抛物线C 2共焦点，故可得a 2+b 2=p 24，又F c ,0 到y =b a x 的距离d =bca 2+b 2=b ，即AF =b ，又A 为BF 中点，则BF =2b ，设点B x ,y ，则2b =x +p 2，解得x =2b -p 2；由a 2+b 2=p 24可得OA =a ，则由等面积可知：12×BF ×OA =12×OF ×y ，解得y =4abp，则B 2b -p 2,4abp ，则x A =b ,y A =2ab p ，又点A 在渐近线y =b a x 上，即b 2a =2abp，即2a 2=pb ，又p 2=4a 2+4b 2，联立得a 4-a 2b 2-b 4=0，即b 2a 2-a 2b 2+1=0，解得b 2a2=5-12，故e 2=1+b 2a2=5+12.故选：B .2.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对任意的x 1，x 2∈0，+∞) ，且x 1≠x 2，都有x 1f x 1 -x 2f x 2x 1-x 2<0成立，则不等式mf m -2m -1 f 2m -1 >0的解集为( )A.13，1 B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,13∪1,+∞ 【答案】D【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数∴g x =xf x 为定义在R 上的偶函数又∵x 1f x 1 -x 2f x 2 x 1-x 2<0∴g x =xf x 在0，+∞) 上递减，则g x 在-∞,0 上递增mf m -2m -1 f 2m -1 >0即mf m >2m -1 f 2m -1则m <2m -1 解得：m ∈-∞,13∪1,+∞ ．故选：D ．3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋯，(其中x ∈R ，n ∈N *，n !=1×2×3×⋯×n ⋅0!=1)，现用上述公式求1-12!+14!-16!+⋯+-1 n -112n -2 !+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )A.sin30∘ B.sin33∘ C.sin36∘ D.sin39∘【答案】B【解析】(sin x )=cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯+-1 n -1x 2n -22n -2 !+⋯所以cos1=1-12!+14!-16!+⋯+(-1)n -11(2n -2)!+⋯=sin π2-1=sin 90∘-180∘π ，由于90∘-180∘π 与33∘最接近，故选：B 4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )A.288B.336C.576D.1680【答案】B【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24种,第二步,排黑车,若白车选AF ,则黑车有BE ,BG ,BH ,CE ,CH ,DE ,DG 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=14种，根据分步计数原理,共有24×14=336种,故选：B5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=xe x -2a (ln x +x )有两个零点，则a 的最小整数值为( )A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】f (x )=xe x -2a (ln x +x )=e x +ln x -2a (ln x +x )，设t =x +ln x (x >0)，t =1+1x>0，即函数在0,+∞ 上单调递增，易得t ∈R ，于是问题等价于函数g t =e t -2at 在R 上有两个零点，g t =e t -2a ，若a ≤0，则g t >0，函数g t 在R 上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若a >0，则x ∈-∞,ln2a 时，g t <0，g t 单调递减，x ∈ln2a ,+∞ 时，g t >0，g t 单调递增.因为函数g t 在R 上有两个零点，所以g t min =g ln2a =2a 1-ln2a <0⇒a >e2，而g 0 =1>0，限定t >1 ，记φt =e t -t ，φ t =e t -1>0，即φt 在1,+∞ 上单调递增，于是φt =e t -t >φ1 =e -1>0⇒e t>t ，则t >2时 ，e t2>t 2⇒e t>t 24，此时g t >t 24-2at =t 4t -8a ，因为a >e 2，所以8a>4e >1，于是t >8a 时，g t >0.综上：当a >e2时，有两个交点，a 的最小整数值为2.故选：C .6.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,π3单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )A.32,2 B.1,32C.32,52D.0,32【答案】D【解析】因为函数为偶函数，且在0,π3 单调递减，所以φ=π2+k πk ∈Z ，而0<φ<π，则φ=π2，于是f (x )=A cos ωx (ω>0)，函数在0,π3 单调递减，且在该区间上没有零点，所以0<π3ω≤π2⇒ω∈0,32 .故选：D .7.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x -y +1=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若FC=2AC ，则该椭圆的离心率是( )A.10-22B.3-12C.22-2D.2-1【答案】A【解析】由题意可知，点F -c ,0 在直线x -y +1=0上，即1-c =0，可得c =1，直线x -y +1=0交y 轴于点C 0,1 ，设点A m ,n ，FC=1,1 ，AC =-m ,1-n ，由FC =2AC 可得-2m =121-n =1 ，解得m =-12n =12，椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为E 1,0 ，则AE =1+12 2+0-12 2=102，又AF =-1+12 2+0-12 2=22，∴2a =AE +AF =10+22，因此，该椭圆的离心率为e =2c 2a =210+22=410+2=410-2 8=10-22.故选：A .8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB ，OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足OE =12ED ，则EO ⋅EA的值为( )A.-328B.-121C.-29D.-221【答案】D【解析】由题意，作出图形，如图，∵OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1∴OA ⋅OB =1×2cos ∠AOB =2cos ∠AOB =-1，∴cos ∠AOB =-12，由∠AOB ∈0,π 可得∠AOB =2π3，∴AB =OA 2+OB 2-2⋅OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =7，又S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin ∠AOB =12⋅OD ⋅AB =32，则OD =37，∴EO ⋅EA =-OE ⋅ED +DA =-2OE 2=-29⋅OD 2=-29×37=-221.故选：D ．9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数f x =e x -2x 图象在点x 0,f x 0 处的切线方程为y =kx +b ，则k -b 的最小值为( )A.-2 B.-2+1eC.-1eD.-2-1e【答案】D【解析】由f x =e x -2x 求导得：f (x )=e x -2，于是得f (x 0)=e x 0-2，函数f (x )=e x -2x 图象在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y -(e x 0-2x 0)=(e x 0-2)(x -x 0)，整理得：y =(e x 0-2)x +(1-x 0)e x 0，从而得k =e x 0-2,b =(1-x 0)e x 0，k -b =x 0e x 0-2，令g (x )=xe x -2，则g (x )=(x +1)e x ，当x <-1时，g (x )<0，当x >-1时，g (x )>0，于是得g (x )在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增，则g (x )min =g (-1)=-2-1e，所以k -b 的最小值为-2-1e.故选：D10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R 的函数f x 满足：∀x ∈R ，f 4+x +f -x =0，f 1+x 为偶函数，f 1 =1，则f 2023 =( )A.1 B.-1C.2D.-3【答案】B【解析】因为f 1+x 为偶函数，所以f x 的图象关于直线x =1对称，所以f 2-x =f x ，又由f 4+x +f -x =0，得f 4+x =-f -x ，所以f 8+x =-f -4-x =-f 6+x ，所以f x +2 =-f x ，所以f x +4 =f x ，故f x 的周期为4，所以f 2023 =f 3 =-f 1 =-1．故选:B ．11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF -A B C D E F 的三个顶点A ,C ,E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M -ABF ,O -BCD ,N -DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )A.tan θ=33tan54∘44 B.sin θ=33tan54∘44 C.cos θ=33tan54∘44D.tan θ=3tan54∘44 【答案】C【解析】先证明一个结论：如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，C -AB -C 的平面角为θ,θ∈0,π2 ，则cos θ=S △ABCS △ABC.证明：如图，在平面β内作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接EC ，因为△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，故CC ⊥α，因为AB ⊂α，故CC ⊥AB ，因为CE ∩AB =E ，故AB ⊥平面ECC .因为EC ⊂平面ECC ，故C E ⊥AB ，所以∠CEC 为二面角的平面角，所以∠CEC =θ.在直角三角形CEC 中，cos ∠CEC =cos θ=ECEC=S △ABCS △ABC .由题设中的第二图可得：cos θ=S △DBCS △DBO.设正六边形的边长为a ，则S △DBC =12a 2×32=34a 2，如图，在△DBO 中，取BD 的中点为W ，连接OW ，则OW ⊥BD ，且BD =3a ，∠BOD =109°28 ，故OW =32a ×1tan54°44，故S △DBO =12×3a ×32a ×1tan54°44 =34a 2×1tan54°44 ，故cos θ=33tan54°44 .故选：C .12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021ln a =a +m ，2021ln b =b +m ，其中a ≠b ，若ab <λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.2021e 2,+∞ B.20212,+∞C.20212,+∞D.2021e 2,+∞【答案】C【解析】令f (x )=ln x -12021x ，则f (x )=1x -12021=2021-x2021x，∴当x ∈(0,2021)时，f (x )>0，当x ∈(2021,+∞)时，f (x )<0，∵f (2021)>0，∴设0<a <2021<b ，则ba=t (t >1)，两式相减，得2021ln b a =b -a ，则2021ln t =a (t -1)，∴a =2021ln t t -1，b =at =2021t ln tt -1，∴ab =20212⋅t (ln t )2(t -1)2，令g (t )=t (ln t )2-(t -1)2，∴g (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，令h (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，则h (t )=2t(ln t +1-t )，令m (t )=ln t +1-t ，则m (t )=1t-1<0，∴函数m (t )在(1,+∞)上单调递减，∴m (t )<m (1)=0,即h (t )<0,∴h (t )<h 1 =0，∴g (t )<0，∴函数g (t )在(1,+∞)上单调递减，∴g (t )<g 1 =0，∴t (ln t )2-(t -1)2<0，∴t (ln t )2(t -1)2<1，∴ab <20212，∴实数λ的取值范围为20212,+∞ ，故选：C ．13.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A =AB ，F 1B ⋅F 2B=0，则C 的离心率为( )A.2B.5C.3+1D.5+1【答案】A 【解析】如下图示，因为F 1A =AB ，F 1B⋅F 2B =0，O 是F 1F 2中点，所以A 是F 1B 中点且F 1B ⊥F 2B ，则OA ⊥F 1B ，OF 1=OB =c ，因为直线OA 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线，所以k OA =-b a ，k F 1B =a b ，直线F 1B 的方程为y =ab (x +c )，联立y =a b (x +c )y =b ax，解得B a 2c b 2-a 2,abc b 2-a 2 ，则|OB |2=a 4c 2b 2-a 2 2+a 2b 2c 2b 2-a 22=c 2，整理得b 2=3a 2，因为c 2-a 2=b 2，所以4a 2=c 2，e =ca=2.故选：A14.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数f x =cos 2ωx 2+32sin ωx -12ω>0,x ∈R .若函数f x 在区间π,2π 内没有零点，则ω的取值范围是A.0,512 B.0,512 ∪56,1112 C.0,56D.0,512 ∪56,1112【答案】D【解析】 (1)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π,2k π+π),k ∈Z ，则{ωx +π6≥2k π2ωπ+π6≤2k π+π ，则{ω≥2k -16ω≤k +512，取k =0 ，∵ω>0, ∴0<k ≤512；(2)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π+π,2k π+2π),k ∈Z ，则{ωπ+π6≥2k π+π2ωπ+π6≤2k π+2π ，解得：{ω≥2k +56ω≤k +1112，取k=0 ，∴56≤k ≤1112；综上可知：k 的取值范围是0,512 ∪56,1112，选D .15.(2022·湖南·高三开学考试)已知a =2,b =513,c =(2+e )1e ，则a ,b ,c 的大小关系为( )A.b <c <aB.c <b <aC.b <a <cD.c <a <b【答案】A【解析】由题意，可得a =(2+2)12,b =(2+3)13,c =(2+e )1e ，所以令f x =1x ⋅ln 2+x ,(x >0)，则fx =x x +2-ln 2+xx 2，令g x =x x +2-ln 2+x ,(x >0)，则g x =-x(x +2)2<0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，g x <g 0 =0，所以f x <0恒成立，所以f x 在0,+∞ 上单调递减，因为2<e <3，所以f 2 >f e >f 3 ，即12ln 2+2 >1e ln 2+e >13ln 2+3 ，所以ln (2+2)12>ln (2+e )1e>ln (2+3)13，所以412>(2+e )1e>513，即b <c <a .故选：A .16.(2022·湖北·高三开学考试)已知a ,b ,c 均为不等于1的正实数，且ln c =a ln b ,ln a =b ln c ，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c >a >b B.b >c >aC.a >b >cD.a >c >b【答案】D【解析】∵ln c =a ln b ,ln a =b ln c 且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈0,1，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈1,+∞，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设f x 是定义在R上的连续的函数f x 的导函数，f x -f x +2e x<0(e为自然对数的底数)，且f2 =4e2，则不等式f x >2xe x的解集为( )A.-2,0∪2,+∞B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞【答案】C【解析】设g x =f xe x-2x，则g x =f x -f xe x-2=f x -f x -2e xe x，∵f x -f x +2e x<0，∴g x >0，函数g x 在R上单调递增，又f2 =4e2，∴g2 =f2e2-4=0,由f x >2xe x，可得f xe x-2x>0，即g x >0=g2 ，又函数g x 在R上单调递增，所以x>2，即不等式f x >2xe x的解集为2,+∞.故选：C．18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αeα-3=1，βlnβ-1=e4，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为( )A.e3B.2e3C.2e4D.e4【答案】D【解析】因为αeα-3=1，所以αeα=e3，所以α+lnα=3．因为βlnβ-1=e4，所以lnβ+ln lnβ-1=4．联立α+lnα-3=0lnβ-1+ln lnβ-1-3=0 ，所以α与lnβ-1是关于x的方程x+ln x-3=0的两根．构造函数f x =x+ln x-3，该函数的定义域为0,+∞，且该函数为增函数，由于fα =f lnβ-1=0，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，所以lnβ-1+lnα-3=0，即lnαβ=4，解得αβ=e4．故选：D．19.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知F c,0(其中c>0)是双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点.圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角为30°.则tan∠AFB=( )A.-2B.-3C.-22D.-23【答案】C 【解析】如图所示：x 2+y 2-2cx +b 2=0，化为x -c 2+y 2=c 2-b 2=a 2，因为渐近线l 的倾斜角为30°，所以tan30∘=b a =33，圆心F c ,0 到直线y =bax 的距离为：d =bca1+b a2=b ，又AF =BF =a ，所以cos 12∠AFB =b a =33,sin 12∠AFB =63，则tan 12∠AFB =2，所以tan ∠AFB =2tan 12∠AFB1-tan 212∠AFB=2×21-2 2=-22，故选：C20.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +3，则满足f x +f 3-2x <6的x 的取值范围是( )A.3,+∞ B.1,+∞ C.-∞,3 D.-∞,1【答案】B【解析】假设g x =sin x +e x -e -x -x ,x ∈R ，所以g -x =sin -x +e -x -e x +x ，所以g x +g -x =0，所以g x 为奇函数，而f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x -1 +3是g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以f x 的对称中心为1,3 ，所以6=f x +f 2-x ，由f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +4求导得f x =cos x -1 +e x -1+e 1-x -1=e x -1+1ex -1+cos x -1 -1因为e x -1+1e x -1≥2e x -1⋅1e x -1=2，当且仅当e x -1=1e x -1即x =1，取等号，所以f x ≥0,所以f x 在R 上单调递增，因为f x +f 3-2x <6=f x +f 2-x 得f 3-2x <f 2-x 所以3-2x <2-x ，解得x >1，故选：B 二、多选题21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f x =log 2x ,(0<x <2)x 2-8x +13,x ≥2，若f x =a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A.0<a <1B.x 1+2x 2∈22,92C.x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212D.2x 1+x 2∈22,3【答案】ACD【解析】在同一坐标系中作出函数y =f x ,y =a 的图象，如图所示：由图象知：若f x =a 有四个不同的实数解，则0<a <1，故A 正确；因为log 2x 1 =log 2x 2 ，即-log 2x 1=log 2x 2，则1x 1=x 2，所以x 1+2x 2=1x 2+2x 2,1<x 2<2，因为y =1x 2+2x 2在1,2 上递增，所以1x 2+2x 2∈3,92，故B 错误；因为x 1+x 2=1x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+x 2在1,2 上递增，所以1x 2+x 2∈2,52，而x 3+x 4=8，所以x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212 ，故C 正确；因为2x 1+x 2=2x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+2x 2在1,2 上递减，在2,2 上递增，则2x 2+x 2∈[22,3)，故D 正确；故选：ACD22.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则( )A.当P 在平面BCC 1B 1上运动时，四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是π3，π2C.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+42D.若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是5【答案】ABC【解析】A 选项，底面正方形AA 1D 1D 的面积不变，P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长，故四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变，A 选项正确；B 选项，D 1P 与A 1C 1所成角即D 1P 与A C 所成角，当P 在端点A ，C 时，所成角最小，为π3，当P 在AC 中点时，所成角最大，为π2，故B 选项正确；C 选项，由于P 在正方体表面，P 的轨迹为对角线AB 1，AD 1，以及以A 1为圆心2为半径的14圆弧如图，故P 的轨迹长度为π+42，C 正确；D 选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP 的最小值为6，D 选项错误.故选：ABC .23.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =12z ，则( )A.1x +1y =1zB.6z <3x <4yC.xy <4z 2D.x +y >4z【答案】ABD【解析】设3x =4y =12z =t ，t >1，则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 12t ，所以1x +1y =1log 3t +1log 4t =log t 3+log t 4=log t 12=1z，A 正确；因为6z3x =2log 12t log 3t =2log t 3log t 12=log 129<1，则6z <3x ，因为3x4y =3log 3t 4log 4t =3log t 44log t 3=log t 64log t 81=log 8164<1，则3x <4y ，所以6z <3x <4y ，B 正确；因为x +y -4z =log 3t +log 4t -4log 12t =1log t 3+1log t 4-4log t 12=log t 3+log t 4log t 3log t 4-4log t 3+log t 4=log t 3-log t 42log t 3log t 4log t 3+log t 4 >0，则x +y >4z ，D 正确.因为1z =1x +1y =x +y xy ，则xy z =x +y >4z ，所以xy >4z 2，C 错误.故选：ABD .24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )A.函数y =x -[x ]在区间[k ,k +1)(k ∈Z )上单调递增B.若函数f (x )=sin xe x -e -x，则y =[f (x )]的值域为{0}C.若函数f (x )=|1+sin2x -1-sin2x |，则y =[f (x )]的值域为{0,1}D.x ∈R ，x ≥[x ]+1【答案】AC【解析】对于A ，x ∈[k ,k +1)，k ∈Z ，有[x ]=k ，则函数y =x -[x ]=x -k 在[k ,k +1)上单调递增，A 正确；对于B ，f 3π2=sin 3π2e 3π2-e -3π2=-1e 3π2-e-3π2∈(-1,0)，则f 3π2=-1，B 不正确；对于C ，f (x )=(1+sin2x -1-sin2x )2=2-21-sin 22x =2-2|cos2x |，当0≤|cos2x |≤12时，1≤2-2|cos2x |≤2，1≤f (x )≤2，有[f (x )]=1，当12<|cos2x |≤1时，0≤2-2|cos2x |<1，0≤f (x )<1，有[f (x )]=0，y =[f (x )]的值域为{0,1}，C 正确；对于D ，当x =2时，[x ]+1=3，有2<[2]+1，D 不正确.故选：AC25.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f (x )是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令x n =f (x n -1)(n =1，2，3，⋯)，若存在正整数k 使得x k =x 0，且当0<j <k 时，x j ≠x 0，则称x 0是f (x )的一个周期为k 的周期点.若f (x )=2x ，x <122(1-x )，x ≥12，下列各值是f (x )周期为1的周期点的有( )A.0 B.13 C.23D.1【答案】AC【解析】A ：x 0=0时，x 1=f 0 =0，周期为1，故A 正确；B ：x 0=13时，x 1=f 13 =23，x 2=f 23 =23，x 3=⋯=x n =23，所以13不是f x 的周期点.故B 错误；C ：x 0=23时，x 1=x 2=⋯=x n =23，周期为1，故C 正确；D ：x 0=1时，x 1=f 1 =0，∴1不是f x 周期为1的周期点，故D 错误.故选：AC .26.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)在数列a n 中，对于任意的n ∈N *都有a n >0，且a 2n +1-a n +1=a n ，则下列结论正确的是( )A.对于任意的n ≥2，都有a n >1B.对于任意的a 1>0，数列a n 不可能为常数列C.若0<a 1<2，则数列a n 为递增数列D.若a 1>2，则当n ≥2时，2<a n <a 1【答案】ACD 【解析】A ：由a n +1=a n a n +1+1，对∀n ∈N *有a n >0，则a n +1=an a n +1+1>1，即任意n ≥2都有a n >1，正确；B ：由a n +1(a n +1-1)=a n ，若a n 为常数列且a n >0，则a n =2满足a 1>0，错误；C ：由an a n +1=a n +1-1且n ∈N *，当1<a n +1<2时0<an a n +1<1，此时a 1=a 2(a 2-1)∈(0,2)且a 1<a 2，数列a n 递增；当a n +1>2时an a n +1>1，此时a 1=a 2(a 2-1)>a 2>2，数列a n 递减；所以0<a 1<2时数列a n 为递增数列，正确；D：由C分析知：a1>2时a n+1>2且数列a n递减，即n≥2时2<a n<a1，正确.故选：ACD27.(2022·山东·模拟预测)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，点Q是CD的中点，点P满足PQ⊥AC1，下列结论正确的是( )A.点P的轨迹的周长为32B.点P的轨迹的周长为62C.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为43D.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为23【答案】BD【解析】取BC的中点为E，取BB1的中点为F，取A1B1的中点为G，取A1D1的中点为H，取DD1的中点为M，分别连接QE,EF,FG,GH,HM,MQ，由AC1⊥QE,AC1⊥EF，且QE∩EF=E，所以AC1⊥平面EFGHMQ，由题意可得P的轨迹为正六边形EFGHMQ，其中|QE|=|EF|=2，所以点P的轨迹的周长为62，所以A不正确，B正确；当点P在线段HG上运动时，此时点P到平面BCQ的距离取得最大值，此时V P-BCQ有最大值，最大值为V max=13×12×2×1×2=23，所以C不正确，D正确．故选：BD28.(2022·山东·模拟预测)正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f(x)=2sin x+sin2x，则下列叙述不正确的是( )A.f(x)在[0,2π)内有5个零点B.f(x)的最大值为3C.(2π,0)是f(x)的一个对称中心D.当x∈0,π2时，f(x)单调递增【答案】ABD【解析】对于A，由f(x)=2sin x+sin2x=2sin x(1+cos x)，令f(x)=0，则sin x=0或cos x=-1，易知f(x)在[0,2π)上有2个零点，A错误．对于B，因为2sin x≤2,sin2x≤1，由于等号不能同时成立，所以f(x)<3，B错误．对于C，易知f(x)为奇函数，函数关于原点对称，又周期为2π，故(2π,0)是f(x)的一个对称中心．对于D，f (x)=2cos x+2cos2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，因为cos x+1≥0，所以2cos x-1>0时，即：x∈2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z)时，f(x)单调递增，x∈2kπ+π3,2kπ+5π3(k∈Z)时，f(x)单调递减，故D错误．故选：ABD29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=e x,x≥0-x2-4x,x<0，方程f2(x)-t⋅f(x)=0有四个实数根x1,x2,x3,x4，且满足x1<x2<x3<x4，下列说法正确的是( )。
高三数学填空选择专项训练(3)
高三数学填空选择专项训练（3）一、选择题：每小题5分：共60分.1．直线032=+-y x 的倾斜角所在的区间是（ B ）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππ C ．)43,2(ππD ．),43(ππ 2．不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集为（ C ）A ．}21|{≥x xB ．}211|{≥-≤x x x 或 C ．}211|{≥-=x x x 或 D ．}211|{≤≤-x x3．锐角ααααtan ,41cos sin 则满足=⋅的值为（ C ）A ．32-B ．3C ．32±D ．32+4．若双曲线1922=-m y x 的渐近线l 方程为x y 35±=：则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离（ C ） A ．2B ．14C ．5D ．25 5．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ D ） A ．0B ．32C ．1D ．26．已知二面角βα--l 的大小为60°：b 和c 是两条异面直线：则在下列四个条件中：能使b 和c 所成的角为60°的是 （ C ） A ．b ∥α：c ∥βB ．b ∥α：c ⊥βC ．b ⊥α,c ⊥βD ．b ⊥α：c ∥β7．设F 1：F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点：点P 在双曲线上：且21PF ⋅=0：则 ||||21PF PF ⋅的值等于 （ A ） A ．2B ．22C ．4D ．88．已知函数)(1x f y -=的图象过（1：0）：则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ A ） A ．（1：2） B ．（2：1） C ．（0：2） D ．（2：0） 9．计算机是将信息转换成二进制进行处理的：所谓二进制即“逢二进一”：如(1101)2表示=1=二进制的数：将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13：那么将二进制数216)111(位转换成十进制数是（ B ） 17161615－110．（理）从装有4粒大小、形状相同：颜色不同的玻璃球的瓶中：随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒）：则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ B ） A ．小 B ．大 C ．相等 D ．大小不能确定 （文）已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1：3）：则b 的值为（ A ） A ．3B ．－3C ．5D ．－511．(理)如右图：A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点：l 是公 路：图中所标线段为道路： ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似 于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之 比约为5:1:2:3：运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量 都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站：使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少：则地点应选在（ B ） A ．P 点 B ．Q 点 C ．R 点 D ．S 点（文）一位老师让两位学生计算数,,x y z 的算术平均数：学生甲这样求：先求x 与y 的平 均数：再求这个平均值与z 的平均值：学生乙的算法是：先求,,x y z 的和：再求这个和除 以3的商：如果学生甲和乙求出的数据分别为S 和T ：且x y z >>：则S 和T 的大小关系 是（ B ）A ．T S =B ．T S <C ．D ．不确定 12．函数)1(-=x f y 的图象如右图所示：它在R 上单调递减.现有如下结论： ①1)0(>f ： ②1)21(<f ：③0)1(1=-f：④0)21(1>-f其中正确结论的个数是（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共有4小题：每小题4分：共16分.把答案填在题中横线上. 13．（理）设(1)()3,(,)i a i bi a b R +-=+∈：则a b +=_____3_______。
闵党生高考数学模拟选择填空汇编卷3教师版
2013届高三（15）班选填题训练8一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B A DA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 1.（直接法），，2.12ii+=（ ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2 2.（直接法）21222i i ii ii+-+==-，选C.3.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a ＋3b|= （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．43.（数形结合）如图，a ＋3b ＝O B，在O A B ∆中，||1,||3,120,O A A B O A B ==∠=∴由余弦定理得｜a＋3b |=｜O B｜＝13，故选C 。
4.、方程lg 3x x +=的解0x ∈ ( )A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，+∞）4.（验证法）若(0,1)x ∈，则l g 0x <，则l g 1x x +<；若(1,2)x ∈，则0l g 1x <<，则1l g 3x x <+<；若(2,3)x ∈，则0l g 1x <<，则2l g 4x x <+<；若3,l g 0x x >>,则lg 3x x +>，故选C 。
5.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）A ．26B ．24C ．20D ．195.（分析法）题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D 。
高考数学选填压轴题练习与答案
高考数学选填压轴题练习与答案一．选择题（共25小题）1．数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若b n=a n cos2nπ3，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64B．80C．﹣64D．﹣80【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），则a n+1n+1=a nn+1，可得数列{a nn}是首项为1、公差为1的等差数列，即有a nn=n，即为a n＝n2，则b n=a n cos2nπ3=n2cos2nπ3，则S11=−12（12+22+42+52+72+82+102+112）+（32+62+92）=−12（12+22﹣32﹣32+42+52﹣62﹣62﹣72+82﹣92﹣92+102+112）=−12×（5+23+41+59）＝﹣64．故选：C．2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（π6+x）＝﹣f（π6−x），f（π2+x）＝f（π2−x），下列四个结论：①φ=π4；②ω=92+3k（k∈N）；③f（−π2）＝0；④直线x=−π3是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（x）图象的一条对称轴是直线x=π2，所以f（π2+x）＝f（π2−x），由f （x ）的一个零点为π6， 所以f （π6+x ）＝﹣f （π6−x ），整理得T 4+k ⋅T 2=π2−π6=π3， 所以T =4π3(1+2k)， 故ω=2πT=32+3k （k ∈Z ），故②错误；当k ＝1时，f （x ）＝sin （92x +φ）， 把（π6，0）代入关系式，得到sin （3π4+φ）＝0，由于0＜φ＜π2，所以φ=π4，故①正确；对于f （−π3）＝sin （92⋅π3+π4）≠±1，故④错误； f （−π2）＝sin[92⋅(−π2)+π4]＝sin （﹣2π）＝0，故③正确． 故选：B ．3．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若四面体ABCD 的体积是4√23，则这个球面的面积是（ ）A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π【解答】解：由题意，几何体的直观图如图， 四面体ABCD 的体积是4√23，可得O 到平面BCD 的距离为h ，13×√34×22×2ℎ=4√23，解得h =2√63， 所以外接球的半径为R ＝OB ＝OD ＝OC ＝OA =(2√63)(23√32=2，所以外接球的表面积为：4π×22＝16π． 故选：A ．4．已知函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，g （x ）＝f （x ）﹣kx ，若函数g （x ）有两个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．（0，14]B ．（0，1eln2） C ．[0，1e）D ．[14，1eln2）【解答】解：函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，作出f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点，（如图）设y ＝kx 与y ＝log 2x 的切点为（x 0，y 0）， 可得{y 0=kx 0y 0=log 2x 01k =x 0ln2，解得x 0＝e ，∴相切时的斜率k =1eln2．故得f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点时，14≤k ＜1eln2． 故选：D ．5．已知F 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点，椭圆E 上一点P （2，1）关于原点的对称点为Q ，若△PQF 的周长为4√2+2√5．则离心率e ＝（ ）A．√32B．√22C．√33D．√23【解答】解：∵P与Q关于原点对称，则Q（﹣2，﹣1），∴|PQ|＝2√12+22=2√5，又三角形PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|＝4√2+2√5，∴|PF|+|QF|＝4√2，设椭圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得|PF|＝|QM|，∴|QM|+|QF|＝2a＝4√2，得a＝2√2，将点P代入椭圆方程可得：48+1b2=1，解得b=√2，∴c=√a2−b2=√6．则离心率e=ca =√62√2=√32．故选：A．6．对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），g(x)=lnxx，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）【解答】解：∵f（x）＝m（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（x）关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝﹣m（x﹣1）依题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）=lnxx有2个交点，由g(x)=lnxx ，得g′（x）=1−lnxx2，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，而y＝﹣m（x﹣1）恒过定点（1，0），作出函数g（x）=lnxx的图象如图，当直线y＝﹣m（x﹣1）与g(x)=lnxx切于（1，0）时，由导数的几何意义可得，﹣m=1−ln112=1，则要使y ＝﹣m （x ﹣1）与g （x ）=lnx x有2个交点，则﹣m ＞0且﹣m ≠1，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）． 故选：D ．7．已知函数f （x ）={|xlnx|，x ＞0|x(x +1)|，x ⩽0，关于x 的方程f 2（x ）+tf （x ）+1＝0（t ∈R ）有8个不同的实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．（−1e −e ，+∞） B ．（−2e ，−12）∪（﹣∞，−1e −e ）C ．（﹣∞，−174）D ．（2，+∞）∪（﹣∞，−174）【解答】解：当x ＞0时，f （x ）＝|xlnx |，令F （x ）＝xlnx ，F ′（x ）＝lnx +1， 令F ′（x ）＝lnx +1＝0，解得x =1e，F （1e）=−1e，f （1e）=1e，故当x ＞0时，函数f （x ）在（0，1e ）上单调递增，在（1e ，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当x ＜0时，可得函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，−12）上单调递增，在（−12，0）上单调递减．又f （−12）=14，f （1e ）=1e ，故刻画出函数f （x ）的大致图象如图：令m ＝f （x ），则已知方程可化为m 2+tm +1＝0．观察图象可知，当m ＞1e 时，只有2个交点；当m =1e 时，有3个交点；当14＜m ＜1e 时，有4个交点； 当0＜m ＜14时，有6个交点．要想满足题意，则只需使得方程m 2+tm +1＝0在（14，1e ）上存在两个不同实数根，或在（1e ，+∞）和（0，14）上各有1个根，方程m 2+tm +1＝0的两根之积为1， 令g （m ）＝m 2+tm +1，由题意，{g(14)＜0g(4)＜0，解得t ＜−174，即t 的取值范围是（﹣∞，−174）．故选：C ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上一点，若满足|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4．则d 的取值范围为（ ） A ．（√2，2）B ．（√2，2√2）C ．[2，1+√3）D ．（1+√3，2√2）【解答】解：点P 分别在BB 1，BC ，CC 1，B 1C 1上运动时，m 的取值范围是[√2，2]， 当点P 分别在C 1D 1，AB 上运动时，m 的取值范围是[√2，1+√3]， 当点P 分别在棱A 1B 1，CD 上运动时，m 的取值范围是[2，2√2]，当P 分别在棱A 1D 1，DD 1，AD ，AA 1上运动时，m 的取值范围是[√4+2√2，2√2]， 由结合图形可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时， 它所在的位置与m 的值是一一对应的， 当|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4， 则d 的取值范围为[2，1+√3）， 故选：C ．9．已知不相等的两个正实数x ，y 满足x 2﹣y ＝4（log 2y ﹣log 4x ），则下列不等式中不可能成立的是（ ）A．x＜y＜1B．y＜x＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：由已知x2﹣y＝4（log2y﹣log4x），因为2log4x＝log2x，所以原式可变形为x2+2log2x＝y+4log2y，令f（x）＝x2+2log2x，g（x）＝x+4log2x，函数f（x）与g（x）均为（0，+∞）上的增函数，且f（x）＝g（y），且f（1）＝g（1），当x＞1时，f（x）＞1，g（y）＞1，y＞1，当x＜1时，f（x）＜1，g（y）＜1，y＜1，要比较x与y的大小，只需比较g（x）与g（y）的大小，g（x）﹣g（y）＝g（x）﹣f（x）＝x+4log2x﹣x2﹣2log2x＝x﹣x2+2log2x，设h（x）＝x﹣x2+2log2x（x＞0），则h'（x）=1−2x+2xln2，故h'（x）在（0，+∞）上单调递减，又h'（1）=−1+2ln2＞0，h'（2）=−3+1ln2＜0，则存在x0∈（1，2）使得h'（x）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，又因为h（1）＝0，h（x0）＞h（1）＝0，h（4）＝﹣12+4＝﹣8＜0，所以当x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）正负不确定，故当x＜1，y＜1时，h（x）＜0，所以g（x）＜g（y）＜g（1），故x＜y＜1，当x＞1，y＞1时，h（x）正负不定，所以g（x）与g（y）的正负不定，所以x＞y＞1，x＝y＞1，y＞x＞1均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．故选：B．10．正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：c+log4c＝4⇒log4c＝4﹣c，即c 为函数y ＝log 4x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； b +3b ＝3⇒1+3b ＝4﹣b ，即b 为函数y ＝1+3x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； a +2﹣a ＝2⇒2+12a =4−a ，即a 为函数y =2+12x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； 在同一坐标系中画出图象，可得b ＜a ＜c ． 故选：A ．11．《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．已知某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，则该鳖臑A ﹣BCD 的体积最大值为（ ） A ．49√3B ．427√3C ．94√3D ．316√3【解答】解：四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图：某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，可知CD ＝2，设AB ＝a ，BC ＝b ，AD ＝c ， 所以a 2+b 2+c 2＝4，可得4＝a 2+b 2+c 2≥3√(abc)23，所以abc ≤√4333=8√39．当且仅当a ＝b ＝c =2√33时，取等号．该鳖臑A ﹣BCD 的体积：13×12abc ≤16×8√39=4√327． 故选：B ．12．已知抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（3，1），圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l方程为（）A．x﹣3y＝0B．3x﹣y+1＝0C．√3x﹣y﹣1＝0D．x−√3y＝0【解答】解：y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B，设两点A（x1，0），B（x2，0），设圆Q的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，取y＝0，可得x2+Dx+F＝0．则方程x2+Dx+F＝0与方程x2+mx﹣2＝0等价，则D＝m，F＝﹣2，则圆的方程为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0．∵圆Q过C（3，1），∴10+3m+E﹣2＝0，即E＝﹣8﹣3m，得圆Q的方程为x2+y2+mx﹣（8+3m）y﹣2＝0，即x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0，由圆系方程可知，圆x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0经过圆x2+y2﹣8y﹣2＝0与直线x﹣3y＝0的交点，则圆Q被直线x﹣3y＝0所截弦长为定值．故选：A．+alnx+e2≥ax恒成立（e为自然对数的底数），则正实数a的取值范围是13．对任意x＞0，若不等式e xx（）A．（0，e]B．（0，e2]C．[2e ，e]D．[2e，e2]【解答】解：不等式e xx +alnx+e2≥ax可化为e xx−a（x﹣lnx）+e2≥0，即e xx−aln e xx+e2≥0；设t=e xx，其中x＞0；由e x≥ex知t≥e，所以f（t）＝t﹣alnt+e2（t≥e），只需证明f（t）的最小值f（t）min≥0即可；对函数f（t）求导数，得f′（t）＝1−at =t−at（t≥e），①当0＜a≤e时，f′（t）≥0恒成立，f（t）是[e，+∞）上的单调增函数，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（e）＝e﹣alne+e2≥0，解得a≤e2+e；又0＜a≤e，所以a的取值范围是（0，e]．②当a＞e时，f（t）在[e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（a）＝a﹣alna+e2≥0；设g（a）＝a﹣alna+e2，其中a＞e，则g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna＜0，所以g（a）在（e，+∞）上是单调减函数；g（e2）＝e2﹣e2lne2+e2＝0，所以g（a）≥0时，a≤e2；由a＞e知，a的取值范围是（e，e2]；综上知，正实数a的取值范围是（0，e2]．故选：B．14．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是其右支上第一象限内的一点，直线PO，PF2分别交该双曲线左、右支于另两点A，B，若|PF1|＝2|PF2|，且∠AF2B＝60°，则该双曲线的离心率是（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，由|PF1|＝2|PF2|，可得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，结合双曲线性质可以得到|PO|＝|AO|，而|F1O|＝|F2O|，结合四边形对角线平分，可得四边形PF1AF2为平行四边形，结合∠AF2B＝60°，得∠F1AF2＝60°，对三角形F1AF2，用余弦定理，得到|AF1|2+|AF2|2﹣|F1F2|2＝2|AF1|•|AF2|•cos∠F1PF2，由|PF1|＝2|PF2|，可得|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，代入上式子中，得到3a2＝c2，∴e=ca=√3，故选：A．15．如图，双曲线F：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A．3√34B．√3C．65D．5√36【解答】解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e=ca =65．故选：C．16．已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x．且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+π2）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A．（﹣∞，π2）B．（π2，+∞）C．（﹣∞，﹣π4）D．（﹣π4，+∞）【解答】解:令g(x)＝f(x)+sin x,则g(﹣x)＝f(﹣x)+sin(﹣x)＝f(﹣x)﹣sin x,又f(x)＝f(﹣x)﹣2sin x,∴f(x)+sin x＝f(﹣x)﹣sin x,故g(﹣x)＝g(x),∴g(x)为定义在R上的偶函数；当x≥0时,g′(x)＝f′(x)+cos x＞0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又∵g(x)为偶函数,故g(x)在(﹣∞,0]上单调递减,由f(x+π2)+cosx=f(x+π2)+sin(x+π2)＞f(x)+sinx得g(x+π2)＞g(x),∴|x+π2|＞|x|,解得x＞−π4,∴不等式的解集为(−π4,+∞)．故选：D．17．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限，若|AF||BF|=513，则双曲线C的离心率为（）A．1312B．√133C．√135D．√13【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点F（c，0），渐近线方程为y=±bax，即bx±ay＝0，如下图所示：由点到直线距离公式可知：|F A |=√a 2+b 2=b ，又∵c 2＝a 2+b 2，∴|OA |＝a ，∵|AF||BF|=513，∴|BF |=135b ，设∠AOF ＝α，由双曲线对称性可知∠AOB ＝2α， 而tan α=ba ，tan2α=|AB||OA|=18b 5a，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tanα1−tan 2α=2×b a 1−(b a)2=2ab a 2−b 2，即2ab a 2−b2=18b 5a，化简可得：4a 2＝9b 2， 由双曲线离心率公式可知：e =c a=√1+b 2a2=√1+49=√133． 故选：B ．18．数学中一般用min {a ，b }表示a ，b 中的较小值．关于函数f(x)=min{sinx +√3cosx ，sinx −√3cosx}有如下四个命题：①f （x ）的最小正周期为π； ②f （x ）的图象关于直线x =3π2对称；③f （x ）的值域为[﹣2，2]；④f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增． 其中是真命题的是（ ） A ．②④B ．①②C ．①③D ．③④【解答】解：令g(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，ℎ(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， 则f （x ）＝min {g （x ），h （x ）}={g(x)，g(x)⩽ℎ(x)ℎ(x)，g(x)＞ℎ(x)={2sin(x +π3)，π2+2kπ⩽x ⩽3π2+2kπ2sin(x −π3)，−π2+2kπ＜x ＜π2+2kπ，(k ∈Z)，如图所示：由图知：则f （x ）的最小正周期为2π，故①错误； f （x ）的图象关于直线x =3π2对称，故②正确；f （x ）的值域为[﹣2，1]，故③错误；f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增，故④正确． 故选：A ．19．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，则四棱锥P ﹣ABCD的外接球体积的最小值是（ ） A ．160√53π B ．256πC ．125πD ．20√53π【解答】解：底面为矩形的四棱锥P ﹣ABCD 的体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2， 可得底面面积为：8，设AB ＝a ，BC ＝b ，则ab ＝8，四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球，PC 就是外接球的直径，可得：2R =√a 2+b 2+22≥√4+2ab =√4+2×8=2√5，当且仅当a ＝b ＝2√2，取等号，R ≥√5． 外接球的体积的最小值为：4π3×（√5）3=20√5π3．故选：D ．20．已知函数f （x ）={|log 2x|(x ＞0)2x 2+4x +1(x ≤0)，若函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1+x 2﹣x 3x 4的值是（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：作出f （x ）的函数图象如图所示：因为函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 即y ＝f （x ）与y ＝b 有四个不同的交点， 由图象知 x 1+x 2＝﹣2×42×2=−2，由﹣log 2x 3＝log 2x 4，得：log 2x 3+log 2x 4＝0，得：x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2﹣x 3x 4＝﹣3， 故选：B ．21．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）A ．512√6729π B ．16√23π C ．32√627π D ．128√281π【解答】解：由题意可得每个三角形面积为S =12×4×2√3=4√3，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为√16−(4√33)2=4√63，故四面体的体积为13×4√3×4√63=16√23，∵该六面体的体积是正四面体的2倍， ∴六面体的体积是32√23， 由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥， 设丸子的半径为R ，则32√23=6×13×4√3×R ，解得R =4√69，∴丸子的体积的最大值为V max =4π3R 3=4π3×(4√69)3=512√6729π． 故选：A ．22．已知函数f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a （a ＞0），若关于x 的不等式f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，e 2]B ．（0，e 2）C ．[1，e 2]D ．（1，e 2）【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a ＞0（a ＞0）恒成立， ∴e xa ＞ln(x −1)+lna −1， ∴e x ﹣lna+x ﹣lna ＞ln （x ﹣1）+x ﹣1， ∴e x﹣lna+x ﹣lna ＞e ln（x ﹣1）+ln （x ﹣1）．令g （x ）＝e x +x ，易得g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴x ﹣lna ＞ln （x ﹣1），∴﹣lna ＞ln （x ﹣1）﹣x ． ∵ln （x ﹣1）﹣x ≤x ﹣2﹣x ＝﹣2， ∴﹣lna ＞﹣2，∴0＜a ＜e 2， ∴实数a 的取值范围为（0，e 2）． 故选：B ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c cos A +a cos C ＝2，AC 边上的高为√3，则∠ABC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3【解答】解：因为c cos A +a cos C ＝2， 所以由余弦定理可得c •b 2+c 2−a 22bc+a •a 2+b 2−c 22ab=2，整理可得b ＝2，因为AC 边上的高为√3， 所以12×2×√3=12acsinB ， 所以ac =2√3sinB， 因为cos B =a 2+c 2−b 22ac≥2ac−b 22ac=1−2ac，当且仅当a ＝c 时取等号，所以cos B ≥1−√33sinB ， 即3cos B +√3sin B ≥3， 所以2√3sin （B +π3）≥3，所以sin （B +π3）≥√32， 因为B ∈（0，π），所以B +π3∈（π3，4π3）， 所以B +π3∈（π3，2π3]，所以B ∈（0，π3]， 则∠ABC 的最大值为π3． 故选：B ．24．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线x ＝3与抛物线C 交于A ，B 两点，|AF |＝4，圆E 为△F AB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM →⋅ON →的取值范围是（ ） A ．[−6325，9]B ．[﹣3，21]C ．[6325，21]D ．[3，27]【解答】解：抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （p2，0），准线方程为x =−p2， 设A （3，√6p ），所以|AF |＝3+p2=4，解得p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，A （3，2√3），B （3，﹣2√3），F （1，0）， 所以直线AF 的方程为y =√3（x ﹣1）， 设圆心坐标为（x 0，0）， 所以（x 0﹣1）2＝（3﹣x 0）2+12， 解得x 0＝5，即E （5，0）， ∴圆的方程为（x ﹣5）2+y 2＝16，不妨设y M ＞0，设直线OM 的方程为y ＝kx ，则k ＞0， 根据√1+k2=4，解得k =43， 由{y =43x(x −5)2+y 2=16，解得M （95，125）， 设N （4cos θ+5，4sin θ）， 所以OM →•ON →=365cos θ+485sin θ+9=125（3cos θ+4sin θ）+9，因为3cos θ+4sin θ＝5sin （θ+φ）∈[﹣5，5]， 所以OM →•ON →∈[﹣3，21]． 故选：B ．25．已知双曲线x 24−y 25=1的右焦点为F ，点M 在双曲线上且在第一象限，若线段MF 的中点在以原点O为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线MF 的斜率是（ ） A ．−√35B ．−5√117C ．5√117D ．√35【解答】解：如图所示，设线段MF 的中点为H ，连接OH ，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|=12|MF|=12（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα=√32−(12)212=√35，∴直线MF的斜率是−√35．故选：A．二．多选题（共7小题）26．下列结论正确的是（）A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°C．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°D．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°【解答】解：对于A，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1﹣ABC的四个面都是直角三角形，所以选项A正确；对于B ，三个直角均以A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故选项B 错误；对于C ，存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°，如图所示，故选项C 正确；对于D ，若∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，则A ，B ，C ，D 四点共面，故选项D 错误． 故选：AC ．27．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＝﹣1，则f （x ）是（0，12）上的减函数B ．若0＜a ＜1，则f （x ）有两个零点C ．若a ＝1，则f （x ）≥0D ．若a ＞1，则曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M ，N 处的切线平行 【解答】解：函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），对于A ，当a ＝﹣1，f （x ）＝x 2+x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x +1−1x在（0，+∞）上单调递增，又f ′（12）＝0，故当x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是（0，12）上的减函数，故A 正确； 对于B ，若f （x ）＝0，则x 2﹣ax ﹣lnx ＝0，故a ＝x −lnx x（x ＞0），令g （x ）＝x −lnx x（x ＞0），则g ′（x ）＝1−1−lnx x 2=x 2+lnx−1x 2，再令h （x ）＝x 2+lnx ﹣1（x ＞0），显然，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （1）＝0，所以，当x ∈（0，1）时，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，则g （x ）在（0，1）上单调递减， 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，则g （x ）在（1，+∞）上单调递增， 故g （x ）min ＝g （1）＝1，要使f （x ）有零点，则a ≥1，故B 错误；对于C ，当a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x ﹣1−1x 在（0，+∞）上单调递增，又f ′（1）＝0，故当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是在（0，1）上单调递减；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增，故f （x ）≥f （1）＝0，故C 正确；对于D ，由于f ′（x ）＝2x ﹣a −1x （x ＞0），若曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M （x 1，f （x 1）），N （x 2，f （x 2））处的切线平行， 则f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）， 即2x 1﹣a −1x 1=2x 2﹣a −1x 2，即2x 1−1x 1=2x 2−1x 2，也就是f ′（x ）＝2x ﹣a −1x =0有两异根，即a ＝2x −1x （x ＞0）有两个交点．令t （x ）＝2x −1x （x ＞0），则t （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t →0+时，t （x ）→﹣∞；当t →+∞时，t （x ）→+∞，故y ＝a 与t （x ）＝2x −1x （x ＞0）只有一个交点，故D 错误． 综上所述，AC 正确， 故选：AC ．28．已知无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项，则下列结论正确的是（ ） A ．d 的最大值是6 B ．2a 2≤a 8C ．a n 一定是奇数D ．137一定是数列{a n }中的项【解答】解：∵无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项， ∴设{17−5=12=md 23−17=6=nd ，解得d =6m−n ，∴d 的最大值为6，故A 正确； ∵a 1≤5，d ∈N *，∴2a 2﹣a 8＝a 1﹣5d ≤0，故B 正确；∵d =6m−n ，∴当m ﹣n ＝2时，d ＝3，数列可能为5，8，11，14，17，20，23，…，故C 错误； ∵137＝23+19×6，∴137一定是等差数列{a n }中的项，故D 正确． 故选：ABD ．29．已知函数f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[−π2，π2]上是增函数 C ．若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，则x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ）D ．函数g （x ）＝f （x ）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点【解答】解：f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |={cos 2x −sin 2x ，sinx ＜cosx sin 2x −cos 2x ，sinx ≥cosx ={cos2x ，sinx ＜cosx−cos2x ，sinx ≥cosx ．其图象如图：由图可知，f （x ）是周期为2π的周期函数，故A 正确； f （x ）在区间[−π2，π2]上不是单调函数，故B 错误；若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，由|f （x 1）|≤1，|f （x 2）|≤1，则只有|f （x 1）|＝|f （x 2）|＝1，即x 1，x 2只能是函数的最值点的横坐标， 可得x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ），故C 正确；函数g （x ）＝f （x ）+1的图象是把y ＝f （x ）的图象向上平移1个单位得到的，则在区间[0，2π]上有且仅有2个零点，故D 错误． ∴说法正确的是AC ． 故选：AC ．30．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π3的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是（ ）A．E的渐近线方程为y＝±√2x B．|MF2|=12|PF1|C．E的离心率等于2+√3D．∠F1PF2=π6【解答】解：如右图，由|PM|＝|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝60°，∠F1PF2＝30°，|MF2|=12|PF1|，故B正确，D正确；设|F1F2|＝2c，则|PF1|=2ccos60°=4c，|PF2|＝2c tan60°＝2√3c，则2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（4﹣2√3）c，可得e=ca =(4−2√3)c=2+√3，ba=√c2a2−1=√6+4√3，则双曲线的渐近线方程为y＝±bax即为y＝±√6+4√3x．故C正确，A错误．故选：BCD．31．已知函数f（x）＝e x﹣cos x，x∈R，下列判断正确的是（）A．f（x）在（﹣2π，−32π）单调递增B．f（x）在（﹣π，0）有2个极值点C．f（x）在（﹣2π，−π2）仅有1个极小值D．当﹣4π≤x≤﹣2π时，f（x）≤1【解答】解：函数f（x）＝e x﹣cos x，则f′（x）＝e x+sin x，对于A，当x∈（﹣2π，−32π）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，故A正确；对于B，函数f′（x）＝e x+sin x的零点，即为方程f′（x）＝0的根，作出函数y＝﹣sin x与函数y＝e x的大致图象，如图所示：由图象可知，当x∈（﹣π，0）时，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x有两个交点，则方程f′（x）＝0有两个实根，所以f（x）在（﹣π，0）有2个极值点，故B正确；对于C，由图象可得，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x在（﹣2π，−π2）上只有一个交点，则方程f′（x）＝0只有一个实数根x0，且在（﹣2π，x0）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（x0，−π2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝x0处取得极大值，故C错误；对于D，当x＝﹣3π时，f（x）＝e﹣3π+1＞1，故D错误．故选：AB．32．随着高三毕业日期的逐渐临近，有n（n≥2）个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（）A．当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为38B．当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为1n−1−1nD．记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为a n，则a n+2＝（n+1）（a n+a n+1）n∈N*【解答】解：考虑n+1个同学时的情况，若n+1个同学都拿到其他同学的卡片，则第n+2个同学可以与其中任何一个交换卡片，若n+1个同学只有一个拿到自己的卡片，则第n+2个同学必须与该同学交换卡片，∴a n+2＝（n+1）a n+1+（n+1）a n，故D正确；a n+2﹣（n+2）a n+1＝﹣[a n+1﹣（n+1）a n]，∵a1＝0，a2＝1，∴a n﹣na n﹣1＝（﹣1）n，∴a n=n!⋅∑n i=2(−1)ii!，代入数据可得a4＝9，∴当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为a44!=38，故A正确；当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为5a45!=38，故B错误；甲和乙恰好互换了卡片的概率为(n−2)!n!=1n−1−1n，故C正确．故选：ACD．三．填空题（共18小题）33．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，E是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为16π3．【解答】解：由题意，当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D﹣ABE的高最大值，此时体积最大．∵△ADE是直角三角形，∴三棱锥D﹣ABE换成B﹣ADE∴底面△ADE外接圆半径r=12AE＝1，垂直面△ABE是边长为2等边三角形，可得AE边上的高h=√3；设球心与圆心距离为d，球半径为R，R2＝r2+d2……①√3−d=R⋯⋯②由①②解得R=√3；三棱锥外接球的表面积S＝4πR2=16π3；故答案为：16π3．34．由正三棱锥S﹣ABC截得的三棱台ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，若AB＝6，三棱台ABC ﹣A1B1C1的高为2，且球心O在平面ABC与平面A1B1C1之间（不在两平面上），则AB1的取值范围为(2√6，6)．【解答】解：该三棱台的横截面如图所示，因为△ABC为正三角形，且AB＝6，=2√3，则AH=√3又GH＝2，球心O在GH上，A，A1都在球面上，故OA＝OA1，设OH＝h，A1G＝m，则由△A1GO和△AOH均为直角三角形，所以m2+（2﹣h）2＝h2+12，解得m2＝8+4h，由图可知，h∈（0，2），m∈(0，2√3)，综上可得，m∈(2√2，2√3)，又A1B1=√3A1G，所以A1B1∈(2√6，6)，即AB1的取值范围为(2√6，6)．故答案为：(2√6，6)．35．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且a i∈{1，2，3，4}（i＝1，2，3，4）．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值是18．【解答】解：若①正确，则②一定正确，因此不符合题意；若②正确，此时令a4＝4，a3＝1，a1＝3，a2＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18；若③正确，此时a4＝4，a2＝1，a1＝3，a3＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为7；若④正确，此时a4＝2，a3＝3，a1＝4，a2＝1，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为9．综上可得，（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18．故答案为：1836．设抛物线C1：y＝x2﹣2x+2和C2：y＝﹣x2+ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点（1，3）．2【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2，∴y'＝2x﹣2，∵y＝﹣x2+ax+b，∴y'＝﹣2x+a，设交点为（x0，y0），∵它们在一个交点处切线互相垂直，∴（2x0﹣2）（﹣2x0+a）＝﹣1，即4x02﹣（2a+4）x0+2a﹣1＝0，①由交点分别代入二次函数式，整理得，2x02﹣（2+a）x0+2﹣b＝0，即4x02﹣（4+2a）x0+4﹣2b＝0，②由①②整理得2a﹣1﹣4+2b＝0，即a+b=52，所以C2：y＝﹣x2+ax+52−a，令x＝1，可得y=32，则C2过定点（1，32），故答案为：（1，32），37．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则三棱锥A﹣BCD外接球O的表面积为84π．【解答】解：如图所示：取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF，因为AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，所以AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，所以AE＝DE＝3√3，即三角形ADE为等腰三角形，所以EF⊥AD，且EF平分∠AED，不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O′，且O′在DE上，所以EO′=13ED=√3，设外接球的球心为O，半径为R，则OA＝OD＝R，利用面面垂直可证得平面AED⊥平面BCD，又平面AED∩平面BCD＝ED，则球心O必在三角形AED中，又OA＝OD＝R，所以O在∠AED的角平分线EF上，连接OO′，则OO′⊥平面BCD，即OO′⊥ED，在三角形AED中，由余弦定理可得：cos∠AED=AE2+ED2−AD22AE⋅ED =−12，所以∠AED＝120°，所以∠FED=12∠AED＝60°，在Rt△EOO′中，tan∠FED=OO′EO′=√3=√3，所以OO′＝3，在Rt△OO′D中，OD＝R，O′D＝2√3，所以R2＝OO′2+O′D2＝21，所以球O的表面积为S＝4πR2＝84π，故答案为：84π．38．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝2√2，AB＝AC＝AD＝2a，若该三棱锥的侧面积是底面积的√3倍，则该三棱锥外接球的表面积为12π．【解答】解：取BC边的中点E，连结AE，如图所示，△BCD外接圆的圆心为F，三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，因为AB＝AC且点E为BC的中点，所以AE=√4a2−2，=3√2×√4a2−2=6√2a2−1，由此可知该三棱锥的侧面积S侧底面△BCD的面积为2√3，所以6√2a2−1=√3×2√3，解得a＝1，设三棱锥A﹣BCD外接球半径为R，OF＝x，因为AB＝AC＝AD＝2，所以点A在底面BCD上的射影为点F，因为AB＜BC，故三棱锥外接球球心O在直线AF的延长线上，BF为△BCD外接圆的半径，所以BF=2√6，3)2=4①，在Rt△ABF中，由勾股定理可得(R−x)2+(2√63)=R2②，在Rt△OBF中，由勾股定理可得x2+(2√63，由①②解得R=√3，x=√33所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π． 故答案为：12π．39．在△ABC 中，点M ，N 是线段BC 上的两点，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|＝1，MA →⋅MN →=12，则MA →⋅NA →= 12 ，|NA →|的取值范围是 （12，1] ．【解答】解：根据题意，画出大致图形如下：结合题意及图形， 可知MA →•MN →+MA →•NA →=MA →•（MN →+NA →） =MA →•MA →＝|MA →|2 ＝1，∵MA →⋅MN →=12， ∴MA →⋅NA →=1−12=12，又∵12=MA →⋅NA →=|MA →|•|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞=|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞， ∴|NA →|=12cos ＜MA →，NA →＞，由题意可知点N 在线段BC 上，假设点N 与点B 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MB →=|MA →|•|MB →|•cos ＜MA →，MB →＞=cos ＜MA →，MB →＞， 即cos ∠BMA =12，∴∠BMA =π3或2π3，∴∠BAM =π3或π6，即cos ＜MA →，NA →＞=12或√32， 假设点N 与点C 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MC →=|MA →|•|MC →|•cos ＜MA →，MC →＞=cos ＜MA →，MC →＞，此时cos ＜MA →，NA →＞=12或√32， 综合可得，12≤cos ＜MA →，NA →＞＜1， ∴1≤2cos ＜MA →，NA →＞＜2， ∴12＜12cos ＜MA →，NA →＞≤1，即12＜|NA →|≤1， 故答案为：12；（12，1]．40．已知一圆锥纸盒母线长为6，其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为a 的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则a 的最大值为 2 ．【解答】解：由于正方体可在圆锥内任意转动，故当正方体棱长a 最大时，正方体外接球为圆锥内切球， 设圆心为P ，半径为r ，轴截面上球与圆锥母线切点为Q ，SO ⊥AB ，SO 平分AB ， 由△SAB 为正三角形，SA ＝SB ＝AB ＝6，OA ＝OB ＝3， 因为PB 为∠SAB 的角平分线，所以∠PBA ＝30°，PO ＝OB tan30°=√3=r ，由正方体外接球直径与正方体之间的关系可得，2R =√3a ， 又正方体外接球为圆锥内切球，所以√3a =2r =2√3，故a ＝2， 所以a 的最大值为2． 故答案为：2．41．若数列{a n}满足递推公式a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a1＝a2，a2020＝2021，则a1+a3+a5+…+a2019＝2021．【解答】解：∵a1＝a2，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a2020＝2021，∴a1+a3+a5+…+a2019＝a2+a3+a5+…+a2019＝a4+a5+…+a2019＝…＝a2018+a2019＝a2020＝2021，故答案为：2021．42．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC中，角A ＝60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为√32，则三角形ABC的周长最小值为3√2．【解答】解：由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则S△O1O2O3=12m2sin60°=√34m2=√32，解得|O1O2|＝m=√2；设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示：在△O1AO2中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，由∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 2＝120°， 在等腰△BO 1A 中，ABO 1A=sin120°sin30°，解得O 1A =√3，同理得O 3A =√3，在△O 1AO 2中，由余弦定理得O 1O 32=O 1A 2+O 3A 2﹣2O 1A •O 3A •cos120°， 即2=c 23+b 23−2•bc 3•（−12），即b 2+c 2+bc ＝6，在△ABC 中，由余弦定理知， a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ， ∴a =√(b 2+c 2+bc)−2bc =√6−2bc ， 又∵（b +c ）2＝b 2+c 2+bc +bc ＝6+bc ， ∴b +c =√6+bc ，∴△ABC 的周长为a +b +c =√6−2bc +√6+bc ， 又∵b 2+c 2≥2bc ， ∴b 2+c 2+bc ＝6≥3bc ， ∴bc ≤2．令f （x ）=√6−2x +√6+x （0＜x ≤2）， 则f ′（x ）=√6−2x2√6+x ，当f ′（x ）＜0时，有√6−2x2√6+x0，解得x ＞3，∴f （x ）在（0，2]上单调递减， ∴当x ＝2时取得最小值，f （2）＝3√2． ∴a +b +c ≥3√2，即△ABC 的周长最小值为3√2． 故答案为：3√2．43．设函数f （x ）的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使得f （x 0+1）＝f （x 0）+f （1），则称x 0为函数f （x ）的“可拆点”．若函数f(x)=log 2a1+x 2在（0，+∞）上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为 [3−√5，2) ． 【解答】解：由已知可得函数f （x ）有“可拆点”， 则log 2（a1+x 2）+log 2（a2）＝log 2（a1+(1+x)2）成立，即a1+(1+x)2=a1+x2⋅a2，整理可得：（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0，从而问题转化为方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0在区间（0，+∞）上有解，设h（x）＝（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由已知可得a＞0，则当a＞2且x＞0时，h（x）＜0，方程h（x）＝0无解，不满足题意，当a＝2时，方程h（x）＝0的根为−12，不满足题意，当0＜a＜2时，函数h（x）的图象的对称轴为x=a2−a＞0，要使方程h（x）＝0在区间（0，+∞）上有解，只需△＝4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，解得3−√5≤a≤3+√5，所以3−√5≤a＜2，故实数a的取值范围为：[3−√5，2）．故答案为：[3−√5，2）．44．在棱长为√2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于√312．【解答】解：连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，且D1H＝2HO，同理，点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，所以△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，又AC=√2AB=2，所以HC=HG=13D1C=13AC⋅√32=√33，所以点Q的轨迹所组成的图形的面积S=12CH⋅HG⋅sin120°=√312．故答案为：√312．45．已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．【解答】解：设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，由题意可得|OA|＝a，|OF2|＝c，|AF2|=√c2−a2=b，由OA为△BF1F2的中位线，可得|BF1|＝2a，|BF2|＝2b，又∠F1MF2＝60°，可得|MF1|=|BF1|sin60°=√3，|MB|=√3|MF2|＝|MB|+|BF2|=√32b，又|MF2|﹣|MF1|=√3+2b√3=2a，所以b＝（1+√33）a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．故答案为：y＝±（1+√33）x．46．已知函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，现有以下四个命题：①f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于原点中心对称；③对任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）；④函数f（x）与函数h（x）的最小值相同其中正确命题的序号是③④．【解答】解：函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，对于①，令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x•e x﹣x•e﹣x，由于F（﹣x）＝F（x）故函数F（x）为偶函数，故①错误；对于②，函数f（﹣x）＝﹣x•e﹣x≠﹣f（x），所以函数f（x）不为奇函数，函数g（﹣x）=−xe−x=−x⋅e x≠−g(x)，所以函数g（x）不为奇函数，故②错误；对于③，当x＝0时，f（x）＝g（x）＝0，当x＞0时，e2x＞1，得到e x＞1e x，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），当x＜0时，e2x＜1，整理得e x＜1e x ，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），故③正确；对于④，f′（x）＝（1+x）•e x，令f′（x）＜0，得到x＜﹣1，f′（x）＞0，得到x＞﹣1，所以函数f（x）的最小值为f（﹣1）=−e−1=−1e．h′（x）＝1+lnx（x＞0），令h ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1e ， 令h ′（x ）＞0，解得x ＞1e ，所以函数h （x ）的最小值为h （1e ）=1e ⋅ln 1e =−1e =f(−1)，故④正确； 故选：③④．47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin A +2sin B ＝2cos A sin C ，a +b ＝3√2，△ABC 的面积是√3，则边长c ＝ √14 ． 【解答】解：∵sin A +2sin B ＝2cos A sin C ， ∴sin A +2sin （A +C ）＝2cos A sin C ， 即sin A +2sin A cos C +2cos A sin C ＝2cos A sin C ， 即sin A +2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C =−12，则C ＝120°， ∵△ABC 的面积是S =12ab ×√32=√3，∴ab ＝4，则c 2＝a 2+b 2﹣2ab ×（−12）＝（a +b ）2﹣ab ＝18﹣4＝14， 则c =√14， 故答案为：√14．48．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A ，如果在直线x +y +4＝0上存在点M ，使得∠FMA ＝90°，则实数p 的取值范围是 [4√2，+∞） ． 【解答】解：由题意可得F （p2，0），A （−p2，0），∵M 在直线x +y +4＝0上，设点M （x ，﹣x ﹣4）， ∴AM →=（x +p2，﹣x ﹣4），FM →=（x −p2，﹣x ﹣4），又∠FMA ＝90°，∴AM →•FM →=（x +p 2）（x −p2）+（﹣x ﹣4）2＝0， 即2x 2+8x +16−p24=0，∴△＝82﹣4×2×（16−p24）＝2p2﹣64≥0，解得p ≤﹣4√2或p ≥4√2， 又p ＞0，∴p 的取值范围是[4√2，+∞）． 故答案为：[4√2，+∞）． 49．已知F 1，F 2是双曲线C 1：x 2a2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 225+y 29=1的公共焦点，点P ，Q 分别是曲线C 1，C 2在第一、第三象限的交点，四边形PF 1QF 2的面积为6√6，设双曲线C 1与椭圆C 2的离心率依次为e 1，e 2，则e 1+e 2＝2√10+45．【解答】解：由题意可得a 2+b 2＝16，根据双曲线C 1与椭圆C 2的对称性可得△PF 1F 2的面积为3√6， 设P （x 0，y 0），（x 0，y 0＞0），则{12⋅8⋅y 0=3√6x 0225+y 029=1，解得x 0=5√104，y 0=3√64， 代入双曲线的方程结合b 2＝16﹣a 2，可得a 4﹣35a 2+250＝0，结合0＜a ＜c ＝4，解得a =√10， 双曲线的离心率为e 1=c a=√10=2√105， 而椭圆的离心率e 2=45， ∴e 1+e 2=2√10+45． 故答案为：2√10+45．50．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为V =π3(3R −ℎ)ℎ2，其中R 为球的半径，h 为球缺的高．若一球与一棱长为。
高三数学填空题练习试题集
高三数学填空题练习试题答案及解析1.如图，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于两点，是的中点，连接并延长交⊙于点，若，则．【答案】【解析】因为是⊙的切线，所以，在中，，则，，连接，则是等边三角形，过点A作，垂足为M，则，在中，，又，故，则．【考点】1、切线的性质；2、相交弦定理.2.复数满足，则复数的模等于__________．【答案】【解析】因为，所以因此复数的模等于.【考点】复数的模3.已知双曲线-=1的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为.【答案】-=1【解析】圆x2+y2-10x=0的圆心坐标为(5,0),∴c=5,又e==,∴a=,b2=c2-a2=20,∴双曲线标准方程为-=1.4.已知数列{an }为等差数列，若a1＝－3，11a5＝5a8，则使前n项和Sn取最小值的n＝________．【答案】2【解析】∵a1＝－3，11a5＝5a8，∴d＝2，∴Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴当n＝2时，Sn最小．5.曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .【答案】【解析】∵，∴，所以切线方程为：，∴三角形面积为.【考点】1.利用导数求切线方程；2.三角形的面积公式.6.已知函数是上的奇函数，时，，若对于任意，都有，则的值为 .【答案】【解析】因为，，所以.【考点】函数的基本性质7.运行右面框图输出的S是254，则①应为 .【答案】【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，并输出满足循环的条件．∵，故①中应填．故选C．【考点】程序框图．8.已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为．【答案】2．【解析】由题意易知圆的圆心，由直线的参数方程化为一般方程为，所以圆心到直线的距离为．【考点】直线的参数方程及点到直线的距离公式．9.已知，，则．【答案】【解析】由，得，，.【考点】同角三角函数的关系、两角和的正切公式.10.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为的数据丢失，则依据此图可得：（1）年龄组对应小矩形的高度为；（2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数 .【答案】(1)；（2）【解析】（1）设年龄组对应小矩形的高度为，依题意，，解得.（2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为：人.【考点】频率分布直方图.11.若a、b、c、d均为实数，使不等式都成立的一组值（a、b、c、d）是。
高三文科数学第二次月考模拟训练(3)
高三文科数学第二次月考选填题模拟训练（3）满分：75分 时间：45分钟一、选择题：（本大题10小题，每小题5分，共50分。
）1.设复数i z +=11，)(22R b bi z ∈+=，若21z z ⋅为实数，则b 的值为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-2.集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)0}B x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|12}x x ≤≤B ．{|12}x x <≤C ．{|10}x x -<<D ．{|2}x x ≤3.执行如图所示程序框图．若输入3x =，则输出的k 值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64.下列大小关系正确的是( )A. 3log 34.044.03<<B. 4.03434.03log <<C. 4.04333log 4.0<< D. 34.044.033log <<5.sin 480的值为（ ）A ．12-B．2-．12 D．26.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-=（ ） A ．17-B ．7-C ．71D ．77.等差数列}{n a 中的1a 、4025a 是函数16431)(23-+-=x x x x f 的极值点，则=20132log a （ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的25，且祥本容量为140，则中间一组的频数为( ) A.28 B.40 C.56 D.609.ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos cos a bB A=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形10.已知函数()sin(+)(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=>><的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．1B ．2 D ．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11.在三棱锥P ABC -中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是 .12.由命题“存在x R ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则m 的取值范围是__________． 13.直线14y x b =-+是函数1()f x x=的切线，则实数b = ． 14.定义映射:f A B →，其中{}(,),A m n m n R =∈，B R =，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =，②若n m >，(,)0f m n =；③[](1,)(,)(,1)f m n n f mn f mn +=+-，则(2,2)f = .15.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5；③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得x y 2sin 3=的图象；④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数。
高三数学 选择题填空题训练(含解析)
高三数学 选择题填空题训练（含解析）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设集合{2,04,},{2,}n A x x n n B x x n n ==<<∈==∈Z Z ，则AB 为A. {1,2,4,8,16}B. {1,2,4,8}C. {2,4,8}D. {2,4}2. 关于复数2(1)1i z i+=-，下列说法中正确的是A. 在复平面内复数z 对应的点在第一象限B. 复数z 的共轭复数1z i =-C. 若复数1z z b =+()b ∈R 为纯虚数，则1b =D. 设,a b 为复数z 的实部和虚部，则点(,)a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上3. 下列函数一定是偶函数的是A. cos(sin )y x =B. sin cos y x x =C. ln(sin )y x =D. sin xy e=4. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足8417S S =，则公比q = A.12 B. 12± C. 2 D. 2± 5. 执行如图所示程序框图，输出的x 值为A. 11B. 13C. 15D. 46.二项式5的展开式中常数项为A. 5B. 10C.20-D. 407. 设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称 D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数 8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. 4B.203C. 263D. 89. 如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且3||2,||,||232OA OB OC ===(,)OC OA OB λμλμ=+∈R ，则A. 4,2λμ==B. 83,32λμ==C. 42,3λμ==D. 34,23λμ==10. 若数列{}n a 满足规律：123212......n n a a a a a -><><><，则称数列{}n a 为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为 A. 12B. 14C. 16D. 1811. 已知双曲线12222=-by a x (0,0)a b >>以及双曲线22221y x a b -=(0,0)a b >>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线12222=-by a x的离心率为A. 2C. 212. 已知空间4个球，它们的半径分别为2, 2, 3, 3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为A.711B.611 C. 511 D. 411第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设,x y 满足约束条件00+2y y x x y a ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，若目标函数3x y +的最大值为6，则a=______.14. 函数y =(1,1)-处的切线与x 轴所围成区域的面积为________. 15. 给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小， 样本数据的波动也越小；③回归分析就是研究两个相关事件的独立性；④在回归分 析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数2R 是用来刻画回 归效果的，2R 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好.其中说法正确的是____________（请将正确说法的序号写在横线上）.16. 函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2f x '<，则不等式221()22x f x <+的解集为______.一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合侧视图AB C O题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 不等式组36020x y x y -+⎧⎨-+<⎩≥表示的平面区域是2. 已知复数z a bi =+(,0)a b R ab ∈≠且，且(12)z i -为实数，则a b= A. 3B. 2C.12D.133. 已知3cos 5α=，则2cos 2sin αα+的值为 A. 925 B. 1825C. 2325D. 34254. 执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为A. 7B. 15C. 31D. 635. 已知,,a b c 是平面向量，下列命题中真命题的个数是① ()()⋅⋅⋅⋅a b c =a b c② ||||||⋅= a b a b ③ 22||()+=+a b a b ④ ⋅⋅⇒=a b =b c a cA. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数()sin cosf x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，则实数a 的值为A. B. 3- D.27. 一个棱长都为a 的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为A. 273a πB. 22a πC. 2114a πD. 243a π8. 已知数列{}n a 满足10a =，11n n a a +=+，则13a =A. 143B. 156C. 168D. 1959. 在Excel 中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand ( )”,在用计算机模拟估计函数x y sin =的图像、直线2π=x 和x 轴在区间[0,]2π上部分围成的图形面积时，随机点11(,)a b 与该区域内的点),(b a 的坐标变换公式为A. 11,2a ab b π=+= B. 112(0.5),2(0.5)a a b b =-=-C. [0,],[0,1]2a b π∈∈D. 11,2a a b b π==10. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线(2)y k x =-与此抛物线相交于,P Q 两点，则11||||FP FQ += A. 12B. 1C. 2D. 411. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 162π+B. 82π+C. 16π+D. 8π+12. 已知两条直线1l y a =：和21821l y a =+： (其中0a >)，1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,m n .当a 变化时，nm的最小值为 A. 4B. 16C. 112D. 102第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.1)x dx =⎰____________.14. 用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.15. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，左、右顶点分别为1A 和2A ，过焦点2F 与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若1PA 是12F F 和12A F 的等比中项，则该双曲线的离心率为 .16. 设集合224{(,)|(3)(4)}5A x y x y =-+-=，2216{(,)|(3)(4)}5B x y x y =-+-=， {(,)|2|3||4|}C x y x y λ=-+-=，若()A B C ≠∅，则实数λ的取值范围是____________.简答与提示：【试题解析】C 由题可知{2,4,8}A =，{}B =偶数，因此 {2,4,8}A B =， 故选C.1. . 【试题解析】C 由题可知2(1)2111i iz i i i+===-+--，若z b +()b ∈R 为纯虚数， 则1b =，故选C.2. 【试题解析】A 由偶函数定义可知，函数cos(sin )y x =中，x 的定义域关于原点 对称且cos(sin())cos(sin )x x-=，故选A.3. 【试题解析】D 由题可知1q ≠，则818484414(1)11117(1)11a q S q qq a q S qq---===+=---，得 416q =，因此2q =±，故选D.4. 【试题解析】B 由程序框图可知：02x =，13x =，25x =，36x =，47x =，59x =，610x =，711x =，813x =而后输出x 值为13，故选B. 5. 【试题解析】D 由题可知，展开式中的常数项为2325(40C =，故选D.6. 【试题解析】D 由三角函数的性质可知：()|sin(2)|3f x x π=+的单调区间232k x k ππππ≤+≤+，则26212k k x ππππ-≤≤+()k ∈Z ，当1k =时， 7[,]312x ππ∈，故选D.7.【试题解析】B 由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B. 8. 【命题意图】 【试题解析】C 设与,OA OB 同方向的单位向量分别为,ab ，依题意有42OCa b =+，又2OA a =，32OB b =，则423OC OA OB =+，所以42,3λμ==. 故选C.9. 【命题意图】 【试题解析】C ①将3,4,5排在中间和两侧，再用1,2插两缝共323212A A =种；②将2,4,5排列，则结果必为21435；将2,5,4排列，则结果必为21534；将4,5,2排列，则结果必为43512； 将5,4,2排列，则结果必为53412. 故选C. 10. 【命题意图】 【试题解析】A由题可知，双曲线渐近线的倾角为30︒或60︒，则bk ==或.则2c e a ====或3，故选A. 11. 【命题意图】本小题通过具体的立体几何考查学生的空间想象能力与运算求解能力，着重考查几何体中点线面的关系问题，是一道较难的试题. 【试题解析】B 由题意可知，12,A A 为半径为2的球的 球心，12,B B 为半径为3的球的球心，则124A A =， 126B B =，取12A A 的中点C ，12B B 的中点D ，则 DC =r ，则OC ==，解得611r =.故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 214.1315. ②④⑤16. (,1)(1,)x ∈-∞-+∞简答与提示:12. 【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力，是一道基本题.【试题解析】由题意可知，3z x y =+取最大值6时，直线 36y x =-+过点(2,0)，则点(2,0)必在线性规划区域内，且 可以使一条斜率为3-的直线经过该点时取最大值，因此点 (2,0)为区域最右侧的点，故直线0+2x y a -=必经过点(2,0)， 因此2a =.13. 【命题意图】本小题通过积分问题考查学生的运算求解能力，着重考查积分在曲边图形面积求取上的应用，是一道中档难度试题.【试题解析】由y ='y =112x y =-'=-，即切线方程为11(1)2y x -=-+， 即为1122y x =-+，将y =2x y =-，将1122y x =-+改写成12x y =- 因此1232100111[(12)()]()|11333S y y dy y y y =---=-+=-+=⎰. 14. 【命题意】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.15. 【命题意图】本小题以导数与函数图像的基本关系为载体，考查数形结合的数学思想，是一道较难综合试题.O2B 1B 2A 1CD【试题解析】利用换元法，将2x 换元成t ，则原式化为1()22t f t <+， 当1t =时，()1f t =，且1122t +=，又由1()2f t '<， 可知当1t >时，1()22t f t <+；当1t <时，1()22t f t >+. 故1()22t f t <+的解集为1t >，即21x >，因此(,1)(1,)x ∈-∞-+∞.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.B 2 .C 3. A 4. B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A 11.B 12.C 简答与提示：1. 【命题意图】.【试题解析】B 360x y -+≥表示直线360x y -+=以及该直线下方的区域，20x y -+<表示直线20x y -+=的上方区域，故选B.2. 【命题意图】.【试题解析】C 由(12)z i ⋅-为实数，且0z ≠，所以可知(12)z k i =+，0k ≠，则122a kb k ==，故选C. 3. 【命题意图】.【试题解析】A 由3cos 5α=，得22229cos 2sin 2cos 11cos cos 25ααααα+=-+-==，故选A.4. 【命题意图】.【试题解析】B 由程序框图可知：①0S =，1k =；②1S =，2k =；③3S =，3k =；④7S =，4k =；⑤15S =，5k =. 第⑤步后k 输出，此时15S P =≥，则P 的最大值为15，故选B.5. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质，特别是对平面向量运算律的全面考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确， 故选A.6. 【命题意图】【试题解析】B 由函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，可知5()3f π=a =. 故选B.7. 【命题意图】【试题解析】A 如图：设1O 、2O 为棱柱两底面的中心，球心O 为12O O 的中点. 又直三棱柱的棱长为a ，可知112OO a =，13AO a =，所以2222211712a R OA OO AO ==+=，因此该直三棱柱外接球的表面积为2227744123a S R a πππ==⨯=，故选A.8. 【命题意图】【试题解析】C由11n n a a +=+，可知211111)n n a a ++=++=，1=，故数列是公差为1的等差数列，1213=，则13168a =. 故选C. 9. 【命题意图】【试题解析】D. 由于[0,]2a π∈， [0,1]b ∈，而1[0,1]a ∈，1[0,1]b ∈，所以坐标变换公式为12a a π=，1b b =. 故选D.10. 【命题意图】求.【试题解析】A设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由题意可知，1||2PF x =+，2||2QF x =+，则1212121241111||||222()4x x FP FQ x x x x x x +++=+=+++++， 联立直线与抛物线方程消去y 得，2222(48)40k x k x k -++=，可知124x x =，故121212121244111||||2()42()82x x x x FP FQ x x x x x x +++++===+++++. 故选A. 11. 【命题意图】【试题解析】B 由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此21241282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选B.12. 【命题意图】【试题解析】C 设(,),(,),(,),(,)A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4a A x -=，4aB x =，18214a C x -+=，18214a D x +=，则182118214444aa aa n m+--+-=-，分子与分母同乘以18214a a ++ 可得18362212142a a a a n m++++==，又363622*********a a a a +=++-≥=++，当且仅当216a +=，即52a =时，“=”成立，所以n m的最小值为112. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.7614. 816. [4]5简答与提示：13. 【命题意图】【试题解析】113122221217()()32326x x dx x x +=+=+=⎰. 14. 【命题意图】【试题解析】2122228A C A ⋅⋅=种.15. 【命题意图】【试题解析】由题意可知211212||||||PA F F A F =⨯，即222()()2()b a c c a c a++=+， 经化简可得22a b =，则c e a ====16. 【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题，对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.【试题解析】由题可知，集合A 表示圆224(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合B表示圆2216(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合C 表示曲线O A DO 1O 22|3||4|-+-=上点的集合，此三集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A、B表示x yλ圆，集合C则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是4].。
高考数学选择填空小题训练56套(含答案)
高三数学小题训练（3）
2
3 12 ，cosβ= ，则 cos(α-β)=__________。 5 13 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原 3
4．把函数 y sin x ( x R) 的图象上所有的点向左平行移动
D.(-5,-10)
2．已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0， 2) ， B (1， 2) ， C (3， 1) ，且 BC 2 AD ，则顶点 D 的坐标为（ A． 2，
）
7 2
B． 2，
1 2
C． (3， 2)
D． (1， 3)
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来的
1 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（ 2 ，x R 3 ，x R 3
B． y sin
）
A． y sin 2 x
x ，x R 2 6 ，x R 3
5 ． 已 知 函 数 f(x)=Asin(x+ )(A>0,0< < ),x R 的 最 大 值 是 1 ， 其 图 像 经 过 点 M ___________________；
3 ) ，则 cos 2 _________。 2 5 2． f ( x ) cos(x ) 最小正周期为 ，其中 0 ，则 6 5
，则 a b 3 4．已知平面向量 a (2， 4) ， b (1， 2) ，若 c a (a b ) b ，则 c b 2 且 a 与 b 的夹角为 3．若向量 a ， b 满足 a 1，
高三数学选填练习题
高三数学选填练习题题目一：解题思路：首先，我们要明确选填题是指在多个选项中选择一个或多个答案作为解答的题目。
在高三数学中，选填题主要涉及函数、数列、求导等内容。
解答这类题目需要对相关知识点有深入的理解和掌握，并能够在短时间内准确作答。
下面我将针对数学选填练习题提供一些解题思路和答案示例，希望能帮助你更好地应对这类题目。
1. 函数选填题题目：已知函数f(x) = |2x - 1|，则f(3) + f(-1)的值等于（）A. 4B. 6C. 8D. 10解析：根据函数f(x) = |2x - 1|的定义，我们可以得到f(3) = |2*3 - 1| = 5，f(-1) = |2*(-1) - 1| = 3。
将结果相加得到f(3) + f(-1) = 5 + 3 = 8，因此选项C为正确答案。
2. 数列选填题题目：已知等差数列{an}，若a1 = 1，d = 3，an = 34，则n的值为（）A. 12B. 11C. 10D. 9解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到34 = 1 + (n-1)*3，化简得到3n - 2 = 34，解得n = 12，因此选项A为正确答案。
3. 求导选填题题目：已知函数y = x^3 + 4x^2 - 3x + 2，求y'(-1)的值为（）A. 6B. 8C. -4D. -6解析：通过对函数y = x^3 + 4x^2 - 3x + 2求导，可以得到y' = 3x^2+ 8x - 3。
将x = -1代入得到y'(-1) = 3*(-1)^2 + 8*(-1) - 3 = 6 - 8 - 3 = -5，因此选项C为正确答案。
这是三个例子，希望能帮助你理解高三数学选填练习题的解题思路。
在解答这类题目时，建议你理清题意，运用所学知识并进行必要的计算，以得到正确的答案。
不同类型的选填题可能存在不同的解题思路，所以需要多做类似的题目以提升解题能力。
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编03(学生版)
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编031.(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)命题“∃x ∈0,+∞ ，使a x ≤log a x (a >0且a ≠1)成立”是假命题，则实数a 的取值范围是()A.a >e12B.a >e1eC.1<a <e12D.1<a <e1e2.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)设a =ln1.02，b =sin0.02，c =151，则a ,b ,c 大小关系为()A.c <b <aB.c <a <bC.a <b <cD.a <c <b3.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +θ ω>0,|θ|<π2 ，f (0)=32，函数f (x )在区间-2π3,π6 上单调递增，在区间0,5π6 上恰有1个零点，则ω的取值范围是()A.45,2B.45,54C.45,1D.54,24.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)已知定义域为R 的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，都有f (2x )+f (2y )=-f (x +y )f (x -y )，且f (2)=2，则()A.f (0)=0B.f (x )为偶函数C.f (x +1)为奇函数D.2024i =1f (i )=05.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设A ,B ,C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB ⋅AC的最小值为()A.-94B.-2C.-32D.-436.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知数列a n 满足a n +1<a n +1<2a n +2，a 1=1，S n 是a n 的前n 项和．若S m =2024，则正整数m 的所有可能取值的个数为()A.48B.50C.52D.547.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设函数f x =0,x =34π+k πω-tan ωx -π4,x ≠34π+k πωω>0,k ∈Z ，若函数f x 在区间-π8,3π8上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为()A.23,2B.0,23C.23,103D.0,28.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知f (x )=e x -1-e 1-x2-ax ,x ≤1x +3x +1,x >1，a ∈R 在R 上单调递增，则a 的取值范围是()A.-2,1B.-2,-1C.-∞,1D.-2,+∞9.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知函数f (x )=2cos ωx +1(ω>0)在区间(0,π)上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.83,103B.83,103C.73,113D.73,11310.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)若a ≠0，函数f x =sin π6x -π6ax 2+bx +c ，且f x ≥0在0,8 上恒成立，则下列结论正确的是()A.a >0B.b <0C.c >0D.b +c >011.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)设双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，过点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为D ，E ，若PF 1 ⋅PF 2 =0，且3|PD ||PE |=S △PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.212.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知a >0，设函数f x =e 2x +2-a x -ln x -ln a ，若f x ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是()A.0,1eB.0,1C.0,eD.0,2e13.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知数列a n 满足a n +1a n +an +1a n +2=2，且a 2=a 12a 1+1,a 3=17，则3a 100=()A.165B.167C.169D.17114.(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)若cos α-π6 =13，则sin 2α+π6=()A.429B.79C.-429D.-7915.(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若a =log 4256，b =0.125-79，c =6log 32，则()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a16.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知x 1,x 2是函数f (x )=12ax 2-2x +ln x 的两个极值点，若不等式m >f x 1 +f x 2 +x 1x 2恒成立，则实数m 的取值范围是()A.(-3,+∞)B.[-2,+∞)C.(2,+∞)D.[e ,+∞)17.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知f x =4x -1+(x -1)2+a 有唯一的零点，则实数a 的值为()A.0B.-1C.-2D.-318.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)设函数f (x )=(x -a )sin ax ，若存在x 0使得x 0既是f (x )的零点，也是f (x )的极值点，则a 的可能取值为()A.0B.πC.πD.π219.(多选题)(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)若数列a n 满足1a n +1-1a n=d (n ∈N ∗，d 为常数)，则称数列a n 为“调和数列”.已知数列b n 为“调和数列”，下列说法正确的是()A.若∑20i =1b i =20，则b 10+b 11=b 10b 11B.若b n =2n +1c n ，且c 1=3，c 2=15，则b n =12n -1C.若b n 中各项均为正数，则b n +1≤b n +b n +22D.若b 1=1，b 2=12，则∑n +1i =2[b i ⋅ln (i -1)]≤n 2-n420.(多选题)(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设a >1，n 为大于1的正整数，函数的定义域为R ，f x -f y =a yf x -y ，f 1 ≠0，则()A.f 0 =0B.f x 是奇函数C.f x 是增函数D.f n +1f 1>a n +n 21.(多选题)(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)以下不等式成立的是()A.当x ∈0,1 时，e x +ln x >x -1x+2 B.当x ∈1,+∞ 时，e x +ln x >x -1x+2C.当x ∈0,π2时，e x sin x >x D.当x ∈π2,π时，e x sin x >x 22.(多选题)(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设正项等比数列a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，则下列选项正确的是()A.S 9=S 4+q 4S 5C.若a 1a 9=4，则当a 24+a 26取得最小值时，a 1=2D.若(a n +1)n >T 2n ，则a 1<123.(多选题)(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知f 3x +1 为奇函数，且对任意x ∈R ，都有f x +2 =f 4-x ，f 3 =1，则()A.f 7 =-1B.f 5 =0C.f 11 =-1D.f 23 =024.(多选题)(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-x +2x 2+1⋅x 2-2x +2，则下列结论正确的是()A.f (x )的最小值为1B.f (x )的最大值为2C.f (x )在(1,+∞)上单调递减D.f (x )的图象是轴对称图形25.(多选题)(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知实数a ，b 是方程x 2-k -3 x +k =0的两个根，且a >1，b >1，则()A.ab 的最小值为9B.a 2+b 2的最小值为18C.3a -1+1b -1的最小值为3 D.a +4b 的最小值为1226.(多选题)(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知函数f (x )满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则()A.f 0 =12B.f (x )为奇函数C.f (x )为周期函数D.f 2 =-1427.(多选题)(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，设g x =f x +2 -1，若g x 和f x +1 均为奇函数，则()A.f 2 =1B.f x 为奇函数C.fx 的一个周期为4D.2024k =1f (k )=202428.(多选题)(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1-c ,0 和F 2c ,0 且c >0，动点M 满足MF 1 ⋅MF 2 =a 2a >0 ，动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ，则下列描述正确的是()A.曲线C 的方程是x 2+y 2 2-2c 2x 2-y 2 =a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于1a 229.(多选题)(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)对任意x ,y ∈R ，函数f x ，g x 都满足f x +f y +g x -2g y =e x +y ，则()A.f x 是增函数B.f x 是奇函数C.g x 的最小值是g 0D.y =2f x -g x 为增函数30.(多选题)(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)记数列a n 的前n 项和为S n ，若存在实数t ，使得对任意的n ∈N *，都有S n <t ，则称数列a n 为“和有界数列”，下列说法正确的是()A.若a n 是等差数列，且公差d =0，则a n 是“和有界数列”B.若a n 是等差数列，且a n 是“和有界数列”，则公差d =0C.若a n 是等比数列，且公比q <1，则a n 是“和有界数列”D.若a n 是等比数列，且a n 是“和有界数列”，则a n 的公比q <131.(多选题)(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，动点P 满足AP =λAB +μAD，其中λ,μ∈(0,1]，则下列命题正确的是()A.若λ=2μ，则平面AB 1P ⊥平面DEFB.若λ=μ，则D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为π4,π2C.若λ=μ-12，则PD 1∥平面A 1C 1E D.若λ+μ=32，则线段PF 长度的最小值为6232.(多选题)(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知x 1是函数f x =x 3+mx +n m <0 的极值点，若f x 2 =f x 1 x 1≠x 2 ，则下列结论正确的是()A.f x 的对称中心为0,nB.f -x 1 >f x 1C.2x 1+x 2=0D.x 1+x 2>033.(多选题)(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，C 上一点P 到F 和到y 轴的距离分别为12和10，且点P 位于第一象限，以线段PF 为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是()A.p =4B.C 的准线方程为y =-2C.圆Ω的标准方程为(x -6)2+(y -25)2=36D.若过点(0,25)，且与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线l 与圆Ω相交于A ，B 两点，则|AB |=4534.(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别在侧棱P A、PB、PC上，且满足PE=14P A，PF=23PB，PG=12PC.若平面EFG与侧棱PD交于点H，则PH=PD.35.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)方程cos3πx=x2的根的个数是.36.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC⊥平面BCD，直线AD与BC所成的角为90°，则该四面体体积的最大值为.37.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知函数f x =sinπ-ωxcosωx-3sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间-2024π,2024π上所有零点之和为．38.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若定义在-∞,0∪0,+∞上的函数f(x)满足：对任意的x,y∈-∞,0∪0,+∞，都有：fxy=f x +f1y ，当x,y>0时，还满足：x-yf1x-f1y>0，则不等式f x ≤x -1的解集为．39.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则16k=111+tan2kα2=.40.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知a>0，且x=0是函数f x =x2ln x+a的极大值点，则a的取值范围为.41.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知有穷递增数列a n的各项均为正整数n≥3，所有项的和为S，所有项的积为T，若T=4S，则该数列可能为．(填写一个数列即可)42.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)若过点0,0的直线是曲线y=x2+1x>0和曲线y=ln x-a+a的公切线，则a=．43.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设a,b是正实数，若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A,B，点M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率为2，又OA⊥OB，则椭圆的方程为.44.(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)若曲线y=x+ae x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．45.(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若函数f(x)=sin6x+cos6x+3 8sin4x-m在0,π4上有两个零点，则m的取值范围是．46.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知定义在(0,+∞)的函数满足对任意的正数x，y都有f(x)+f(y)=f(xy)，若2f13+f15 =-2，则f(2025)=．47.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)是抛物线C:y2=2x上三个不同的点，它们的横坐标x1，x2，x3成等差数列，F是C的焦点，若P2F= 2，则y1y3的取值范围是．48.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻(即没有公共边)的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则P X=3=.。
高三数学填空题专项训练(含答案解析)
1．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_____．2．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若存在常数u，v对任意正整数n 都有a n=3log u b n+v，则u+v=_________．3．已知△ABC中，设a，b，c，分别为∠A，∠B，∠C的对边长，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为_________．4．将一个长宽分别是a，b（0＜b＜a）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是_________．5．已知实数a，b分别满足a3﹣3a2+5a=1，b3﹣3b2+5b=5，则a+b的值为_________．6.若动直线ax+by=1过点A（b，a），以坐标原点O为圆心，OA为半径作圆，则其中最小圆的面积为_________．7．已知函数f（x）=ax﹣x4，x∈[，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是_________．8．在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是_________．9．椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△F AB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_________．10．（5分）已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=对任意n∈N*恒成立，则的值为_________．11．（5分）已知A={x|1≤x≤2}，B={x|x2+2x+a≥0}，A、B的交集不是空集，则实数a的取值范围是_________．12．（5分）定义在R上的函数f（x）的图象过点M（﹣6，2）和N（2，﹣6），且对任意正实数k，有f（x+k）＜f（x）成立，则当不等式|f（x﹣t）+2|＜4的解集为（﹣4，4）时，实数t的值为_________．13．（5分）（2014•南京模拟）平面四边形ABCD中，AB=，AD=DC=CB=1，△ABD和△BCD的面积分别为S，T，则S2+T2的最大值是_________．14．（5分）在直角坐标系xOy中，点P（x P，y P）和点Q（x Q，y Q）满足按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若=m，∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则y=msin（x+θ）的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为_________．答案解析1．解答：解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．2．解答：解：设{a n}的公差为d，，{b n}的公比为q，∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，∴a2=3+d=q=b2，3a5=3（3+4d）=q2=b3，解方程得q=3，或q=9，当q=3时，d=0，不符合题意，故舍去；当q=9时，d=6．a n=3+（n﹣1）×6=6n﹣3，b n=q n﹣1=9n﹣1．∵a n=3log u b n+v=+v，∴6n﹣3﹣v=，当n=1时，3﹣v=log u1=0，∴v=3．当n=2时，12﹣3﹣3=，u6=93，u=3，∴u+v=6．故答案为：6．3．解答：解：△ABC中，∵AB边上的高与AB边的长相等，即S△ABC=c2，又S△ABC=absinC，∴c2=absinC，∴在△ABC中，由余弦定理得：++===+2cosC．=2sinC+2cosC=2sin（C+）≤2，当C=时取到等号．∴所求关系式的最大值为2．故答案为：2．4．解答：解：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2=（a﹣2x）2+（b﹣2x）2+x2求导得（R2）'=18x﹣4（a+b）=0∴x=（a+b）因为b＜a，∴x∈（0，），所以0＜（a+b）＜，∴1＜＜．故答案为：（1，）．5．解答：解：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．将已知等式变形为（a﹣1）3+2（a﹣1）=﹣2，（b﹣1）3+2（b﹣1）=2，构造函数f（x）=x3+2x，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数∵f′（x）=3x2+2＞0∴f（x）单调递增∴f（x）是一个单调递增的奇函数，因为f（a﹣1）=﹣2，f（b﹣1）=2所以f（a﹣1）=﹣f（b﹣1）=f（1﹣b），从而有a﹣1=1﹣b，a+b=2故答案为26．解答：解：直线ax+by=1过点A（b，a）∴2ab=1∴ab=OA2=a2+b2＞=2ab=1∴S min=πOA2=π故答案为：π7．解答：解：∵f（x）=ax﹣x4，∴f′（x）=a﹣4x3，x∈[，1]，由题意得≤a﹣4x3≤4，即4x3+≤a≤4x3+4在x∈[，1]上恒成立，求得≤a≤，则实数a的值是．故答案为：8．解答：解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+），N（），所以=（2+）•（）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．9．解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△F AB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△F AB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△F AB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．10．解答：解：设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，则由题意可得==，即a1=b1．再由=，可得=，化简得2a1=2d2﹣3d1①．再由=，可得=，化简得2a1=3d2﹣5d1②．由①②解得d2=2d1，d1=2a1．故====，故答案为．11．解答：解：若A，B的交集是空集时，即x2+2x+a＜0在A={x|1≤x≤2}恒成立令f（x）=x2+2x+a因为对称轴为x=﹣1所以f（x）在A上递增所以f（2）＜0即可所以a＜﹣8所以A、B的交集不是空集时，实数a的取值范围是a≥﹣8 故答案为a≥﹣812．解答：解：∵对任意正实数k，有f（x+k）＜f（x）成立，∴函数f（x）在R上单调递减，∵f（﹣6）=2，f（2）=﹣6，|f（x﹣t）+2|＜4，∴﹣6＜f（x﹣t）＜2，即f（2）＜f（x﹣t）＜f（﹣6），∴﹣6＜x﹣t＜2，即t﹣6＜x＜2+t，∵不等式|f（x﹣t）+2|＜4的解集为（﹣4，4）∴t=2．故答案为2．13．解答：解：由题意，∵∴∴S2+T2====∴时，S2+T2的最大值是故答案为：14．解答：解：依题意，（）2==m2∵∴=m2∴=m2∴m2=2，即m=∵∠POQ=θ，∴cosθ=====∵θ=∴函数y=msin（x+θ）即为y=sin（x+）∴此函数在y轴右边第一个最高点的坐标为（，）故答案为（，）。
热点专题03 求极限 无穷等比数列(选填题)高考数学二轮复习热点考题精华篇(上海专用)(解析版)
热点专题03求极限 无穷等比数列（选填题）每个模块详细全面的知识点讲解+专题练习，可以在本人的作品的一轮复习找到对应资料一、填空题 1．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 【答案】(0,2)(2,4)【解析】先设无穷等比数列的公比为q ，根据无穷等比数列各项和的性质，由题中条件，得到121a q=-，1q <且0q ≠，即可求出结果.设无穷等比数列的公比为q ，因为12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，即()11lim 21n n a q q→∞-=-，即11lim 211n n q a q q →∞⎛⎫-= ⎪--⎝⎭， 所以只需121a q=-，1q <且0q ≠， 所以122a q =-，因为1q <且0q ≠，即10q -<<或01q <<，则022q <-<或220q -<-<， 因此2224q <-<或0222q <-<，即122(0,2)(2,4)=-∈⋃a q . 故答案为：(0,2)(2,4).【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于掌握无穷等比数列各项和的性质，为使无穷等比数列各项和为常数，公比q 必然满足1q <且0q ≠，进而即可求解.2．无穷等比数列{}n a 中，23342,1a a a a +=+=，则此数列的各项和S =________________【答案】163【解析】先利用已知条件求出等比数列的首项和公比，再求{}n a 的前n 项和，取极限即可求解.设等比数列{}n a 公比为q ，则()342323a a a q a q q a a +=+=+，所以12q =，解得：12q =， 由()22312a a a q q+=+=可得111224a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得183a=， 所以18132n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其前n 项和为81132161113212nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 1611616116lim lim 1lim 323323nn n x x x S →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为：1633．2225lim 410n n n n →∞+=++__________________．【答案】2【解析】分子分母同时除以2n ，再求极限即可.2222522520lim lim 24104101100n n n n n n n n→∞→∞+++===++++++， 故答案为：24．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且lim(2)1n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围________ 【答案】(2,1)(1,0)---【解析】无穷等比数列{}n a 的公比q 满足0||1q <<,而lim(2)21n n S S S S S →∞-=-=-=,再结合11a S q=-,可求得1||110a +<<,解不等式即可.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,11a S q=-,则0||1q <<, 因为lim n n S S →∞=,所以lim(2)lim lim221n n n n n S S S S S S S →∞→∞→∞-=-=-=-=,则111a q=--,11q a =+, 因为0||1q <<,所以1||110a +<<,解得1(2,1)(1,0)a ∈---.故答案为:(2,1)(1,0)---.【点睛】本题考查了数列极限的应用,考查了学生对极限知识的掌握,要注意公式11a S q=-中0||1q <<,属于中档题. 5．在数列{}n a 中，已知13a =.若对于任意大于1的正整数n，点在直线0x y --=，则2lim(1)nn a n →∞=+______.【答案】3 【解析】==，公差d ==即23n a n =，再由数列的极限运算即可得解.由题意0===，所以数列=d =()1n d -=，所以23n a n =，所以22223lim lim 3lim 3(1)132121100n n n n n n n n na n →∞→∞→∞=++++===+++. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了等差数列的判定及通项公式的应用，考查了数列极限的求解与运算求解能力，属于中档题.6．如果函数()log a f x x =的图像经过点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2lim n n a a a →∞+++=______.1【解析】先根据题意求出a 的值，再有等比数列前n 项和公式列出2n a a a +++的和，再用极限的方法即可求解.将点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭代入()log a f x x =，可得1log 22a =，即a =所以212⎫⎪-⎪⎝⎭+++=nna a a 所以()21221limim l →∞→∞⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⎝⎭n n n n a aa .1【点睛】本题主要考查用极限的方法求无穷等比数列各项的和，涉及到对数函数的应用，属于中档题.7．设数列{}n a 的前n 项和为221(*)n S n n N =+∈，则2lim nn nS a →∞=__________. 【答案】18【解析】先算出n a ，从而可求2lim n n nS a →∞，因为221(*)nS n n N =+∈，故3,142,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩， 故()22222122121lim lim lim 1684224n n n n n S n n a n n →∞→∞→∞++====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：18. 【点睛】方法点睛：求数列极限时，要注意利用常见的数列极限来求解，如11lim0,lim 02n n n n →∞→∞==，还要注意合理变形，从而可以利用常见极限.8．等差数列{}n a 中，公差为d ，设n S 是{}n a 的前n 项之和，且1d >，计算()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭__________. 【答案】12【解析】下利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将()1nn S n a +用1a ，d和n 表示，再结合1d >求极限即可.因为{}n a 是等差数列，所以()11na a n d +-= ，()112n n n S na d -=+， 所以()()()()21121111222111n n d d n n n a n na d S n a dn a n a dn a n d ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭==+++-++-⎡⎤⎣⎦， 因为1d>，所以1lim0n n d→∞=， 所以()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭()212111222lim lim 12n n n n d d d n a n S n a dn a n a d d →∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭===+++-， 故答案为：129．1,1100001,100012n n n n n a n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则lim n n a →∞=___________ 【答案】0 【解析】由题意可得1lim lim 2n n n n a →∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得答案.由题意可得10lim lim 2n n nn a →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：010．设(),n n n P x y 是直线()*21+=∈+n x y n N n 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim 1→∞+=-n n ny x _____. 【答案】1 【解析】当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率，故11lim 1n n n OP y x k →∞+=--，代入计算即可得结果.因为lim11n nn →∞=+，所以当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，又直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率， 当n →∞时，(),n n x y 无限趋近于点(1,1)-，因此，极限11lim11n n n OPy x k →∞+=-=-. 故答案为：1 【点睛】本题考查极限的计算，考查两点斜率公式，考查了转化与化归的思想.11．1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】2 【解析】先化简原式为22lim()lim()221n n n n n→∞→∞=++，即得解.由题得1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦234122lim lim()lim()22345221n n n n n n n n n→∞→∞→∞+⎡⎤⋅⋅⋅⋅===⎢⎥++=+⎣⎦. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查数列的极限的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭，则a b c ++=__________. 【答案】92【解析】先对所求的极限通分化简，再分析分子分母项的系数求解.因为()3222322224341313144lim 4lim lim →∞→∞→∞⎛⎫-+-++⎛⎫⎛⎫++++---== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n an b n cn n cn n cn an bn n an bn an bn an bn ， 若0a ≠则极限不可能是常数，所以0a = ，所以()3224341lim →∞⎛⎫-+-++= ⎪+⎝⎭n an b n cn an bn ()2341lim →∞⎛⎫-++ ⎪⎝⎭n b n cn bn ， 同理340-=b ，解得 34b =，所以 ()2134114lim lim lim 533344→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪-+++==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n c b n cn cn c n bn n ， 解得154c =，所以a b c ++=92故答案为：92【点睛】本题主要考查数列极限的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．2222212342lim ...11111n n n n n n n →∞⎛⎫+++++=⎪+++++⎝⎭____________ 【答案】2 【解析】先求出和，再由极限定理求极限．2222222222(21)1234212222lim ...lim lim lim 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++⎛⎫+++++=== ⎪++++++++⎝⎭212lim211n n n→∞+==+， 故答案为：2 【点睛】本题考查求数列的极限，对于和的极限需先求出和，然后再求极限，不可先极限再求和．14．数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+． ①存在1a 可以生成的数列{}n a 是常数数列；①“数列{}n a 中存在某一项4965ka =”是“数列{}n a 为有穷数列”的充要条件； ①若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是()(),11,2-∞-；①只要113232k k k ka +-≠-，其中*k N ∈，则lim n n a →∞一定存在； 其中正确命题的序号为__________. 【答案】①① 【解析】根据已知中数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+．举出正例11a =或12a =，可判断①；举出反例115a =，可判断①；举出反例12a =-，可判断①；构造数列12n n n ab a -=-，结合已知可证得数列{}n b 是以32为公比的等比数列，进而可判断①．解：当11a =时，1n a =恒成立，当12a =时，2n a =恒成立，故①正确；当115a =时，则21a =-，由递推公式*142()1n n n a a n N a +-=∈+，可知数列{}n a 只有这两项，数列{}n a 为有穷数列，但不存在某一项4965k a =，故①错误；当12a =-时，()()1,11,2a ∈-∞-，此时210a =，33811a =，数列不存在单调递增性，故①错误；1421n n n a a a +-=+∴142331111n n n n n a a a a a +---=-=⋯++① 且142242211n n n n n a a a a a +---=-=⋯++①①÷①得：11113222n n n n a a a a ++--=--令12n n n a b a -=-，则数列{}n b 是以32为公比的等比数列 则113()2n n b b -=11111132()112233()1()122n n n n b a b b ----∴==+--当113232k k k k a +-≠-时，11123()12n b -+-的极限为2，否则式子无意义，故①正确 故答案为：①① 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题15．如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意*n N ∈，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，*k N ∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭，则k =__________ 【答案】2 【解析】由等差数列通项公式得21n a n =-，由新定义可得212n n b a kd n k =+=-+，11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k==---+--+，分别讨论1k =，2，3，⋯，m ，求得的极限，由数列的单调性可得2k=．由等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，可得12(1)21n a n n =+-=-，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，可得212n n b a kd n k =+=-+，由11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k ==---+--+， 则1122111111111(1)21233221212n n a b a b a b k k kn n k++⋯+=-+-++-++--+， 当1k =时，若1122111111111lim()lim (1)23352121n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+，不成立； 当2k=时，112211111111111lim()lim (1)4537592123n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 1111141lim (1)432123433n n n →∞=+--=⨯=++，成立； 当3k=时，112211111111111lim()lim (1)67395112125n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 11111112323lim (1)63521232561590n n n n →∞=++---=⨯=+++，不成立； 同理可得km =时，1122111111lim()(1)2321n n n a b a b a b m m →∞+++=+++-，由1111(1)23213m m +++=-，即11213213m m +++=-，可设11213213m mc m =+++--，1120213m m c c m +-=-<+，可得{}m c 递减，20c =，可得仅有2k=时，11221111lim()3n n n a b a b a b →∞+++=， 故答案为2． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题．二、单选题 16．下列关于极限的计算，错误的是（ ）A ．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+ B ．222242lim n n n n n →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭222242lim lim limn n n nn n n →∞→∞→∞=+++0000=+++=C ．)lim limnn n →∞=12n == D ．已知2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=-- 【答案】B 【解析】先计算每个极限，再判断，如果是数列和的极限还需先求和，再求极限．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+，A 正确；①222222422211(1+2++)(1)12n n n n n n n n n n+++==⋅+=+， ①22224211lim lim(1)1lim 1n n n n n nn n n→∞→∞→∞⎛⎫+++=+=+=⎪⎝⎭，B 错；)limlimn n n →∞→∞=12n ==，C 正确； 若2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，()12lim n n a a a →∞+++需按奇数项和偶数项分别求和后再极限，即()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=--，D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查数列的极限，掌握极限运算法则是解题基础．在求数列前n 项和的极限时，需先求出数列的前n 项和，再对和求极限，不能对每一项求极限再相加．17．已知数列{}n a 满足12n n a pa +=+(0)p ≠，1a R ∈，则下列命题中的真命题是（ ）A ．2p =-，则数列{2}n a +一定是等比数列B ．1p >，10a ≠，数列{}n a 不存在极限C ．1p ≠，数列2{}1n a p +-一定是等比数列D ．0||1p <<，则数列{}n a 的极限为21p- 【答案】D 【解析】把递推式12n n a pa +=+变形为122()11n n a p a p p ++=+--，然后根据数列的概念进行判断．①12n n a pa +=+，①122()11n n a p a p p ++=+--， 当2p =-时，若12a =-，则120a +=，数列{2}n a +一定不是等比数列，A 错；当1p >，10a ≠，当12=01a p +-时，201n a p +=-，即2=1n a p --，此时2lim 1nn a p →∞=--，B 错； 1p ≠，12=01a p +-时，数列2{}1n a p +-不是等比数列，C 错； 0||1p <<，若12=01a p +-，则2=1n a p --，此时22lim 11n n a p p →∞=-=--，若1201a p +≠-，2{}1n a p +-是等比数列，122()11n n a a p p p +=+--，122()11n n a a p p p =+---， 1122222lim lim[()]lim[()]11111n n n n n n a a p a p p p p p p→∞→∞→∞=+-=+-=-----，D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推公式，考查数列的极限，解题时由递推公式变形构造出数列后，根据等比数列的定义判断新数列是否是等比数列，是等比数列的情况下求出数列的通项公式，再由数列的极限的定义确定是否存在极限，极限是什么．18．若数列{}n a 的通项公式1,1,211,3,3n nn n a n n N *⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥∈⎪⎩前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是（ ）A ．lim n n a →∞不存在 B ．8lim 9n n S →∞=C ．lim 0n n a →∞=或1lim 3n n a →∞=D ．1lim 18n n S →∞=【答案】B 【解析】先利用等比数列求和公式求和，再求极限得结果.1lim lim03nnn n a →∞→∞==3234211(1)11111551133+++(1)1233336618313n n n n S ---=++=+=+--因此2511518lim lim[(1)]61836189n n n n S -→∞→∞=+-=+= 故选：B 【点睛】本题考查数列解析以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．下列命题正确的是（ ）A ．若lim ,lim n n n n a A bB →∞→∞==，则limn n na Ab B →∞=B ．若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=C ．若22lim nn a A →∞=，则lim n n a A →∞=D ．若0n a ≠，则lim 0n n a →∞≠ 【答案】B 【解析】利用举反例的方法排除A 、C 、D,并利用极限的运算法则判定B 对于选项A,当0B =时,lim n n na Ab B →∞=无意义,故A 错误；对于选项C,当()1nn a =-时,()22lim lim 11nn n n a →∞→∞=-=,此时lim n n a →∞不存在,故C 错误；、 对于选项D,当1n a n=时,0n a ≠,但1lim 0n n →∞=,故D 错误；对于选项B,根据极限的运算法则,当lim n n a A →∞=时,()lim n n n a a A A →∞⋅=⋅,即22lim n n a A →∞=,故B 正确；故选：B 【点睛】本题考查举反例法处理选择题,考查极限的运算法则的应用20．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，P n + 2是线段 P n P n +1的中点，则点 P n 的极限位置应是（ ）A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b 【答案】C 【解析】由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之．解：两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点1p 是线段 OQ的中点，点2p 是线段 QP 1 的中点，3p 是线段 P 1P 2 的中点，……1,22a P b ⎛⎫⎪⎝⎭∴ 2,2424a a P b b ⎛⎫++⎪⎝⎭∴ 3,248248a a a b b b P ⎛⎫+-+-⎪⎝⎭∴ 4,2481624816a a a a b b b b P ⎛⎫+-++-+ ⎪⎝⎭∴5,24816322481632a a a b P aa b b b b ⎛⎫+-+-+-+- ⎪⎝⎭∴……∴点n P 的位置应是()()()()()()()()234234,2222222222n n a a a ab b b abb⎛⎫⎪++++++++++ ⎪-----⎝---⎭其中()()()()()121234112211122262222122n n naa aaaa a aa --⎡⎥=-⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦++++++=+⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭---⎢⎣⎦-- ⎪⎝⎭故()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n a a a a a a a a a a-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ 同理()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n b bb b b bb b b b-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ ∴点n P 的极限位置应是22(,)33a b． 故选：C． 【点睛】本题主要考查中点坐标公式和数列求和以及推理思想的应用．21．数列{}n a 满足1110,1810(*)n n a a a n n N +==++∈，记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则)n →∞=( ) A ．1B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入)n →∞求得答案.解：由已知1110,1810n n a a a n +==++，2118110a a ∴-=⨯+，3218210a a -=⨯+，118(1)10n n a a n --=-+，累加得：21(1)18[12(1)]10(1)101892nn n a a n n n n n -=+++⋯+-+-=+⨯=+， ()()22223996+1=31n n n n n n <+<++，331n n ∴+，3n ∴=，223n ====，则16n n →∞==. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题.22．若,,||||a b R a b ∈>且11lim lim n n n nn n n n a b a b a a-+→∞→∞++>，则a 的取值范围为（ ） A ．1a >或1a <- B ．11a -<< C ．1a >或10a -<< D ．1a <-或01a <<【答案】D 【解析】根据数列极限运算法则化简11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>，求出关于a 的不等式，即可求解.11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>化为 1lim ))li ()(m(()n n n n b ba aa a →∞→∞>++， ||||,li 1(1)(1)(,m )0,0n nb a b a a a a a a →∞>∴=-+∴><，∴1a <-或01a <<.故选:D 【点睛】本题考查数列极限，考查分式不等式，属于中档题.23．若1lim 12n n r r +→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（ ）A ．13r -≥或1r -≤ B ．13r >-或1r <- C ．13r >-或1r -≤ D ．113r --≤≤ 【答案】C 【解析】根据极限存在得到1112r r -<≤+，计算得到答案.1lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则1112r r -<≤+，解得13r >-或1r -≤故选：C 【点睛】本题考查了根据极限求参数的范围，忽略掉等号是容易发生的错误.24．若lim()n n n a b →∞+存在，则有（ ） A ．lim n n a →∞与lim n n b →∞一定都存在 B ．lim n n a →∞与lim n n b →∞只能有一个存在 C ．lim n n a →∞与lim n n b →∞不可能都不存在 D ．lim n n a →∞与lim n n b →∞或者都存在，或者都不存在 【答案】D 【解析】逐个选项判断在lim()n n n a b →∞+的极限存在的条件下，各个命题是否成立。
专题3-4 构造函数解不等式(选填)(原卷版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
例题 2．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知定义在 R 上的偶函数 f (x)
满足：当 x 0 时，恒有 xf (x) 2 f (x) 0 ．若 a 2 f ( 2) ，b 9 f (3) ，c f (1) ，则 a ，b ，
c 的大小关系为（
）
A． b a c
例题 3．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数 f x 的定义域和值域均为 0, ，
f
x 的导函数为
f ¢(x) ，且满足 2 f
x
f
x 3f
x ，则
f f
2021 2022
的范围是______．
构造可导积（商）函数模型：
① enx[ f ( x) nf ( x)] [enx f ( x)]
2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中（文））设定义域为 R 的函数 f x 满足 f x f x ， 则不等式 ex1 f x f 2x 1 的解集为
A． ,1
B． 1,
C． 1,1
D． 1,
3．（2022·黑龙江·虎林市高级中学高三开学考试）定义域为 R 的可导函数的导函数 y f x 为 f x ，满足 f x f x ，且 f 0 1，则不等式 f x ex 的解集为（ ）
x
x2
f
x
0 ，若 a
f
2 ,b
2
f
π
,c
π
f
5 ，则 a,b, c 的大小关系是（
5
）
A． c b a
B． c a b
C． b a c
D． a b c
2．（2022·江苏连云港·高三期中）设函数 f x 的导函数为 f x ，对任意 x R ，都有 xf x f x 成立，则（ ）
(完整版)高三数学选择、填空题专项训练(共40套)[附答案]
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三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A.6556 B.－6556 C.－6516 D. 6516 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34. 函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2 B.22 C.4 D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒）12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒） 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5三基小题训练二1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量 OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( ) A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ）A.（3，0）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ）A.（a ，－b ）B.（－a ，b ）C.（b ，－a ）D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠TEF DO C B A8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ;(2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132- 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________. 14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。
高考数学选择填空题精编1(学生版)
2013届高三（15）班选填题训练3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。
其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为（ ）12527.12536.12554.12581.D C B A 3.一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为（ ）A ．－24B ．84C ．72D ．364.如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（ ）A.增函数且最小值为－5B.减函数且最小值是－5C.增函数且最大值为－5D.减函数且最大值是－55.已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则有（ ）A 、11010a a +>B 、21020a a +<C 、3990a a +=D 、5151a =6.过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp 11 （ ） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a4 7.如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy 的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．3 8.双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos2α等于（ ） A ．e B ．e 2 C ．e 1 D ．21e 9.计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0—9和字母A —F 共16个计数符号，A.6EB.72C.5FD.BO10.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。
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矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为 ____________.
16、如果 x x x , x Z ,0 x 1, 就称 x 表示 x 的整数部分， x 表示 x 的小数部分 . 已知数列
B． 5 5
C． 5 5
25
D．
5
11．在 ABC 中, 内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c,O 是 ABC 外接圆的圆心 , 若 2 cosB
且
cosB
uuur AB
cosC uuru AC
uuru mAO , 则 m 的值是
sin C
sin B
2c b ,
A. 2 4
B. 2 2
C. 2
a5 a4 6 5 ，..., ∴ a2021 a2020 6 5 .
出的结果为 A.1.125 C.1.325
B.1.315 D.1.375
10. 已知函数 f x 2sin 2x
2cos2 x
1，把函数
4
8
f x 的图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，若 x1, x2 是 8
g x m 0 在 0, 内的两根，则 sin( x1 x2) 的值为 2
A． 2 5 5
B.
若 m , m , 则 //
C.若 m ， m // n, n
，则
D. 若 m// ,
n,，则 m // n
0xπ 7．已知不等式组 y sin x a 所对应的平面区域面积为 2 2π，则 3x 2 y 1的最大值为集合
y0
A. 5 3π 6
B. 3π 7ຫໍສະໝຸດ C. 6D. 76
8.( 文科做) 随机地给一个长方体工艺品的四个立面 ( 指除上、下两个底面之外的四个面 ) 涂色，有红、橙两种 颜色的涂料可供选择，则任何两个相邻的立面颜色都不同的概率为
华中师大一附中 2017级高三下学期数学独立作业 34
高三数学选填题专项训练 (二十四)
班级________
学号________
姓名________
分数________
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 .
1. 已知 i 为虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数，若 z
cos 2π
i
sin
2π
，则
z
在复平面内对应的点位于
3
3
A. 第一象限
2. 已知全集 U
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
R ，集合 A y | y 2 x2 2x ，B
x1
x | y lg
，
x1
则图中阴影部分所表示的集合是
A. x | 0 x 1 B. x |1 x 2
C. x | 0 x 1 D. x |1 x 2
程 为 y k2x, ∴ g( x) xe x 1 1 k2 x 0 对 x 0 恒 成 立 ， ∴
k2
ex 1
1 对x x
0 恒成立，令 h( x)
ex 1
1 , 则 h' ( x) x
ex 1
1 x2
,
∵ h' (1) 0 ，∴当 0 x 1时 h' ( x) 0, 当 x 1 时 h' ( x) 0 ，∴ h( x) ex 1 1 在 (0,1) 上单调递减， x
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
4
8
16
( 理科做 ) 现要给一个长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的 面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案种数有
A.48 种
B.72 种
C.96 种
D.108 种
9. 执行如图所示的程序框图， 若输入的 a, b,c 分别是 1,2 ，0.3 ，则输
an 满足 a1
5, an 1 an
2 (n N ) ，则 a2021 a2020 ____________. an
答题卡：班级学号姓名____________________
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
13.
14.
15.
16.
一、CCBA 二、13. 5000
ADAC 14. 4
14、已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1( a＞0, b＞ 0) 的两条渐近线与抛物线 y2
2 px( p＞0) 的准线分别交于 A，B
两点， O为坐标原点，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ，△AOB的面积为 4 3 ，则 p ____________. 3
15、在线段 AB 上任取一点 C ，若 AC 2 AB BC ，则点 C 是线段 AB 的“黄金分割点”，此时以 AC, BC
D. 2 2
12. 如图，对于曲线
所在平面内的点 O ，若存在以 O 为顶点的角 ，使得
AOB 对于曲线 上的任意两个不同的点 A， B 恒成立， 则称角 为曲线
相对于点 O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线 相对于点 O 的“确界角”.
已知曲线 C ： y
2
1 9x (x 0) ，O 为坐标原点，则曲线 C 相对于点 O 的“确 xex 1 1( x 0)
3．已知变量 x ， y 之间满足线性相关关系 y? 1.3x 1 ，
且 x ， y 之间的相关数据如右表所示 , 则 m
A．0.8
B．1.8
C．0.6
D．1.6
4. 已知函数 f x 是 R 上的单调增函数且为奇函数，数列 an 是等差数列， a3 0 ，则 f a1 + f a3 +
f a5 的值
答案
DACA
15. 3 5
16. 6 5
11.
12 解：∵ y2 9x2 1( x 0, y 1) ，∴其渐近线方程为 y 3x ，其斜率为 k1 3. 对于： y xex 1 1( x 0), y' (1 x)ex 1. ∵ x 0 ，∴ y' 0 . ∴
y xex 1 1 在 0， 上单调递增 . 设 y xex 1 1(x 0) 的渐近线方
界角”为
A．
4
B．
3
C． 2 3
D． 3 4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分 .
13、我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈， 袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩 形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积 是多少？”已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出 , 如图所示，网格纸小 正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为 ____________立方尺.
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为 0
D．可以为正数也可以为负数
5. 椭圆 4 x 2 9 y2 144 内有一点 P(3,2) ，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为
2
A.
3
3
B.
2
4
C.
9
9
D.
4
6. 已知两个不同的平面 , 和两条不重合的直线 m, n ，则下列命题不正确的是
A. 若 m // n, m ,则 n ,
在（1， ）上单调递增， ∴当 x 1 时 h( x) ex 1 1 取得最小值 2，∴ k2 2 . 设“确界角”为 ，如图 x
所示则 tan
3 2 1, ∵ （0， ），∴ 132
. 故选 A. 4
15. 解：不妨设 AB 1, 则由已知“黄金矩形”的面积为 5 - 2. 现在线段 AB 上任取一点 C ，设 AC x,
则 BC 1 x, 由 x(1 x)
5 2得0 x 3
5
或
5 -1 x 1, 故 所 求 概 率 为
2
2
35
51
1
3 5.
2
2
16. 解：∵ a1 5 ，∴由已知 a2 2
2
6 2 5，
52
a3 10
2
12 5 ，同理得 a4 18 2 5 ，a5 24 5 ，..., ∴ a3 a2 6 5 ，
6 2 5 10