2018—2019年注册环保工程师《公共基础考试》真题及详解【圣才出品】

x x0
x x0
lim f (x0 ) x x0 lim x0 f (x) f (x0 )
x x0
x x0
x x0
x x0
f (x0 ) x0
lim
x x0
f (x) f (x0 )
x x0
f (x0 ) x0 f (x0 )
d e dt 4．已知 φ（x）可导，则
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2018 年注册环保工程师《公共基础考试》真题及详解[视频讲解]
单项选择题（共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意）
1．下列等式中不成立的是（ ）。
sin x2
A． lim
1
x x0
2
BBaidu Nhomakorabea lim sin x 1 x x
所以
lim sin x 0 x x
C 项，即为上面重要极限结论。
D 项，因为 x→∞，那么 1/x→0，令 t＝1/x，则 t→0，且 x＝1/t。利用重要极限知：
lim x sin 1 lim1sin t lim sin t 1
x
x t0 t
t0 t
2．设 f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）。 A．f[g（x）] B．f[f（x）] C．g[f（x）] D．g[g（x）] 【答案】D 【考点】函数的奇偶性 【解析】 A 项，令 T（x）＝f[g（x）]。因为 T（－x）＝f[g（－x）]＝f[－g（x）]＝f[g（x）]， 所以 T（－x）＝T（x），所以 f[g（x）]为偶函数。 B 项，令 T（x）＝f[f（x）]。因为 T（－x）＝f[f（－x）]＝f[f（x）]，所以 T（－x）
3 7
8．微分方程 y″＝sinx 的通解 y 等于（ ）。 A．－sinx＋C1＋C2 B．－sinx＋C1x＋C2 C．－cosx＋C1x＋C2 D．sinx＋C1x＋C2 【答案】B 【考点】微分方程的通解 【解析】方法一：直接利用代入法。B 项，当 y＝－sinx＋C1x＋C2 时，y′＝－cosx＋ C1，继续求导得，y″＝sinx，符合题意。n 阶微分方程通解中应含有 n 个任意常数。A 项通 解中实质上只有一个任意常数，而 CD 两项均不满足微分方程 y″＝sinx，则均不符合。 方法二：由（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝－sinx，则通过求原函数不定积分得 y′＝－cosx ＋C1，再求一次不定积分得 y＝－sinx＋C1x＋C2，B 项符合题意。
dx a
②
d (x) f (t)dt f (x)(x) f (x) (x)
dx (x)
5．若 f (x)dx F(x) C ，则 xf (1 x2 )dx ＝（ ）。
A．F（1－x2）＋C B．－（1/2）F（1－x2）＋C C．（1/2）F（1－x2）＋C D．－（1/2）F（x）＋C 【答案】B 【考点】不定积分 【解析】计算得∫xf（1－x2）dx＝（－1/2）∫f（1－x2）d（1－x2）＝（－1/2）F（1 －x2）＋C，这里 C 均表示常数。
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6．若 x＝1 是函数 y＝2x2＋ax＋1 的驻点，则常数 a 等于（ ）。 A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】D 【考点】驻点 【解析】函数 y 关于 x 求导，得 y′＝4x＋a。因为 x＝1 是函数 y＝2x2＋ax＋1 的驻点， 所以 4×1＋a＝0，计算得 a＝－4。
所以 T（－x）＝－T（x），所以 g[g（x）]为奇函数。
3．若 f′（x0）存在，则 lim xf (x0 ) x0 f (x) （ ）。
xx0
x x0
A．f′（x0）
B．－x0f′（x0）
C．f（x0）－x0f′（x0）
D．x0f′（x0）
【答案】C
【考点】导数
【解析】原式化简得
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B 项，极限 lim sin x 可化为 lim 1 lim sin x ，极限
x x
x x x
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lim 1 0 x x
为无穷小量；而|sinx|≤1，sinx 为有界函数。因为有界函数与无穷小的乘积是无穷小，
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d (x) et2 dt e(x)2(x) e(x2 )2 d (x2 )
dx (x2 )
dx
(x)e (x)2 2x(x2 )e (x2 )2
【说明】如果 φ（x）、ψ（x）可导，则：
①
d (x) f (t)dt f (x)(x)
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＝T（x），所以 f[f（x）]为偶函数。 C 项，令 T（x）＝g[f（x）]。因为 T（－x）＝g[f（－x）]＝g[f（x）]，所以 T（－x）
＝T（x），所以 g[f（x）]为偶函数。 D 项，令 T（x）＝g[g（x）]。因为 T（－x）＝g[g（－x）]＝g[－g（x）]＝－g[g（x）]，
(x) t2
等于（
dx (x2 )
）。
A．(x)e (x)2 2x(x2 )e(x2 )2
e e B． (x)2
( x2 )2
C．(x)e (x)2 (x2 )e (x2 )2
D．(x)e(x) 2x(x2 )e(x2 )
【答案】A 【考点】含参变量积分的求导 【解析】由题意，计算得
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7．设向量 α 与向量 β 的夹角 θ＝π/3，|α|＝1，|β|＝2，则|α＋β|等于（ ）。
A． 8 B． 7
C． 6 D． 5
【答案】B 【考点】向量的模 【解析】计算得
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α β α β2
α2 2αβ β2 α 2 2 α β cos β 2 12 21 2 cos 22
C． lim sin x 1 x0 x
D． lim x sin 1 1
x
x
【答案】B
【考点】利用重要极限求极限
【解析】
lim sin x 1(重要极限) x0 x
A 项，因为 x→0，所以 x2→0，所以利用上面重要极限的结论知：
sin x2
sin x2
lim
lim
1
x x0
2
x x2 0
2
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lim xf (x0 ) x0 f (x) lim xf (x0 ) x0 f (x0 ) x0 f (x0 ) x0 f (x)
x x0
x x0
x x0
x x0
lim f (x0 ) x x0 x0 f (x) f (x0 )